概率论与数理统计习题及答案1-7章 - - 复旦大学版

概率论与数理统计习题及答案

习题 一

1．略.见教材习题参考答案.

2.设A，B，C为三个事件，试用A，B，C的运算关系式表示下列事件： （1） A发生，B，C都不发生； （2） A与B发生，C不发生； （3） A，B，C都发生；

（4） A，B，C至少有一个发生； （5） A，B，C都不发生； （6） A，B，C不都发生；

（7） A，B，C至多有2个发生； （8） A，B，C至少有2个发生. 【解】（1） ABC （2） ABC （3） ABC

（4） A∪B∪C=ABC∪ABC∪ABC∪ABC∪ABC∪ABC∪ABC=ABC (5) ABC=A?B?C (6) ABC

(7) ABC∪ABC∪ABC∪ABC∪ABC∪ABC∪ABC=ABC=A∪B∪C (8) AB∪BC∪CA=ABC∪ABC∪ABC∪ABC 3.略.见教材习题参考答案

4.设A，B为随机事件，且P（A）=0.7,P(A?B)=0.3，求P（AB）. 【解】 P（AB）=1?P（AB）=1?[P(A)?P(A?B)] =1?[0.7?0.3]=0.6

5.设A，B是两事件，且P（A）=0.6,P(B)=0.7,求： （1） 在什么条件下P（AB）取到最大值？ （2） 在什么条件下P（AB）取到最小值？

【解】（1） 当AB=A时，P（AB）取到最大值为0.6.

（2） 当A∪B=Ω时，P（AB）取到最小值为0.3.

6.设A，B，C为三事件，且P（A）=P（B）=1/4，P（C）=1/3且P（AB）=P（BC）=0，

P（AC）=1/12，求A，B，C至少有一事件发生的概率.

1

【解】 P（A∪B∪C）=P(A)+P(B)+P(C)?P(AB)?P(BC)?P(AC)+P(ABC)

=

11113++?= 4431247.从52张扑克牌中任意取出13张，问有5张黑桃，3张红心，3张方块，2张梅花的概率

是多少？ 【解】 p=C13C13C13C13/C52

8.对一个五人学习小组考虑生日问题： （1） 求五个人的生日都在星期日的概率； （2） 求五个人的生日都不在星期日的概率； （3） 求五个人的生日不都在星期日的概率. 【解】（1） 设A1={五个人的生日都在星期日}，基本事件总数为75，有利事件仅1个，故 P（A1）=

533213115

=（）（亦可用独立性求解，下同） 577（2） 设A2={五个人生日都不在星期日}，有利事件数为65，故

6565

P（A2）=5=()

77(3) 设A3={五个人的生日不都在星期日}

P（A3）=1?P(A1)=1?(

15

) 79.略.见教材习题参考答案.

10.一批产品共N件，其中M件正品.从中随机地取出n件（n

（2） n件是无放回逐件取出的； （3） n件是有放回逐件取出的. 【解】（1） P（A）=CMCN?M/CN

(2) 由于是无放回逐件取出，可用排列法计算.样本点总数有PN种，n次抽取中有m

次为正品的组合数为Cn种.对于固定的一种正品与次品的抽取次序，从M件正品中取m件的排列数有PM种，从N?M件次品中取n?m件的排列数为PN?M种，故

mn?mCmnPMPN?MP（A）= nPNmn?mmnmn?mn由于无放回逐渐抽取也可以看成一次取出，故上述概率也可写成

n?mCmMCN?MP（A）=

CnN可以看出，用第二种方法简便得多.

（3） 由于是有放回的抽取，每次都有N种取法，故所有可能的取法总数为Nn种，n

2

次抽取中有m次为正品的组合数为Cn种，对于固定的一种正、次品的抽取次序，m次取得正品，都有M种取法，共有Mm种取法，n?m次取得次品，每次都有N?M种取法，共有（N?M）n?m种取法，故

mn?mP(A)?Cm/Nn nM(N?M)m此题也可用贝努里概型，共做了n重贝努里试验，每次取得正品的概率为m件正品的概率为

M，则取得N?M??M?P(A)?Cmn???1??NN????mn?m

11.略.见教材习题参考答案.

12. 50只铆钉随机地取来用在10个部件上，其中有3个铆钉强度太弱.每个部件用3只铆

钉.若将3只强度太弱的铆钉都装在一个部件上，则这个部件强度就太弱.求发生一个部件强度太弱的概率是多少？ 【解】设A={发生一个部件强度太弱}

33P(A)?C110C3/C50?1 196013.一个袋内装有大小相同的7个球，其中4个是白球，3个是黑球，从中一次抽取3个，

计算至少有两个是白球的概率. 【解】 设Ai={恰有i个白球}（i=2,3），显然A2与A3互斥.

1C2184C3P(A2)?3?,C735C344P(A3)?3?

C735故 P(A2?A3)?P(A2)?P(A3)?22 3514.有甲、乙两批种子，发芽率分别为0.8和0.7，在两批种子中各随机取一粒，求：

（1） 两粒都发芽的概率； （2） 至少有一粒发芽的概率； （3） 恰有一粒发芽的概率.

【解】设Ai={第i批种子中的一粒发芽}，（i=1,2）

(1) P(A1A2)?P(A1)P(A2)?0.7?0.8?0.56 (2) P(A1?A2)?0.7?0.8?0.7?0.8?0.94 (3) P(A1A2?A1A2)?0.8?0.3?0.2?0.7?0.38

15.掷一枚均匀硬币直到出现3次正面才停止.

（1） 问正好在第6次停止的概率；

（2） 问正好在第6次停止的情况下，第5次也是出现正面的概率.

1131C1()()45212131224?2 【解】（1） p1?C5()() (2) p2??222325/325

3

16.甲、乙两个篮球运动员，投篮命中率分别为0.7及0.6，每人各投了3次，求二人进球

数相等的概率.

【解】 设Ai={甲进i球}，i=0,1,2,3,Bi={乙进i球},i=0,1,2,3,则

212P(?AiBi3)?(0.3)3(0.4)3?C10.7?(0.3)C0.6?(0.4)? 33i?03 C3(0.7)?0.3C3(0.6)0.4+(0.7)(0.6)

=0.32076

17．从5双不同的鞋子中任取4只，求这4只鞋子中至少有两只鞋子配成一双的概率.

4111C5C1CC22C2213?【解】 p?1? 4C102122223318.某地某天下雪的概率为0.3，下雨的概率为0.5，既下雪又下雨的概率为0.1,求：

（1） 在下雨条件下下雪的概率；（2） 这天下雨或下雪的概率. 【解】 设A={下雨}，B={下雪}.

（1） p(BA)?P(AB)0.1??0.2

P(A)0.5（2） p(A?B)?P(A)?P(B)?P(AB)?0.3?0.5?0.1?0.7

19.已知一个家庭有3个小孩，且其中一个为女孩，求至少有一个男孩的概率（小孩为男

为女是等可能的）.

【解】 设A={其中一个为女孩}，B={至少有一个男孩}，样本点总数为23=8，故

P(BA)?P(AB)6/86?? P(A)7/87或在缩减样本空间中求，此时样本点总数为7.

P(BA)?6 720.已知5%的男人和0.25%的女人是色盲，现随机地挑选一人，此人恰为色盲，问此人是

男人的概率（假设男人和女人各占人数的一半）.

【解】 设A={此人是男人}，B={此人是色盲}，则由贝叶斯公式

P(AB)? ?P(A)P(BA)P(AB)?

P(B)P(A)P(BA)?P(A)P(BA)0.5?0.0520 ?0.5?0.05?0.5?0.00252121.两人约定上午9∶00~10∶00在公园会面，求一人要等另一人半小时以上的概率.

4

题21图 题22图

【解】设两人到达时刻为x,y,则0≤x,y≤60.事件“一人要等另一人半小时以上”等价于|x?y|>30.

如图阴影部分所示.

3021P?2?

60422.从（0，1）中随机地取两个数，求：

6的概率； 51（2） 两个数之积小于的概率.

4（1） 两个数之和小于【解】 设两数为x,y，则0

6. 514417 p1?1?255??0.68

1251(2) xy=<.

4 p2?1???1?11dxdy11???ln2 ??4x?4?42123.设P（A）=0.3,P(B)=0.4,P(AB)=0.5，求P（B｜A∪B） 【解】 P(BA?B)?P(AB)P(A?)PAB()?

P(A?B)P(A)?P(B)?P(AB) 5

?0.7?0.51?

0.7?0.6?0.5424.在一个盒中装有15个乒乓球，其中有9个新球，在第一次比赛中任意取出3个球，比

赛后放回原盒中；第二次比赛同样任意取出3个球，求第二次取出的3个球均为新球的概率.

