函数拐点的判别与求法探讨

函数拐点的判别与求法探讨

摘要：本文主要通过一些典型例题对函数拐点的判别与求法进行了探讨。 包 括利用定义、极值定理、二阶导数变号法、函数奇偶特性等方法进行判别和求之。

关键词：函数；拐点；极值；导数

定义：设函数在区间上连续，在内可导（或导数为无穷大），则曲线凹凸部分的分界点称为曲线的拐点。下面笔者就对函数拐点的判别与求法作一介绍。

一、利用定义求之

设在上连续，在内具有一阶和二阶导数，则可按下述步骤判定并求出曲线的拐点：1、求；2、令，求出该方程在内的所有实根；3、对于2中求出的每个实根检查在左、右两侧邻近的符号，如果在左、右两侧邻近分别保持一定符号，那么两侧符号相反时，是拐点；两侧符号相同时，不是拐点。尤其是函数在点连续、存在、不存在的点仍可能是拐点，或者为无穷大的点也可能是拐点。

例1：求下列曲线的拐点坐标

1）；2） ；

解：1） 在内连续，

因为 ，

故无零点，不存在。

当时，；当时，；

故拐点坐标为。

2） === ；

===

令 ，得，当 时， 不存在。

当 从或1左右邻近变动时， 变号，故在 处有拐点 。因为由参数方程确定的函数的定义域为， 为曲线的端点，故不是拐点。

例2：使“概率曲线”在点处有拐点，试确定和的关系。

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