自动控制原理1-5课件简化版

自动控制原理

主要内容

第一章 自动控制原理导论

第二章 自动控制系统的数学模型 第三章 自动控制系统的时域分析

第四章 自动控制系统的复数域分析——根轨迹法 第五章 自动控制系统的频率域分析——频率响应法

第一章 自动控制原理导论 1.1 自动控制概念

在没有人直接参与的情况下，通过控制器使被控对象或过程按照预定的规律运行。能够实现自动控制任务的系统称为自动控制系统。 1.2 自动控制的基本方式 1. 开环控制系统

在没有反馈的情况下,利用执行机构直接控制受控对象的控制系统.

扰动 输入量

例：直流电动机转速开环控制系统 控制器 控制量 受控对象 输出量 r

n

u

简单；不准确（希望1000r/min，实际950r/min）。 2. 闭环控制系统——引入负反馈

扰动 输入量 - 测量元件

对输出进行测量,将此测量信号反馈,并与预期的输入(参考或指令输入)进行比较的系统。

例：直流电动机转速闭环控制系统

r

e

u

y

n

控制器 控制量 受控对象 输出量

准确；复杂、设备多。

1.3 对控制系统性能的基本要求-----稳定：有一定的稳定裕量。 稳定性是压倒一切的。对线性系统，有成熟的稳定性分析方法。

对非线性复杂系统，很难，需要高深的数学——是自动控制重要研究内容。 符合要求的动态响应特性。 满足要求的稳态响应（静态精度）。

1.4 自动控制系统的组成 受控系统

第二章 自动控制系统的数学模型 2.1 控制系统的输入/输出模型(I/O模型) 设线性定常系统 输入 控制系统

用系统的输入、输出信号或其变换式所表示的数学模型。 当I/O为：

r(t) c(t) 时域:微分方程 R(s) C(s) 复数域:传递函数 R(j) C(j) 频域:频域特性 微分方程——时域中的数学模型

输出 描写线性定常系统的微分方程

dndn?1ddmdm?1dannc(t)?an?1n?1c(t)???a1c(t)?a0c(t) ?bmmr(t)?bm?1m?1r(t)???b1r(t)?b0r(t)dtdtdtdtdtdt

ai(i?0,1,?,n),bj(j?0,1,?,m)

例：试求RLC串联电路的微分方程。以电压U0为输入量，电压UC为输出量。

U0?t?i

Uc?t?解

:

UL?t??UR?t??UC?t??U0?t?

di?t?d2uc?t?duc?t??RC?UC?t??U0?t?L?i?t?R?UC?t??U0?t? LC2dtdtdt

建立系统微分方程的一般步骤：

(1)确定输入，输出;(2)列写各环节的微分方程;(3)消去中间变量，求得输出/输入关系；(4)化为标准形式。 复数域中的数学模型——传递函数

对于描写线性定常系统的微分方程

dndn?1dannc(t)?an?1n?1c(t)???a1c(t)?a0c(t)?dtdtdtn?m

dmdm?1d bmmr(t)?bm?1m?1r(t)???b1r(t)?b0r(t)dtdtdt

?as取拉氏变换（零初始条件）

nn?an?1sn?1???a1s?a0C?s?? bmsm?bm?1sm?1???b1s?b0R?s?

???当t<0时，系统输入r(t)，输出c(t)及它们的各阶导数均为零。

C?s?bmsm?bm?1sm?1???b1s?b0?R?s?ansn?an?1sn?1???a1s?a0 ?G?s???L?c?t??L?r?t??G(S)：线性定常系统的传递函数

传递函数:在零初始条件下，系统输出的拉氏变换与输入的拉氏变换之比。

例：RLC串联电路（电压U0为输入量，电压UC为输出量）。

U0?t?i

Uc?t?d2uc?t?duc?t? LC?RC?UC?t??U0?t?dt2dt

另一方法

G?s??Uc?s?ZC?s??U0?s?ZL?s??ZR?s??ZC?s?11Cs ? ?2U?s?11LCs?RCs?1Z?s??Ls?R?Zc?s??,I?s? ZL?s??Ls,ZR?s??R,CsCs复阻抗

传递函数的含义

1）反映系统的输入量与输出量之间的传递关系。2）反映系统数学模型的阶次。

时域：c?t??g?t??r?t?s域(复数域)：C?s??G?s?R?s? G?s??L?g?t?? 典型环节的传递函数 ★比例环节

c?t??Kpr?t?

