410自动控制原理辅导班笔记

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哈工大自动控制原理辅导班笔记

一、 自动控制理论的分析方法： （1）时域分析法； （2）频率法； （3）根轨迹法； （4）状态空间方法； （5）离散系统分析方法； （6）非线性分析方法 二、系统的数学模型

(1)解析表达：微分方程；差分方程；传递函数；脉冲传递函数；频率特性；脉冲响应函数；阶跃响应函数

(2)图形表达：动态方框图（结构图）；信号流图；零极点分布；频率响应曲线；单位阶跃响应曲线

时域响应分析

一、对系统的三点要求：

(1)必须稳定，且有相位裕量γ和增益裕量Kg (2)动态品质指标好。tp、ts、tr、σ% (3)稳态误差小，精度高

二、结构图简化——梅逊公式 例1、

解：方法一：利用结构图分析：

E?s??R?s???X1?s??Y?s????R?s??Y?s???X1?s?

方法二：利用梅逊公式 G(s)?NM?P?Kk?1nK?Q

其中特征式 ??1??Li?i?1j,k?1?LLjk?d,e,f?1?LdLeLf?......

式中： ?Li 为所有单独回路增益之和

?LLidj 为所有两个互不接触的单独回路增益乘积之和

f?LLLe 为所有三个互不接触的单独回路增益乘积之和

其中，Pk 为第K条前向通路之总增益；

?k 为从Δ中剔除与第K条前向通路有接触的项；

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n 为从输入节点到输出节点的前向通路数目 对应此例，则有：

通路：P1?G1?G2 ，?1?1

特征式：??1?(?G1G2?G1G3)?1?G1G2?G1G3 则：

Y(s)P1?1R(s)?1?G 1G2?G1G3例2：[2002年备考题]

G5G1G2 G3G4 G2H1H2解：方法一：结构图化简

G5G6G1G2?G4 G31?G 3G2H1H2

继续化简：

1?G3G2H?1G1G2?G4?G3GG3?G1G2?G4?5G61?G 3G2H1H2

于是有：

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?1?G3G2H1?G??6?GG?G?G1243?? ??G5?

?G1G2?G4?G31?G3G2H1??G1G2?G4?G3H2

结果为

G(s) 其中G(s)=…

方法二：用梅逊公式

??1???G3G2H1?G1G2G3H2?G4G3H2??0

1?G5G6G1G2G3,?1?1 通路：PP2?G5,?2?1?G3G2H1 P3?G5G6G4G3,?3?1

Y?s?P1?1?P2?2?P3?3??......??Rs?于是：

三、稳态误差

G1H G2

E?s?1； ?R(s)1?G1G2H（1）参考输入引起的误差传递函数：

扰动引起的误差传递函数：

G2HE?s? ??N?s?1?G1G2H（2）求参考输入引起的稳态误差essr时。可以用 Kp、Kv、Ka叠加，也可以用终值定理：lims?Er?s?

s?0（3）求扰动引起的稳态误差 essn 时，必须用终值定理：lims?EN?s?

s?0（4）对阶跃输入：Kp?limG0?s? ，

s?0

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如r?t??a?1?t?，则R?s??as，eassr?1?K p（5）对斜坡输入：Kv?lims?0s?G0?s?， 如r?t??b?t，则R?s??bs2，ebssr?K v（6）对抛物线输入：Kp?lims?0s2?G0?s?， 如r?t??1c2c?t2，则R?s??cs3，essr?K a例3：求：

Y?s?R?s?，令N?s??0，求Y?s?N?s?，令R?s??0 解：结构图化简：

H3G1 G21?GG2H23 H1G 3继续化简，有：

G2G31?G 2H2?G2G3H3H1?G3G 3当N?s??0时，求得

Y?s?R?s?=。。。；当R?s??0时，有 求得

Y?s?N?s?=…

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例4： 令N?s??0，求

Y?s?Y?s?，令R?s??0，求

R?s?N?s?

