函数与数列的极限的强化练习题答案

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第一讲：函数与数列的极限的强化练习题答案

一、单项选择题

1．下面函数与y?x为同一函数的是（ ） A.y?∴选C

4．下列函数在???,???内无界的是（ ）

A.y?1 B.y?arctanx 21?x?x? B.y?2C.y?sinx?cosx D.y?xsinx

解: 排除法：A

x2 C.y?elnx D.y?lnex

解：?y?lnex?xlne?x，且定义域

xx1有界，??21?x2x2Barctanx??2有界，C sinx?cosx?2

???,???， ∴选D

2．已知?是f的反函数，则f?2x?的反函数是（ ）

故选D 5．数列?xn?有界是limxn存在的（ ）

n??A 必要条件 B 充分条件

C 充分必要条件 D 无关条件 解：??xn?收敛时，数列xn有界（即，反之不成立，（如??1?xn?M）

1A.y???x? B.y?2??x?

21C.y???2x? D.y?2??2x?

21解:令y?f?2x?,反解出x：x???y?,互

21换x，y位置得反函数y???x?，选A

23．设f?x?在???,???有定义，则下列函数为奇函数的是（ ）

?n?1?有界，

但不收敛，

选A 6．当n??时，sin则k= （ ）

211与k为等价无穷小，nnA.y?f?x??f??x?B.y?x??f?x??f??x??? C.y?x3f?x2?

1 B 1 C 2 D -2 211sin22nnlim?lim?1，k?2 选C 解：?n??n??11nknk A

二、填空题（每小题4分，共24分） 7．设f?x??为

解： ∵f??f?x????1?fx???1

D.y?f??x??f?x?

32解：?y?xfx的定义域???,???且

1，则f??f?x???的定义域1?x??1111?1?x

y??x????x?f?x2???x3f?x2???y?x?3

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x??1?1?x 2?x∴f??f?x???定义域为

解：?当n??时，sin22～ ∴原式nn(??,?2)?(?2,?1)?(?1,??)

8．设f(x?2)?x2?1, 则f(x?1)?

解：（1）令x?2?t,f?t??t?4t?5

23n2?526?= =limn??5n?3n5三、计算题（每小题8分，共64分）

arcsin13．求函数y?2x?17的定义域 x?1f?x??x2?4x?5

（2）f?x?1??(x?1)?4(x?1)?5?x?6x?10

229．函数y?log4x?log42的反函数是

2y?1??1?2x?1?1??3?x?4 7解：???x?1或x??1x?1?0???解：（1）y?log4(2x)，反解出x：x?4（2）互换x,y位置，得反函数y?42x?1 10．limnn??

∴函数的定义域为??3,?1)?1,4? 14．设f?sin

??n?1?n?2? lim3nn?1?n?2?3???x???1?cosx 求f?x? 2?解：原式

有理化n??

?x?22解：?sin??2cos?f?5?11．若lim?1??n???n??kn?2?x?2?1?sin2x?

?2?2???e?10,

?f1????2????2?

?则k?

lim5(?kn)解：左式=en??n2 故f?x??21?x

???e?5k?e?10

故

k?2

3n2?52sin= 12．limn??5n?3n15．设f?x??lnx，g?x?的反函数

g?1?x??2?x?1?，求f?g?x?? x?1 2

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解: （1） 求g(x):?y?2x?2 ∴反

x?1y?2

y?2互换x,y位置得g(x)?x?2

x?2 (2)f?g?x???lng?x??lnx?2

??x?2解出x：xy?y?2x?2x?16．判别f?x??lnx?1?x2的奇偶性。 解法（1）：f?x?的定义域???,???，关于原点对称

???1??2? x?111? ??????2?得2f?x??x?1x?11故 f(x)?2

x?111?????2?得2g?x??x?1?x?1

x故g(x)?2

x?1f(x)?g(x)?18．设lim??n?2a???8，求a的值。 n???n?a?3a??n?2a???lim1????n??n???n?a??n?a?3nn3n3?f??x??ln??x??ln1?x2

?11?x2 ?x解： ?lim?