【解】 设Ai={第一次取出的3个球中有i个新球}，i=0,1,2,3.B={第二次取出的3球均为新

球}

由全概率公式，有

P(B)??P(BAi)P(Ai)

i?03

323213C3C9C1C8C9C6C3C9C369C67?3?3?3?3?3?3?3?36C15C15C15C15C15C15C15C15?0.089

25. 按以往概率论考试结果分析，努力学习的学生有90%的可能考试及格，不努力学习的学

生有90%的可能考试不及格.据调查，学生中有80%的人是努力学习的，试问： （1）考试及格的学生有多大可能是不努力学习的人？ （2）考试不及格的学生有多大可能是努力学习的人？ 【解】设A={被调查学生是努力学习的}，则A={被调查学生是不努力学习的}.由题意知P

（A）=0.8，P（A）=0.2，又设B={被调查学生考试及格}.由题意知P（B|A）=0.9，P（B|A）=0.9，故由贝叶斯公式知

P(A)P(BA)P(AB)（1）P(AB)? ?P(B)P(A)P(BA)?P(A)P(BA) ?0.2?0.11??0.02702

0.8?0.9?0.2?0.137即考试及格的学生中不努力学习的学生仅占2.702% (2) P(AB)?P(A)P(BA)P(AB) ?P(B)P(A)P(BA)?P(A)P(BA)0.8?0.14??0.3077

0.8?0.1?0.2?0.913 ?即考试不及格的学生中努力学习的学生占30.77%.

26. 将两信息分别编码为A和B传递出来，接收站收到时，A被误收作B的概率为0.02，而

B被误收作A的概率为0.01.信息A与B传递的频繁程度为2∶1.若接收站收到的信息是A，试问原发信息是A的概率是多少？

【解】 设A={原发信息是A}，则={原发信息是B}

C={收到信息是A}，则={收到信息是B} 由贝叶斯公式，得

6

P(AC)? ?P(A)P(CA)P(A)P(CA)?P(A)P(CA)

2/3?0.98?0.99492

2/3?0.98?1/3?0.0127.在已有两个球的箱子中再放一白球，然后任意取出一球，若发现这球为白球，试求箱

子中原有一白球的概率（箱中原有什么球是等可能的颜色只有黑、白两种） 【解】设Ai={箱中原有i个白球}（i=0,1,2），由题设条件知P（Ai）=

出一球为白球}.由贝叶斯公式知

1,i=0,1,2.又设B={抽3P(A1B)?P(BA1)P(A1)P(A1B)?2

P(B)?P(BAi)P(Ai)i?0?2/3?1/31?

1/3?1/3?2/3?1/3?1?1/3328.某工厂生产的产品中96%是合格品，检查产品时，一个合格品被误认为是次品的概率

为0.02，一个次品被误认为是合格品的概率为0.05，求在被检查后认为是合格品产品确是合格品的概率.

【解】 设A={产品确为合格品}，B={产品被认为是合格品}

由贝叶斯公式得

P(AB)? ?P(A)P(BA)P(AB)?

P(B)P(A)P(BA)?P(A)P(BA)0.96?0.98?0.998

0.96?0.98?0.04?0.0529.某保险公司把被保险人分为三类：“谨慎的”，“一般的”，“冒失的”.统计资料表明，上

述三种人在一年内发生事故的概率依次为0.05,0.15和0.30；如果“谨慎的”被保险人占20%，“一般的”占50%，“冒失的”占30%，现知某被保险人在一年内出了事故，则他是“谨慎的”的概率是多少？

【解】 设A={该客户是“谨慎的”}，B={该客户是“一般的”}，

C={该客户是“冒失的”}，D={该客户在一年内出了事故} 则由贝叶斯公式得

P(A|D)? ?P(AD)P(A)P(D|A) ?P(D)P(A)P(D|A)?P(B)P(D|B)?P(C)P(D|C)0.2?0.05?0.057

0.2?0.05?0.5?0.15?0.3?0.330.加工某一零件需要经过四道工序，设第一、二、三、四道工序的次品率分别为

0.02,0.03,0.05,0.03，假定各道工序是相互独立的，求加工出来的零件的次品率. 【解】设Ai={第i道工序出次品}（i=1,2,3,4）.

P(?Ai)?1?P(A1A2A3A4)

i?14 ?1?P(A1)P(A2)P(A3)P(A4)

7

?1?0.98?0.97?0.95?0.97?0.124 31.设每次射击的命中率为0.2，问至少必须进行多少次独立射击才能使至少击中一次的概

率不小于0.9?

【解】设必须进行n次独立射击.

1?(0.8)n?0.9

即为 (0.8)?0.1 故 n≥11 至少必须进行11次独立射击.

32.证明：若P（A｜B）=P(A｜B)，则A，B相互独立.

n?【证】 P(A|B)P(A|B)即

P(AB)P(AB)?

P(B)P(B)亦即 P(AB)P(B)?P(AB)P(B)

P(AB)[1?P(B)]?[P(A)?P(AB)]P(B)

因此 P(AB)?P(A)P(B) 故A与B相互独立.

33.三人独立地破译一个密码，他们能破译的概率分别为的概率.

【解】 设Ai={第i人能破译}（i=1,2,3），则

111，，，求将此密码破译出534P(?Ai)?1?P(A1A2A3)?1?P(A1)P(A2)P(A3)

i?13 ?1?423???0.6 53434.甲、乙、丙三人独立地向同一飞机射击，设击中的概率分别是0.4,0.5,0.7，若只有一人

击中，则飞机被击落的概率为0.2；若有两人击中，则飞机被击落的概率为0.6；若三人都击中，则飞机一定被击落，求：飞机被击落的概率. 【解】设A={飞机被击落}，Bi={恰有i人击中飞机}，i=0,1,2,3

由全概率公式，得

P(A)??P(A|Bi)P(Bi)

i?03=(0.4×0.5×0.3+0.6×0.5×0.3+0.6×0.5×0.7)0.2+

(0.4×0.5×0.3+0.4×0.5×0.7+0.6×0.5×0.7)0.6+0.4×0.5×0.7 =0.458

35.已知某种疾病患者的痊愈率为25%，为试验一种新药是否有效，把它给10个病人服用，

且规定若10个病人中至少有四人治好则认为这种药有效，反之则认为无效，求： （1） 虽然新药有效，且把治愈率提高到35%，但通过试验被否定的概率.

8

（2） 新药完全无效，但通过试验被认为有效的概率. 【解】（1） p1??Ck?0k103k10(0.35)k(0.65)10?k?0.5138

(2) p2??Ck?410(0.25)k(0.75)10?k?0.2241

36.一架升降机开始时有6位乘客，并等可能地停于十层楼的每一层.试求下列事件的概率：

（1） A=“某指定的一层有两位乘客离开”；

（2） B=“没有两位及两位以上的乘客在同一层离开”； （3） C=“恰有两位乘客在同一层离开”； （4） D=“至少有两位乘客在同一层离开”.

【解】 由于每位乘客均可在10层楼中的任一层离开，故所有可能结果为106种.

24C69（1） P(A)?，也可由6重贝努里模型： 61021294P(A)?C6()()

1010（2） 6个人在十层中任意六层离开，故

6P10P(B)?6

10（3） 由于没有规定在哪一层离开，故可在十层中的任一层离开，有C10种可能结果，再从

六人中选二人在该层离开，有C6种离开方式.其余4人中不能再有两人同时离开的情况，因此可包含以下三种离开方式：①4人中有3个人在同一层离开，另一人在其余8层中任一层离开，共有C9C4C8种可能结果；②4人同时离开，有C9种可能结果；③4个人都不在同一层离开，有P9种可能结果，故

2131146P(C)?C110C6(C9C4C8?C9?P9)/10

4131121（4） D=B.故

6P10P(D)?1?P(B)?1?6

1037. n个朋友随机地围绕圆桌而坐，求下列事件的概率： （1） 甲、乙两人坐在一起，且乙坐在甲的左边的概率； （2） 甲、乙、丙三人坐在一起的概率；

（3） 如果n个人并排坐在长桌的一边，求上述事件的概率. 【解】 （1） p1?1 n?19

(2) p2?(3) p1??3!(n?3)!,n?3

(n?1)!(n?1)!1?3!(n?2)!?;p2?,n?3 n!nn!38.将线段[0，a]任意折成三折，试求这三折线段能构成三角形的概率

【解】 设这三段长分别为x,y,a?x?y.则基本事件集为由

0?x?y?a?x?y?x?(a?x?y)?y ???y?(a?x?y)?x构成的图形，即

a?0?x??2??0?y?a ?2?a??x?y?a??2如图阴影部分所示，故所求概率为p?1. 439. 某人有n把钥匙，其中只有一把能开他的门.他逐个将它们去试开（抽样是无放回的）.

证明试开k次（k=1,2,?,n）才能把门打开的概率与k无关.

Pnk??111?,n【证】 p?k?,k?1,2 ,Pnn40.把一个表面涂有颜色的立方体等分为一千个小立方体，在这些小立方体中，随机地取出

一个，试求它有i面涂有颜色的概率P（Ai）（i=0,1,2,3）. 【解】 设Ai={小立方体有i面涂有颜色}，i=0,1,2,3.

