数学竞赛模拟试题二

高中数学竞赛模拟试题二

一、选择题：

1.设a 、b 、c 为实数，0,024<++>+-c b a c b a ，则下列四个结论中正确的是 （ D ）

（A ）ac b ≤2（B ）ac b >2（C ）ac b >2且0>a （D ）ac b >2且0

提示：若0=a ,则0≠b ,则02=>ac b .若0≠a ,则对于二次函数c bx ax x f +-=2)(,由

0)1(,0)2(<->f f 可得结论.

2.在△ABC 中，若a BC AB A ===∠,2,450，则2=a 是△ABC 只有一解的 （ A ）

（A ）充分不必要条件（B ）必要不充分条件（C ）充要条件（D ）既不充分又不必要条件

3.已知向量)1,sin 42cos 3(),1sin 22cos ,(-+-=-+=x x x x m ,定义函数x f ?=)(.若对任意的]2,0[π

∈x ，不等式0)(>x f 恒成立，则m 的取值范围是 （ A ） （A ）),81(+∞（B ）)81

,0[（C ）)2,81(（D ）),2(+∞

4.设E 、F 、G 分别是正四面体ABCD 的棱AB 、BC 、CD 的中点，则二面角C —FG —E 的大小是 （ D ）

（A ）36arcsin

（B ）33arccos 2+π（C ）2arctan 2-π（D ）22cot arc -π

5.把数列}12{+n 依次按一项、二项、三项、四项循环分为（3），（5，7），（9，11，13），（15，17，19，21），（23），（25，27，），（29，31，33），（35，37，39，41），…，在第100个括号内各数之和为 （ A ）

（A ）1992 （B ）1990 （C ）1873 （D ）1891

6.设n i n x i ,,2,1},,,2,1{ =∈，满足2

)1(1+=

∑=n n x n i i ，!21n x x x n =??? ，使1x ，2x ，…，n x 一定是n ,,2,1 的一个排列的最大数n 是 （ C ）

（A ）4 （B ）6 （C ）8 （D ）9

二、填空题：

7. 若实数x 、y 满足条件122=-y x ，则x y x 212

+的取值范围是___________________. 【答案】)2,2(-.提示:令ααtan ,sec ==y x .

8. 对于给定的正整数4≥n ，等式423n

m C C =成立，则所有的m 一定形如_____________.（用n 的组合数表示）

【答案】21-=n C m (

4≥n ).提示:由423n m C C =得222)13()12(+-=-n n m , 从而21-=n C m (

4≥n ). 9. 一个盒中有9个正品和3个废品，每次取一个产品，取出后不在放回，在取得正品前已取出的废品数ξ的数学期望ξE =_________________.

【答案】3.0 提示: ξ取值为0,1,2,3，且有43)0(11219===C C P ξ，4492)1(212

1913===C C C P ξ，22092)2(3121923===C C C P ξ，22012)3(412

1933===C C C P ξ. 3.0220

13220924491430=?+?+?+?=∴ξE . 10. 设点F 1、F 2分别为椭圆E 的左、右焦点，抛物线C 以F 1为顶点、以F 2为焦点。设P 点为椭圆与抛物线的一个交点。如果椭圆E 的离心率e 满足21PF e PF =，

则e 的值为_______. 【答案】3

3 11. 已知0>t ,关于x 的方程22=-+

x t x ,则这个方程有相异实根的个数情况是_________________.

【答案】0或2或3或4. 提示：令221:,2:x t y C x y C --=-

=，利用数形结合知：

当210><

当1=t 时，方程有2个实数根；

当2=t 时，方程有3个实数根；

当21<

-=x x x f （1,≠∈x R x 且）的单调递增区间是______________________.

【答案】),2[],0,(+∞-∞. 提示：1

1)1(2-+

-+=x x y （1≠x ），利用典型函数来分析； 本题也可直接依函数的单调性定义来分析。

三、解答题：

13.向量1OP 、2OP 、3OP 满足条件0321=++OP OP OP 1===，试判断△P 1P 2P 3的形状，并加以证明。

解:∵0321=++OP OP OP ，∴321OP OP OP --=，∴322

322212OP OP OP OP OP ?++=.

又∵1===，∴1232221===OP OP OP

，∴2132-=?OP OP ，

∴21cos 32-

=∠OP P ，在△P 2OP 33=.

3=3=.∴△P 1P 2P 3为正三角形.

14.设数列}{n a 满足1111+=?=+n a a a n n ，（*N n ∈），求证：)11(211-+≥∑=n a n

k k . 证明:由题意知.,0,2*2N n a a n ∈>=当1=n 时,)12(2111

->=a ,命题成立； 当2≥n 时，由11+=?+n a a n n ，得n a a n n =?-1，∴1)(11=--+n n n a a a ，

111-+-=n n n a a a ，从而有)11(2222)(111121111-+≥-≥-+=-+=++=-+=∑∑n a a a a a a a a n n n n n k k k n k k

. 15.设函数x x x f λ-+=31)(，其中.0>λ

（1）求λ的取值范围，使得函数)(x f 在),0[+∞上是单调递减函数；

（2）此单调性能否扩展到整个定义域),(+∞-∞上？

（3）求解不等式.12123<+-x x

解：（1）设+∞<<≤210x x ， 则].)1(11)1(1

)[()()(32232313212121λ-+++?+++-=-x x x x x x x f x f 设3223231321)1(11)1(x x x x M +++?+++=，则显然3>M .

∵0)()(21>-x f x f ,∴M 1>λ,∵311

1≥λ,就能使)(x f 在),0[+∞上是单调递减函数；

（2）此单调性不能扩展到整个定义域上，这可由单调性定义说明之；

（3）构造函数312)(x x x g +-=，由（1）知当0>x 时，)(x g 是单调递增函数。∵12)7(=g ，∴.12123<+-x x )7()(g x g

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