?lnx?1?x2???1??ln(x?1?x2)

?enan??n?alim?ea,?ea?8

n故a?ln8?3ln2

??f?x?

?f?x??ln(x?1?x2)为奇函数

解法（2）：?f?x??f??x?

?1?1119．求lim? ??????n???1?22?3n?n?1???解：（1）拆项，

1k?1?k?

k(k?1)(k?1)k?ln(x?1?x2)?ln?x?1?x2

?ln?(x?1?x2)?????11?k?1,2,?,n kk?1?1?x2?x??ln1?0

????f??x???f?x? 故f?x?为奇函数

17．已知f?x?为偶函数，g?x?为奇函数，

111???? 1?22?3n?n?1?1??1??11??1??1??????????? ?2??23??nn?1??1?1，求f?x?及g?x? x?11???? 解： 已知f(x)?g(x)?x?11?f(?x)?g(?x)?即有

?x?1且f?x??g?x??

3

1 n?1n?nlim1??n??n?1（2）原式=lim?1??e?e?1 ?n???n?1?专业精神 诚信教育 同方专转本高等数学内部教材 严禁翻印

20．设f?x??ax?a?0,a?1?, 求lim（3）讨论f3?x?的有界性

1ln??f?1??f?2??f?n??? n??n2?f3?x??x1?3x2?x3x?13

解： 原式=lim112nlna?a?a??

n??n2?f3?x?有界

22．从一块半径为R的圆铁片上挖去一个扇形，把留下的中心角为?的扇形做成一个漏斗（如图），试将漏斗的容积V表示成中心角?的函数。

解：（1）列出函数关系式，设漏斗高为h，底半径为r，依题意：漏斗容积V=?rh

1?lim2?lna?2lna???nlna? n??n?lna?lim1?2???n

n??n2(n?1)n

n??n2?2?lna?lim132?1lna?a?0,a?1? 2x1?x2?h?R2?r2,2?r?R? R2??R2??2 ?r?h?R?224?4?2四、综合题（每小题10分，共20分） 21．设f?x?=，求f3?x?=

4?2????R2??故V? ?R234?2?ff??f?x???并讨论f3?x?的奇偶性与有

界性。

解：（1）求f3?x?

?f?x??x1?x2???R3???4?2??? 324?（2）函数的定义域

?f2?x??f?x?1?f2?4?2??2?0,?2??2???x1?2x22

?x???0??????

R3??4?2????0?????? 故V?224?五、证明题（每小题9分，共18分） 23．设f?x?为定义在???,???的任意函数，证明f?x?可表示为一个偶函数与一个奇函数之和。

4

f3?x??f??f2?x????f2?x?1?f22?x??x1?3x2 （2）讨论f3?x?的奇偶性

?f3??x???x1?3x2??f3?x?

?f3?x?为奇函数

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证：(1) f?x??f?x??f??x?2?f?x??f??x?2

?2??2??1?:f?x??4f?x??x?x2?22?x2?3f?x??,f?x??

x3x2x

(2)令g?x??f?x??f??x?????x????

2（3）?f?x?的定义域???,0???0,???

?g??x??f??x??f?x?2?g?x?

?g?x?为偶函数

f?x??f??x?(3)令??x??????x????

2????x??f??x??f?x?????x?

22?x2??f?x? 又?f??x???3x?f?x?为奇函数

＊选做题

1已知12?22???n2?n(n?1)(2n?1)，

6???x?为奇函数

（4）综上所述：f?x??g?x?偶函数+??x?奇函数

?1222n2?求lim?3?3???3? n??n?1n?2n?n??12?22???n2解: ?

n3?n?1?24 设f?x?满足函数方程2f?x?+f??

?x?=

12n212?22???n2?3???3?n?1n?nn3?112?22???n2且lim n??n3?n?limn?n?1?(2n?1)6?n3?n??1 3

1，证明f?x?为奇函数。 x?1?1证：（1）?2f?x??f??????1?

