一次函数讲义教案

一次函数

函数

1、 定义：一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么就说x是自变量，y是如果当x a，y b时，那么b叫做当自变量的值为a时的函数值。 x的函数。

2、 判断变量之间的函数关系式的标准： （1） 必须有两个变量；

（2） 对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值和它对应。

一次函数

1、定义：一般地，形如y kx b（k，b是常数，k 0），那么y叫做x的一次函数。当b 0时， y kx，此时，y又叫做x的正比例函数。 一次函数解析式y kx b的结构特征：

①k 0；②自变量x的次数为1；③常数项b可以为任意实数。

2、一次函数的图象和性质

（1）一次函数y kx b的图象是一条直线，称作直线y kx b。 （2）一次函数的图象的画法，确定两点坐标，描出这两点，再连成直线。 画正比例函数y kx的图象，一般选取 0,0 ， 1,k 两点。

画一次函数y kx b的图象，一般选取与x轴交点 0,b ，与y轴的交点

b

,0 。 k

（3）一次函数、正比例函数图象的特点

正比例函数y kx的图象是经过原点 0,0 的直线. 一次函数y kx b的图象是经过点 0,b ，

b

,0 的直线。 k

（4）一次函数的性质

①一次函数y kx b（k，b是常数，k 0）有如下性质： 1、当k 0时，y随x的增大而增大； 2、当k 0时，y随x的增大而减小。 ②两个一次函数的直线：

当k值相等，b值不同时，两直线平行；

当k值不同，b值相同时，两直线相交于y轴，交点坐标为 0,b 。 （5）直线y kx b在平面直角坐标系中的位置：（六种情况）

k 0

直线经过第一、二、三象限 ①

b 0 直线不经过第四象限

k 0 直线经过第一、三、四象限 ②

b 0 直线不经过第二象限

k 0 直线经过第一、二、四象限

③

b 0 直线不经过第三象限

k 0

直线经过第二、三、四象限 ④

b 0 直线不经过第一象限

k 0 直线经过第一、三象限 ⑤

b 0 直线经过原点

k 0 直线经过第二、四象限 ⑥

b 0 直线经过原点

（6）正比例函数和一次函数解析式的确定

确定一个正比例函数，就是要确定y kx（k 0）中的常数k； 确定一个一次函数，需要确定y kx b（k 0）中的常数k和b。

确定解析式的一般方法是待定系数法：

待定系数法求函数解析式的一般步骤：

1、设定含有待定系数的解析式y kx或y kx b；

2、若是正比例函数y kx，找到图像上一个点的坐标，将其带入解析式，求出k。

3、若是一次函数y kx b，两种方法，（1）先确定图像与y轴交点，即常数b，再找到图像上一个点的坐标，将其带入解析式，求出k；（2）找到图像上两个点的坐标，分别代入解析式，求出常数k和b

专题练习一、函数及一次函数的定义 1、 下列说法中不正确的是（ ）

AB

、函数V

43

43

r中，

3

43

是常量，r是自变量，V是 r的函数

、代数式 r3是它所含字母r的函数 、公式V 、函数V

4343

CD

r可以看作球的体积是球的半径的函数

3

r中，当r 0时，V 0

3

2、 汽车由南京驶往相距300km的上海，它的平均速度为100km/h，则汽车距上海的路程s（km）与行驶的时间t（h）的函数关系为 。 3、 下列函数中，是一次函数的有 ，是正比例函数的有 。 （1） y

x3

（2）y

8x

（3）y 8x2 x(1 8x) （4）y 1 8x

1x

4、 下列函数①y x；②y 2x 11；③y x2 x 1；④y 数的有（ ）

中，是一次函

A、4个 B、3个 C、2个 D、1个 5、 已知函数y 2x 3，当x 1时，y 。

6、 当m,n为何值时，函数y (5m 3)x2 n (m n)是正比例函数？

7、 已知y (m 3)xm

8、 已知y 3与x成正比，当x 1时，y 2，则y与x的函数关系式。

专题练习二、一次函数的图象 （一）点在图象上

2

8

1，当m是何值时，y是x的一次函数？

1、 下列各点，哪个点在函数y 2x 1的图象上（ ） A、 0, 1 B、 2, 3 C、 1,0 D、 3,7 2、 已知点A 2,3 在直线y 2x b上，则b的值为（ ）

A

、 1 B、0 C、1 D、2

3、 若一次函数y kx k2 4的图象经过原点，则k .

4、 已知y mx 1的图象经过B 1,3 ,C , 9 两点，则 内应填 。 5、 已知一次函数y kx k 2的图象与y轴的交点坐标为 0, 3 ，则k的值为 。

6、 已知直线y

7、 已知点A(a 2,1 a)在函数y 2x 1的图象上，求a的值。

23x m

经过点 3,0 ，求m的值。

（二）一次函数图象与坐标轴的交点坐标 1、 写出下列一次函数与坐标轴的交点坐标： （1）y 3x 1 （2）y （3）y 3x 6 （4）y （5）y x

12

1332

x 8 x 3

（6）y mx 2m(m 0)

2、 直线y 3x 2与x轴的交点坐标为（ ）

A

、 0, 2 B、

3

,0 C2

、

2

,0 D 3

、

2

, 2 3

3、 一次函数y 3x m 1的图象不经过第二象限，则m的取值范围是（ ） A、m 1 B、m 1 C、m 1 D、m 1

4、 点M 2,m 在直线y 2x 3上，则点M在直角坐标系中的位置是（ ）

A

、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

5、 关于x的一次函数y 3a 7 x a 2的图象与y轴的交点在x轴的下方，则

a的取值范围是 。

（三）一次函数图象与坐标轴围成图形的面积

1、 函数y 2x 8的图象与两坐标轴围成三角形的面积等于 。 2、 直线y

32

x 3与x轴、y

轴所围成的三角形的面积为 。

3、 一次函数y 8x 4的图象与x轴交点坐标是 ，与y轴交点坐标是 ，图象与坐标轴所围成的三角形的面积是 。 4、 若直线y 3x 6与坐标轴围成的三角形面积为S,则S为（ ）

