常微分方程1

常 微 分 方 程

试卷（一至十） 试 卷（一）

一、填空题（3′×10＝30′）

1、以y1＝e2x，y2=exsinx，y3=excosx为特解的最低阶常系数齐次线性微分方程是 。

2、微分方程4x3y3dx+3x4y2dy=0的通积分是 。 3、柯西问题

dy?x，y（0）=1的解是 。 dx4、方程ydx-xdy=0的积分因子可取 。

5、证明初值问题的毕卡定理所构造的毕卡序列是 。 6、微分方程F(x，y，p)=0若有奇解y=? (x)，则y=? (x) 满足的P-判别式是 。 7、线性微分方程组

dY，Y2（x）…，Yn（x）?A(x)Y的解组Y1（x）

dx在某区间上线性无头的充分必要条件是 。 8、设A＝

1 0 1 0 0 -1 0 0 2 ，则矩阵指数函数exA＝ 。

9、方程y???y??y?0的通解是 。

10、由方程y????3ay???3ay??y?0的通解是 。 二、解下列各方程（7′×4＝28） 1、求方程

dyx?y?1?的通解： dxx?y?32、 (1+x2)y〞=2xy′ y(o)?1,y?(o)?3 3、

dy1?y?x2y6 dxx4、y???3y??2y?(3x?5)e2x

三、求单参数曲线族xy=c的正交轨线族（10′） 四、解微分方程组（12′）

3 1 0 dY -1 ? -4 0 Y

dx4 -8 -2

五、设二阶方程x2y???4xy??4y?0有特解y1(x)=x，求此方程的通解（8′）

六、有一容积为10000m3的车间。车间的空气含有0.12%的CO2，今用一台风量为1000m3/min的鼓风机通入新鲜空气，新鲜空气中含有0.04%的CO2，向鼓风机开动10min后，车间内CO2的百分比降到多少？（12′）

试卷（二）

一、填空题（3′×10＝30′） y1〞+y2′+xy2=0 1、微分方程组 的阶数是 。

y2〞+y1′+xy1=0 2、以y1＝ex,y2=xex,y3=e2xxin2x为特解的最低阶实常系数齐次线性微分方程是 。 3、初值问题

dyy?，y（1）=1的解是 。 dxx4、微分方程sinydx+cosydy=0的通积分是 。 5、设曲线T：y=y(x)是单参数曲线族V（x，y，c）=0的一支包络，则它满足的C-判别式是 。

6、证明一阶方程初值问题解的存在性的毕卡定理时，第一步证明与

dy?f(x,y),y(xo)?yo等价的积分方程是 。 dxdY7、线性微分方程组?A(x)Y的解组Y1（x），Y2（x），…，Yn（x）在

dx所论初值问题

某区间上线性相关的充分必要条件是 。 8、设A＝

-2 0 0 0 0 2 0 0 3 ，则矩阵指数函数eAx＝

9、方程y???3y??2y?0的通解是 。 10、方程y???5y??7y?0的通解是 。 二、解下列微分方程（7′×4＝28′）

dy2x?y? dxx?2ydyx?2y?sinx2、 dx

1y(?)?1、

?dyx23、(x?y?3)?2x(2y?)

dxy224、y〞-2y′+2y=4excosx

三、求单参数曲线族x2+c2y2=1的正交轨线（10′） 四、解方程组 2 1 -2 dY 0 Y+ ? -1 0 dx2 -x 0 1-x

1 1 -1 五、设微分方程y???p(x)y??0有一特解y＝ex，试求此方程的通解，并确定函数P（x）（8′）

六、某社会的总人数为N，当时流行一种传染病，得病人数为x，设传染病人数的扩大率与得病人数和未得病人数的乘积成正比，试讨论传染病人数的发展趋势，并以此解释对传染病人隔离的必要性（10′）

试卷（三）

一、填空题（3′×10＝30′）

1、已知一个最低阶齐次线性方程有特解y1=e，y2=3e,y3=2e,则此方程的通解为 。

2、以y1?ex,y2?excos2x为特解的最低阶的实常系数齐次线性方程是 。

3、微分方程cosxdy?ysinxdx?0的通积分是 。 4、n阶线性微分方程的n个解y1(x),y2(x),…,yn(x)的朗斯基行列式不等于零是这几个解构成基本解组的 条件。 5、初值问题

dyy?，y(1)=1的解是 。 dxx1 0 0 0 2 0 0 0 3 xA3x3x- x

6、设A＝ ,则矩阵指数函数e＝ 。

7、设函数y＝?（x）是方程F（x,y,y′）=0的一个奇解，则y=?（x）满足的P-判别式是 。 8、微分方程y???2y??3y?0的通解为 。

9、微分方程y(4)?4y????6y???4y??y?0的通解为 。 10、微分方程y???2y??y?(2x?1)ex的特解有形式 。 二、解下列微分方程（7×4＝28′）

dyx2?y21、?