?x?x1令?t,2fx的记号无关

n???1????f?t??t ?函数与自变量?t?12?22???n2limn??n3?1?limn(n?1)(2n?1)1? 3n??6(n?1)3?1??2f???f?x??x???2?

?x?1?（2）消去f???，求出f?x? ?x?

5

1 32 若对于任意的x,y，函数满足：

∴由夹逼定理知，原式?

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f?x?y??f?x??f?y?，证明f?y?为奇

函数。

解 (1)求f?0?：令

注：B:??,C:2,D:1

3． 若limf?x???，limg?x???，则

x?x0x?x0下列正确的是 （ ） A． lim??f?x??g?x?????

x?x0x?0,y?0,f?0??2f?0??f?0??0

(2)令x??y:f?0??f??y??f?y??f??y???f?y?

B． lim?f?x??g?x????? x?x0?C． limx?x0?f?y?为奇函数

1 ?0f?x??g?x?第二讲：函数的极限与洛必达法则的强化练习题答案

一、单项选择题（每小题4分，共24分） 1． 下列极限正确的（ ） A． lim在

D． limkf?x????k?0?

x?x0解：?limkf?x??klimf?x??k??x?x0x?x0k?0?

sinxx?sinx?1 B． lim不存

x??x??xx?sinx?选D

4．若limx?01?C． limxsin?1 D． limarctanx?

x??x??x2f?2x??2， x1?tx1sintlim解：?limxsin ?选C

x??t?0xt则limx?0x? （ ）

f?3x?11 C．2 D． 32A．3 B．

sinxsinxx?1?0?1 ?0;Blim注：Alimx??xx??sinx1?01?x1?2． 下列极限正确的是（ ）

2tx3x?2t3lim解：lim x?0f?3x?t?0f?2t??21211lim??? 3t?0f?2t?323te?0 B． lim?e?0 A． lim?x?0x?01x1xC． lim(1?cosx)x?0secx?e

?选B

1xD． lim(?x??1x)?e

??e?e解：?lim?x?01x?1?0 ?选A e?6

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??1xsinx(x?0)?5．设f?x????0(x?0)且lim??xsin1?a(x?0)x?0f?x??x?存在，则a= （ ） A．-1 B．0 C．1 D．2 解：?limsinxx?0?x?1, xlim???0?????xsin1?x????a???o?a ?a?1 选C

6．当x?0?时，f?x??1?xa?1是比x高阶无穷小，则 （ ）

A．a?1 B．a?0 C．a为任意实数 D．a?1a1xa解：lim1?x?12a?1x?0?x?limx?0?x0?a?1 故选A

二 、填空题（每小题4分，共24分）

x7．lim?x???x??1?x??? ?x解：原式

1lim?lim?x?1?1?1??ex??1?xx???x???e?1 8．lim?x?1?1?x?1?2?x2?1??? 解：原式

?????limx?1?2x?1?x?1??x?1? ?lim11x?1x?1?2

39．lim?2x?1??3x?2?97x???3x?1?100? ????解：原式

????397lim?x???2x?1??3x?1???lim?3x?2?x????3x?1?? ??3?2?8?3???27 10．已知limx2?ax?6x?11?x存在，

则a= 解：?limx?1?1?x??0

?limx?1?x2?ax?6??0

1?a?6?0,a??7

11．lim?1x?0???exsin1arcsinx?x2?x??? 解：?sin111x1x?1,limx?0?e?0?limx2x?0esinx2?0又?limarcsinxxx?0x?limx?0x?1 故 原式=1

12．若limx2ln?1?x2?x?0sinnx?0

且limsinnxx?01?cosx?0,则正整数n= 解：?limx2ln?1?x2?x?0limx2?x2sinnx?x?0xn 7

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n?40,limxn?20?n?2,n?4, 故2n原式?lim?cost?sin2t?t?01t x?0x2n?3

三、计算题（每小题8分，共64分）

13．求limsin3x?2xx??sin2x?3x

sin3x?2解： 原式=limsinxx??2x

x?3?limsin3xx??x?0??1??sin3x?1,limx??x?0??

limsin2xx??x?0???sin2x?1,lim1?x??x?0??