为了完全抵消干扰对输出的影响，则Gx?S??? 解：求

Y?s?，用用梅逊公式：

R?s?P,?1?1?KG1G2 P2?G1Gx,?2?1 1?1??1???KG1G2?KG1??1?KG1G2?KG1 则：

Y?s?1?KG1G2?G1GxY?s?，同理求得=… ?R?s?R?s?1?KG1G2?KG1若完全抵消干扰对输出的影响，则干扰引起的输出应该为零。 即

1?KG1G2Y?s?Y?s?1?KG1G2?G1Gx=0,故=0，所以Gx?? ?N?s?G1R?s?1?KG1G2?KG1s?1K??Gs?，，r(t)和n(t)分别是参考输入和扰动2n2n1s?s?2?s?s?4?E?s?E?s? 和Gne?s??；

N?s?R?s?例5：[2002年题4] 其中 G1?s??输入。

(1)求误差传递函数Gre?s??(2)是否存在n1≥0和n2≥0,使得误差为零？

(3)设r(t)和n(t)皆为阶跃输入，若误差为零，求此时的n1和n2 解：

G2 G2E?s?E?s?1?， Gne?s??，[N(s)为负] ?R?s?1?G1G2N?s?1?G1G2①Gre?s??

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② r(t)=t,要求essr=0.则系统应为Ⅱ型系统,那么n1+n2=2.

③ r(t)=1(t),n(t)= 1(t),要求ess=0,则n1+n2=1 因为如

E?s?K?s?4?N?s??s?s?4??s?2??K?s?1?,则 eE?s?E?s?ssn?lims?0s?E?s??lims?0s?N?s??N?s??lims?0s?N?s??1s?4

而事实上：

E?s?Ks?s?N?s??4?s?s?4??s?2??K?s?1?

eE?s?ssn?lims?0s?E?s??lims?0s?N?s??N?s??limE?s?1s?0s?N?s??s?0

可见积分环节在G1?s?部分中，而不在G2?s?中。 故n1=1，n2=0。就可以实现要求

例6：如图，当r?t??sin?t?15???2cos?3t?20??时，求稳态输出解：应用频率法：

??j???5j??7，则

5s?2 ??j1??5?550??tan?11,??j3??5533?7?58??tan?1j?77j7 y?t?|t???550sin???t?15??tan?11?7???1058cos???3t?20??tan?13?7??

四、动态指标

(1)二阶系统传递函数的标准形：

Y?s??2nR?s??s2?2??2 n??n(2)cos???，θ越大，ξ越小

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(3)t???3~4r??，tp??n1??2?n1??2，ts???（Δ=5%或2%）

n例7：如图，要求tp?0.1s,?%?30%，试确定参数K，T。 K

s?Ts?1?解：Y?s?R?s??KK/T?2nTs2?s?K?s2?s/T?K/T?s2?2??， ns??2n则?2KT， 2??1?n?n?T。由tp???2?0.1，

n1??%?exp??????????0.3，可得ξ=？，T=？ ?1??2?例8：

求：① 选择K1，Kt，使得σ%≤20%，ts=1.8秒(???2%) ② 求Kp、Kv、Ka，并求出r?t??1?t??t时的稳态误差 K1 1s2解：① Y?s?K??R?s??s2?Kts??221Knn?K122??1Kts?K1s?2??ns??n?2??n?K1Kt由σ%≤20%，则exp?????????1??2??20%，求得ξ≥… ?由ts?4???1.8，求得?n≤。

。。，从而得K1、Kt。 n② 由传递函数：G0?s??K?1ss?K得，

1Kt?K1p?lims?0G0?s???，Kv?lims?0s?G0?s??，K2Ka?lims?G0?s?ts?0?0当r?t??1?t??t时，e1ss?1?K?1?0?Kt?Kt pKv

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频率法

一、基本概念：

G(s)

G?s?s?j??G?j??，输入是正弦信号，稳态输出。如：r?t??R1sin?1t，

则y?t???G?j?1?G?j?1???R1sin??t?? 1??1?G?j?1?1?G?j?1???二、① 惯性环节

KK，G?j???，

22Ts?11?T?jw u +∞ 0+ ?G?j????tan?T??，0???90?