在1千个小立方体中，只有位于原立方体的角上的小立方体是三面有色的，这样的

小立方体共有8个.只有位于原立方体的棱上（除去八个角外）的小立方体是两面涂色的，这样的小立方体共有12×8=96个.同理，原立方体的六个面上（除去棱）的小立方体是一面涂色的，共有8×8×6=384个.其余1000?（8+96+384）=512个内部的小立方体是无色的，故所求概率为

512384?0.512,P(A1)??0.384, 10001000968P(A2)??0.096,P(A4)??0.008.

10001000P(A0)?41.对任意的随机事件A，B，C，试证

P（AB）+P（AC）?P（BC）≤P(A). 【证】 P(A)?P[A(B?C)]?P(AB?AC) ?P(AB)?P(AC)?P(ABC)

10

?P(AB)?P(AC)?P(BC)

42.将3个球随机地放入4个杯子中去，求杯中球的最大个数分别为1，2，3的概率. 【解】 设Ai={杯中球的最大个数为i},i=1,2,3.

将3个球随机放入4个杯子中，全部可能放法有43种，杯中球的最大个数为1时，每个杯中最多放一球，故

C33!3P(A1)?43?

48而杯中球的最大个数为3，即三个球全放入一个杯中，故

C114P(A3)?3?

416因此 P(A2)?1?P(A1)?P(A3)?1?319?? 8161621C194C3C3?或 P(A2)? 4316 43.将一枚均匀硬币掷2n次，求出现正面次数多于反面次数的概率.

【解】掷2n次硬币，可能出现：A={正面次数多于反面次数}，B={正面次数少于反面次数}，

C={正面次数等于反面次数}，A，B，C两两互斥.

可用对称性来解决.由于硬币是均匀的，故P（A）=P（B）.所以

P(A)?1?P(C) 2由2n重贝努里试验中正面出现n次的概率为

n1n1nP(C)?C2n()()

2211n 故 P(A)?[1?C2n2n]

2244.掷n次均匀硬币，求出现正面次数多于反面次数的概率.

【解】设A={出现正面次数多于反面次数}，B={出现反面次数多于正面次数}，由对称性知

P（A）=P（B）

（1） 当n为奇数时，正、反面次数不会相等.由P（A）+P（B）=1得P（A）=P（B）

=0.5

(2) 当n为偶数时，由上题知

n112P(A)?[1?Cn()n]

2245.设甲掷均匀硬币n+1次，乙掷n次，求甲掷出正面次数多于乙掷出正面次数的概率.

【解】 令甲正=甲掷出的正面次数，甲反=甲掷出的反面次数.

乙正=乙掷出的正面次数，乙反=乙掷出的反面次数. 显然有

（甲正>乙正）=（甲正≤乙正）=（n+1?甲反≤n?乙反）

11

=（甲反≥1+乙反）=（甲反>乙反）

由对称性知P（甲正>乙正）=P（甲反>乙反） 因此P(甲正>乙正)=

1 246.证明“确定的原则”（Sure?thing）：若P（A|C）≥P(B|C),P(A|C)≥P(B|C)，则P（A）≥P(B).

【证】由P（A|C）≥P(B|C),得

P(AC)P(BC)?,

P(C)P(C)即有 P(AC)?P(BC) 同理由 P(A|C)?P(B|C), 得 P(AC)?P(BC),

故 P(A)?P(AC)?P(AC)?P(BC)?P(BC)?P(B) 47.一列火车共有n节车厢，有k(k≥n)个旅客上火车并随意地选择车厢.求每一节车厢内至少

有一个旅客的概率.

【解】 设Ai={第i节车厢是空的}，（i=1,?,n）,则

(n?1)k1kP(Ai)??(1?)nkn2P(AiAj)?(1?)kn?P(Ai1Ai2?Ain?1)?(1?其中i1,i2,?,in?1是1，2，?，n中的任n?1个. 显然n节车厢全空的概率是零，于是

n?1k)n11kS1??P(Ai)?n(1?)k?C1(1?)nnni?1S2??Sn?1?Sn?0P(?Ai)?S1?S2?S3???(?1)n?1Sni?1n1?i1?i2??in?1?nn2k2P(AA)?C(1?)?ijnn1?i?j?n?n?1P(Ai1Ai2?Ain?1)?Cn(1?n?1k)n

12

k2knn?1 ?C1n(1?)?Cn(1?)???(?1)Cn(1?1n2nn?1k) n故所求概率为

1k2in?1kn?1n?12(?1)C(1?) 1?P(?Ai)?1?C1(1?)?C(1?)???nnni?1nnnn48.设随机试验中，某一事件A出现的概率为ε>0.试证明：不论ε>0如何小，只要不断地独

立地重复做此试验，则A迟早会出现的概率为1. 【证】

在前n次试验中，A至少出现一次的概率为

1?(1??)n?1(n??)

49.袋中装有m只正品硬币，n只次品硬币（次品硬币的两面均印有国徽）.在袋中任取一只，

将它投掷r次，已知每次都得到国徽.试问这只硬币是正品的概率是多少？ 【解】设A={投掷硬币r次都得到国徽}

B={这只硬币为正品} 由题知 P(B)?mn ,P(B)?m?nm?n1P(A|B)?r,P(A|B)?1

2则由贝叶斯公式知

P(B|A)?P(AB)P(B)P(A|B) ?P(A)P(B)P(A|B)?P(B)P(A|B)m1?rmm?n2 ? ?rm1n?r??1m?2nm?n2m?n50.巴拿赫（Banach）火柴盒问题：某数学家有甲、乙两盒火柴，每盒有N根火柴，每次用

火柴时他在两盒中任取一盒并从中任取一根.试求他首次发现一盒空时另一盒恰有r根的概率是多少？第一次用完一盒火柴时（不是发现空）而另一盒恰有r根的概率又有多少？ 【解】以B1、B2记火柴取自不同两盒的事件，则有P(B1)?P(B2)?1.（1）发现一盒已空，2另一盒恰剩r根，说明已取了2n?r次，设n次取自B1盒（已空），n?r次取自B2盒，第2n?r+1次拿起B1，发现已空。把取2n?r次火柴视作2n?r重贝努里试验，则所求概率为

1n1n?r11n p1?2Cn()()??C2n?rn?r2r?r2222式中2反映B1与B2盒的对称性（即也可以是B2盒先取空）.

（2） 前2n?r?1次取火柴，有n?1次取自B1盒，n?r次取自B2盒，第2n?r次取自B1

盒，故概率为

1n?11n?r112n?r?1n?1n?1 p2?2C2()()?C()n?r?12n?r?1222251.求n重贝努里试验中A出现奇数次的概率.

13

【解】 设在一次试验中A出现的概率为p.则由

0n1n?122n?2nn0(q?p)n?C0pq?Cpq?Cpq???Cnnnnpq?1 0n1n?12n?2n0(q?p)n?C0?C2???(?1)nCnnpq?Cnpqnpqnpq

以上两式相减得所求概率为

n?13n?3p1?C1?C3?? npqnpq1?[1?(q?p)n] 21?[1?(1?2p)n] 2若要求在n重贝努里试验中A出现偶数次的概率，则只要将两式相加，即得

1p2?[1?(1?2p)n].

252.设A，B是任意两个随机事件，求P{（A+B）（A+B）（A+B）（A+B）}的值. 【解】因为（A∪B）∩（A∪B）=AB∪AB

（A∪B）∩（A∪B）=AB∪AB

所求 (A?B)(A?B)(A?B)(A?B)  ?[(AB?AB)?(AB?AB)] ??

故所求值为0.

53.设两两相互独立的三事件，A，B和C满足条件：

ABC=?，P(A)=P(B)=P(C)< 1/2，且P（A∪B∪C）=9/16，求P（A）.

【解】由P(A?B?C)?P(A)?P(B)?P(C)?P(AB)?P(AC)?P(BC)?P(ABC) ?3P(A)?3[P(A)]?故P(A)?29 161311或,按题设P（A）<,故P（A）=.

244454.设两个相互独立的事件A和B都不发生的概率为1/9，A发生B不发生的概率与B发生A

不发生的概率相等，求P（A）. 【解】 P(AB)?P(?AB)?1?P(?A1B?) ① 9P(AB)?P(AB) ②

故 P(A)?P(AB)?P(B)?P(AB)

故 P(A)?P(B) ③

14

由A,B的独立性，及①、③式有

1?1?P(A)?P(B)?P(A)P(B) 9 ?1?2P(A)?[P(A)] ?[1?P(A)]

故 1?P(A)?? 故 P(A)?即P（A）=

221324或P(A)?（舍去） 332. 32ax?x2 (a为正常数)内掷一点，点落在半圆内任何区域的概率与

55.随机地向半圆0

区域的面积成正比，则原点和该点的连线与x轴的夹角小于π/4的概率为多少？ 【解】利用几何概率来求，图中半圆面积为

1πa2.阴影部分面积为 2π212a?a 42故所求概率为

π212a?a2?1?1 p?4122ππa256.设10件产品中有4件不合格品，从中任取两件，已知所取两件产品中有一件是不合格

品，求另一件也是不合格品的概率.