G?s??Kp---比例系数,增益

??t??c?t??Kr?t? ★一阶)惯性环节 Tc??t??Kr?t?Tic

G?s??G?s??KTs?1 （K：比例系数，增益；T时间常数）

★(积分环节

KTis（Ti积分时间常数）

G?s??TdsTs?1

★微分环节

??t?G?s??Tdsc?t??Tdr 实际系统一般采用具有惯性的微分环节。

??s??Gs?e????ct?rt??★延迟环节

2?n1??Gs?,??n222???s?2??s??T ????????Tct?2T?ct?ct?rt,0???1nn★(二阶)振荡环节

频率特性——频率域中的数学模型

在正弦输入下，系统输出的稳态分量与输入量的复数之比。2.2 框图模型 R(s) - E(s) G(s) B(s) H(s) 用方框和信号线按信号的传递关系连接起来得到的有向图形。

B C(s) G?j???G?s?s?j?

信号线：带有箭头的直线，箭头表示信号的流向。引出点（测量点）：表示信号引出或测量的位置。比较点：表示对两个以上的信号进行加减运算。方框（环节）：表示对信号进行的数学变换，方框中写入元部件或系统传函。 结构图的等效变换

原则：输出、输入信号不变

1. 环节串联

2. 环节并联

3. 环节反馈联接

特别地，负反馈系统

W?s??闭环传递函数：

G?s?C?s?G?s???R?s?1?G?s?H?s?1?WK?s?

C?s?B?s??G?s??G?s?H?s??WK?s?前向传函：E?s? 开环传函：E?s?

4. 分支点移动规则 ★分支点前移

★分支点后移

5. 比较点移动规则 ★比较点前移

★比较点前移

第三章自动控制系统的时域分析

3.1 控制系统的稳定性分析 一.稳定性的概念

稳定系统: 在有界输入作用下,系统输出响应也是有界的动态系统。

线性系统稳定的充要条件：系统微分方程的特征方程的全部根（闭环系统的极点）都位于复平面的左半平面。 线性系统临界稳定的充要条件：特征方程在右半复平面没有根，在虚轴上有单重根。

二. Routh判据

设系统的特征方程为：

1. 构造Routh表

从第3行开始第 i 行第 j 列元素应为

1ai?2,1 ai?2,j?1?i?3?b1?an?1an?2?anan?3ai,j?? ai?1,1ai?1,1 ai?1,j?1an?1

b2?；

an?1an?4?anan?5an?1

2. 应用Routh判据

1）方程全部根都在左半复平面的充要条件是Routh表的第1列全部是正数。 2）位于右半复平面的方程的根的个数等于第1列的元素改变符号的次数。 例1： 2s6+5s5+3s4+4s3+6s2+14s+7=0

第1列系数符号改变2次，方程有2个根在右半复平面，故系统不稳定。 特殊情况：1）第1列中出现0：用一个小的正数代替，继续计算。 例2： s3-3s+2=0

第1列系数符号改变2次，方程有2个根在右半复平面，故系统不稳定。

2）出现全0行：用全0行的上一行各元素构造一个辅助多项式，以辅助多项式的导函数的系数代替全0行，继续计算。

例3： s5+7s4+6s3+42s2+8s+56=0

p(s)?7s4?42s2?56辅助多项式

第1列系数符号没有改变，方程没有根在右半复平面；而原表出现全0行，故系统临界稳定。 出现全0行表明方程有关于原点对称的根。解辅助方程可求出这些根。 7s4+42s2+56=0，得 j2.0000 - j2.0000 j1.4142 -j1.4142

对p(s)求导 dp(s)?28s3?84sds另一个根 -7.0000 实际上系统临界稳定。

3.2 控制系统的动态特性分析 一. 典型输入信号(标准测试信号)