?1②

K1K，G?j???， 22s?Ts?1??1?T?+∞ ?G?j????90??tan?1?T??，

0???， 则：?：????：?90???180?，A???：??0

注意：?1??2??3

因为?1?????2?????3?????G?j????90??tan?1?T?? ③

0+ K，（如图3）则

?T1s?1??T2s?1?K1??T1???1??T2??22+∞ 0+ A???????????tan?1T1??tan?1T2? ④

K，（如图4）

s?T1s?1??T2s?1?K+∞ A??????????1??T1???1??T2??22??90??tan?1T1??tan?1T2?求w1。因0+

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???1???180?，故

?90??tan?1T1??tan?1T2???180??tan?1T1??tan?1T2??90?

两边取正切：

T1??T2?1?TT?????1 1??2?T1T2⑤

K??s?1?s?T，其中T1???T2，（如图5）

1s?1??T2s?1?+∞ 0+

⑥ 增益裕量：Kg?1A??1?，相位裕量：??180?????c?，如图6

注意：用G?j?c??1求K；用tan?1G?j?1??180?求w1。 例1：

K??s?1?s?T?1??T?，T1>T2，K=10，作出波德图 1s2s?1

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例2：[2002年题1]

求：(1)写出开环传递函数G0?s? (2)计算系统的相位裕量和增益裕量

(3)做出G0?s?的Nyquist曲线，并分析闭环系统的稳定性 解：① G0?s??K?2s?1? s2?0.1s?1?可见图中?c?2，因为幅频特性曲线在w1=0.5和w2=10时发生转折，显然w=2时，曲线只在w1=0.5发生转折，而未到w2=10。故w2=10不发生作用，所以

K??2?2?2s?1?1?K?1??，故 Gs??22s2?0.1s?1?② 相位裕量：??180?????c??tan?14?tan?12?...... 因为tan?1G0?j?1??180?，则

tan?12?1?tan?10.1?1?2?1?0.1?1??1?0?Kg?? ③：则Z=0，N=0，P=0。符合Z=P+N，故稳定

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三、Nyquist判据 例3：G0?s??K??s?1?,??T 2s?Ts?1?

Z为闭环右半平面根数，P为开环G0?s?右半平面根数，N为G0?s?包围-1圈数，顺时针为正，逆时针为负。当符合Z=P+N是系统稳定。其中Z=0

解：奈氏曲线如下图。N=2，P=0，Z=N+P=2≠0，故不稳定。

例4：G0?s??

K，如图：N=2，P=0，Z=N+P=2≠0，故不稳定。 2s?Ts?1?例5：1?G0?s??s4?2s3?5s2?6s?10?0，判断系统是否稳定。 分析：判断稳定性，用劳斯判据： ① 相邻系数必须为正，不能缺项 如：

1?G0?s??Ts3?s2?K?0。显然缺s项，故不稳定。

② 劳斯阵列第一列全为正，则系统稳定。如果有一个负数，则变号２次，即系统有２个有根，不稳定。 ③ 系统如果与虚轴有交点，则劳斯阵有一行全为０，此行的上一行为辅助多项式，由辅助多项式可求出与虚轴的交点坐标。如

s3?3s2?2s?6?0，劳斯阵为：

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s3:120s2:360s1:000，则由于一行全为零。则系统与虚轴相交。辅助多项式为：

s0:63s2?6?0?s1,2??2j，则与虚轴的交点为?2j。 解：劳斯阵：

s41510s3?12511060s226?202?2?10，可见系统不稳定，有两个右根。

?26220s1210?s02??4202?010例６：1?G?s??s4?2s3?5s2?10s?20?0， 解：劳斯阵：

s41520s32100s20???20?210，因为此处０不能往下计算，换成ε。

s1?2040s0??10?20?当??0且?〉0时，，10?40??0，故系统不稳定。

例７：〈2002年备考题〉单位反馈系统，开环传递函数G100000?s??s2?s?100?，要求：① 画出对数幅频特性，求?c，判断系统稳定性。

② 加入矫正装置，使?c扩大一倍，求矫正后系统传递函数和相位裕量。 解：① 开环传递函数应由所给的零极点形式化成时间常数形式：

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G1000?s??s2?0.01s?1?，由作图可得?c?10，由劳斯判据可知，

0.001s3?s2?100?0，缺项，则系统不稳定。

也可由?G?j?c???180??tan?10.01?101??190?， ??180???G?j?c???10?，判定系统不稳定。

也可由零极点判断〈画图〉，不稳定。 ② 加入矫正装置是

1?s?1，即G?100?s?1?1?0?s??2 1s?0.01s?1??G?0?s?120?1?c?20??180??tan???tan0.01?20??160?

