饶平二中高三级每周一测试卷（三）理科

饶平二中2010年高考 理科数学测试卷（三）

饶平二中高三级每周一测试卷（三）

理科数学 2010年3月13日

（考试时间：120分钟，满分：150分）

一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符号题目要求的。） 1．已知集合A?{x|x?1}，B?{x|x?a},且A?B?R，则实数a的取值范围是 A. (??,1] 2．复数z?

B. (??,1)

C. [1,??)

D. (1,??)

1?i（其中i为复数单位）的共轭复数是 2?i31311111A. ?i B. ?i C. ?i D. ?i

55555555A.第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

3．若sin??cos?且sin??cos??0，则?在

4．若a,b?R，则下列不等式不一定成立的是

A. a?b?2ab B. a?3?2a

221a?ba?bC. a??2 D. ?a222225．设a,b为两条直线，?,?为两个平面，下列四个命题中，正确的命题是

?∥?，A．若a，b与?所成的角相等，则a∥b B．若a∥?，b∥?，则a∥b

b??，a∥b，则?∥? C．若a??，b??，???，则a?b D．若a??，x2y26．已知双曲线2?2?1(a?0,b?0)的离心率为5，则双曲线的渐近线是

abA. 2x?y?0 B. x?2y?0 C. 6x?y?0 D. x?6y?0 7．(3y?x)5展开式的第三项为10，则y关于x的函数图象的大致形状为

8．已知函数f(x)?x?ax?1，若a是从区间[1,4]中任取的一个数，则此函数在[1,??) 上单调递增的概率是 A.

21121 B. C. D. 2433第 1 页 共 8页

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二、填空题：（本大题共6小题，每题5分，共30分。其中14～15题为选做题，考生只

能选择一题作答，两题全答的，只计算第14题得分。） ▲必做题

?3x,x?19．已知函数f(x)??，若f(x)?2，则x? 。

??x,x?1??????10．已知向量a?(3,1)，b?(1,3)， c?(k,2)，若(a?c)?b 则k= 。

11．设?~N(0,1)，且P|(?|?)b?a(0?a1,?b0)?，则P(??b)的值是__(用a表示)。

12．设等比数列{an}的公比q?1S，前n项和为Sn，则4? 。 2a413．已知函数f(x)?x?4?x?3，若

围是_____。

▲选做题

f(x)?a2?2a?1的解集为R，则a的取值范

14．(坐标系与参数方程选做题) 已知直线的极坐标方程为?sin(??这条直线的距离是 。

15、(几何证明选做题) 如图，?ABC是圆O的内接三角形， PA是圆O的切线，A为切点，PB交AC于点E，交圆O于

?点D，若PE?PA， ?ABC?60，且PD?1 ，BD?8,则

?4)?2，则极点到2APBCEDAC? 。

三、解答题：（本大题共6小题，满分80分。其中第16、17题各12分，其他小题各14

分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。） 16．已知锐角?ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，且tanB?（1）求角B；（2）求函数f(x)?sinx?2sinBcosx,x?[0,

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3ac。 222a?c?b?2]的最大值。

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17．从某高校新生中随机抽取100名学生，测得身高情况如下表所示.

（1）请在频率分布表中的①、②位置填上相应的数据，并在所给的坐标系中补全频率分布直方图，再根据频率分布直方图估计众数的值； （2）按身高分层抽样，抽取20人参加某项志愿者活动，其中有3名学生担任迎宾工作，记这3名学生中“身高低于170cm”的人数为?，求?的分布列及期望。

分组 频数 5 ① 35 30 10 100 频率 0.050 0.200 ② 0.300 0.100 1.00 ?160,165? ?165,170? 频率组距?170,175? ?175,180? [180,185] 合计

160 165 170 175 180 185 身高 cm

18．如图，已知ABCD?A1B1C1D1是棱长为2的正方体，点P是AD1上的动点。

(1)当P为AD1的中点时，求异面直线AA1与B1P所成角的余弦值；

(2)试判断不论点P在AD1上的任何位置，是否都有B1P?AC1？并证明你的结论。

ADCPBA1D1B1C1第 3 页 共 8页

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19．已知数列{an}满足：a1?（1）求数列{an}的通项； （2）求f(n)?