阶跃函数A=1时，称为单位阶跃信号。

?0, t?01r?t???R?s??s常记为U(t)或1(t) ?1, t?0二. 二阶系统

闭环传函

2?nC?s??2,??02R?s?s?2??ns??nζ：无阻尼自然振荡频率；ωn ：阻尼比

22s?2??s???0特征根（闭环极点） nn特征方程

s1,2?(0???1)????n?j?n1??2?? 2(??1)?????n??n??1 当ζ<0，Re(s1,2)>0，系统不稳定，所以只讨论ζ≥0的情况。

1. 典型二阶系统的阶跃响应

1R?s??r?t??u?t? ss1,2?(0???1)????n?j?n1??2?? 2(??1)?????n??n??1 s1,2??j?n 不衰减的振荡（“1”的上下，max=2,min=0）

★无阻尼情况(ζ=0) 特征根为两个共轭虚根

X

X

★欠阻尼情况(0<ζ<1) 特征根为一对共轭复根

s1,2?(0???1)????n?j?n1??2?? 2(??1)?????n??n??1 X

X

s1,2????n?j?n1??2????j?d

?n 无阻尼自然振荡频率 ?阻尼比

???n1??2????dn衰减系数 阻尼自然振荡频率

振幅按指数衰减的振荡，c(∞)=1,无稳态误差。 ★临界阻尼情况（?=1）

s1,2?(0???1)????n?j?n1??2?? 2(??1)????????1s???nnn?特征根为两个相等的负实根：1,2

X

无振荡，上升曲线。

★过阻尼情况(?>1)

s1,2?(0???1)????n?j?n1??2?? 2(??1)?????n??n??1

特征根为相异实根：

s1,2?????2?1?n

??

X X

无振荡，上升曲线。

★阻尼比小节

阻尼比决定响应性态，是二阶性态最重要的特征量： ζ=0系统不能正常工作； ζ>1暂态过程太长。 常考虑：0<ζ<1时，系统的响应情况。

2. 典型二阶系统的动态性能指标 阶跃响应的动态性能指标(0???1)

阶跃响应的动态性能指标(0???1) 阶跃响应的动态性能指标(0???1)

典型二阶系统阶跃响应动态性能指标(0???1)

Tp???n1??2???1??2 ? ?%?e?100%——只与ξ有关

3?12?3?ln1??????2???n

Ts?2%??1?1412???4?ln1???T5%?s???n?2??n????n

????Tr?????n1??2 θ----

tg?11??2?

典型二阶系统的问题求解

已知系统特征参数ζ,ωn , 求动态指标(σ%,TS )。 ????%????n?Ts已知动态指标，求系统特征参数ζ,ωn 。

??%???n? Ts?

例6 某位置随动系统的结构图如图所示，输入信号r(t)=u(t)。当K=200时,计算动态性能。 解： R(s) - 5 s ( s+34.5 ) C(s) K 当K=200时，系统闭环传递函数： 200?5C(s)1000s(s?34.5)??22?nR(s)1?200?5s?34.5s?1000?2s2?2??ns??ns(s?34.5) 2??n?1000??2??n?34.5 ??n?31.6 rad/s????0.545

?Tp?????0.12s?d?n1??24?0.23 s??1??2 ?%?e?100%?13%

Ts(2%)???nTs(5%)?

3??n?0.17s

Tr??????arccos???0.08 s2?d?n1??

例7 已知某反馈控制系统的结构图如图所示。试确定结构参数K和τ%=20%，Tp=1s。

解：系统闭环传递函数：

T(s)?G(s)1?G(s)H(s)Ks(s?1) ?K(1??s)1?s(s?1)2?nK?2 ?22s?(1?K?)s?K s?2??ns??n?2?K??n??1?K??2??n

??1??2根据题意?%?e?100%?20%

得??0.456 ；已知

Tp?????1 s2?d?n1??--------

?n?3.53 rad/s

2?K??n?12.5?1?K??2??n?3.22???0.178得满足给定性能指标的系统结构参数为：?

