2016届高三七校联考文科数学试题

七校联合体2016届高三第一次联考试卷

文科数学

命题人 宝安中学陶金娥 审题人 中山一中艾龙彪

本试卷共4页,21小题,满分150分.考试时间120分钟. 注意事项:

1．答卷前,考生务必填写答题卷上的有关项目．

2．选择题每小题选出答案后,用2B铅笔把答案涂在答题卷相应的位置上．

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内；如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液,不按以上要求作答的答案无效．

4．请考生保持答题卷的整洁.考试结束后,将答题卷交回.

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．复数?3i-1?i的共轭复数是（ ） ．．．．

A．3?i

B．3?i

C．?3?i

?3?i D．

22．已知集合A?{x|x?x?2?0},B?{x|y?ln(1?x)},则A?B?（ ）

A．?1,2? B．?1,2? C．??1,1? D．??1,1? 3. 已知向量a＝，b＝(3,m)，若向量a，b的夹角为（，13）?，则实数m＝( ) 6A．23 B. 0 C． 3 D．?3 x4．已知函数f(x)是奇函数，且当x?0时，f(x)?e，则f(?1)?（ ）

A．

11 B．? C．e D．?e ee5.如图是某几何体的三视图，其中正视图为正方形，俯视图

是腰长为2的等腰直角三角形， 则该几何体的体积是（ ）.

88442 C. D. 2 A． B. 3333

6.等比数列{an}中，a1a4?10，则数列{lgan}的前4项和等于（ ） A.4 B.3 C.2 D.1

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7．已知?ABC中，AB?2,AC?3，且?ABC的面积为

?????3，则?BAC?（ ） 2?A．150 B．120 C．60或120 D．30或150 8. 如图，大正方形的面积是 34，四个全等直角三角形围成一个小正方形，直角三角形的最短边长为 3，向大正方形内抛撒一枚幸运小花朵，则小花朵落在小正方形内的概率为( ) 1234A． B． C． D． 17171717

x2y29. 已知双曲线2?2?1的一个焦点与抛物线y2?410x的焦点重合，且双曲线的离心

ab率等于10，则双曲线的方程为( ) 3y2x2y2x222?1 B．x?y?15 C．??1 D．?y2?1 A．x?9999210．函数y?x2?4x?8?x2?4x?5的最大值是（ ）

A．1 B．3 C．

1 D．22?5 3开始 S=0, n=1 n≤6 是 S = S－n n = n + 2 否 （二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题.）

11．函数y?(2x?1)3的图象在(0,?1)处的切线的斜率是__________.

12. 右图是一个算法的流程图，则最后输出的________ 13. 由直线y?x?1上的一点向圆(x?3)?y?1引切线，则切线长的最小值为__________

14. （坐标系与参数方程选做题）设曲线C的参数方程为

22输出S 结束 ?x?a?4cos?(?是参数，a?0)，直线l的极坐标方??y?1?4sin?程为3?cos??4?sin??5，若曲线C与直线l只有一个

公共点，则实数a的值是 _____ ．

15. （几何证明选讲选做题）如图，⊙O上一点C在直径AB上的射影为D，且CD?4，BD?8，则⊙O的半径等于 _______ ．

C A O D ·B 七校联合体2016届高三第一次联考文科数学试卷，共9页，第2页

三、解答题（本大题共 6小题，满分 80 分．解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16．（本题满分12分）设函数f(x)?2cosx(sinx?cosx)。 （1）求f(x)的最小正周期； （2）求f(x)的单调递减区间。

17.（本题满分12分）某数学老师对本校2014届高三学生的高考数学成绩按1:200进行分层抽样抽取了20名学生的成绩，并用茎叶图记录分数如图所示，但部分数据不小心丢失，同时得到如下所示的频率分布表： 分数段（分） [50,70) 频数 频率 [70,90) 0.25 [90,110) [110,130) [130,150) 总计 b a （1）求表中a，b的值及分数在[90,100)范围内的学生人数，并估计这次考试全校学生数学成绩的及格率（分数在[90,150）内为及格）： (2)从成绩大于等于110分的学生中随机选两人，求这两人成绩的平均分不小于130分的概率.

