410自动控制原理辅导班笔记
更新时间:2023-11-28 06:45:01 阅读量: 教育文库 文档下载
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哈工大自动控制原理辅导班笔记
一、 自动控制理论的分析方法: (1)时域分析法; (2)频率法; (3)根轨迹法; (4)状态空间方法; (5)离散系统分析方法; (6)非线性分析方法 二、系统的数学模型
(1)解析表达:微分方程;差分方程;传递函数;脉冲传递函数;频率特性;脉冲响应函数;阶跃响应函数
(2)图形表达:动态方框图(结构图);信号流图;零极点分布;频率响应曲线;单位阶跃响应曲线
时域响应分析
一、对系统的三点要求:
(1)必须稳定,且有相位裕量γ和增益裕量Kg (2)动态品质指标好。tp、ts、tr、σ% (3)稳态误差小,精度高
二、结构图简化——梅逊公式 例1、
解:方法一:利用结构图分析:
E?s??R?s???X1?s??Y?s????R?s??Y?s???X1?s?
方法二:利用梅逊公式 G(s)?NM?P?Kk?1nK?Q
其中特征式 ??1??Li?i?1j,k?1?LLjk?d,e,f?1?LdLeLf?......
式中: ?Li 为所有单独回路增益之和
?LLidj 为所有两个互不接触的单独回路增益乘积之和
f?LLLe 为所有三个互不接触的单独回路增益乘积之和
其中,Pk 为第K条前向通路之总增益;
?k 为从Δ中剔除与第K条前向通路有接触的项;
规格严格,功夫到家
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n 为从输入节点到输出节点的前向通路数目 对应此例,则有:
通路:P1?G1?G2 ,?1?1
特征式:??1?(?G1G2?G1G3)?1?G1G2?G1G3 则:
Y(s)P1?1R(s)?1?G 1G2?G1G3例2:[2002年备考题]
G5G1G2 G3G4 G2H1H2解:方法一:结构图化简
G5G6G1G2?G4 G31?G 3G2H1H2
继续化简:
1?G3G2H?1G1G2?G4?G3GG3?G1G2?G4?5G61?G 3G2H1H2
于是有:
规格严格,功夫到家
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?1?G3G2H1?G??6?GG?G?G1243?? ??G5?
?G1G2?G4?G31?G3G2H1??G1G2?G4?G3H2
结果为
G(s) 其中G(s)=…
方法二:用梅逊公式
??1???G3G2H1?G1G2G3H2?G4G3H2??0
1?G5G6G1G2G3,?1?1 通路:PP2?G5,?2?1?G3G2H1 P3?G5G6G4G3,?3?1
Y?s?P1?1?P2?2?P3?3??......??Rs?于是:
三、稳态误差
G1H G2
E?s?1; ?R(s)1?G1G2H(1)参考输入引起的误差传递函数:
扰动引起的误差传递函数:
G2HE?s? ??N?s?1?G1G2H(2)求参考输入引起的稳态误差essr时。可以用 Kp、Kv、Ka叠加,也可以用终值定理:lims?Er?s?
s?0(3)求扰动引起的稳态误差 essn 时,必须用终值定理:lims?EN?s?
s?0(4)对阶跃输入:Kp?limG0?s? ,
s?0
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如r?t??a?1?t?,则R?s??as,eassr?1?K p(5)对斜坡输入:Kv?lims?0s?G0?s?, 如r?t??b?t,则R?s??bs2,ebssr?K v(6)对抛物线输入:Kp?lims?0s2?G0?s?, 如r?t??1c2c?t2,则R?s??cs3,essr?K a例3:求:
Y?s?R?s?,令N?s??0,求Y?s?N?s?,令R?s??0 解:结构图化简:
H3G1 G21?GG2H23 H1G 3继续化简,有:
G2G31?G 2H2?G2G3H3H1?G3G 3当N?s??0时,求得
Y?s?R?s?=。。。;当R?s??0时,有 求得
Y?s?N?s?=…
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例4: 令N?s??0,求
Y?s?Y?s?,令R?s??0,求
R?s?N?s?