3.3 控制系统的稳态特性分析 一. 稳态误差

ess?lime?t??limsE?s???????et?rt?ctt??s?0误差： 稳态误差：

误差：

ess?lime?t??limsE?s?t??s?0 E?s??R?s??C?s??R?s??E?s?G?s?

?E?s??R?s?sR?s?ess?lims?01?G?s?1?G?s?

——由输入R(s)和开环传函G(s)决定。

开环传函（n阶系统）： KG?s??Ns???s?1?im??Ts?1?jj?1i?1n?Nm个零点，n个极点。

N为：开环传函G(s)中零极点的重数，称为系统的无差阶数（无差度）

N=0，称为0型系统; N=1，称为1型系统; N=2，称为2型系统。 二. 静态误差系数 讨论单位反馈系统，e(t)

11??e?limsEs?limR?s??sss?0s?01?G?s?s1. 单位阶跃输入：

K?limG?s?es?0?ss 静态位置误差系数mp?11?Kp Kp?lims?0K???is?1???Ts?1?jj?1i?1n?Kess?11?1?Kp1?K

0型系统： 1型系统：

Kp?lims?0K?(?is?1)s?(Tjs?1)j?1i?1n?1m??ess?

1?01?Kp

2型系统：

Kp?lims?0K?(?is?1)s2??(Tjs?1)j?1i?1n?2m??ess?

1?01?Kp

2. 单位斜坡输入：

R?s??1s2

ess?limsE?s??lims?0s?011?lims?1?G?s??s?0sG?s?

静态速度误差系数：

Kv?limsG?s?s?0?ess?

1Kv

Kv?limss?0K???is?1?m 0型系统：

??Ts?1?jj?1mi?1n?1j?1i?1n?0ess =

Kv?limss?0K?(?is?1)s?(Tjs?1)?Kess?1型系统：

1K

Kv?limss?0K?(?is?1)s2??(Tjs?1)j?1i?1n?2m?? ess = 0

2型系统：

3. 单位抛物线输入：

R?s??112??rt?tu?t?s3 （2）

ess?limsE?s??lims?0s?011?lims2?1?G?s??s?0s2G?s?

静态加速度误差系数0型系统：

Ka?limsG?s?2s?0?ess?

1Ka

Ka?lims2s?0K???is?1?m??Ts?1?jj?1i?1n?0ess = ∞

1型系统：

Ka?lims2s?0K?(?is?1)s?(Tjs?1)j?1i?1n?1m?0ess = ∞

2型系统：

Ka?lims2s?0K?(?is?1)s2??(Tjs?1)j?1i?1n?2m?Kess = 1/K

0型系统只能跟踪阶跃输入(存在有限稳态误差);

1型系统可以跟踪阶跃输入、斜坡输入;2型系统可以跟踪阶跃输入、斜坡输入、抛物线输入。 结论：

（1）三个稳态误差系数Kp、Kv和Ka，定量描述了系统跟踪三种典型输入信号的能力和稳态精度。 （2）系统的型越高（无差度N越大），跟踪信号的精度越高。但系统的型太高会影响系统的稳定性。

第四章 根轨迹法 4.1 根轨迹的基本概念

例1: 某二阶系统的根轨迹图 R(s) G(s) - H(sC(s)

G?s?H?s??Ks?s?1?

11s???1?4K1,22s?s?K?022特征方程 特征根

讨论：当增益在可能取值范围0--∞ 变化时，特征根的变化情况。

根轨迹包含系统特性的主要信息

（1）显示出系统的稳定性。（2）当可变参数（K）为某一值时，由根轨迹可确定系统闭环极点的分布，从而确

定系统的动态特性。（3）可反映系统的稳态特性。（4）可反映出可变参数（K）对系统特性的影响。 系统如图 R(s) G(s) - H(s) 特征方程

C(s)

C?s?G?s??R?s?1?G?s?H?s?