18.（本小题满分14分）如图，四棱锥P-ABCD的底面为平行四边形，PD⊥平面ABCD，M为PC中点． (1)求证：AP∥平面MBD；

（2)若AD⊥PB，求证：BD⊥平面PAD；

19.（本小题满分14分）已知点M(4,0)、N(1,0)，若

?????????????动点P满足MN?MP?6|NP|．

（1）求动点P的轨迹C；

（2）在曲线C上是否存在点Q，使得?MNQ的面积S?MNQ?标，若不存在，说明理由．

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3？若存在，求点Q的坐220.（本小题满分14分）已知数列?an?的相邻两项an,an?1是关于x的方程

1n???的两根，且．（1）求证: 数列 a??2?是等比数列；a?1x2?2nx?b?0(n?N)?n1n3??（2）设Sn是数列?an?的前n项和，求Sn

；

?（3）问是否存在常数?，使得bn??Sn?0对任意n?N都成立，若存在，求出?的取值范围; 若不存在，请说明理由．

12

21.（本小题满分14分）已知函数f(x)＝x－2aln x＋(a－2)x，a∈R.

2

(1)当a＝1时，求函数f(x)图象在点(1，f(1))处的切线方程； (2)当a<0时讨论函数f(x)的单调性；

(3)是否存在实数a，对任意的x1,x2∈ (0，＋∞)且x1≠x2有立？若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由．

f(x2)?f(x1)>a恒成

x2?x12016届高三七校联考测试题答案

DCCDA CDBDA

11. 6 12. －9

13. 7 14. 7 15. 5

三、解答题：

16. （本小题满分12分）

?f(x)?2cosx(sinx?cosx)解：(1) ?sin2x?2cosx?sin2x?cos2x?1 ???????????.2分

2?2sin(2x??4)?1 ???????????.6 ∴函数f(x)的最小正周期T?2?????????????.7分 2 七校联合体2016届高三第一次联考文科数学试卷，共9页，第4页

（2）∵函数f(x)?sinx的单调递减区间为?2k??由2k??得k?????2,2k??3??(k?z)。 2???2?2x??4?2k??3?,k?z， 23?7??x?k??(k?z)???????????????.10分 88∴函数f(x)的单调递减区间为?k????3?7??,k??(k?z)??????.12分 ?88?17. （本小题满分12分）

解：（1）由茎叶图可知分数在[50,70)范围内的有2人，在[110,130) 范围内的有3人，

?a?2?0.1,b?3 ????2分 20分数在[70,90)内的人数20×0.25=5，结合茎叶图可得分数在[70,80)内的人数为2，所以分数在[90,100)范围内的学生人数为4，故数学成绩及格的学生为13人，??4分

所以估计这次考试全校学生数学成绩的及格率为13 ×100%=65%. ????6分

20（2）设A表示事件“从成绩大于等于110分的学生中随机选两人，两人成绩的平均分不小于130分”，由茎叶图可知成绩大于等于110分的学生有5人，?8分 记这5人为a,b,c,d,e, 则选取学生的所有可能结果为

（a,b）,(a,c),(a,d),(a,e),(b,C),(b,d),(b,e),(c,d),(c,e),(d,e)基本事件为10，事件A包含的结果有 ????10分

（118,142），（128,136）（128,142）（136,142）共4种，

?P(A)?42

?105所以两人成绩的平均分不小于130分的概率为2 ???12分

518. （本小题满分14分）

解：(1)连接AC交BD于点O,连OM,因为底面ABCD是平行四边形，所以O为AC的中点，又M为PC中点，所以OM//PA????4分

?OM?平面MBD,AP?平面MBD,?AP//平面MBD???.6分

(2)?PD?平面ABCD,AD?平面ABCD,?PD?AD??.8分

?AD?PB,PD?PB?P,PD?平面PBD,PB?平面PBD,

?AD?平面PBD ?BD?平面PBD,?AD?BD ????.10分

?PD?平面ABCD,BD?平面ABCD,?PD?BD ????.12分

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又?BD?AD,AD?PD?D,AD?平面PAD,PD?平面PAD,

?BD?平面PAD ????.14分

19. （本小题满分14分）

解：（1）设动点P(x,y)，又点M(4,0)、N(1,0)，

?????????????∴MP?(x?4,y)，MN?(?3,0)，NP?(x?1,y)． ??? 3分

[来源: http://wx.jtyjy.com/ HTTP://WX.JTYJY.COM/]