为了完全抵消干扰对输出的影响,则Gx?S??? 解:求
Y?s?,用用梅逊公式:
R?s?P,?1?1?KG1G2 P2?G1Gx,?2?1 1?1??1???KG1G2?KG1??1?KG1G2?KG1 则:
Y?s?1?KG1G2?G1GxY?s?,同理求得=… ?R?s?R?s?1?KG1G2?KG1若完全抵消干扰对输出的影响,则干扰引起的输出应该为零。 即
1?KG1G2Y?s?Y?s?1?KG1G2?G1Gx=0,故=0,所以Gx?? ?N?s?G1R?s?1?KG1G2?KG1s?1K??Gs?,,r(t)和n(t)分别是参考输入和扰动2n2n1s?s?2?s?s?4?E?s?E?s? 和Gne?s??;
N?s?R?s?例5:[2002年题4] 其中 G1?s??输入。
(1)求误差传递函数Gre?s??(2)是否存在n1≥0和n2≥0,使得误差为零?
(3)设r(t)和n(t)皆为阶跃输入,若误差为零,求此时的n1和n2 解:
G2 G2E?s?E?s?1?, Gne?s??,[N(s)为负] ?R?s?1?G1G2N?s?1?G1G2①Gre?s??
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② r(t)=t,要求essr=0.则系统应为Ⅱ型系统,那么n1+n2=2.
③ r(t)=1(t),n(t)= 1(t),要求ess=0,则n1+n2=1 因为如
E?s?K?s?4?N?s??s?s?4??s?2??K?s?1?,则 eE?s?E?s?ssn?lims?0s?E?s??lims?0s?N?s??N?s??lims?0s?N?s??1s?4
而事实上:
E?s?Ks?s?N?s??4?s?s?4??s?2??K?s?1?
eE?s?ssn?lims?0s?E?s??lims?0s?N?s??N?s??limE?s?1s?0s?N?s??s?0
可见积分环节在G1?s?部分中,而不在G2?s?中。 故n1=1,n2=0。就可以实现要求
例6:如图,当r?t??sin?t?15???2cos?3t?20??时,求稳态输出解:应用频率法:
??j???5j??7,则
5s?2 ??j1??5?550??tan?11,??j3??5533?7?58??tan?1j?77j7 y?t?|t???550sin???t?15??tan?11?7???1058cos???3t?20??tan?13?7??
四、动态指标
(1)二阶系统传递函数的标准形:
Y?s??2nR?s??s2?2??2 n??n(2)cos???,θ越大,ξ越小
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(3)t???3~4r??,tp??n1??2?n1??2,ts???(Δ=5%或2%)
n例7:如图,要求tp?0.1s,?%?30%,试确定参数K,T。 K
s?Ts?1?解:Y?s?R?s??KK/T?2nTs2?s?K?s2?s/T?K/T?s2?2??, ns??2n则?2KT, 2??1?n?n?T。由tp???2?0.1,
n1??%?exp??????????0.3,可得ξ=?,T=? ?1??2?例8:
求:① 选择K1,Kt,使得σ%≤20%,ts=1.8秒(???2%) ② 求Kp、Kv、Ka,并求出r?t??1?t??t时的稳态误差 K1 1s2解:① Y?s?K??R?s??s2?Kts??221Knn?K122??1Kts?K1s?2??ns??n?2??n?K1Kt由σ%≤20%,则exp?????????1??2??20%,求得ξ≥… ?由ts?4???1.8,求得?n≤。
。。,从而得K1、Kt。 n② 由传递函数:G0?s??K?1ss?K得,
1Kt?K1p?lims?0G0?s???,Kv?lims?0s?G0?s??,K2Ka?lims?G0?s?ts?0?0当r?t??1?t??t时,e1ss?1?K?1?0?Kt?Kt pKv
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频率法
一、基本概念:
G(s)
G?s?s?j??G?j??,输入是正弦信号,稳态输出。如:r?t??R1sin?1t,
则y?t???G?j?1?G?j?1???R1sin??t?? 1??1?G?j?1?1?G?j?1???二、① 惯性环节
KK,G?j???,
22Ts?11?T?jw u +∞ 0+ ?G?j????tan?T??,0???90?