dx2y2、

dyx?2y?1? dx2x?4y?13、（3x3+y）dx+(2x2y-x)dy=0

4、x(y?)2?2yy??9x?0并求奇解。 三、试述一阶微分方程

dyy（x0）＝y0解存在唯一性定理（毕?f(x,y)，

dx卡定理）的主要证明步骤（10′） 四、解方程组（12′）

2 1 -2 dY 0 0 Y ? -1 dx

1 1 -1 五、求与单参数曲线族xy＝c相交成45o角的曲线族（8′） 六、一质点沿x轴运动，在运动过程中只受到一个与速度成正比的反力的作用，设它从原点出发时，初速为10m/min,而当它到达会标为2.5m的点时 ，速度为5m/min，求该质点到达坐标为4m的点时的速度（12′）

试卷（四）

一、填空题（3′×10＝30′）

1、已知一个常系数齐次线性方程有特解y1=esinx,y2=ecosx,y3=e,则此方程可以是 。

2、微分方程（x+y）dx - (x-y)dy=0的积分因子可以取 。 3、某三阶线性微分方程有特解y1=e2x，y2=sinx,y3=cosx,则此三个解的朗斯基行列式是 。

4、初问题xdx-ydy=0,y(0)=1的解是 。 5、方程程。 6、设A＝

7、微分方程 y????2y???4y??0的通解为 。 8、微分方程y????3y???3y??y?0的通解为 。 9、微分方程y???4ay??4a2y?3xeax的特解可设为 。

y1〞+y2′+xy2=0 的通解应含有 个独 10、微分方程组 3 0 0 0 -1 0 0 0 5 x

x

-x

dy?P(x)y?E(x)yn可以通过代换 化为一阶线性方dx ，则矩阵指数函数e＝ 。

Ax

立的任意常数。

y2〞+y1′+xy1=0 二、解下列微分方程（7′×4＝28） 1、

dy?x3y3?xy dx2、（3uv+v2）du+(u2+uv)dv=0

3、求ydx-(x2+y2+x)dy=0的积分因子，并求其通解。

4、求方程y?xdydy2?() 的奇解 dxdx三、试求初值问题（10′） dy?x?y?1 dx y(o)?o

四、解微分方程组（12′）

dY? dx1 1 1 1 1 1 1 1 -1 -1 -11 -1 -1 -1 1 Y

五、求方程y????3y???4y??2y?e2tsint的通解（8′）

六、一容器盛盐水100升，其中含盐50克，现将含盐2克/升的盐水，以2升/分的速度注入容器，设注入的盐水与原有的盐水因搅拌而随时成为均匀的混合物，同时此混合物又流速2升/分流出，试求30分钟后容器内所含的盐量。

试卷（五）

一、填空题（3′×10＝30′）

1、曲线族y=cx+x2所满足的微分方程是 。 2、微分方程

dy?x2?y2的线素场的等斜线方程是 。 dx3、若函数数P（x,y）,Q(x,y)在某矩形上具有连续的一阶偏导数，则微分方程P（x,y）dx+Q(x,y)dy=0是恰当方程的充分必要条件是 。

4、微分方程（x3y-2y2）dx+x4dy=0的积分因子可取为 。 5、初值问题（E）：

dy?f(x,y)，y(xo)?yo的解存在且唯一的毕卡定理dx的条件是 。

6、设单参数曲线族C：V（x,y,c）=0，其中V（x,y,c）在某B域D上连续可微。T：y=?(x)是平面上一条连续可微的曲线，若T是C的一支包络，则T满足的C判别式是 。 7、几阶齐次线性方程组

dY?A(x)Y的解组Y1（x）,Y2(x),…,Yn(x)的dx朗斯基行列式满足的列维尔公式是 。

8、设y1=sinx,y2=cosx,y3=e2x是某三阶齐次线性方程的方中，则它的朗斯基行列式是 。

9、微分方程y〞-7y′+10y=0的通解为 。 10、微分方程y????3ay???3a2y??3a3y?0的通解为 。 二、解下列微分方程（7′×4＝28′） 1、1?x22、

dy?xy3，y(o)?1 dxdyx?2y?1? dx2x?4y?13、exdx+(exctgy+2ycosy)dy=0 4、y?2xdydy2?() 并判断有无奇解 dxdx三、给定双曲线族x2-y2＝C(C为参数)。设有一个动点P在平面xoy上移动，它的轨迹和与它相交的每条双曲线均成30o角，又设此动点从P0（0，1）出发，试求此动点的轨迹。（12′） 四、解方程组（14′）

3 0 0 2x dY ? 0 -1 0 Y+ 0 dxx

0 0 5 e 五、试用毕卡逐次逼近法求方程

dy?x?y2满足初值条件y(0)=0的近dx似解?0(x),?1(x),?2(x),?3(x)（8′） 六、求方程（8′）

y〞+y′-2y=ex(cosx-7sinx)的通解。

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