【解】 设A={两件中至少有一件是不合格品}，B={另一件也是不合格品}

C242C10P(AB)1P(B|A)??? 2C6P(A)51-2C1057.设有来自三个地区的各10名、15名和25名考生的报名表，其中女生的报名表分别为3

份、7份和5份.随机地取一个地区的报名表，从中先后抽出两份. （1） 求先抽到的一份是女生表的概率p；

（2） 已知后抽到的一份是男生表，求先抽到的一份是女生表的概率q. 【解】设Ai={报名表是取自第i区的考生}，i=1,2,3.

Bj={第j次取出的是女生表}，j=1,2.

则 P(Ai)?1,i?1,2,3 3375 P(B1|A1)?,P(B1|A2)?,P(B1|A3)?101525 15

(1) p?P(B1)??P(B|A)?3(10?15?25)?90

1ii?13137529(2) q?P(B1|B2)?P(B1B2)

P(B2)而 P(B2)??P(Bi?132|Ai)P(Ai)

?1782061 (??)?310152590P(B1B2)??P(B1B2|Ai)P(Ai)

i?13 ?137785202(?????)? 31091514252492P(B1B2)920故 q? ??61P(B2)619058. 设A，B为随机事件，且P（B）>0,P(A|B)=1,试比较P(A∪B)与P(A)的大小. (2006研考)

解：因为 P(A?B)?P(A)?P(B)?P(AB)

P(AB)?P(B)?P(AB)?P(B)

所以 P(A?B)?P(A)?P(B)?P(B)?P(A).

习题二

1.一袋中有5只乒乓球，编号为1，2，3，4，5，在其中同时取3只，以X表示取出的3只

球中的最大号码，写出随机变量X的分布律. 【解】

16

X?3,4,5P(X?3)?P(X?4)?1?0.13C53 ?0.3C35C24P(X?5)?3?0.6C5故所求分布律为 X P 3 0.1 4 0.3 5 0.6

2.设在15只同类型零件中有2只为次品，在其中取3次，每次任取1只，作不放回抽样，以X表示取出的次品个数，求： （1） X的分布律；

（2） X的分布函数并作图； (3)

133P{X?},P{1?X?},P{1?X?},P{1?X?2}.

222【解】

X?0,1,2.3C1322P(X?0)?3?.C15352C112 2C13P(X?1)?3?.C1535C11P(X?2)?13?.3C1535故X的分布律为 X P 0 1 2 22 3512 351 35 （2） 当x<0时，F（x）=P（X≤x）=0

当0≤x<1时，F（x）=P（X≤x）=P(X=0)=

22 3534 35当1≤x<2时，F（x）=P（X≤x）=P(X=0)+P(X=1)=当x≥2时，F（x）=P（X≤x）=1 故X的分布函数

17

x?0?0,?22?,0?x?1?35F(x)??

34?,1?x?2?35?1,x?2?(3)

1122P(X?)?F()?,2235333434P(1?X?)?F()?F(1)???0223535

3312P(1?X?)?P(X?1)?P(1?X?)?2235341P(1?X?2)?F(2)?F(1)?P(X?2)?1???0.35353.射手向目标独立地进行了3次射击，每次击中率为0.8，求3次射击中击中目标的次数的分布律及分布函数，并求3次射击中至少击中2次的概率. 【解】

设X表示击中目标的次数.则X=0，1，2，3.

P(X?0)?(0.2)3?0.0082P(X?1)?C130.8(0.2)?0.096P(X?2)?C(0.8)0.2?0.384P(X?3)?(0.8)3?0.512故X的分布律为 X P 分布函数

0 0.008 1 0.096 2 0.384 232

3 0.512 x?0?0,?0.008,0?x?1??F(x)??0.104,1?x?2

?0.488,2?x?3?x?3??1,P(X?2)?P(X?2)?P(X?3)?0.896

4.（1） 设随机变量X的分布律为

?kP{X=k}=a，

k!其中k=0，1，2，?，λ＞0为常数，试确定常数a.

18

（2） 设随机变量X的分布律为

P{X=k}=a/N， k=1，2，?，N，

试确定常数a. 【解】（1） 由分布律的性质知

1??P(X?k)?a?k?0k?0???kk!???a?e?

故 a?e

(2) 由分布律的性质知

NN1??P(X?k)??k?1k?1a?a N即 a?1.

5.甲、乙两人投篮，投中的概率分别为0.6,0.7,今各投3次，求： （1） 两人投中次数相等的概率; （2） 甲比乙投中次数多的概率.

【解】分别令X、Y表示甲、乙投中次数，则X~b（3，0.6）,Y~b(3,0.7)

(1) P(X?Y)?P(X?0,Y?0)?P(X?1,Y?1)?P(X?2,Y?2)?

P(X?3,Y?3)

212?(0.4)3(0.3)3?C130.6(0.4)C30.7(0.3)+

C3(0.6)0.4C3(0.7)0.3?(0.6)(0.7) ?0.32076

(2) P(X?Y)?P(X?1,Y?0)?P(X?2,Y?0)?P(X?3,Y?0)? P(X?2,Y?1)?P(X?3,Y?1)?P(X?3,Y?2)

23223?C130.6(0.4)(0.3)?C3(0.6)0.4(0.3)? 22(0.6)3(0.3)3?C3(0.6)20.4C130.7(0.3)? 2322(0.6)3C130.7(0.3)?(0.6)C3(0.7)0.3

222233=0.243

6.设某机场每天有200架飞机在此降落，任一飞机在某一时刻降落的概率设为0.02，且设各飞机降落是相互独立的.试问该机场需配备多少条跑道，才能保证某一时刻飞机需立即降落而没有空闲跑道的概率小于0.01(每条跑道只能允许一架飞机降落)？

【解】设X为某一时刻需立即降落的飞机数，则X~b(200,0.02)，设机场需配备N条跑道，

则有

19

P(X?N)?0.01

即 利用泊松近似

k?N?1?200k200?kCk?0.01 200(0.02)(0.98)??np?200?0.02?4.

e?44kP(X?N)???0.01

k?N?1k!?查表得N≥9.故机场至少应配备9条跑道.

7.有一繁忙的汽车站，每天有大量汽车通过，设每辆车在一天的某时段出事故的概率为0.0001,在某天的该时段内有1000辆汽车通过，问出事故的次数不小于2的概率是多少（利用泊松定理）？

【解】设X表示出事故的次数，则X~b（1000，0.0001）

P(X?2)?1?P(X?0)?P(X?1)

?1?e?0.1?0.1?e?0.1

8.已知在五重贝努里试验中成功的次数X满足P{X=1}=P{X=2}，求概率P{X=4}. 【解】设在每次试验中成功的概率为p，则

4223C1p(1?p)?Cp(1?p) 55故 p?1 34所以 P(X?4)?C5()134210. ?32439.设事件A在每一次试验中发生的概率为0.3，当A发生不少于3次时，指示灯发出信号， （1） 进行了5次独立试验，试求指示灯发出信号的概率； （2） 进行了7次独立试验，试求指示灯发出信号的概率. 【解】（1） 设X表示5次独立试验中A发生的次数，则X~6（5，0.3）

kP(X?3)??C5(0.3)k(0.7)5?k?0.16308

k?35(2) 令Y表示7次独立试验中A发生的次数，则Y~b（7，0.3）

kP(Y?3)??C7(0.3)k(0.7)7?k?0.35293

k?3710.某公安局在长度为t的时间间隔内收到的紧急呼救的次数X服从参数为（1/2）t的泊松分

布，而与时间间隔起点无关（时间以小时计）.

（1） 求某一天中午12时至下午3时没收到呼救的概率；

（2） 求某一天中午12时至下午5时至少收到1次呼救的概率.

20

【解】（1）P(X?0)?ekk?32 (2) P(X?1)?1?P(X?0)?1?e, k=0,1,2

?52

11.设P{X=k}=C2p(1?p)P{Y=m}=C4p(1?p)mm4?m2?k, m=0,1,2,3,4

分别为随机变量X，Y的概率分布，如果已知P{X≥1}=【解】因为P(X?1)?5，试求P{Y≥1}. 954，故P(X?1)?. 992而 P(X?1)?P(X?0)?(1?p)

4, 91即 p?.

3故得 (1?p)?2从而 P(Y?1)?1?P(Y?0)?1?(1?p)?465?0.80247 8112.某教科书出版了2000册，因装订等原因造成错误的概率为0.001，试求在这2000册书中

恰有5册错误的概率.

【解】令X为2000册书中错误的册数，则X~b(2000,0.001).利用泊松近似计算,

??np?2000?0.001?2

e?225?0.0018 得 P(X?5)?5!13.进行某种试验，成功的概率为

31，失败的概率为.以X表示试验首次成功所需试验的次44数，试写出X的分布律，并计算X取偶数的概率. 【解】X?1,2,?,k,?

13P(X?k)?()k?1

44P(X?2)?P(X?4)???P(X?2k)??