?s?zoi????KPs?11?G?s?H?s??1??1?Kin?0Q?s??s?p?m?j?1oj(K-开环增益)

P?s??sm?bm?1sm?1???b1s?b0 Q?s??sn?an?1sn?1???a1s?a0

根轨迹法：根据开环传函(开环零、极点)，找出开环增益(或别的某个参数

迹。

变化时，闭环系统特征根的轨

根轨迹法的基本思想：开环传函等于-1的s值，必为特征根。G?s?H?s???1 因s为复数，开环传函G(s)H(s)为复数，故

oG?s?H?s??1???????GsHs?2k?1?180相角条件：；幅值条件：

若开环传递函数写成零、极点表示形式，即：

P?s?G?s?H?s??K?KQ?s???s?z?oim??s?p?ojj?1i?1n??1-zoi：开环零点 -poj：开环极点

?s?Zoi????Ps1j??s?1???i??Ase??nQ?s?K?s?P?将

m?j?1oj代入根轨迹条件方程得另一形式根轨迹条件方程

相角条件：

??s????G?s?H?s??????s?zoi?????s?poj???2k?1??180oi?1j?1mn k?0,?1,?2,?

?s?zoi??i开环有限零点到s的矢量的相角 ?s?poj??j 开环极点到s的矢量的相角以逆时针方向为正

幅值条件：

s li αi -zoi Lj βj × -poj A?s???s?zi?1nj?1moi?oj?li?1nj?1mi?s?p?Lj

?开环有限零点到s的矢量长度之积1 ?开环极点到s的矢量长度之积K 1、以K为变数，复平面[s]上满足相角条件的点构成的图

形就是根轨迹(图)。 2、根轨迹(图)上，与一定增益K0相对应的特征根(闭环极点)s0可由幅值条件确定。 注意：绘制根轨迹时，横坐标和纵坐标采用同样的尺度划分以便读数。 4.2 根轨迹的绘制

根轨迹：K:0-∞(K≥0)闭环系统特征根的轨迹。

根轨迹绘制的一般步骤

（1）根据给定的系统，求出系统的开环传递函数（写成零、极点的表示形式）。（2）根据作图规则，找出一些特殊点。（3）将特殊点用光滑曲线连接起来，得到根轨迹的概略图。

P?s??Q?s?一. 根轨迹的绘制规则

??s?z?oim??s?p?ojj?1i?1n?A?s?ej??s???1K

1. 根轨迹的起点和终点：根轨迹起始于开环极点,终止于开环零点；如果≠ m, 则有(n-m)条根轨迹终止于无穷远(开环无限零点)。根轨迹,从开环极点画起,到开环零点终止。

2. 根轨迹的分支数、对称性及连续性、 根轨迹的分支数=开环极点数=系统阶数n、 根轨迹对称于实轴。根轨迹从开环极点到开环零点是连续的。 3. 实轴上的根轨迹

实轴上的根轨迹分支存在的区间的右侧，开环极、零点之和为奇数。

4. 根轨迹的分离点（或会合点）

a:分离点b:会合点

两条或两条以上的根轨迹在复平面上某点相遇后又分开，称该点为分离点或会合点。

若在该点处根轨迹是离开实轴，称为分离点；若在该点处根轨迹是返回实轴，则为会合点。 实轴上分离点和会合点的判别

若实轴上相邻开环极点之间是根轨迹，则相邻开环极点之间必有分离点；

jω

X O

σ

若实轴上相邻开环零点（其中一个可为无限零点）之间是根轨迹，则相邻开环零点之间必有会合点； 若实轴上的根轨迹在开环零点与开环极点之间：①既不存在分离点，也不存在会合点 ②既存在分离点，也存在会合点。

实轴外也可能有分离点(会合点)——复数 。

KP?s?G?s?H?s??Q?s? 分离点求法:

?P??s?Q?s??Q??s?P?s??0??K?0

180??d??重数

分离角5. 根轨迹的渐近线

j?As???reA渐近线方程

?A

：渐近线与实轴的交角 ?A：与实轴交点，中心点

(1) 渐近线与实轴的交角：?A?2k?1?180on?m由倾角知，(独立的)不重复的渐近线只有n-m条。

(2) 渐近线与实轴交点σA(渐近中心)?A?开环有限极点之和-开环有限零点之和n?m 6. 根轨迹与虚轴的交点——临界稳定点 (1)利用Routh判据，确定临界稳定点。 (2)特征方程中，s= j,令实部和虚部分别等于零， 解出ω及K值。ω即为与虚轴的交点。 7. 根轨迹的出射角和入射角