?原式?0?20?3??23 14．求lim1?tanx?1?sinxx?0x?1?cosx?

解：原式

有理化

limtanx?sinxx?0x(1?cosx)(1?tanx?1?sinx) ?limtanx(1?cosx)x?0x(1?cosx)?12

?limtanxx??x?12?1x12limx?0x?2

15．求lim?21xx????sinx?cos?x??

解：令

1x?t，当x??时，t?0

1?limt?0?1?cost?1?sin2t?t

???cost?1?sin2telimt?0t?e2

16．求limlncos2xx?0lncos3x

解：原式

变形limln?1?cos2x?1?x?0ln?1?cos3x?1?

等价limcos2x?1x?0cos3x?1

?1等价2x2lim2??x?0?4 ?1292?3x?????注:原式

????lim?2sin2xx?0cos2x?cos3x?3sin3x ????49 ex17．求lim?e?x?2xx?0x?sinx

0?x 解： 原式

0limex?e?2x?01?cosx 000ex?e?x0xlime?e?xx?0sinxlimx?0cosx?2 8

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??1x????ex?a,x?018．设f???1?cosx且limx?0f?x???x,x?0存在，求a的值。

解：?xlim??0??e?1x?a???e???a?0?a?a

??x21?cosx2xlim?0?x?limx?0?x1?lim2??x?x?0?x??22 ?a??22 119．lim?sin3x1?3lnxx?0??

解： 原式

?lim3cosx00?换底法ln(sin3x)x?0?sin3xlim3ex?0?1?3lnx?ex

?elim3xlimx1x?0?3sinx?ex?0?3x?e3

20．求lim??2?1??x???x?xln??1?x???? 1解： x?t原式

lim?1ln?t?0??1?t???tt2? ?通分limt?ln?1?t?t?0t2

??0??0??1?1lim1?tt?02t ?lim1?t?111t?02t?t?1??limt?0t?1?2

四、证明题（共18分） 21．当x??时且

limx??u?x??0,limx??v?x???,

证明lim?vlimu?x?v?x??1?x?x???u?x????ex??

证：lim?v?1?x?x???u?x???

1?lim??1u?x??u?x??v?x?x???u?x???

?exlim??u?x??v?x?

证毕

22．当x?0时，证明以下四个差函数的等价无穷小。

1）tanx?sinx等价于x3（2?x?0?

2）tanx?x等价于x3（3?x?0?

3）x?sinx等价于x3（6?x?0?

（4）arcsinx?x等价于x36?x?0?

证：?1??limtanx?sinxx?0x3

29

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??0??0??limtanx?1?cosx?x?0x3

2?x2x?lim2x?0x3?1 2当x?0时，tanx?sinx?x32

?22??limtanx?xx?01?limsecx?1 3x?0x23x?limtan2xx2x?0x2?limx?0x2?1 当x?0时，tanx?x?x23

?3??limx?sinx1?cosxx?01?lim3x?01 6x2x212x2?limx?01?1 22x当x?0时，x?sinx?136x

?4??limarcsinx?xx?01

6x3

1?lim1?x2?1lim1?1?x2x?01?2x?01 2x2x21?x212?lim2xx?01?1 2x2?1当x?0时，arcsinx?x等价于136x 五、综合题（每小题10分，共20分） 23．求limx???3x?9x2?12x?1?

2解： 原式

有理化lim9x??9x2?2x?1?x??3x?9x2?2x?1

?lim?2x?1x??3x?9x2?2x?1

?2?1?limx?21x?????