1（w1可由图中按比例读出），则???180???G????j??c????20?。

例8：〈2001年备考题〉

求：① 系统阻尼比ξ=0.5时, Kh??

1?K4hss?s?1?②Kh=0时，求σ%，tp、ts（???2%）

2解：①Y?s?4?1?Kh??nR?s??s2?s?4?1?K?2，则

h?s?2??ns??2n???n?4?4Kh?11?3 ????Kh???24?4Kh24②KY?s??s??4??n?2h=0时，

Rs2?s?4，则?， ???0.25于是t4s????8s，tp=…σ%=…

n例9〈设计型题，较易，主要考概念〉

? 规格严格，功夫到家Gcs?10 s2?Ts?1? 13

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求：G1c?s?，①使r?t??t时，ess?0；②使r?t??2t2时，ess?0.01 解：① Gc?s???s?1,??T，〈利用基本概念，不用计算〉

② GK??s?1??10c?s??K??s?1?,???T?，则Ka?lims?0s2?s2?Ts?1??10K 故：ess?1K?1K?0.01?K?10。 a10根轨迹法

一、定义：

mK*zi?〈①〉1?Gi?10??s?s??1???n?0。

?s?pi?j?1

m

K

*

z

i

其中K*为根轨迹增益。开环放大倍数K?

?i?1

?n

p

j

j?1

闭环特征方程的根随参数K*而变化的轨迹，称为根轨迹。

?幅值条件：G0?s??1其符合两个条件：??相角条件：?G0?s???2k?1??,最小相位系统

??或?G0?s??2k?,非最小相位系统〈②〉几条规则：①实轴上的根轨迹

〈最小相位系统〉右边有奇数个零极点时，有根轨迹 〈非最小相位系统〉右边有偶数个零极点时，有根轨迹 ②根轨迹条数=Max（n,m）， 起点为开环极点（Kg?0），终点为开环零点（Kg??） ③渐进线条数：（n-m）条，与实轴交点坐标：?1??极点??零点n?m与实轴夹角：??2k?1??1??n?m。

④分离点与会合点：使dK*ds?0，并使K*>0的点

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⑤复数极点出射角：

?p1?180???零点至极点的向量辐角??其他极点至该极点的向量辐角

对非最小相位系统

??p1??零点至极点的向量辐角??其他极点至该极点的向量辐角

复数零点的入射角：

?z1?180???其他零点至该零点的向量辐角??极点至该零点的向量辐角

对非最小相位系统

??z1???其他零点至该零点的向量辐角??极点至该零点的向量辐角

⑥与虚轴交点：

（a）用劳斯判据确定，用辅助方程求得

（b）s?j?代入闭环特征方程，由实部=0，虚部=0求得 例1：GK0?s??s?s?1??s?2?

解：渐进线（3条）：????1????2?0??1，????2k?1??3?3??3,?

由1?Ks?s?1??s?2??0，则K??s?s?1??s?2?，

dK*d?s3???3s2?2s?dsds???3s2?6s?2??0，得 ?s*?1??0.423,K1?0.385s?0.385 ?*2??1.577,K2?与虚轴的交点：方法一

s3?3s2?2s?K?0，劳斯阵：

s3120s23Ks12?K

3s0K要与虚轴有交点，则有一行全零，即2?K3?0?K?6

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辅助方程：3s2?6?0?s1,2??2j 方法二

将s?j?代入特征方程：?j??3?3?j??2?2?j???K?0

实部：K?3?2?0虚部：2??3?3?0?K?6,??2，

则与虚部的交点s1,2??2j,K?6 根轨迹如下图

例2：G?s?2?0?s??Ks2?2s?3 解：渐进线一条。出射角?p1?180??tan?12?tan?1220?140? 分离点与会合点：K*??s2?2s?3s?2，

*故：

dK?s?2??2s?2???s2?2s?3?ds???s?2?2?0，则s2?4s?1?0??s1??0.265?s2??3.752,K，可见根轨迹是圆弧。 2?5.464

证明：取圆弧上一点s???j?。 ?G?s?????2?j???????j??2?2???j???3??tan?1??2??2??（应用辐角条件） ??2?tan1?2??2?2??3?180?

