高三物理力的合成和分解教案

第3课时 力的合成与分解

基础知识回顾

1．合力与分力

一个力，如果它产生的效果与几个力的共同作用效果相同，则这个力叫做那几个力的合力，那几个力叫这一个力的分力．合力与分力之间是等效替代关系．

2．力的合成与分解

（1）求几个力的合力的过程叫做力的合成，反之，求一个力的分力的过程叫做力的分解．

（2）平行四边形定则：两个力合成时，以表示这两个力的线段为邻边作平行四边形，这两个邻边之间的对角线就代表合力的大小和方向（如图（3）力的合成与分解都遵从平行（4）力的合成唯一，而力的分解3．矢量和标量

既有大小又有方向，相加时遵

图2-3-1

2-3-1所示）． 四边形定则． 一般不是唯一．

从平行四边形定则（或三角形定则）的物理量叫做矢量．只有大小没有方向，求和时按照算术法则相加的物理量叫做标量．

重点难点例析

一．力的合成

1．合成法则：平行四边形定则或三角形定则．

2．同一直线上的力合成，选定一个正方向，与正方向相同的力为正，与正方向相反的力为负．即可将矢量运算转化为代数运算求合力． 3．互成角度的两力F1、F2的合成

①作图法：选定合适的标度，以F1、F2为两邻边作平行四边形，两邻边之间的对角线即为所求．根据标度，用刻度尺量出合力的大小，用量角器量出合力与任意分力的夹角φ．

②计算法：若以F1、F2为邻边作平行四边形后，F1、F2夹角为θ，如图2-3-2所示，利用余弦定理得合力大小

F?F12?F22?2F1F2cos? 合力F方向与分力F1的夹角φ

F1 φ θ 图2-3-2 A D

【讨论】 a．若θ=0°，则F = F1+F2 ；若θ=90°，则F?F12?F22，若θ=180°，则F = |F1-F2|；若θ=120°，且

tan??F1sin?CD ?ODF2?F1cos?O F C

F2 F1=F2，则F = F1=F2．

b．共点的两个力合力的大小范围是 |F1－F2| ≤ F合≤ F1＋F2，当两力夹角θ在0～1800范围内变化时，两分力大小一定时，F合随两力间夹角的增大而减小．

c．合力可能比分力大，也可能比分力小，也可能等于分力． （4）多个共点力的合成方法

依据平行四边形定则先求出任意两个力的合力，再求该合力与第三个力的合力，依次类推，求完为止．也可以先正交分解后合成的方法． 【例1】六个共点力的大小分别为60°，如图2-3-3所示．试确【解析】本题若将六个共点力依琐．然而，仔细研究这六个共点的两个力的合力均为3F，利用在同一直线上的力两两合成，可

5F 4F O 2F F 3F 图2-3-3

6F 3F O

3F 图2-3-4

3F

为F、2F、3F、4F、5F、6F，相邻两力间的夹角均定它们的合力的大小和方向．

次逐步合成，无论是计算法还是作图法，都相当繁力的特点，则不难发现其中的奥秘——同一直线上这一点将可大大简化求解过程．先将六个共点力中得图2-3-4．再根据平行四边形定则，将两侧的两个

3F合成，它们的合力应与中间的3F重合．从而，最终可求得这六个力的合力为6F，方向与大小为5F的那个

力同向．

【点拨】求多个力的合力时，适当选取力的合成顺序，往往能简化求解过程．通常，可将同一直线上的力先行合成，而对称规律的应用（如大小相等、两两相隔120°的三个力的合力为0）也是很有必要的．

（1） （2） （3）

图2-3-6

? 拓展

如图2-3-5所示，有五个力作用于 同一点O，表示这五个力的有向线 段恰分别构成一个正六边形的两条 邻边和三条对角线．已知F1＝10N， 则这五个力的合力大小为 N． 【解析】方法一：利用平行四边形定则求解

将F5与F2、F4与F3合成，作出平行四边形如图2-3-6（1）所示，它们的对角线对应的力的大小均等于F1，这五个力的合力大小为3F1=30N．故这五个力的合力大小为3F1=30N．

方法二：利用三角形法求解

将力F2、F3平移到F5与F1、F4与F1的末端之间，如图2-3-6（2）所示．F3、F4的合力等于F1，F5、F2的合力等于F1，这五个力的合力大小为3F1=30 N．

方法三：利用正交分解法求解

将力F2、F3、F4、F5沿F1方向和垂直F1的方向分解，如图2-3-6（3）所示.根据对称性知Fy=0， 合力F=Fx， F=2F2cos60°+2F4cos30°+F1=30 N． 方法四：利用公式法求解

因F1=10N，由几何关系不难求出，F5=F4=5图2-3-5

3 N、F2=F3=5N，将F5与F4、F2与F3组合求它们的合力，

它们的夹角分别为60°和120°，由于两个相等力的合力可由公式F合=2Fcos?，故它们的合力的大小为5N与15N，

2方向沿F1的方向，所以这五个力的合力为30N． 【答案】30N

二．力的分解

（1）力的分解是力的合成的逆运算，同样遵循平行四边形定则或三角形定则．

（2）两个力的合力唯一确定，一个力的两个分力在无附加条件时，从理论上讲可分解为无数组分力，但在具体问题中，应根据力实际产生的效果来分解． （3）力分解时有解、无解的讨论