3?9?213?33x?x2limx224． 已知?mx?81x?2x2??2?n?x?2n?5，求常

数m,n的值。

解：（1）∵原极限存在且

limx?2??x2??2?n?x?2n???0 ?limx?2?x2?mx?8??0,4?2m?8?0

2m?12,m?6

（2）?limx2?6x?8x?2x2??2?n?x?2n

10

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?0????0?且f?0??1,f?1??0，

lim2x?64?6 ?x?22x??2?n?4??2?n???21? 2?n5则limf?xsinx????1???( ) x???10?2?n n?12 答m?6,n?12

选做题

1?1?x??x求

lim?x?0?e??1xA． -1 B．0 C．1 D． 不存在 解： 原式

1??sinf连续??1?x?f?limxsin??f?limx??1?x??x????x???? ???11??xx?e1?x??解：原式1?? lim?1?x?0??e?????f?1??0，选B

2． 要使f?x??ln?1?kx?在点x?0处连续，应给f?0?补充定义的数值是( )

mx?ex?0lim?1?x?x?ex?e1?e1x????1?x??lim?x?0e1x?????

A． km B．

令y??1?x??e1x1ln?1?x?xk my???1?x?11x?ln?1?x?1?x 2xx?1?x?2kmC． lnkm D． e

??1?x?xx??1?x?ln?1?x?x??1?x?ln?1?x?x?1?x?122m??解：?limf?x??ln?lim(1?kx)x?

x?0?x?0?limkx?mx

?lnex?00?ln?1?x?2x?3x2?lnekm?km

原式?ex?0lim?ex?0lim

?f?0??km 选A

3．若limf(x)?A，则下列正确的是

x?a?ex?02x?3x2lim?x?e

?第三讲：函数的连续性与导数、微分的概念的强化练习题答案

一、单项选择题（每小题4分，共24 分） 1．若f?x?为是连续函数，

11

（ ）

A． limf?x??A

x?aB． limx?af?x??A

C． limf?x???A

x?aD． limf(x)?A

x?a专业精神 诚信教育 同方专转本高等数学内部教材 严禁翻印

解：limx?af?x?u连续limf?x??x?aA

A． a??2,b?2 B． a?0,b?2 C． a?2,b?0 D． a?1,b?1 解：（1）?f?x?在x?1连续，

2?limx?1??2,lim?ax?b??a?b ???x?1x?1选B

?f?x?,x?0?4．设F?x???x

?f?0?,x?0?且f?x?在x?0处可导，f??0??0,

故a?b?2??1?

f?0??0,则x?0是F?x?的 ( )

A． 可去间断点 B． 跳跃间断点 C． 无穷间断点 D． 连续点 解：?limF?x??limx?0x?0x2?1?2,f???1? （2）f???1??lim?x?1x?1f?x??f?0?x?0?f??0?,

a?x?1?ax?b?2?1??limlim?a

x?1?x?1?x?1x?1?a?2，代入?1?得b?0，选C

二、 填空题（每小题4分，共24分） 7．设f(x)为连续奇函数，则f?0?=

解：（1）?f?x?为奇函数，?f??x???f?x?

f??0??f?0??F?0??f?0??limF?0?，

x?0故x?0是F?x?的第一类可去间断点。选A

1?xsin?5．f?x???x,x?0在x?0处 ( )

??0,x?0A． 极限不存在 B．极限存在但不连续

C ．连续但不可导 D．可导但不连续

?f?x??（2）?limf??x??lim?? x?0x?0?又?f?x?在x?0连续

1解：?limf?x??limx?sin?0，且f?0??0

x?0x?0x?f?x?在x?0连续，又?f??0? 1xsin?0x?f?x?在x?0?lim?不存在，

x?0x?0不可导 选C

?f?0???f?0? 故f?0??0

8．若f?x?为可导的偶函数，则f??0?? 解：（1）?f??x??f?x? ?f?x?为偶函数，(2)?f?x?可导，??f???x??f??x? 故

?x2?1,x?16．设f?x???在x?1可导，则

?ax?b,x?1a,b为 （ ）

12

?f??0??f??0? 2f??0??0 即f??0??0

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9．设y?6x?k是曲线y?3x2?6x?13的 一条切线，则k?

