2011届高三数学一轮复习 第2单元 2.12 定积分的概念与微积分基本定理随堂训练 理
更新时间:2023-12-19 05:07:01 阅读量: 教育文库 文档下载
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2.12 定积分的概念与微积分基本定理
一、选择题
π
1.与定积分∫31-cos xdx相等的是( ) 0
π
A.2∫3 0sindx
2
x
2
3π
π
B.2∫30|sin|dx
2
xπ
C.|2∫30sindx|
2
xD.以上结论都不对
3π
解析:∵1-cos x=2sin,∴∫0
2答案:B 2.?
e
x1-cos xdx=∫0
2|sin|dx=2∫0|sin|dx.
22
x3π
x1+ln x?1
xdx=( )
2
B.-1 e
3C. 2
1D. 2
1
A.ln x+ln2x
21+ln x解析:?dx=
e
?1
x
ln2x?e3
(ln x+)1=.
2?2
答案:C
3.以初速度40 m/s竖直向上抛一物体,t秒时刻的速度v=40-10t2,则此物体达到最高时
的高度为( )
A.
160
m 3
B.80
m 3
C.40
m 3
2
D.
20 m 3
解析:v=40-10t2=0,t=2,?(40-10t2)dt=
?0
10160?40t-10t3??2
×8= 0=40×2-
?3??33
(m).
答案:A
4.一物体在变力F(x)=5-x2(力单位:N,位移单位:m)作用下,沿与F(x)成30°方向作
直线运动,则由x=1运动到x=2时F(x)作的功为( )
A.3 J
B.
2343
J C. J 33
D.23 J 解析:由于F(x)与位移方向成30°角.如图:F在位移方向上的分力F′=F·cos 30°,
W=?(5-x2)·cos 30°dx=
2
?1
32
(5-x2)dx ?2?1
用心 爱心 专心
3?13??2
=5x-x2?3??1
答案:C 二、填空题
=
3843
×= (J). 233
5.汽车以v=3t+2 m/s作变速直线运动时,在第1 s至第2 s间的1 s内经过的路程是
________.
?32?解析:S=?(3t+2)dt=t+2t?
?1?2??1
2
2
3713?3?=×4+4-+2=10-= (m).
2?2?22
答案:6.5 m
6.一物体以初速度v=9.8t+6.5 m/s的速度自由落下,则下落后第二个4 s内经过的路程
是________.
解析:?(9.8t+6.5)dt=(4.9t+6.5t)??4?4
8
2
8
=4.9×64+6.5×8-4.9×16-6.5×4
=313.6+52-78.4-26=261.2(m). 答案:261.2 m
1
7.曲线y=与直线y=x,x=2所围成的图形的面积为________.
x3
答案:-ln 2
2三、解答题
8. 证明:把质量为m(单位:kg)的物体从地球的表面升高h(单位:m)处所做的功W=
G·
Mmh,其中G是地球引力常数,M是地球的质量,k是地球的半径.
k(k+h)
m1m2
,其中G为引力常数. r2
Mm. (k+x)2
证明:根据万有引力定律:知道对于两个距离为r,质量分别为m1、m2的质点,它们之间的引力为f(r)=G·
则当质量为m的物体距地面高度为x(0≤x≤h)时,地心对它的引力f(x)=G·
hh故该物体从地面升到h高处所做的功为W=?f(x)dx=?G·
?0?0
Mm·dx
(k+x)2
11??h?=GMm?d(k+x)=GMm-?0(k+x)2?k+x??0
h
=GMm-
2
?1+1?=G·Mmh.
?k+hk?k(k+h)
9.一质点在直线上从时刻t=0(s)开始以速度v=t-4t+3(m/s)运动.求:
(1)在t=4 s的位置;(2)在t=4 s内运动的路程. 解答:(1)在时刻t=4时该点的位置为?(t2-4t+3)dt=
4
?0
?1t3-2t2+3t??40=4(m),
?3??3
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4
即在t=4 s时刻该质点距出发点 m.
3
(2)因为v(t)=t2-4t+3=(t-1)(t-3),所以在区间[0,1]及[3,4]上的v(t)≥0, 在区间[1,3]上,v(t)≤0,所以t=4 s时的路程为
S=?(t2-4t+3)dt+|?(t2-4t+3)dt|+?(t2-4t+3)dt
134
?0?1?3
=
?1t3-2t2+3t??10+|?3??
?1t3-2t2+3t??3
1|+
?3??
?1t3-2t2+3t??4
3
?3??
444
=++=4 (m) 333
即质点在4 s内运动的路程为4 m.
10.如图所示,直线y=kx分抛物线y=x-x2与x轴所围图形为面积相等的两部分,求k的
值.
解答:抛物线y=x-x2与x轴两交点的横坐标为x1=0,x2=1, 所以,抛物线与x轴所围图形的面积
S=?(x-x2)dx=
1
?0
2
?y=x-x,?x-1x3??10=1.又??
?23??6??y=kx,
2
由此可得,抛物线y=x-x2与y=kx两交点的横坐标为x3=0,x4=1-k,所以,
S2
-k=∫1(x-x2-kx)dx=0
1?1-kx2-1x3??1-k=(1-k)3. 0
?23??6
331
114又知S=,所以(1-k)3=,于是k=1-=1-.
6222
1.求下列定积分的值
(1)?
3
1
?1
1πcos 2xπx2x+1dx;(2)?edx;(3)∫edx;(4)∫0dx;(5)∫0sin2dx. 2
?02x-12cos x-sin x22x3
解答:(1)?dx=(2x)??1?1x(2)?edx=2e?
?0220
2
1
3
=2
3-2.
xx?2
=2e-2.
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e+1
1?dx=ln(x-1)?
2x-1
(3)∫e+1
2
=1.
(4)∫
πcos 2xπ
dx=∫0(cos x+sin x)dx=(sin x-cos x)错误!=2. 02cos x-sin x2ππ12xdx=∫0(1-cos x)dx=0sin2222
(5)∫
?1x-1sin x??π0=π-1.
?22??242
932
2.已知抛物线y=x-2ax (a>0).若过原点的直线l与抛物线所围成的图形面积为a,求
2
直线l的方程.
??y=kx,
解答:设过原点的直线方程为y=kx,解方程组?2
?y=x-2ax,?
得x1=0,x2=k+2a.当k+2a>0时,
+2a+2a∵S=∫k(kx-x2+2ax)dx=∫k[(k+2a)x-x2]dx=00
?k+2ax2-1x3??k+2a=0
?23??
(k+2a)3
.∴(k+2a)3=27a3,解得k=a.所以,直线l的方程为y=ax. 6(k+2a)
当k+2a<0时,∵S=?k+2a[(k+2a)x-x]dx=-. ?6
0
2
3
∴-(k+2a)3=27a3,解得k=-5a.所以,直线l的方程为y=-5ax.
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