?1②
K1K,G?j???, 22s?Ts?1??1?T?+∞ ?G?j????90??tan?1?T??,
0???, 则:?:????:?90???180?,A???:??0
注意:?1??2??3
因为?1?????2?????3?????G?j????90??tan?1?T?? ③
0+ K,(如图3)则
?T1s?1??T2s?1?K1??T1???1??T2??22+∞ 0+ A???????????tan?1T1??tan?1T2? ④
K,(如图4)
s?T1s?1??T2s?1?K+∞ A??????????1??T1???1??T2??22??90??tan?1T1??tan?1T2?求w1。因0+
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???1???180?,故
?90??tan?1T1??tan?1T2???180??tan?1T1??tan?1T2??90?
两边取正切:
T1??T2?1?TT?????1 1??2?T1T2⑤
K??s?1?s?T,其中T1???T2,(如图5)
1s?1??T2s?1?+∞ 0+
⑥ 增益裕量:Kg?1A??1?,相位裕量:??180?????c?,如图6
注意:用G?j?c??1求K;用tan?1G?j?1??180?求w1。 例1:
K??s?1?s?T?1??T?,T1>T2,K=10,作出波德图 1s2s?1
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例2:[2002年题1]
求:(1)写出开环传递函数G0?s? (2)计算系统的相位裕量和增益裕量
(3)做出G0?s?的Nyquist曲线,并分析闭环系统的稳定性 解:① G0?s??K?2s?1? s2?0.1s?1?可见图中?c?2,因为幅频特性曲线在w1=0.5和w2=10时发生转折,显然w=2时,曲线只在w1=0.5发生转折,而未到w2=10。故w2=10不发生作用,所以
K??2?2?2s?1?1?K?1??,故 Gs??22s2?0.1s?1?② 相位裕量:??180?????c??tan?14?tan?12?...... 因为tan?1G0?j?1??180?,则
tan?12?1?tan?10.1?1?2?1?0.1?1??1?0?Kg?? ③:则Z=0,N=0,P=0。符合Z=P+N,故稳定
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三、Nyquist判据 例3:G0?s??K??s?1?,??T 2s?Ts?1?
Z为闭环右半平面根数,P为开环G0?s?右半平面根数,N为G0?s?包围-1圈数,顺时针为正,逆时针为负。当符合Z=P+N是系统稳定。其中Z=0
解:奈氏曲线如下图。N=2,P=0,Z=N+P=2≠0,故不稳定。
例4:G0?s??
K,如图:N=2,P=0,Z=N+P=2≠0,故不稳定。 2s?Ts?1?例5:1?G0?s??s4?2s3?5s2?6s?10?0,判断系统是否稳定。 分析:判断稳定性,用劳斯判据: ① 相邻系数必须为正,不能缺项 如:
1?G0?s??Ts3?s2?K?0。显然缺s项,故不稳定。
② 劳斯阵列第一列全为正,则系统稳定。如果有一个负数,则变号2次,即系统有2个有根,不稳定。 ③ 系统如果与虚轴有交点,则劳斯阵有一行全为0,此行的上一行为辅助多项式,由辅助多项式可求出与虚轴的交点坐标。如
s3?3s2?2s?6?0,劳斯阵为:
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s3:120s2:360s1:000,则由于一行全为零。则系统与虚轴相交。辅助多项式为:
s0:63s2?6?0?s1,2??2j,则与虚轴的交点为?2j。 解:劳斯阵:
s41510s3?12511060s226?202?2?10,可见系统不稳定,有两个右根。
?26220s1210?s02??4202?010例6:1?G?s??s4?2s3?5s2?10s?20?0, 解:劳斯阵:
s41520s32100s20???20?210,因为此处0不能往下计算,换成ε。
s1?2040s0??10?20?当??0且?〉0时,,10?40??0,故系统不稳定。
例7:〈2002年备考题〉单位反馈系统,开环传递函数G100000?s??s2?s?100?,要求:① 画出对数幅频特性,求?c,判断系统稳定性。
② 加入矫正装置,使?c扩大一倍,求矫正后系统传递函数和相位裕量。 解:① 开环传递函数应由所给的零极点形式化成时间常数形式:
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G1000?s??s2?0.01s?1?,由作图可得?c?10,由劳斯判据可知,
0.001s3?s2?100?0,缺项,则系统不稳定。
也可由?G?j?c???180??tan?10.01?101??190?, ??180???G?j?c???10?,判定系统不稳定。
也可由零极点判断〈画图〉,不稳定。 ② 加入矫正装置是
1?s?1,即G?100?s?1?1?0?s??2 1s?0.01s?1??G?0?s?120?1?c?20??180??tan???tan0.01?20??160?