解： （1）?y??6,y??6x?6,?6x?6?6,x?2 （2）6?2?k?3?4?6?2?13,?12?k?12?12?13,三 、计算题（每小题8分，共64分）

?sin2x?e2ax?1,x?0?13． 已知f(x)?? x?a,x?0?在???,???上连续，求a的值 故k?1

10． 若y?f(x)满足：f(x)?f?0??x

???x?，且lim??x?x?0x?0 则f??0?= 解：f??0??limf?x??f?0?x?0x?0

?limx???x?x?0x?1?0?1

11． 设f(x)在x?2连续，且f(2)=4， 则lim?1x?2f(x)??x?2?4?x2?4???

解： 原式=f(2)limx?2?4x?2x2?4

?4lim11x?2x?2?4?4?1

12．f(x)?sinx??x?1?x5?x的间断点个数为

解： 令x5?x?0,x?x?1??x?1??x2?1??0

x?0,x??1,x?1为间断点，

故f?x?有三个间断点

解：?f?x?在x?0连续

limsin2x?e2ax??1x?0f?x??limx?0x?limsin2xe2ax?1x?0x?limx?0x?2?2a 且f?0??a,?2?2a?a 故a??2

?1?14． 讨论f(x)??ex,x?0?0,0?x?1在x?0,x?1??lnx?x?1,x?1连续性

1解：（1）在x?0处，?limx?0?ex?0,xlim?0?0?0且f?0??0

?f?x?在x?0处连续

（2）在x?1处，?limx?1?0?0, lnxx?1?tx?1?ln?1?t?xlim?1?xlim?0?t?1 ?f?x?在x?1不连续

15． 设f(x)有连续的导函数，且

13

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?f?x??asinx,x?0?f?0??0,f??0??b若F?x???x?A,x?0?在x?0连续，求常数A。 解：?limF?x??limx?0x?0?k?11，答k?,b?1 22f?x??f?0??asinxx?ln(1?ax),x?0?17．设f(x)??在x?0可x???1,x?0导，求a与f??0?

解：（1）?f?x?在x?0连续，

?limx?0f?x??f?0?x?0asinx?limx?0x?f??0??a

且F?0??A，?a?b?A 答A?a?b

ln?1?ax?ax?lim?a ?limf?x??limx?0xx?0x?0x且f?0???1，故有a??1 （2）?f?x?在x?0可导

?ex?1,x?0?16． 设f(x)??x在x?0可导，

?kx?b,x?0?求k,b的值。

ln(1?x)?1x f??0??limx?0x?0?1???1ln?1?x??x?0? ?limlimx?12x?0x?02xxex?1解：（1）?lim??1 ?f?x?在x?0连续，

x?0xx?0?lim(kx?b)?b 故有b?1

?lim（2）?f?x?在x?0可导

1?x?11??

x?02x?x?1?21 2答：a??1,f??0???ex?1?1f???0??lim?x

x?0x?018． 讨论f(x)?x?a??x?在x?a是否可导，其中??x?在x?a连续。 解：（1）f???a??lim?x?a?0???ex?1?x?0?ex?11?limlim? x?0?x?02x2x2f???0??limx?0?x?a???x??0x?a

kx?1?1?k, x14

?lim?x?a??x?a???x?x?a

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??lim??x??x?a?连续???a?

?lime?x?11x?1?e???0,lime?x?11x?1??

（2）f???a??lim?x?a?x?a???x??0x?a?lim??x??x?a?x?1是f?x?的第二类无穷间断点

（3）在x?0处：

1x?1?lim?x?a?x?a???x?x?a?连续?lime?x?0?e?1,limln?1?x??0 ?x?0??a??x?0是f?x?的第一类跳跃间断点

四、 综合题（每小题10分，共20分）

答： 当??a??0时，f?x?在x?a连续， 当??a??0时，f?x?在x?a不连续 19． 求f(x)?点类型

解：（1） 间断点：x?0,x??1,x?1 （2） 在x?0处：?lim1的间断点，并指出间断lnx11?21． 求f(x)?xx?1的间断点，并判别

11?x?1x间断点的类型。

解： （1）间断点：x?0，x??1,x?1 （2）在x?0处：

1?0

x?0lnxf?x??x?x?1?x?11 ??x(x?1)1x?1x?0?x?0是f?x?的第一类间断点。

（3） 在x??1处：?lim?limf?x??limx?0x?1??1 x?11??