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得16

，哈尔滨工业大学

两边取正切： ???2?2??2??12?2??2??2?2??3???2??2??2?2??3???2???2???2

可见是圆。 例3： K1解：结构图化简,有: s?s?K 1Kh?闭环特征方程为1?K1s2?K?0?s2?K1Khs?K1?0 1Khs?K1Khss2?K?1?0,?K*?K1Kh?,由此画Kh根轨迹图。 1也可以由?1?K1?1?Khs?s2?0，画K1根轨迹。

例4：G?s??K*?s?1?0s?s???,??0 解：K*??s2?s???，dK*??s?2s2??3???s?2??s?1ds?s?1?2?0， 则：s???3?????3???2?16?4或s?0

① α=1，α=9时，有一个分离点

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②?3???2?16??0,解得??9或??1

当α<1时，显然不稳定。 当α>9时，如取α=10，则?10???1?1??3?1??4.5， s??13?132?1601,24??104,?4，根轨迹如上图。

离散系统分析方法

一、采样定理

镜像作用,采样频率?s?2?max 二、①

开环脉冲传递函数

1 ? es规格严格，功夫到家?TsKs?s?1? 18

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?1?e?TsK?1??11?1G0?z??????K1?z??????s2ss?1?s?s?1?????s

???Tzzz?K1?z?1???2z?1z?e?T??z?1????K?0.368z?0.264?T?1??z?1??z?0.368??

闭环?ry?G0?z?Y?z?，特征方程 ?R?z?1?G0?z?1?G0?z??0即z2??0.368K?1.368?z??0.264K?0.368??0。

??1，将其代入特征方程中，再用劳斯判据。??1如果K给定，则直接解特征方程，若|z|<1则稳定，若|z|>1则不稳定。 ②判断稳定性：用双线性变换z?③G0?z????G?s??，对参考输入有：

Kp?limG0?z?,当r?t??a?1?t?时，ess?z?1a1?Kpb?TKvKv?lim1?z?1G0?z?,当r?t??b?t时，ess?z?1??Ka?lim1?zz?1??12?12c?T2G0?z?,当r?t??ct时，ess?

2KaE?z?有干扰时，??en?z?,essn?lim?z?1?E?z?z?1N?z??此时必须且唯有用终值定理?④求Y?z???ry?z??R?z?,y*?t????1?Y?z?????1?ry?z?R?z?时，可以用两种方法： a）部分分式法；b）长除方法

??G(s)

⑤z变换公式：

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x?t??1?t?x?t??e?atx?t??tx?t??12t2X?s??X?s??1s?a1X?s??2s1X?s??3s1s1z?1zX?z??z?e?at TzX?z???z?1?2T2z?z?1?X?z??3z?z?1?X?z??

?1?e?Ts?K如：G0?s??????

?s?2??s?3???s?1??1213??1?1?z?1K??????1?zK?...... ?s?2s?3??s????非线性系统分析方法

G(s)

注：1为sinwt；2为基波和高次谐波经过G（s）后剩下的基波。 一、分析方法： ?相平面法——只适用于二阶系统不考?率法的推广考 ?描述函数法——可适用于高阶，是频?李雅谱诺夫方法?二、描述函数法：

①闭环特征方程：1?N?X??G?s??0，则G?s???1 N?X?判断G?jw?是否包围?1，包围则系统不稳定，不包围则稳定。 N?X?如同1?G0?s??0,G?jw???1，判断是否包围-1，包围则不稳定，不包围则稳定。 ②负倒特性：

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本文来源：https://www.bwwdw.com/article/9g4t.html