1，an?an?1?2anan?1?0(n?2)。 2an?1的最大值及取得最大值时n的值。

(n?4)an20．如图，已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，长轴长是短轴长的2倍且过点M(2,1)，平行于OM的直线l在y轴上的截距为m(m?0)，l交椭圆于A，B两个不同点。 （1）求椭圆的方程； （2）求m的取值范围；

（3）求证：直线MA，MB与x轴始终围成一个等腰三角形。

21．已知函数f(x)?ax3?bx2?3x在x??1处取得极值。 （1）求函数f(x)的解析式；

（2）求证：对于区间[?1,1]上任意两个自变量的值x1,x2，都有|f(x1)?f(x2)|?4； （3）若过点A(1,m)可作曲线y?f(x)的三条切线，求实数m的取值范围。

y M O A lB x

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饶平二中高三级每周一测参考答案（三） 理科数学

一、选择题：（本大题共8小题，每小题5分，满分40分。）

题号 答案

1 A

2 B

3 D

4 C

5 C

6 A

7 D

8 D

二、填空题：（本大题共6小题，每题5分，共30分。其中14～15题为选做题。） 9. log32 10.__ 0__ 11. 1?a _ 12.___ 15__ 13. _(?2,0)__ 2选择题 14. ____2____ 15. ____7_____ 2三、解答题：（本大题共6小题，满分80分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。）

ac1a2?c2?b2?16、解：(1) 在三角形?ABC中，cosB?，?2

a?c2?b22cosB2ac又?tanB?3acsinB3 ?? 3分 ?tanB??222a?c?bcosB2cosB ?sinB???3??4分 ? 0?B?，??5分 ?B???6分

232（2）由（1）得，f(x)?sinx?3cosx ?2sin(x??3)??9分

???5??x?[0,] ?x??[,]??10分

2336则当x??3??2，即x?

?6

时，f(x)取得最大值，最大值为2。??12分

17、解：(1)①处填20，②处填0.35；众数为172.5cm.补全频率分布直方图如图所示.4分

（2）用分层抽样的方法，从中选取20人,则其中“身高低于170cm”的有5人，“身高不低于170cm”的有15人.故?的可能取值为0，1，2，3； ????6分

12C15C525 91 C15C5135 C531 ?8分

P(??2)??P(??0)?3?P(??1)?3?P(??3)?3?3C2038C20228C2076C201143C15所以ξ的分布列为

? P 0 91

911053023所以：E??0??1??2??3??

2282282282284第 5 页 共 8页

228 1 105228 2 30228 3 2?9分

228

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答：这3名学生中“身高低于170cm”的人数期望值为

3。 ??12分 41AA1?1 218、解：（1）取A1D1的中点E，连结PE和B1E，则PE∥AA1，且PE???B1PE是异面直线AA1与B1P所成的角． ---------1分

1BEAE?A1D1?1，B1E?B1A12?A1E2?5．??2分 在Rt?A中，1112又在正方体ABCD?A1BC11D1中，A1A?底面A1B1C1D1 A?PE?平面A1BC11D1,?PE?B1E ??3分

DCP?在Rt?B1PE中，B1P?B1E2?PE2?5?1?6，??4分 cos?B1PE?PE16??． ??5分 B1P66BA1E11D1BC?异面直线AA1与B1P所成角的余弦值为6．???6分

6（2）不论点P在AD1上的任何位置，都有B1P?AC1，下面加以证明： ???? 7分 在正方体ABCD?A1BC11D1中，连接AC11?B1D1， ???? 8分 11，B1D1，则AC又CC1?平面A1B1C1D1,B1D1?平面A1B1C1D1，故B1D1?CC1， ??? 9分 又A1C1?平面A1CC1，CC1?平面A1CC1，A1C1?CC1?C1， ?B1D1?平面ACC1， ??? 10分 11，又A1C?平面A1CC1，故B1D1?AC同理可证得AD1?AC1，