1(w1可由图中按比例读出),则???180???G????j??c????20?。
例8:〈2001年备考题〉
求:① 系统阻尼比ξ=0.5时, Kh??
1?K4hss?s?1?②Kh=0时,求σ%,tp、ts(???2%)
2解:①Y?s?4?1?Kh??nR?s??s2?s?4?1?K?2,则
h?s?2??ns??2n???n?4?4Kh?11?3 ????Kh???24?4Kh24②KY?s??s??4??n?2h=0时,
Rs2?s?4,则?, ???0.25于是t4s????8s,tp=…σ%=…
n例9〈设计型题,较易,主要考概念〉
? 规格严格,功夫到家Gcs?10 s2?Ts?1? 13
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求:G1c?s?,①使r?t??t时,ess?0;②使r?t??2t2时,ess?0.01 解:① Gc?s???s?1,??T,〈利用基本概念,不用计算〉
② GK??s?1??10c?s??K??s?1?,???T?,则Ka?lims?0s2?s2?Ts?1??10K 故:ess?1K?1K?0.01?K?10。 a10根轨迹法
一、定义:
mK*zi?〈①〉1?Gi?10??s?s??1???n?0。
?s?pi?j?1
m
K
*
z
i
其中K*为根轨迹增益。开环放大倍数K?
?i?1
?n
p
j
j?1
闭环特征方程的根随参数K*而变化的轨迹,称为根轨迹。
?幅值条件:G0?s??1其符合两个条件:??相角条件:?G0?s???2k?1??,最小相位系统
??或?G0?s??2k?,非最小相位系统〈②〉几条规则:①实轴上的根轨迹
〈最小相位系统〉右边有奇数个零极点时,有根轨迹 〈非最小相位系统〉右边有偶数个零极点时,有根轨迹 ②根轨迹条数=Max(n,m), 起点为开环极点(Kg?0),终点为开环零点(Kg??) ③渐进线条数:(n-m)条,与实轴交点坐标:?1??极点??零点n?m与实轴夹角:??2k?1??1??n?m。
④分离点与会合点:使dK*ds?0,并使K*>0的点
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⑤复数极点出射角:
?p1?180???零点至极点的向量辐角??其他极点至该极点的向量辐角
对非最小相位系统
??p1??零点至极点的向量辐角??其他极点至该极点的向量辐角
复数零点的入射角:
?z1?180???其他零点至该零点的向量辐角??极点至该零点的向量辐角
对非最小相位系统
??z1???其他零点至该零点的向量辐角??极点至该零点的向量辐角
⑥与虚轴交点:
(a)用劳斯判据确定,用辅助方程求得
(b)s?j?代入闭环特征方程,由实部=0,虚部=0求得 例1:GK0?s??s?s?1??s?2?
解:渐进线(3条):????1????2?0??1,????2k?1??3?3??3,?
由1?Ks?s?1??s?2??0,则K??s?s?1??s?2?,
dK*d?s3???3s2?2s?dsds???3s2?6s?2??0,得 ?s*?1??0.423,K1?0.385s?0.385 ?*2??1.577,K2?与虚轴的交点:方法一
s3?3s2?2s?K?0,劳斯阵:
s3120s23Ks12?K
3s0K要与虚轴有交点,则有一行全零,即2?K3?0?K?6
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辅助方程:3s2?6?0?s1,2??2j 方法二
将s?j?代入特征方程:?j??3?3?j??2?2?j???K?0
实部:K?3?2?0虚部:2??3?3?0?K?6,??2,
则与虚部的交点s1,2??2j,K?6 根轨迹如下图
例2:G?s?2?0?s??Ks2?2s?3 解:渐进线一条。出射角?p1?180??tan?12?tan?1220?140? 分离点与会合点:K*??s2?2s?3s?2,
*故:
dK?s?2??2s?2???s2?2s?3?ds???s?2?2?0,则s2?4s?1?0??s1??0.265?s2??3.752,K,可见根轨迹是圆弧。 2?5.464
证明:取圆弧上一点s???j?。 ?G?s?????2?j???????j??2?2???j???3??tan?1??2??2??(应用辐角条件) ??2?tan1?2??2?2??3?180?