131313???()3???()2k?1?? 444444131??4? 41?(1)25414.有2500名同一年龄和同社会阶层的人参加了保险公司的人寿保险.在一年中每个人死亡

的概率为0.002，每个参加保险的人在1月1日须交12元保险费，而在死亡时家属可从保险公司领取2000元赔偿金.求：

21

（1） 保险公司亏本的概率;

（2） 保险公司获利分别不少于10000元、20000元的概率. 【解】以“年”为单位来考虑.

（1） 在1月1日，保险公司总收入为2500×12=30000元. 设1年中死亡人数为X，则X~b(2500,0.002)，则所求概率为

P(2000X?30000)?P(X?15)?1?P(X?14)

由于n很大，p很小，λ=np=5，故用泊松近似，有

14P(X?15)?1??e?55k?k?0k!0.000069

(2) P(保险公司获利不少于10000)

?P(30000?2000X?10000)?P(X?10)

10??e?5 5k?0.986305 k?0k!即保险公司获利不少于10000元的概率在98%以上

P（保险公司获利不少于20000）?P(30000?2000X?20000)?P(X?5) ??5e?55k?0.615961 k?0k!即保险公司获利不少于20000元的概率约为62%

15.已知随机变量X的密度函数为

f(x)=Ae?|x|, ?∞

求：（1）A值；（2）P{0

????f(x)dx?1得

1???Ae?|x|dx?2??Ae?x??0dx?2A

故 A?12. (2) p(0?X?1)?11?x1?12?0edx?2(1?e)

(3) 当x<0时，F(x)??x11??2exdx?2ex

当x≥0时，F(x)??x101x1??2e?|x|dx????2exdx??02e?xdx

?1?1?x2e

22

?1xe,??2故 F(x)???1?1e?x??2x?0

x?016.设某种仪器内装有三只同样的电子管，电子管使用寿命X的密度函数为

100??,x?100,f(x)=?x2?x?100.?0,

求：（1） 在开始150小时内没有电子管损坏的概率； （2） 在这段时间内有一只电子管损坏的概率； （3） F（x）. 【解】

1001dx?. ?100x2328 p1?[P(X?150)]3?()3?32741122(2) p2?C3()?

339（1） P(X?150)?150(3) 当x<100时F（x）=0

当x≥100时F(x)? ? ??x??100f(t)dt f(t)dt??x100???xf(t)dt

100100 dt?1??100t2x?100,x?100?1?故 F(x)?? x?x?0?0,17.在区间［0，a］上任意投掷一个质点，以X表示这质点的坐标，设这质点落在［0，a］中任意小区间内的概率与这小区间长度成正比例，试求X的分布函数. 【解】 由题意知X~∪[0,a]，密度函数为

?1?,0?x?af(x)??a

?其他?0,故当x<0时F（x）=0 当0≤x≤a时F(x)?当x>a时，F（x）=1

即分布函数

xxx???f(t)dt??f(t)dt??001xdt? aa 23

?0,?x?F(x)??,?a??1,x?00?x?a x?a18.设随机变量X在[2，5]上服从均匀分布.现对X进行三次独立观测，求至少有两次的观测

值大于3的概率. 【解】X~U[2,5]，即

?1?,2?x?5f(x)??3

?其他?0,P(X?3)??故所求概率为

5312dx? 33202221323 p?C3()?C3()?3332719.设顾客在某银行的窗口等待服务的时间X（以分钟计）服从指数分布E().某顾客在窗口

等待服务，若超过10分钟他就离开.他一个月要到银行5次，以Y表示一个月内他未等

到服务而离开窗口的次数，试写出Y的分布律，并求P{Y≥1}. 【解】依题意知X~E()，即其密度函数为

x?1?5?e,x?0f(x)??5

?0,x?0?1515该顾客未等到服务而离开的概率为

x1?5P(X?10)??edx?e?2

105?Y~b(5,e?2),即其分布律为

kP(Y?k)?C5(e?2)k(1?e?2)5?k,k?0,1,2,3,4,5P(Y?1)?1?P(Y?0)?1?(1?e)?0.5167?25

20.某人乘汽车去火车站乘火车，有两条路可走.第一条路程较短但交通拥挤，所需时间X服

从N（40，102）；第二条路程较长，但阻塞少，所需时间X服从N（50，42）. （1） 若动身时离火车开车只有1小时，问应走哪条路能乘上火车的把握大些？ （2） 又若离火车开车时间只有45分钟，问应走哪条路赶上火车把握大些？ 【解】（1） 若走第一条路，X~N（40，102），则

?x?4060?40?P(X?60)?P?????(2)?0.97727

10??10 24

若走第二条路，X~N（50，42），则

?X?5060?50?P(X?60)?P?????(2.5)?0.9938++

4??4故走第二条路乘上火车的把握大些.

（2） 若X~N（40，102），则

?X?4045?40?P(X?45)?P?????(0.5)?0.6915

10??10若X~N（50，42），则

?X?5045?50?P(X?45)?P?????(?1.25)

44?? ?1??(1.25)?0.1056 故走第一条路乘上火车的把握大些.

21.设X~N（3，22），

（1） 求P{2

?0.8413?1?0.6915?0.5328??4?3X?310?3?P(?4?X?10)?P????

22??2 ????7??7????????0.9996 ?2??2?P(|X|?2)?P(X?2)?P(X??2)

?X?32?3??X?3?2?3??P???P????2222?????1??5??1??5? ?1???????????????1????

?2??2??2??2??0.6915?1?0.9938?0.6977P(X?3)?P(X?33-3?)?1??(0)?0.5 22(2) c=3

22.由某机器生产的螺栓长度（cm）X~N（10.05,0.062）,规定长度在10.05±0.12内为合格品,

25

求一螺栓为不合格品的概率. 【解】P(|X?10.05|?0.12)?P??X?10.050.12?? ?0.06??0.06

?1??(2)??(?2)?2[1??(2)]?0.045623.一工厂生产的电子管寿命X（小时）服从正态分布N（160，σ2），若要求P{120＜X≤200}

≥0.8，允许σ最大不超过多少？ 【解】P(120?X?200)?P??120?160X?160200?160????????? ???40???????????40??????2???40??????1?0.8 故 ??401.29?31.25 24.设随机变量X分布函数为

F（x）=??A?Be?xt,x?0,(?0,x?0.??0), （1） 求常数A，B；

（2） 求P{X≤2}，P{X＞3}； （3） 求分布密度f（x）.

?limF(x)?1【解】（1）由??x????A?1??xlim?0?F(x)?得?xlim?0?F(x)?B??1

（2） P(X?2)?F(2)?1?e?2?

P(X?3)?1?F(3)?1?(1?e?3?)?e?3?

(3) f(x)?F?(x)????e??x,x?0?0,x?0

25.设随机变量X的概率密度为

?0?x?1,f（x）=?x,?2?x,1?x?2, ??0,其他.求X的分布函数F（x），并画出f（x）及F（x）.

【解】当x<0时F（x）=0

当0≤x<1时F(x)??x0??f(t)dt??f(t)dt??x??0f(t)dt

26

x2 ??tdt?

02x当1≤x<2时F(x)??x??0f(t)dt

f(t)dt??f(t)dt??f(t)dt01x1x????1??tdt??(2?t)dt01

?1x23

2?2x?2?2x2??2?2x?1当x≥2时F(x)??x??f(t)dt?1

??0,x?0?x2,0?x?1故 F(x)???2?x2 ???2x?1,1?x?2?2?1,x?226.设随机变量X的密度函数为

（1） f(x)=ae??|x|,λ>0;

?bx,0?x?1,(2) f(x)=??12,1?x?2, ?x?0,其他.试确定常数a,b，并求其分布函数F（x）.

【解】（1） 由

??1???ae??|x|dx?2a????f(x)dx?1知e??xd2a??0x??

故 a??2

????即密度函数为 f(x)????2ex,x?0????2e?xx?0当x≤0时F(x)??x??f(x)dx??x?e?xdx?1e?x??22 当x>0时F(x)??x??f(x)dx??0?x??2e?xdx??x???02edx

?1?1??x2e 27

故其分布函数

?1??x1?e,x?0??2 F(x)???1e?x,x?0??2(2) 由1?????f(x)dx??1bxdx?210?1x2dx?b2?12 得 b=1

即X的密度函数为

??x,0?x?1f(x)???12,1?x?2

?x??0,其他当x≤0时F（x）=0 当0

??xdx?x20x2

当1≤x<2时F(x)??x??f(x)dx??01x1??0dx??0xdx??1x2dx ?32?1x 当x≥2时F（x）=1 故其分布函数为

??0,x?0?x2,0?x?1F(x)???2

?3?1?x?2?2?1x,?1,x?227.求标准正态分布的上?分位点， （1）?=0.01，求z?; （2）?=0.003，求z?，z?/2. 【解】（1） P(X?z?)?0.01

即 1??(z?)?0.01 即 ?(z?)?0.09

28

故 z??2.33 （2） 由P(X?z?)?0.003得

1??(z?)?0.003

即 ?(z?)?0.997 查表得 z??2.75 由P(X?z?/2)?0.0015得

1??(z?/2)?0.0015

即 ?(z?/2)?0.9985 查表得 z?/2?2.96 28.设随机变量X的分布律为 X Pk ?2 ?1 0 1 3 1/5 1/6 1/5 1/15 11/30 求Y=X2的分布律.