又B1D1?平面AB1D1，AD1?平面AB1D1，B1D1?AD1?D1，

?平面AB1D1， ??? 12分 ?AC1又?不论点P在AD1上的任何位置，都有B1P?平面AB1D1， ?B1P?AC1． 14分

19、解：（1）?n?2时，an?an?1?2an?an?1?0

?an?an?1??2an?an?1，即：

11??2. ??3分 anan?11111?2?2(n?1)?2a??{}是首项为，公差为2的等差数列.故，即n.?7分

a1anan2n1an?1n112(n?1)??2??. 12分 （2）由（1）得f(n)?(n?4)an(n?4)?1n?5n?4n?4?592nn1当且仅当n?1时取等号. 故当n?1时，f(n)取得最大值。??14分

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x2y220、解：（1）依题意可设椭圆的方程为2?2?1(a?b?0)??1分

ab?a?2b41???1，解得b2?2，故a2?4b2?8 ??3分， 则?4，故1224bb?2?1?2?abx2y2所以椭圆方程为??1??4分

82（2）因为l//OM，且l在y轴上的截距为m，又kOM?所以直线l的方程为y?1 2y M O A 1x?m??5分 2l1?y?x?m??222x?2mx?2m?4?0??6分 由?2，得2?x?y?1?2?8B x ?l交椭圆于A,B两个不同点，

???4m2?4(2m2?4)?0, 解得?2?m?2, 且m?0 ??8分

（3）设直线MA,MB的斜率分别为k1,k2，则只需证明k1?k2?0即可。

设A(x1,y1),B(x2,y2)，由（2）有x1?x2??2m，x1x2?2m2?4??9分 又k1?y1?1y?1,k2?2 x1?2x2?2y1?1y2?1(y1?1)(x2?2)?(y2?1)(x1?2)????11分 x1?2x2?2(x1?2)(x2?2)1212则k1?k2?又(y1?1)(x2?2)?(y2?1)(x1?2)?(x1?m?1)(x2?2)?(x2?m?1)(x1?2)

?x1x2?(m?2)(x1?x2)?4m?4?2m2?4?2m(m?2)?4m?4?0?13分

?k1?k2?0 故直线MA,MB直线与x轴上始终围成一个等腰三角形??14分

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21、解：（1）?f(x)?ax3?bx2?3x，?f'(x)?3ax2?2bx?3

又f(x)?ax3?bx2?3x在x??1处取得极值?x??1是方程f'(x)?0的两个实数根，

??2b?3?0，??1，?b?0，a?1，经检验a?1，b?0符合题设。 3a3a?f(x)?x3?3x ??3分

（2）由(1)可得f'(x)?3x2?3，当x?[?1,1]时，f'(x)?0，函数y?f(x)单调递减。

?fmax(x)?f(?1)?2，fmin(x)?f(1)??2 ??5分

又对于区间[?1,1]上任意两个自变量的值x1,x2，

都有|f(x1)?f(x2)|?|fmax(x)?fmin(x)|?4，故命题得证。 ??7分

（3）过点A(1,m)向曲线y?f(x)作切线，设切点为(x0,y0)，

则y0?x03?3x0，k?f'(x0)?3x02?3，

?切线方程为y?(x03?3x0)?(3x02?3)(x?x0)

?切线过点A(1,m)，?m?(x03?3x0)?(3x02?3)(1?x0)

整理得2x03?3x02?m?3?0 （?）

??9分

?过点A(1,m)可作曲线y?f(x)的三条切线

?方程2x03?3x02?m?3?0有三个不同实数根。

32'2??10分

记g(x)?2x?3x?m?3，则g(x)?6x?6x?6x(x?1) 令g'(x)?0得x?0或x?1

当x变化时，g'(x)，g(x)的变化情况如下表

x g'(x)

g(x)

(??,0)

0 0

极大值

(0,1)

1

(1,??)

?

递增

?

递减

0

极小值

?

递增

由上表可得，当x?0时,g(x)有极大值m?3;当x?1时,g(x)有极小值m?2，12分

由g(x)的简图可知，当且仅当??g(0)?0?m?3?0即?， ?3?m??2时，

?g(1)?0?m?2?0函数g(x)有三个不同零点，过点A(1,m)可作曲线y?f(x)的三条切线，

所以若过点A(1,m)可作曲线y?f(x)的三条切线，m的取值范围是(?3,?2) ??14分

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