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得16
,哈尔滨工业大学
两边取正切: ???2?2??2??12?2??2??2?2??3???2??2??2?2??3???2???2???2
可见是圆。 例3: K1解:结构图化简,有: s?s?K 1Kh?闭环特征方程为1?K1s2?K?0?s2?K1Khs?K1?0 1Khs?K1Khss2?K?1?0,?K*?K1Kh?,由此画Kh根轨迹图。 1也可以由?1?K1?1?Khs?s2?0,画K1根轨迹。
例4:G?s??K*?s?1?0s?s???,??0 解:K*??s2?s???,dK*??s?2s2??3???s?2??s?1ds?s?1?2?0, 则:s???3?????3???2?16?4或s?0
① α=1,α=9时,有一个分离点
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②?3???2?16??0,解得??9或??1
当α<1时,显然不稳定。 当α>9时,如取α=10,则?10???1?1??3?1??4.5, s??13?132?1601,24??104,?4,根轨迹如上图。
离散系统分析方法
一、采样定理
镜像作用,采样频率?s?2?max 二、①
开环脉冲传递函数
1 ? es规格严格,功夫到家?TsKs?s?1? 18
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?1?e?TsK?1??11?1G0?z??????K1?z??????s2ss?1?s?s?1?????s
???Tzzz?K1?z?1???2z?1z?e?T??z?1????K?0.368z?0.264?T?1??z?1??z?0.368??
闭环?ry?G0?z?Y?z?,特征方程 ?R?z?1?G0?z?1?G0?z??0即z2??0.368K?1.368?z??0.264K?0.368??0。
??1,将其代入特征方程中,再用劳斯判据。??1如果K给定,则直接解特征方程,若|z|<1则稳定,若|z|>1则不稳定。 ②判断稳定性:用双线性变换z?③G0?z????G?s??,对参考输入有:
Kp?limG0?z?,当r?t??a?1?t?时,ess?z?1a1?Kpb?TKvKv?lim1?z?1G0?z?,当r?t??b?t时,ess?z?1??Ka?lim1?zz?1??12?12c?T2G0?z?,当r?t??ct时,ess?
2KaE?z?有干扰时,??en?z?,essn?lim?z?1?E?z?z?1N?z??此时必须且唯有用终值定理?④求Y?z???ry?z??R?z?,y*?t????1?Y?z?????1?ry?z?R?z?时,可以用两种方法: a)部分分式法;b)长除方法
??G(s)
⑤z变换公式:
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x?t??1?t?x?t??e?atx?t??tx?t??12t2X?s??X?s??1s?a1X?s??2s1X?s??3s1s1z?1zX?z??z?e?at TzX?z???z?1?2T2z?z?1?X?z??3z?z?1?X?z??
?1?e?Ts?K如:G0?s??????
?s?2??s?3???s?1??1213??1?1?z?1K??????1?zK?...... ?s?2s?3??s????非线性系统分析方法
G(s)
注:1为sinwt;2为基波和高次谐波经过G(s)后剩下的基波。 一、分析方法: ?相平面法——只适用于二阶系统不考?率法的推广考 ?描述函数法——可适用于高阶,是频?李雅谱诺夫方法?二、描述函数法:
①闭环特征方程:1?N?X??G?s??0,则G?s???1 N?X?判断G?jw?是否包围?1,包围则系统不稳定,不包围则稳定。 N?X?如同1?G0?s??0,G?jw???1,判断是否包围-1,包围则不稳定,不包围则稳定。 ②负倒特性:
规格严格,功夫到家
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