x??1lnx?x?0是f?x?的第一类可去间断点

?limf?x??lim（3）在x?1处：

x?1x?1x?1?0 x?1?x??1为f?x?的第二类无穷间断点。 ?x?1是f?x?的第一类可去间断点

（4）在x??1处：?lim?x1?e?1,x?020． 设f(x)??指出

??ln?1?x?,?1?x?0f(x)的间断点，并判断间断点的类型。

解：（1）x?1为间断点，x?0可能是间断

点。

（2）在x?1处：

x?1??

x??1x?1?x??1是f?x?的第二类无穷间断点

?x2?x,x?0?22．已知f(x)??ax3?bx2?cx?d,0?x?1，

?x2?x,x?1?在???,???可导，求a,b,c,d之值

15

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解：（1）?f?x?在x?0连续，

?3xlim?0??ax?bx2?cx?d??d xlim?0??x2?x??0,f?0??0 故d?0??1?

（2）?f?x?在x?0可导

?limx2f?x???0?x?0?x?1,

fax3?bx2?cx???0??limx?0x?c

故有c?1??2?

（3）?f?x?在x?1连续，

?lim32x?1??ax?bx?x??f?1? 即a?b?1?f?1??0

?a?b?1?0??3?

（4）?f?x?在x?0可导：

?f?1??limx2?x??x?1?x?1?1

f??limax3?bx2?x???1x?1?x?1

??0??0??xlim?1??3ax2?2bx?1? ?3a?2b?1

故有3a?2b?0??4? 由（3）（4）解得a?2,b??3 答：a?2,b??3,c?1,d?0 五、证明题（每小题9分，共18分） 23． 证明x4?2x?4?0在区间??2,2?内至

少有两个实根。

证：（1）?f(x)在??2,0?连续， 且f?0???4?0,f??2??16?0

?由零点定理知，

f(x)=0在??2,0?上至少有一个实根。

（2）?f(x)在?0,2?连续,且

f?0???4?0,f?2??16?4?8?0 ?由零点定理知，

f(x)=0在?0,2?上至少有一个实根

（3）综上所述，f(x)=0在??2,2?上至少有两个实根

?u124． 设f?x????xsin,x?0?x，证明（1）?0,x?0当u?0时f?x?在x?0连续，当u?1时，

f?x?在x?0可导

解：（1）?limxu1u?0时x?0sinx0

16

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?1uu?0?sin?1,limx0? ?x?0x??第四讲：导数与微分的计算方法的强化练习题答案

一、单项选择题（每小题4分，共24分）

2421．设fx?x?x?1,则f??1??( )

?当u?0时，f?x?在x?0连续 1x?limxu?1sin1u?1时0 (2)?limx?0x?0x?1xxusin?1u?1u?1??sin?1,limx0? ?x?0x??当u?1时，f?x?在x?0可导 总之，当u?0时，f?x?在x?0连续 当u?1时，f?x?在x?0可导 选做题

设对于任意的x，函数满足f?1?x??

??A ．1 B ．3 C． -1 D． -3 解：（1）?fx????x?222?x2?1

?f?x??x2?x?1

(2) f??x??2x?1,f???1???2?1??1 选C

222．设f?x??xx?1???x2?22?

22 ?x?n,则f??0?? （ ） 2A ．(n!)2 B． ??1?(n!)

n??af?x?且f??0??b,证明f??1??a?b

证：（1）令x?0，f?1?0? ?af?0?，即

C． n! D． ??1?n!

22解： 令g?x??x?1nf?1??af?0?