?????????????22由MN?MP?6|NP|，得?3(x?4)?6(1?x)?(?y)， ??? 4分

x2y2??1． ∴(x?8x?16)?4(x?2x?1)?4y，故3x?4y?12，即4322222∴轨迹C是焦点为(?1,0)、长轴长2a?4的椭圆； ??? 7分 评分说明：只求出轨迹方程，没有说明曲线类型或交代不规范的扣1分． （2）设曲线C上存在点Q(x0,y0)满足题意，则S?MNQ?∴

3． ??? 9分 213|MN|?|y0|?，又|MN|?3，故|y0|?1． ??? 11分 22x02y02y02182??1，故x0?4(1?)?4(1?)?． ??? 12分 又43333∴x0??826??． ??? 13分 33326,?1)使得?MNQ的面积S?MNQ?．?? 14分

23∴曲线C上存在点Q(?20. (本小题满分14分)

?an?an?1?2n（1）证明：?an,an?1是方程x?2x?bn?0(n?N)两根，???1分

?bn?anan?12n?111an?1??2n?12n?an??2n?1?(an??2n)333?????1??3分 1n1n1nan??2an??2an??2333故数列?an???211n??2?是等比数列，首项a1??,公比为-1的等比数列??4分

333?1n1n1n?2?(?1)?2??(?1)n?1，即an??????5分 333（2）由（1）得an? 七校联合体2016届高三第一次联考文科数学试卷，共9页，第6页

Sn?a1?a2?a3???an?11123n?(2?22?23??2n)??(?1)?(?1)?(?1)???(?1)??6分 ??3

??(?1)n?1?1?2(1?2n)?1[1?(?1)n]?1?n?1=? =?2?2???7分 ???2?3?1?21?(?1)?3?（3）bn?anan?1?1n12n?1nn?1n?1?????2?(?1)?2?(?1)?2?(?2)n?1?????????8分 99要使bn??Sn?0对任意n?N?都成立，

12n?1??n?1(?1)n?1?n2?(?2)?1???2?2??0 (*)对任意n?N?都成立 即????93?2?①当n为正奇数时，由(*)得即

12n?1?(2?2n?1)?(2n?1?1)?0 931n?1?(2?1)(2n?1)?(2n?1?1)?0 93?2n?1?1?0,

1n(2?1)对任意正奇数n都成立。 31n当且仅当n?1时，(2?1)有最小值1，???1 ??11分

312n?1??2n?1)?(2n?1?2)?0 ②当n为正偶数时，由(*)得(29312n?12?n?1)(2n?1)?(2?1)?0 即(2931?2n?1?1?0, ???(2n?1?1)对任意正偶数n都成立。

61n?133当且仅当n?2时，(2?1)有最小值，??? ??13分

226???综上所述，存在常数?，使得使得bn??Sn?0对任意n?N都成立，

??的取值范围是(??,1) ??14分

21. （本小题满分14分）

解 f′(x)＝x－

2ax＋a－2＝

(x?2)(x?a) (x>0)．

x(1)当a＝1时，f′(x)＝

(x?2)(x?1)，f′(1)＝－2，??2分 x∴所求的切线方程为y－f(1)＝－2(x－1)，

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即4x＋2y－3＝0. ?? 4分

(2)①当－a＝2，即a＝－2时，

f′(x)＝

?x－2?2

x≥0，f(x)在(0，＋∞)上单调递增．??5分

②当－a<2，即－22时，f′(x)>0； －a

f(x)在(0，－a)，(2，＋∞)上单调递增，在(－a,2)上单调递减；??7分

③当－a>2，即a<－2时， ∵0－a时，f′(x)>0； 2

f(x)在(0,2)，(－a，＋∞)上单调递增，在(2，－a)上单调递减．??9分

(3)假设存在这样的实数a满足条件，不妨设x1

f(x2)?f(x1)>a知f(x2)－ax2>f(x1)－ax1成立，

x2?x112

令g(x)＝f(x)－ax＝x－2aln x－2x， ????.12分

2则函数g(x)在(0，＋∞)上单调递增， 2a∴g′(x)＝x－－2≥0，

x即2a≤x－2x＝(x－1)－1在(0，＋∞)上恒成立． 1

∴a≤－，故存在这样的实数a满足题意，

21??其范围为?－∞，－?. ????.14分 2??

22

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