【解】Y可取的值为0，1，4，9

P(Y?0)?P(X?0)?15117??61530

P(Y?1)?P(X??1)?P(X?1)?1511P(Y?9)?P(X?3)?30P(Y?4)?P(X??2)?故Y的分布律为

Y Pk 0 1 4 9 1/5 7/30 1/5 11/30 29.设P{X=k}=(

1k

), k=1,2,?,令 2?1,当X取偶数时Y??

?1,当X取奇数时.?求随机变量X的函数Y的分布律.

【解】P(Y?1)?P(X?2)?P(X?4)???P(X?2k)??

29

?(1)2?(1)4???(1)2k 222???(1 4)/(1?114)?3P(Y??1)?1?P(Y?1)?23 30.设X~N（0，1）.

（1） 求Y=eX的概率密度； （2） 求Y=2X2+1的概率密度； （3） 求Y=｜X｜的概率密度.

【解】（1） 当y≤0时，FY(y)?P(Y?y)?0

当y>0时，FY(y)?P(Y?y)?P(ex?y)?P(X?lny)

??lny??fX(x)dx

故 fdFY(y)111?ln2y/2Y(y)?dy?yfx(lny)?y2πe,y?0(2)P(Y?2X2?1?1)?1

当y≤1时FY(y)?P(Y?y)?0

当y>1时F2Y(y)?P(Y?y)?P(2X?1?y)

?P??X2?y?1?y?1??2???P??y?1???X?2?? ?2? ??(y?1)/2?(y?1)/2fX(x)dx

故 fd12???Y(y)?dyFY(y)?4y?1?fy?1?fy?1????X???2??? ?X????2?????? ?121y?12πe?(y?1)/42,y?1

(3) P(Y?0)?1

当y≤0时FY(y)?P(Y?y)?0

当y>0时FY(y)?P(|X|?y)?P(?y?X?y)

30

??y?yfX(x)dx

故fdY(y)?dyFY(y)?fX(y)?fX(?y) ?22πe?y2/2,y?0 31.设随机变量X~U（0,1），试求：

（1） Y=eX的分布函数及密度函数； （2） Z=?2lnX的分布函数及密度函数. 【解】（1） P(0?X?1)?1

故 P(1?Y?eX?e?) 1当y?1时FY(y)?P(Y?y)?0

当1

??lny0dx?lny

当y≥e时FXY(y)?P(e?y)?1 即分布函数

?y?1F)??0,Y(y?lny,1?y?e

??1,y?e故Y的密度函数为

?1fy)???y,1?y?eY(

??0,其他（2） 由P（0

P(Z?0)?1

当z≤0时，FZ(z)?P(Z?z)?0

当z>0时，FZ(z)?P(Z?z)?P(?2lnX?z)

?P(lnX??z)?P(X?e?z/22) ??1e?z/2dx?1?e?z/2

31

即分布函数

?0,FZ(z)??-z/2?1-e,故Z的密度函数为

z?0z?0

?1?z/2?e,z?0 fZ(z)??2?z?0?0,32.设随机变量X的密度函数为

?f(x)=?2x?π2,0?x?π,

??0,其他.试求Y=sinX的密度函数. 【解】P(0?Y?1)?1

当y≤0时，FY(y)?P(Y?y)?0

当0

?P(0?X?arcsiny)?P(π?arcsiny?X?π) ??arcsiny2xπ0π2dx??2xπ?arcsinyπ2dx

?1212π2（arcsiny）?1-π2（π-arcsiny） ?2πarcsiny

当y≥1时，FY(y)?1 故Y的密度函数为

?2f(y)???1,?π1?y20?y?1Y ??0,其他33.设随机变量X的分布函数如下：

?1F(x)???1?,x?(1),

?2x2?(),x?(3).试填上(1),(2),(3)项.

【解】由limx??F(x)?1知②填1。

32

F(x)?F(x0)?1知x0?0，故①为0。 由右连续性lim+x?x0从而③亦为0。即

?1,?F(x)??1?x2??1,x?0x?0

34.同时掷两枚骰子，直到一枚骰子出现6点为止，求抛掷次数X的分布律. 【解】设Ai={第i枚骰子出现6点}。（i=1,2）,P(Ai)=

抛掷出现6点}。则

1.且A1与A2相互独立。再设C={每次6P(C)?P(A1?A2)?P(A1)?P(A2)?P(A1)P(A2)

111111???? 66663611 故抛掷次数X服从参数为的几何分布。

36 ?35.随机数字序列要多长才能使数字0至少出现一次的概率不小于0.9? 【解】令X为0出现的次数，设数字序列中要包含n个数字，则

X~b(n,0.1)

0nP(X?1)?1?P(X?0)?1?C0n(0.1)(0.9)?0.9

即 (0.9)?0.1 得 n≥22 即随机数字序列至少要有22个数字。 36.已知

n??0,?1?F（x）=?x?,2??1,??x?0,10?x?,

21x?.2则F（x）是（ ）随机变量的分布函数.

（A） 连续型； （B）离散型； （C） 非连续亦非离散型.

【解】因为F（x）在（?∞,+∞）上单调不减右连续，且limF(x)?0

x???x???limF(x)?1,所以F（x）是一个分布函数。

但是F（x）在x=0处不连续，也不是阶梯状曲线，故F（x）是非连续亦非离散型随机变量的分布函数。选（C）

37.设在区间[a,b]上，随机变量X的密度函数为f(x)=sinx，而在[a,b]外，f(x)=0，则区间 [a,b]

33

等于（ ）

(A) [0,π/2]; (B) [0,π]; (C) [?π/2,0]; (D) [0,【解】在[0,]上sinx≥0，且

在[0,π]上在[?3π]. 2π2?π/20sinxdx?1.故f(x)是密度函数。

?π0sinxdx?2?1.故f(x)不是密度函数。

π,0]上sinx?0，故f(x)不是密度函数。 233在[0,π]上，当π?x?π时，sinx<0，f(x)也不是密度函数。

22故选（A）。

38.设随机变量X~N（0，σ2），问：当σ取何值时，X落入区间（1，3）的概率最大？ 【解】因为X~N(0,?),P(1?X?3)?P(21?3?X??3?)

??(利用微积分中求极值的方法，有

?1)??()令g(?)

?g?(?)?(???

3?311??)?()??() 22???3?211?9/2?21e?2?2?21?1/2?2e2?2?2??2e?1/2?[1?3e?8/2?]?0令

得?0?224,则 ?0? ln3ln3又 g??(?0)?0 故?0?2为极大值点且惟一。 ln32时X落入区间（1，3）的概率最大。 ln3故当??39.设在一段时间内进入某一商店的顾客人数X服从泊松分布P（λ），每个顾客购买某种物

品的概率为p，并且各个顾客是否购买该种物品相互独立，求进入商店的顾客购买这种物品的人数Y的分布律.

e???m,m?0,1,2,? 【解】P(X?m)?m!设购买某种物品的人数为Y，在进入商店的人数X=m的条件下，Y~b(m,p)，即

34

km?kP(Y?k|X?m)?Ck,k?0,1,?,m mp(1?p)由全概率公式有

P(Y?k)??P(X?m)P(Y?k|X?m)

m?k?e???mkk???Cmp(1?p)m?km!m?k??e ?e??m?k???k!(m?k)!p(?p)kk!???mk(1?p)m?k

[?(1?p)]m?k?(m?k)!m?k(?p)k???(1?p)?eek!(?p)k??p?e,k?0,1,2,?k!此题说明：进入商店的人数服从参数为λ的泊松分布，购买这种物品的人数仍服从泊松分布，但参数改变为λp.

40.设随机变量X服从参数为2的指数分布.证明：Y=1?e?2X在区间（0，1）上服从均匀分布. 【证】X的密度函数为

?2e?2x,fX(x)???0,x?0x?0

由于P（X>0）=1，故0<1?e?2X<1，即P（0

当0

1?P(X??ln(1?y))2 ??即Y的密度函数为

1?ln(1?y)202e?2xdx?y?1,0?y?1fY(y)??

?0,其他即Y~U（0，1）

41.设随机变量X的密度函数为

35

?1?3,0?x?1,??2f(x)=?,3?x?6,

?9其他.?0,??若k使得P{X≥k}=2/3，求k的取值范围. (2000研考) 【解】由P（X≥k）=

21知P（X

1k1dx??033?3 1 当k=1时P（X

311k1若1≤k≤3时P（X

031311k2211若3

0339933若0≤k≤1,P(X6,则P（X

故只有当1≤k≤3时满足P（X≥k）=42.设随机变量X的分布函数为

2. 3x??1,?0,?0.4,?1?x?1,?F(x)=?