A.3 B.4 C.6

D.12

5、 函数y 5x b的图象与x轴，y轴所组成的三角形面积等于10，则b为（ ）

A

、100 B、 10 C、 10 D、10

6、 已知一次函数y kx 4的图象与两坐标轴围成的三角形面积为6，则

k 。

（四）关于一次函数y kx b中的k

1、 下列函数中，y随x的增大而减小的是（ ） A、y

x3

B、y 7x C

、y x D

、y

2、 下面一次函数y kx b的性质，正确的是（ ）

AB

、 b 0时，y随x的增大而增大 、 b 0时，y随x的增大而减小

、 当k 0且b 0时，y随x的增大而减小 、 当k 0时，y随x的增大而减小

CD

3、 已知正比例函数y kx k 0 的图象经过第二、四象限，则（ ）

A、y随x的增大而减小 B、y随x的增大而增大

C、当x 0时，y随x的增大而增大

D、当x 0时，y随x的增大而增大；当x 0时，y随x的增大而减小 4、 当m 时，一次函数y (m 1)x 1的值随x值的增大而减小。 5、 正比例函数y a 1 x中，若y随x的增大而增大，那么a的取值范围是 ，它的图象过原点并位于第 象限。

6、 已知一次函数y kx b，y随x的增大而增大，且k b 0，则一次函数图象经过 象限。 7、 已知正比例函数y 5 2k x

（1）当k取何值时，y随x的增大而增大？ （2）当k取何值时，y随x的增大而减小？

8、 已知一次函数y (m 2)x (n 4)，y随x的增大而增大，函数的图象与y轴

的交点在y轴的负半轴上，求m，n的取值范围。

9、 若直线y kx b与直线y 10、 11、

14

x平行，则k 。

直线y kx b与y 7x平行且过点 1,3 ，则k ，b 。 已知直线y 3x m与y kx n平行，则k ，m、n应满足的

条件是 。

（五）k,b的符号决定一次函数图像的位置 1、 一次函数y 3x 4的图象不经过（ ）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限 2、 一次函数y x 1的图象不经过（ ）

A

、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

3、 已知直线y x b，当b 0时，直线不经过（ ）

A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

4、 如果一次函数y kx b的图象经过第一象限，且与y轴负半轴相交，那么（ ）

A、k 0,b 0 B、k 0,b 0 C、k 0,b 0 D、k 0,b 0

5、 如果一次函数y kx b的图象经过第一、三、四象限，则 （ ）

A.k 0,b 0 B.k 0,b

C.k 0,b 0 D.k 0,b 0 0

6、 直线y1 kx b经过一，二，四象限，则直线y2 bx k不经过 象限。 7、 函数y kx b的图象大致如图所示，则下列结论正确的是（ ） A、 k 0,b 0 B、 k 0,b 0

C

、k 0,b 0 D 、k 0,b 0

8、 一次函数y kx b的图象如图所示，则k，b的符号分别是（ ） A、k 0，b 0

B

、k 0，b 0

C、k 0，b 0

D

、k 0，b 0

9、 函数y kx k(k 0)在直角坐标中的图象可能的是（ ）

A B C D 10、

已知一次函数y mx 4m 3，若它的图象经过第一、二、三象限，求m

的取值范围。

11、

已知一次函数y 3k 1 x 1 3k，求实数k为何值时，y随x的增大而

增大？试确定它的图象过哪几个象限？

专题练习三、一次函数解析式的确定 1、 已知函数y 2m 1 x m 3。

（1）若函数为正比例函数，求m的值；

（2）若函数图象与y轴的交点坐标为 0, 2 ，求m的值； （3）若函数的图象平行于直线y 3x 3，求m的值。

2、 已知函数y 2x b的图象过点 2,3 ，

（1）求此直线的函数解析式；（2）当x 3时，求y的值。

3、 已知y与x成正比，当x 1时，y 2，求函数解析式。

4、 已知一次函数的图象经过点A(0, 5)和B(3,1)，求这个函数的解析式。

5、 若A 2,6 ,B 2,a ，C 0,2 三点在同一条直线上，求a的值。

6、 已知直线y kx b经过点（0，6）且平行于直线y 2x。

（1） 求该直线的函数解析式；

（2） 如果这条直线过点 m,2 ，求m的值。

7、 如图，一次函数的图象经过A,B,求直线AB的函数关系式。

8、 已知直线y kx 3经过点M交点坐标。

求此直线的函数解析式，以及与x轴、y轴的，

专题练习五、一次函数的应用

1、 若弹簧的总长度y cm 是所挂重物的x(千克)的一次函数，图象如图所示，求这个函数解析式，以及当弹簧不挂重物时，弹簧的长度。

t h 表s km 表示汽车离开天津的距离，2、 汽车由天津驶往相距120km的北京，

示汽车行驶的时间，s与t之间的函数关系的图象如图所示，观察图象回答下列问题：

（1）汽车用 小时可以从天津到达北京？汽车的速度是 。 （2）求这个函数的解析式；

（3）汽车行驶2小时，离开天津的距离是多少？ （4）当汽车距北京40千米时，汽车行驶了多少时间？

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