2011届高三数学一轮复习 第2单元 2.12 定积分的概念与微积分基本定理随堂训练 理

2.12 定积分的概念与微积分基本定理

一、选择题

π

1．与定积分∫31－cos xdx相等的是( ) 0

π

A.2∫3 0sindx

2

x

2

3π

π

B.2∫30|sin|dx

2

xπ

C．|2∫30sindx|

2

xD．以上结论都不对

3π

解析：∵1－cos x＝2sin，∴∫0

2答案：B 2.?

e

x1－cos xdx＝∫0

2|sin|dx＝2∫0|sin|dx.

22

x3π

x1＋ln x?1

xdx＝( )

2

B.－1 e

3C. 2

1D. 2

1

A．ln x＋ln2x

21＋ln x解析：?dx＝

e

?1

x

ln2x?e3

(ln x＋)1＝.

2?2

答案：C

3．以初速度40 m/s竖直向上抛一物体，t秒时刻的速度v＝40－10t2，则此物体达到最高时

的高度为( )

A.

160

m 3

B.80

m 3

C.40

m 3

2

D.

20 m 3

解析：v＝40－10t2＝0，t＝2，?(40－10t2)dt＝

?0

10160?40t－10t3??2

×8＝ 0＝40×2－

?3??33

(m)．

答案：A

4．一物体在变力F(x)＝5－x2(力单位：N，位移单位：m)作用下，沿与F(x)成30°方向作

直线运动，则由x＝1运动到x＝2时F(x)作的功为( )

A.3 J

B.

2343

J C. J 33

D．23 J 解析：由于F(x)与位移方向成30°角．如图：F在位移方向上的分力F′＝F·cos 30°，

W＝?(5－x2)·cos 30°dx＝

2

?1

32

(5－x2)dx ?2?1

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3?13??2

＝5x－x2?3??1

答案：C 二、填空题

＝

3843

×＝ (J)． 233

5．汽车以v＝3t＋2 m/s作变速直线运动时，在第1 s至第2 s间的1 s内经过的路程是

________．

?32?解析：S＝?(3t＋2)dt＝t＋2t?

?1?2??1

2

2

3713?3?＝×4＋4－＋2＝10－＝ (m)．

2?2?22

答案：6.5 m

6．一物体以初速度v＝9.8t＋6.5 m/s的速度自由落下，则下落后第二个4 s内经过的路程

是________．

解析：?(9.8t＋6.5)dt＝(4.9t＋6.5t)??4?4

8

2

8

＝4.9×64＋6.5×8－4.9×16－6.5×4

＝313.6＋52－78.4－26＝261.2(m)． 答案：261.2 m

1

7．曲线y＝与直线y＝x，x＝2所围成的图形的面积为________．

x3

答案：－ln 2

2三、解答题

8． 证明：把质量为m(单位：kg)的物体从地球的表面升高h(单位：m)处所做的功W＝

G·

Mmh，其中G是地球引力常数，M是地球的质量，k是地球的半径．

k(k＋h)

m1m2

，其中G为引力常数． r2

Mm. (k＋x)2

证明：根据万有引力定律：知道对于两个距离为r，质量分别为m1、m2的质点，它们之间的引力为f(r)＝G·

则当质量为m的物体距地面高度为x(0≤x≤h)时，地心对它的引力f(x)＝G·

hh故该物体从地面升到h高处所做的功为W＝?f(x)dx＝?G·

?0?0

Mm·dx

(k＋x)2

11??h?＝GMm?d(k＋x)＝GMm－?0(k＋x)2?k＋x??0

h

＝GMm－

2

?1＋1?＝G·Mmh.

?k＋hk?k(k＋h)

9．一质点在直线上从时刻t＝0(s)开始以速度v＝t－4t＋3(m/s)运动．求：

(1)在t＝4 s的位置；(2)在t＝4 s内运动的路程． 解答：(1)在时刻t＝4时该点的位置为?(t2－4t＋3)dt＝

4

?0

?1t3－2t2＋3t??40＝4(m)，

?3??3

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4

即在t＝4 s时刻该质点距出发点 m.

3

(2)因为v(t)＝t2－4t＋3＝(t－1)(t－3)，所以在区间[0,1]及[3,4]上的v(t)≥0， 在区间[1,3]上，v(t)≤0，所以t＝4 s时的路程为

S＝?(t2－4t＋3)dt＋|?(t2－4t＋3)dt|＋?(t2－4t＋3)dt

134

?0?1?3

＝

?1t3－2t2＋3t??10＋|?3??

?1t3－2t2＋3t??3

1|＋

?3??

?1t3－2t2＋3t??4

3

?3??

444

＝＋＋＝4 (m) 333

即质点在4 s内运动的路程为4 m.

10．如图所示，直线y＝kx分抛物线y＝x－x2与x轴所围图形为面积相等的两部分，求k的

值．

解答：抛物线y＝x－x2与x轴两交点的横坐标为x1＝0，x2＝1， 所以，抛物线与x轴所围图形的面积

S＝?(x－x2)dx＝

1

?0

2

?y＝x－x，?x－1x3??10＝1.又??

?23??6??y＝kx，

2

由此可得，抛物线y＝x－x2与y＝kx两交点的横坐标为x3＝0，x4＝1－k，所以，

S2

－k＝∫1(x－x2－kx)dx＝0

1?1－kx2－1x3??1－k＝(1－k)3. 0

?23??6

331

114又知S＝，所以(1－k)3＝，于是k＝1－＝1－.

6222

1．求下列定积分的值

(1)?

3

1

?1

1πcos 2xπx2x＋1dx；(2)?edx；(3)∫edx；(4)∫0dx；(5)∫0sin2dx. 2

?02x－12cos x－sin x22x3

解答：(1)?dx＝(2x)??1?1x(2)?edx＝2e?

?0220

2

1

3

＝2

3－2.

xx?2

＝2e－2.

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e＋1

1?dx＝ln(x－1)?

2x－1

(3)∫e＋1

2

＝1.

(4)∫

πcos 2xπ

dx＝∫0(cos x＋sin x)dx＝(sin x－cos x)错误!＝2. 02cos x－sin x2ππ12xdx＝∫0(1－cos x)dx＝0sin2222

(5)∫

?1x－1sin x??π0＝π－1.

?22??242

932

2．已知抛物线y＝x－2ax (a>0)．若过原点的直线l与抛物线所围成的图形面积为a，求

2

直线l的方程．

??y＝kx，

解答：设过原点的直线方程为y＝kx，解方程组?2

?y＝x－2ax，?

得x1＝0，x2＝k＋2a.当k＋2a>0时，

＋2a＋2a∵S＝∫k(kx－x2＋2ax)dx＝∫k[(k＋2a)x－x2]dx＝00

?k＋2ax2－1x3??k＋2a＝0

?23??

(k＋2a)3

.∴(k＋2a)3＝27a3，解得k＝a.所以，直线l的方程为y＝ax. 6(k＋2a)

当k＋2a<0时，∵S＝?k＋2a[(k＋2a)x－x]dx＝－. ?6

0

2

3

∴－(k＋2a)3＝27a3，解得k＝－5a.所以，直线l的方程为y＝－5ax.

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