0.8,1?x?3,??x?3.?1,求X的概率分布. （1991研考）

【解】由离散型随机变量X分布律与分布函数之间的关系，可知X的概率分布为 X P ?1 0.4 1 0.4 3 0.2

43.设三次独立试验中，事件A出现的概率相等.若已知A至少出现一次的概率为19/27，求A

在一次试验中出现的概率.

【解】令X为三次独立试验中A出现的次数，若设P（A）=p,则

X~b(3,p)

由P（X≥1）=故p=

198知P（X=0）=（1?p）3= 27271 344.若随机变量X在（1，6）上服从均匀分布，则方程y2+Xy+1=0有实根的概率是多少？ 【解】

36

?1?,1?x?6f(x)??5

??0,其他P(X2?4?0)?P(X?2)?P(X??2)?P(X?2)?45.若随机变量X~N（2，σ2），且P{2

P{X<0}= . 【解】0.3?P(2?X?4)?P(4 52?2??X?2??4?2?)

22??()??(0)??()?0.5

??故 ?(2?)?0.8

因此 P(X?0)?P(X?2?2?0?2?2)??(?)

? ?1??(?)?0.2

46.假设一厂家生产的每台仪器，以概率0.7可以直接出厂；以概率0.3需进一步调试，经调

试后以概率0.8可以出厂，以概率0.2定为不合格品不能出厂.现该厂新生产了n(n≥2)台仪器（假设各台仪器的生产过程相互独立）.求 （1） 全部能出厂的概率α；

（2） 其中恰好有两台不能出厂的概率β；

（3）其中至少有两台不能出厂的概率θ. 【解】设A={需进一步调试}，B={仪器能出厂}，则

A={能直接出厂}，AB={经调试后能出厂}

由题意知B=A∪AB，且

P(A)?0.3,P(B|A)?0.8P(AB)?P(A)P(B|A)?0.3?0.8?0.24 P(B)?P(A)?P(AB)?0.7?0.24?0.94令X为新生产的n台仪器中能出厂的台数，则X~6（n，0.94）, 故

??P(X?n)?(0.94)nn?2??P(X?n?2)?C2(0.06)2 n(0.94)??P(X?n?2)?1?P(X?n?1)?P(X?n) ?1?n(0.94)n?10.06?(0.94)n

47.某地抽样调查结果表明，考生的外语成绩（百分制）近似服从正态分布，平均成绩为72

分，96分以上的占考生总数的2.3%，试求考生的外语成绩在60分至84分之间的概率. 【解】设X为考生的外语成绩，则X~N（72，σ2）

37

24?X?7296?72?0.023?P(X?96)?P???1??() ??????故 ?(查表知 从而X~N（72，122） 故 P(60?X?84)?P?24?)?0.977

24??2,即σ=12

?60?72X?7284?72????

1212??12

??(1)??(?1)?2?(1)?1?0.68248.在电源电压不超过200V、200V~240V和超过240V三种情形下，某种电子元件损坏的概

率分别为0.1，0.001和0.2（假设电源电压X服从正态分布N（220，252））.试求： （1） 该电子元件损坏的概率α;

(2) 该电子元件损坏时，电源电压在200~240V的概率β 【解】设A1={电压不超过200V}，A2={电压在200~240V}，

A3={电压超过240V}，B={元件损坏}。 由X~N（220，252）知

P(A1)?P(X?200)

?X?220200?220??P???

2525????(?0.8)?1??(0.8)?0.212P(A2)?P(200?X?240)

?200?220X?220240?220??P????

252525????(0.8)??(?0.8)?0.576P(A3)?P(X?240)?1?0.212?0.576?0.212

由全概率公式有

??P(B)??P(Ai)P(B|Ai)?0.0642

i?13由贝叶斯公式有

??P(A2|B)?P(A2)P(B|A2)?0.009

P(B)49.设随机变量X在区间（1，2）上服从均匀分布，试求随机变量Y=e2X的概率密度fY(y).

38

【解】f?1,1?x?2X(x)???0,其他

因为P（1

?P(1?X?12lny) ?1 ??2lnydx?112lny?1

当y≥e4时，FY(y)?P(Y?y)?1

??0,y?e2即 F?1Y(y)??2lny?1,e2?y?e4

???1,y?e4?故 f?1,e2?y?e4Y(y)??2y

??0,其他50.设随机变量X的密度函数为

f(x)=??e?x,x?0,X?0,x?0.

求随机变量Y=eX的密度函数fY(y). 【解】P（Y≥1）=1

当y≤1时，FY(y)?P(Y?y)?0

当y>1时，FXY(y)?P(Y?y)?P(e?y)?P(X?lny) ??lnyx0e?dx?1?1y ?即 F?1?1Y(y)??y,y>1

??0,y?1?故 f?12,y>1Y(y)??y

??0,y?1

(1995研考)

39

51.设随机变量X的密度函数为

fX(x)=

1, 2π(1?x)求Y=1?3x的密度函数fY(y). 【解】FY(y)?P(Y?y)?P(1?3X?y)?P(X?(1?y))

3??

11dx?arctgx(1?y)3π(1?x2)π??(1?y)3?1?π3??arctg(1?y)?π??2?

3(1?y)2故 fY(y)?

π1?(1?y)652.假设一大型设备在任何长为t的时间内发生故障的次数N（t）服从参数为λt的泊松分布.

（1） 求相继两次故障之间时间间隔T的概率分布； （2） 求在设备已经无故障工作8小时的情形下，再无故障运行8小时的概率Q.（1993

研考） 【解】（1） 当t<0时，FT(t)?P(T?t)?0

当t≥0时，事件{T>t}与{N(t)=0}等价，有

FT(t)?P(T?t)?1?P(T?t)?1?P(N(t)?0)?1?e??t

?1?e??t,t?0即 FT(t)??

0,t?0?即间隔时间T服从参数为λ的指数分布。

e?16??8?（2） Q?P(T?16|T?8)?P(T?16)/P(T?8)??8??e

e53.设随机变量X的绝对值不大于1，P{X=?1}=1/8，P{X=1}=1/4.在事件{?1

件下，X在{?1，1}内任一子区间上取值的条件概率与该子区间长度成正比，试求X的分布函数F（x）=P{X≤x}. (1997研考) 【解】显然当x

由题知P(?1?X?1)?1?115?? 848x?1 2当?1

40

?P(X?,?1?X?1)?P(X?x,X??1)?P(X?x,X?1)?P(X?x,?1?X?1)?P(X?x,x??1) ?P(X?x|?1?X?1)P(?1?X?1)?P(X??1)

?x?15151???(x?1)?288168当x=?1时，F(x)?P(X?x)?P(X??1)?故X的分布函数

1 8x??1?0,?51?F(x)??(x?1)?,-1?x<1

8?16x?1??1,54. 设随机变量X服从正态分N（μ1,σ12),Y服从正态分布N(μ2,σ22)，且P{|X-μ1|<1}>P{|Y-μ2|<1}，试比较σ1与σ2的大小. (2006研考) 解： 依题意

X??1?1?N(0,1)，

Y??2?2?N(0,1)，则

1P{X??1?1}?P{X??1?1Y??2??11}，

P{Y??2?1}?P{因为P{X??1?1}?P{Y??2?1}，即

?2??2}.

P{X??1?11?1?1}?P{Y??1?2?1?2}，

所以有

?1?1?2，即?1??2.

习题三

1.将一硬币抛掷三次，以X表示在三次中出现正面的次数，以Y表示三次中出现正面次数与

出现反面次数之差的绝对值.试写出X和Y的联合分布律. 【解】X和Y的联合分布律如表：

41

Y X 0 0 1 2 3 1 3 1113C1???? 322280 1 80 1121C3????3/8 2220 1111??? 2228

2.盒子里装有3只黑球、2只红球、2只白球，在其中任取4只球，以X表示取到黑球的只数，以Y表示取到红球的只数.求X和Y的联合分布律. 【解】X和Y的联合分布律如表： Y X 0 0 1 0 2 22C3?C23? 4C7352C3?C1C1122?2? 4C73522C3?C23? 4C7353 0 C3C123?2? 4C735C3C123?2? 4C7350 1 0 C1C1C263?2?2? 4C7352 P(0黑,2红,2白)= 24C2?C/C227?1 3521C1?C?C6322? 4C735

3.设二维随机变量（X，Y）的联合分布函数为

ππ??sinxsiny,0?x?,0?y?F（x，y）=?22

?其他.?0,求二维随机变量（X，Y）在长方形域?0?x?【解】如图P{0?X???πππ?,?y??内的概率. 463?πππ,?Y?}公式(3.2) 463ππππππF(,)?F(,)?F(0,)?F(0,) 434636

ππππππ?sin?sin?sin?sin?sin0?sin?sin0?sin434636?2(3?1).4

42

题3图

说明：也可先求出密度函数，再求概率。 4.设随机变量（X，Y）的分布密度

（x，y）=??Ae?(3x?4y)f,x?0,y?0,?0,其他.