①已知合力F的大小与方向，两个分力的方向，则两个分力的大小有唯一确定解．

②已知合力F的大小与方向，一个分力的大小和方向，另一分力的大小与方向有唯一确定解．

③已知合力和一个分力F1的大小与另一个分力F2的方向，求分力F1的方向和分力F2的大小时，其分解方法可能惟一，也可能不惟一．

如图所示，已知F、α（F1与F的夹角）和F2的大小．这时有四种情况，下面采用图示法和三角形知识进行分析．从力F的端点O作出力F1的方向，以F的矢端为圆心，用分力F2的大小为半径作圆．

a．当F 2＜F sinα 时，圆与F1无交点，说明此时无解，如上图a 所示． b．当F 2=F sinα 时，圆与F1相切，说明此时有一解，如上图b所示．

图2-3-7

c．当F sinα＜F 2＜F时，圆与F1有两个交点，说明此时有两解，如上图c所示．

d．当F 2≥F时，圆与F1有一个交点，说明此时有一解，如上图d所示． 【例2】图2-3-8是压榨机的原理示 意图，B为固定铰链，A为活动铰链， 在A处作用一水平力F，滑块C就以 比F大得多的压力压物体D．已知图 中l=0.5m，b=0.05m，F=200N，C与 左壁接触面光滑，D受到的压力多 大？（滑块和杆的重力不计）

2l b B α F α A C D 图3—122

【解析】力F的作用效果是对AB、AC两杆沿杆向产生挤压作用，因此可将F沿AC、AB方向分解为F1、F2，如图2-3-9（a）所示，则F1?F．

2cos?力F2的作用效果是使 滑块C对左壁有水平向左 的挤压作用，对物体D有 竖直向下的挤压作用．因 此可将F2沿水平方向和

竖直方向分解为F3、F4，如图2-3-9（b）所示，则物体所受的压力为F4?F1sin??Ftan?．由图可知图2-3-9

2tan??l0.5??10，且F=200N，故FN =1000 N． b0.05（a ） （ b）

【答案】1000 N

【点拨】（1）在有些问题中，需要将力多次分解．根据力的作用效果，确定分力方向，是求解此类问题的关键．本题也可运用共点力的平衡知识求解，分别对活动铰链A和滑块C进行受力分析，运用平衡条件列式求得物体D对滑块C的弹力，然后根据牛顿第三定律得物体D所受的压力．（2）当合力和分力组成的平行四边形为菱形时，常将菱形转化为直角三角形，从而确定合力和分力的关系．

? 拓展

如图2-3-10是拔桩架示意 图．绳CE水平，CA竖直， 已右绳DE与水平方向成α 角；绳BC与竖直方向成β D α E F C β A B 图2-3-10 角．若在E点施加竖直向下的大小为F的拉力作用，求CA绳向上拔桩的力的大小．

【解析】将F分解为沿DE方向的分力F1和沿CE方向的分力F2，如图2-3-11（a）所示．再将CE的拉力F2分解为沿BC、AC 方向的分力F4、F3， 如图2-3-11（b）所 示．由几何关系得 到：F2 = Fcotα，F3 = F2cotβ，所以F3 = 图2-3-11 Fcotαcotβ．这就是CA拔桩的拉力大小． 【答案】F3 = Fcotαcotβ

三．正交分解

把一个力分解成两个互相垂直的分力，这种分解方法称为正交分解法．如图2-3-12所示，将力F沿x和y两个方向分解，则

Fx＝Fcosθ，Fy＝Fsinθ

图2-3-12

F?Fx2?Fy2 tanθ=

FyFx（θ为F与x轴的夹角）

F2 F3 106° 37° F1 F4 图2-3-13

【例3】在同一平面内共点的 四个力F1、F2、F3、F4的大 小依次为19N、40N、30N和 15N，方向如图2-3-13所示， 求它们的合力．

【解析】本题若连续运用平行四边形定则求解，需解多个斜三角形，一次又一次确定部分合力的大小和方向，计算过程十分复杂．为此，可采用力的正交分解法求解此题．

F3 37° O F4 37° F1 y F2 y Fy x O F ?Fx 如图2-3-14（a）建立直角坐标系，把各个力分解到两个坐标轴上，x轴和y轴上的合力Fx和Fy ，有 （a） （b） 图2-3-14Fx=F1+F2cos37°－F3cos37°=27N

x Fy= F2sin37°+F3sin37°－F4=27N 因此，如图2-3-14（b）所示，合力大小为 F?Fx2?Fy2?38.2N FyFx?1

合力方向 tan??即合力的大小约为38.2 N，方向与F1夹角为45°．

【点拨】用正交分解法求多个力的合力的基本思路是：先将所有的力沿两个互相垂直的方向分解，求出这两个方向上的合力，再合成所得合力就是所有力的合力．

? 拓展

如图2-3-15所示，两个大人是F1=400N和F2=320N，F1、行驶，求小孩对船施加的最小【解析】将F1、F2分别沿平行驶，小孩对船施加的最小拉

F1 60° 30° F2

图2-3-15

和一个小孩沿河岸拉一条船前进，两个大人的拉力分别F2的方向分别与河岸成60°和30°角，要使船在河流中间拉力的大小和方向．

行于河岸和垂直于河岸方向分解，则要使船在河流中间力F?F1sin600?F2sin300?400?3N 21?320?N≈186N，方向与河岸垂直且偏向F2一侧．

2【答案】186N，方向与河岸垂直且偏向F2一侧． 四．注意“死杆”和“活杆”问题

【例4】如图2-3-16所示，质量OB可绕B点转动，当物体静止OA中张力F1的大小和轻杆OB【解析】 由于悬挂物体质量为分解，根据几何关系，可求【答案】F1=mg/sinθ；F2=mgcotθ

为m的物体用细绳OC悬挂在支架上的O点，轻杆

A

O

C m

时细绳OA与轻杆OB间的夹角为θ．求此时细绳受力F2的大小．

m，绳OC拉力大小是mg，将重力沿杆和OA方向F1=mg/sinθ；F2=mgcotθ．

B

图2-3-16

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