出射角：起于开环极点的根轨迹在起点处的切线与水平线的正方向的夹角。

入射角：终止于开环零点的根轨迹在终点处的切线与水平线的正方向的夹角。

8. 根轨迹的平衡性(根之和） n-m ≥2

???j?1npj?????j?1npoj? 随着K的增大，一些特征根增大，另一些特征根必减小—— 一些根轨迹右行时，必有另一些左行。

例3: 单位负反馈系统如下: R(s) - C(s) k s ( s+1 ) ( s+2 ) 绘制系统的根轨迹图。

解：特征方程

K??1s?s?1??s?2?

o???????????GsHs???s??s?1??s?2?2k?1?180相角条件：

G?s?H?s??幅值条件：

K?1K?s?s?1??s?2?s?s?1??s?2? 即：

G?s?H?s??Ks?s?1??s?2?

(1) 确定根轨迹的分支数，起点、终点和实轴上的根轨迹。 3条分支

起点：0、-1、-2

终点：∞、∞ 、∞

实轴上的根轨迹：[-∞，-2]、[-1，0]

G?s?H?s??(2) 求根轨迹的分离点。 P(s)=1; P'(s)=0 s1=-0.422, s2=-1.578 Q(s)=s(s+1)(s+2); Q'(s)=3s2+6s+2 P'(s) Q(s)- P(s) Q'(s)=0 3s2+6s+2=0

把s代入幅值条件解得 k1=0.38, k2=-0.38, 故s1=-0.422是分离点。

Ks?s?1??s?2?G?s?H?s??(3)根轨迹渐近线

Ks?s?1??s?2?

? 60o?2k?12k?1?A??180o??180o?? 180on?m3??60o?

?A????p?????z?ojoij?1i?130n?mK0?1?2????GsHs????1s?s?1??s?2? 3

(4) 根轨迹与虚轴的交点、对应的临界增益。

s3 1 2

s2 3 K s1 （6-K）/3 s0 K s3?3s 2令?2s?K，得?0K=6 特征方程：利用Routh判据 6-K=0

令 3s2+K=0

s2??K??23 s??j2??j1.414(K=6) K=6时的另一实根s= -3

-2 -1 j1. 414 (k=6) - 0.422 (k=0.

38) 0

- j1. 414 (k=6)

第五章 控制系统的频域分析(频率响应法)

5.1 频率特性

频率响应——正弦信号输入时系统的(稳态)响应。

频率特性——正弦信号输入时，系统稳态输出与输入量之比（正弦传递函数）。 <引例>分析一阶RC网络的频率特性

输入ur?t??Xsin?tZ?R?1j?C

?c?u?r1?ruuur????2Zj?C1?j?RC1???RC?

???tg?1?RC

?1???tg?RC 都是ω的函数 ；

?cu1???2?ru1???RC?

?cu1?2?ru1???RC???增益?????????——滞后增大 频率特性：

系统频率特性表达式的推导

G?s??设线性定常系统传函G(s)p?s?p?s??q?s??s?s1??s?s2???s?sn? （对于含有重极点的情况，结论同样适用） 输入为正弦信号： x?t??Xsin?t 输出信号的拉氏变换：

X?s????X?X?s?j???s?j?? s2??2bnaa?b1p?s??X ??????Y?s??G?s?X?s??s?j?s?j?s?s1s?sn（a，b待定系数） q?s?s2??2y?t??ae?j?t?a?ej?t?b1e?s1t???bne?snt

?aa???j?tys?t??L???a?ej?t??ae?s?j?s?j??正弦输入下的稳态响应（稳定系统）

?1其中待定常数a和a*分别为：

a?G?s??XX?XX?????????s?j???G?j?a?Gss?j??G?j??22s2??22js??2js??j?s?j?