求：（1） 常数A；

（2） 随机变量（X，Y）的分布函数； （3） P{0≤X<1，0≤Y<2}. 【解】（1） 由

??????????f(x,y)dxdy????x?4y)0???0Ae-(3dxdy?A12?1 得 A=12 （2） 由定义，有 F(x,y)??y???x??f(u,v)dudv

?yy?(3 ????u?4v)dudv??(1?e?3x)(1?e?4y0?012e)y?0,x?0,???0,?0,其他(3) P{0?X?1,0?Y?2}

?P{0?X?1,0?Y?2}

??10?2012e?(3x?4y)dxdy?(1?e?3)(1?e?8)?0.9499.

5.设随机变量（X，Y）的概率密度为

f（x，y）=??k(6?x?y),0?x?2,2?y?4,?0,其他.

（1） 确定常数k；

（2） 求P{X＜1，Y＜3}； （3） 求P{X<1.5}； （4） 求P{X+Y≤4}. 【解】（1） 由性质有

?????4?????f(x,y)dxdy??20?2k(6?x?y)dydx?8k?1,

故 R?18 （2） P{X?1,Y?3}??1?3????f(x,y)dydx

43

?(3) P{X?1.5}?x?1.5???13 k(6?x?y)dydx??0?288f(x,y)dxdy如图a??f(x,y)dxdy

13D1 ?1.50dx?(4) P{X?Y?4}? ?X?Y?4??2127(6?x?y)dy?. 2832f(x,y)dxdy如图b??f(x,y)dxdy

4D2?0dx?4?x212(6?x?y)dy?. 83

题5图

6.设X和Y是两个相互独立的随机变量，X在（0，0.2）上服从均匀分布，Y的密度函数为

?5e?5y,y?0,fY（y）=?

0,其他.?求：（1） X与Y的联合分布密度；（2） P{Y≤X}.

题6图

【解】（1） 因X在（0，0.2）上服从均匀分布，所以X的密度函数为

?1,0?x?0.2,?fX(x)??0.2

?其他.?0,而

?5e?5y,y?0,fY(y)??

0,其他.?所以

)Y,独立fXx(?f) f(x,yX )Yy( 44

?1 ???0.2?5e?5y??25e?5y,0?x?0.2且y?0, ???0,?0,其他.(2) P(Y?X)?(x,y)dxdy如图y??f?x??25e?5ydxdy

D0.2x-5y0.2

??0dx?25edy??(?5e?5x00?5)dx

=e-1?0.3679.7.设二维随机变量（X，Y）的联合分布函数为

?(1?e?4x)(1?e?2yF（x，y）=?),x?0,y?0,?0,其他.

求（X，Y）的联合分布密度.

,y)??2F(x,y)?8e?(4x?2y)【解】f(x?x?y??,x?0,y?0,

?0,其他.8.设二维随机变量（X，Y）的概率密度为

f（x，y）=??4.8y(2?x),0?x?1,0?y?x,?0,其他.

求边缘概率密度. 【解】fX(x)??????f(x,y)dy

? =???x204.8y(2?x)dy??2.4x(2?x),0?x?1,?? ?0,?0,其他. fY(y)??????f(x,y)d x?1 =???y4.8y(2?x)dx??2.4y(3?4y?y2),0?y?1,?? ?0,?0,其他.

题8图 题9图

9.设二维随机变量（X，Y）的概率密度为

f（x，y）=??e?y,0?x?y,?0,其他.

45

求边缘概率密度. 【解】fX(x)??????f(x,y)dy

=????y?x ???xedy??e,x?0,???0,?0,其他. fY(y)??????f(x,y)dx

? =???y?y?x0edx??ye,y?0,?? ?0,?0,其他.

题10图

10.设二维随机变量（X，Y）的概率密度为

f（x，y）=??cx2y,x2?y?1,?0,其他.

（1） 试确定常数c；

（2） 求边缘概率密度. 【解】（1）

??????????f(x,y)dxdy如图??f(x,y)dxdy

D =?114-1dx?x2cx2ydy?21c?1. 得?c?214. (2) f??X(x)????f(x,y)dy

? ????1212?2124x2xydy??x(1?x),?4?8?1?x?1,?0,??0,其他.f??Y(y)????f(x,y)dx

?????y212?75?yxydx??y2,0?y?4??1,?0,?2 ?0, 其他.11.设随机变量（X，Y）的概率密度为

46

f（x，y）=??1,?0,y?x,0?x?1,其他.

求条件概率密度fY｜X（y｜x），fX｜Y（x｜y）.

题11图

【解】fX(x)??????f(x,y)dy

x??1dy?2x,0?x?1, ????x

?其他.?0,fY(y)???????11dx?1?y,?1?y?0,???y??1f(x,y)dx???1dx?1?y,0?y?1,

y?其他.?0,??所以

?1f(x,y)?,|y|?x?1,fY|X(y|x)???2x

fX(x)?其他.?0,?1?1?y, y?x?1,?f(x,y)?1??,?y?x?1, fX|Y(x|y)?fY(y)?1?y?0,其他.??12.袋中有五个号码1，2，3，4，5，从中任取三个，记这三个号码中最小的号码为X，最大

的号码为Y.

（1） 求X与Y的联合概率分布； （2） X与Y是否相互独立？ 【解】（1） X与Y的联合分布律如下表 X Y 3 4 5 P{X?xi} 47

1 11 ?3C5100 22 ?3C51033 ?3C5106 103 101 10 2 11 ?C31050 22 ?C310511 ?2C5103 0 P{Y?yi} 1 103 106 10(2) 因P{X?1}?P{Y?3}?6161????P{X?1,Y?3}, 101010010故X与Y不独立?

13.设二维随机变量（X，Y）的联合分布律为 Y 0.4 0.8 X 2 5 8 0.15 0.30 0.35 0.05 0.12 0.03 （1）求关于X和关于Y的边缘分布； （2） X与Y是否相互独立？ 【解】（1）X和Y的边缘分布如下表? Y X 2 0.15 0.05 0.2 5 0.30 0.12 0.42 8 0.35 0.03 0.38 P{Y=yi} 0.8 0.2 0.4 0.8 P{X?xi} (2) 因P{X?2}?P{Y?0.4}?0.2?0.8?0.16?0.15?P(X?2,Y?0.4), 故X与Y不独立.?

14.设X和Y是两个相互独立的随机变量，X在（0，1）上服从均匀分布，Y的概率密度为

1??e?y/2,fY（y）=?2??0,y?0,其他.

（1）求X和Y的联合概率密度；

（2） 设含有a的二次方程为a2+2Xa+Y=0，试求a有实根的概率.

y?1?2?1,0?x?1,?e,y?1,【解】（1） 因fX(x)??? fY(y)???2

0,其他;??0,其他.? 48

?1?y/2?e故f(x,y)X,Y独立fX(x)?fY(y)??2??0,0?x?1,y?0,其他.

题14图

(2) 方程a?2Xa?Y?0有实根的条件是

2??(2X)2?4Y?0

故 X2≥Y，

从而方程有实根的概率为：

P{X2?Y}?x2?y??f(x,y)dxdy

1?y/2edy002 ?1?2?[?(1)??(0)]

??dx?1x2?0.1445.15.设X和Y分别表示两个不同电子器件的寿命（以小时计），并设X和Y相互独立，且服

从同一分布，其概率密度为

?1000?,x?1000,f（x）=?x2

?其他.?0,求Z=X/Y的概率密度.

【解】如图,Z的分布函数FZ(z)?P{Z?z}?P{(1) 当z≤0时，FZ(z)?0

（2） 当0

X?z} YFZ(z)???y?xz1000）(如图a) z6??yz10106dxdy??103dy?322dx 2210xyxyz?103106?z =?103?2?3?dy?

zy?2z?y?? 49

题15图

(3) 当z≥1时，（这时当y=103时，x=103z）（如图b）

F106Z(z)???x2y2dxdy????zy106103dy?103y?xx2y2dx z =????103106?1103??y2?zy3??dy?1?2z

??1?12z,z?1,?即 f?zZ(z)??,0?z?1, ?2?其他?0,.???12z2,z?1,?故 f?1Z(z)??0?z?1, ?2,?其他?0,.?16.设某种型号的电子管的寿命（以小时计）近似地服从N（160，202）分布.随机地选取4 求其中没有一只寿命小于180的概率.

【解】设这四只寿命为Xi(i=1,2,3,4)，则Xi~N（160，202），

从而

P{min(X1,X2,X3,X4)?180}Xi之间独立P{X1?180}?P{X2?180}

P{X3?180}?P{X4?180}

?[1?P{X1?180?}]?[P1X2{?1?80?}P][X31?{?1?8P0}4X][1? 4 ?[1?P{X??180?160??1?180}]4???1????20???? ?[1??(1)]4?(0.158)4?0.00063.17.设X，Y是相互独立的随机变量，其分布律分别为

只，

50

{180}]

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