容易证明，a与a*为一对共轭复数。

a和a*代入上式,则有：

ys?t??ae?j?t?a?ej?t ?XG?j??1?e?j??t???????ej??t??????2j ?XA???sin??t???????? ?Y???sin??t??????

Y?A????G?j??X正弦稳态输出对正弦输入的幅值比

正弦稳态输出对正弦输入的相位移??????G?j?? 根据定义，线性系统的频率特性为：

A(?)ej?(?)?G(j?)ej?G(j?)?G(j?)?G(s)s?j?G?j? ??Y?j??X?j?? Jω为频率特性，即正弦传递函数 5.2 对数频率特性图(Bode图)

对数坐标图(Bode图):将频率特性画在(半)对数坐标上。 横坐标: 频率ω,用对数lgω分度,单位rad/s 纵坐标: 幅值A(ω),用对数20lgA(ω)分度,单位[dB] 相角ψ(ω),用ψ(ω) 分度,单位是(o) 幅频特性：20lgA(ω)~lgω 相频特性：ψ(ω)~ lg ω

十倍频程：在Bode图的横坐标上，频率每变化10倍的距离，就称为十倍频程，用符号dec来表示。 倍频程：在Bode图的横坐标上，频率每变化２倍的距离，就称为倍频程，用符号oct来表示。 一. 典型环节的Bode图

G?j???1. 比例环节 G(jω)=K 2. 积分环节

1j? 3. 微分环节 G?j???j?

-20dB/dec 1

20dB/dec

1

90°

-90°

G?j???4. 一阶惯性环节

11?j?T 5. 一阶微分环节 G?j???1?j?T

dB0110T1T10TdB20dB/dec??20dB/dec200110T?20?(?)0??(?)1T10T??45??

90?45?0??90?1/T：转折频率

?

G?j???6. 二阶共轭极点环节

1?2?1?2?j2??n?n 0???1

dB400110T40dB/dec?401T10T??40dB/dec?(?)?18090??0?90???180?

?2?G?j???1?2?j2??n?n

7. 二阶共轭零点环节

二. 系统的对数频率特性

G?s??例1：绘制系统的对数频率特性

10?s?3?s?s?2?s2?s?2

??ss10?3(?1)7.5(?1)33G(s)??2sssss2ss?2(?1)?2(??1)s(?1)(??1)222222解：1. 将开环传递函数化为时间常数的表示形式

?j??7.5??1?3??j????2???1??1??j?222???

G?j???2. 频率特性：

?j???3. 系统由五个典型环节组成：

（1）7.5 （比例环节）

j?1?1?n??3T（2）3（一阶微分环节） G(j?)?j?T?1 1（3）j? （积分环节）

111j?G(j?)??1?n??2j?T?1 T（4）2（一阶惯性环节）

1（5）

1?1?22?1j?G(j?)?1??2T2?j2??T ?n?2 2（二阶振荡环节）

??22?0.345

4. 幅频特性：

转折渐进作图法：找出所有环节的转折频率，从小到大排列，从低频渐近线开始，沿频率增加的方向，碰到一个转折频率，就改变渐近线的斜率。

j??1)3G(j?)??j??2??j?(?1)?1??j?222??7.5(（1）确定低频部分

G1(j?)?比例环节，积分环节（低频部分）

7.5j?

20lgA1(?)?20lg7.5?20lg?

??1 20lgA1(?)?20lg7.5?17.5dB ??10 20lgA1(?)?20lg7.5?20??2.5dB

（2）将低频部分以外的环节按转折频率从小到大的顺序列出转折渐进表。

j??1)3G(j?)???2j???j?(?1)?1??j?222??7.5(（3）作图

低频 二阶振荡环节 一阶惯性环节 一阶微分环节 顺序：

③作出其余部分曲线（从第一转折频率向右，每经过一个转折频率，对数幅频曲线的斜率变更一次）

j?7.5(?1)3G(j?)??j??2??j?(?1)?1??j?222??5．相频特性由频率特性得：

??2: ??????90??tg?1?3?tg?1?2??tg?121??22??2: ??????90??tg?1?3?tg?1?2??180??tg?1?22?1

2直接计算几个点，采用描点法。

5.3 奈奎斯特(Nyquist)判据

用开环频率特性判别闭环系统稳定性。

j?jω [s] R??R(s) - E(s) G(s) B(s) H(s) C(s)

D形围线 o o ?j?σ

开环传函 G?s?H?s?

G?s?闭环传函 1?G?s?H?s?在s平面上作闭曲线---- D形围线：整个虚轴和右半平面上半径为无穷大的半圆。

jω [s] GK(jω)=G(jω)H(jω) D形围线 Im j?[GH] R??o o σ (?1,j0)o Re 奈奎斯特曲线 ?j?（开环幅相曲线）

奈奎斯特判据

若系统开环传递函数G(s)H(s)在右半复平面有P个极点，当s顺时针沿D形围线变化一周时，奈奎斯特曲线(G(s)H(s)的轨迹)对”-1”点的包围圈数为N（顺时针N为正，逆时针N为负），则系统闭环极点在右半复平面的数目为Z=N+P。若Z = 0，则系统稳定；否则系统不稳定。 由开环传函

当G(s)H(s)在s平面的虚轴上有极点或零点时：对开环传函G(s)H(s)在原点或虚轴上的极(零)点，在s平

面上作D形围线时应避开这些点。

(

0)的半圆绕过这些点。

GK(s)?G(s)H(s)?例2 某负反馈系统的开环传递函数为： 奎斯特判据判断闭环系统是否稳定。

K(T1s?1)(T2s?1)奈奎斯特曲线如图，要求用奈

Im[GH]D?A?KRe P=0，N=0-----Z=N+P=0 闭环系统稳定

例３ 某系统的开环传递函数为：

G?s?H?s??Ks?0.2s?1??0.5s?1?要求用奈奎斯特判据判断闭环系统是否稳定。

当K>7时,G(s)H(s)轨迹顺时针包围-1点两次， N=2， P=0，闭环系统不稳定。

当K<7时，G(s)H(s)轨迹与实轴交点>-1，不包围-1+j0点-----闭环系统稳定。 当K＝7时，Nyquist曲线通过点（-1+j0）------系统临界稳定。 5.4 稳定裕量

稳定裕量：系统稳定度的一种度量，反映了系统的相对稳定性，反映系统离临界稳定点的距离(理论上)。 一. 最小相位系统

1．不严格的定义：在s右半平面没有极点和零点，且不含有延时环节的系统。 2．特点：

1)在具有相同幅频特性的系统中,当ω:0---∞时，最小相位系统相角变化最小。 2）最小相位系统的幅频特性与相频特性是直接相关的。 3）当ω---∞时，最小相位系统对数幅频特性的斜率为：

，有两个闭环极点在右半s平面------

?20(n?m)dB/dec

??90(n?m) n---传递函数分母多项式的阶次；m---传递函数分子多项式的阶次 相角为：

通过检查ω---∞时(高频段)，幅频特性曲线的渐近线斜率和相角，可判断系统是否为最小相位系统。

二. 系统的稳定裕度（最小相位系统）

1．相角裕度Φm:在开环频率特性的幅值|G(jωωc )| =1 的频率ωc 处， 使系统达到临界稳定所允许增加的相位滞后角度。

幅穿频率(增益穿越频率) ωc：幅穿频率(增益穿越频率)

???c?????m???180? ?m?18?0????c?

m >0，称正相角裕度，闭环系统稳定。 m <0，称负相角裕度，闭环系统不稳定。 2．增益裕度GM

在开环频率特性的相位角Φ(ωg)=-180度的频率ωg 处， 开环幅值的倒数。

d?1G(j?g)H(j?g) ωg----相位穿越频率（相位交界频率）

以dB为单位

GM?20lgd??20lgG(j?g)H(j?g)d?1,GM?0, 称为正增益裕度，闭环系统稳定。(20lgG?j?g?H?j?g??0) d?1,GM?0, 称为负增益裕度，闭环系统不稳定。(20lgG?j?g?H?j?g??0)

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