(2) f??1??limx?0???x2?22???x2?n2?

f?1?x??f?1?xf?x??x?g(x)

f??x??g?x??xg??x?

f??0??g?0??0???1???2? ????n????1?2n22?limx?0af?x??af?0?x?af??0??a?b

证毕

?n!?2

选B

注：本题用导数定义计算更方便！ 3．设f?x??ln?1?x?，则fA ．

?5??x?= ( )

54!?1?x?5 B ．

?4!?1?x?

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C．

5!?1?x?5 D．

?5!?1?x?5

（2）?f??x??f?x?,

解：f??x???1?x?,

?1?f???x????1??f??x? ?f??0??f??0?得f??0??0

f???x???1?1?x?, f????x????1???2??1?x? f?4??x????1???2???3??1?x?,

?4?3?2（3）g????????f?0??0 选A 2??6．设f?x?在x?1有连续导数，且f??1??2,

?5f(5)?x????1???2???3???4??1?x?则lim?x?0dfcosx? ( ) dx???4!(1?x)?5 选A

4．设y?f?x?由方程e2x?yA． 1 B． -1 C． 2 D ．-2

?cos?xy??e?1解：

dfcosx dx??所确定，则曲线y?f?x?在点（0，1）的切线斜率f?(0)= ( )

A ．2 B． -2 C ．

?f?cosx??sinx?????12x 11 D． - 222x?y(2)原式?lim?x?0?sinx2xf?cosx

???解：e?2?y???sin?xy???y?xy???0

?1f??1???1 2e??2?y??0???0?0,y??0??f??0???2

选B

5． 设f?x?为可导偶函数，且g?x??f?cosx?，则g'?选B

二、填空题（每小题4分，共24分）

t??x?esint7．若?， ?ty?ecost??????? （ ） ?2?d2y则2? dxdy?e?tcost?e?tsint?2t?e(?1) 解：（1）?ttdxesint?ecostd2ydy?dy?dx?2e?3t???(2) dx2dxdtdtsint?cost18

A． 0 B ．1 C ．-1 D． 2 解：（1）g??x??f??cosx???cosx??

?f??cosx????sinx?

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8．设f?x??1?lnx，

2n则 f???0?= 则f??e?=

解：f??x??na0xn?1?(n?1)a1xn?2

11lnxxx?解：(1)f??x?? 2221?lnx1?lnx2lnx???an?1??

f?n??x??n?n?1???a0xn?n ?n!a0,f?n??0??n!a0

三、计算题（每小题8分，共64分） 13 ．设y?ln112（2）f??e?? ?e2e29． 直线l与x轴平行，且与曲线y?x?ex相切，则切点坐标是

1?x?1，求dy。

1?x?1??1?e,ye??0?e?1?0 解：?y曲故有切点坐标?0,?1?

10．y?f?x?由方程x?y?sinx?6y?033xx解： (1)y?ln(1?x?1)?ln?1?x?1

?(2)y??1111?x?121?x1? 确定，则dy?x?0? 解：当x?0时，y3?6y?0得y?0

?1x1?x1?x?121?x

（3）dy?1dx

x1?xx?4?x2，求y?及y??。 23x2?3y2?y??cosx?6y??0

y??0??11?x?0?y??0?dx?dx ，dy6614．设y?xarcsin1?ex11．设y?ln， x1?e则dy? 解：y?解：(1) y??arcsinx?x212?x?1????2?2

11ln?1?ex??ln?1?ex? 221xexx1?ee y???2x?2xx21?e1?ee?1nn?1??2x24?x2x?arcsinxx? 224?x?x?arcsin

24?x212．设f?x??a0x?a1x

???an?1x?a0，

19

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x???(2)y????arcsin?

2????x?????2??x?1????2?2?14?x2 15．方程sin?xy??lnx?1?1确定y?y?x?，y1dy1?2dy1?tdt??12t?t 解：（1）

dxdx21?t2dtdy?2t??1?t2?dydy?dt(2)2? ???dxtdxdxtdt1?t21?x?n?18． 设y?，求y

1?x?1?x?22??1?解：（1）变形，y?

1?x1?x（2）y??2??1??1?x?

?2求

dy?x?0 dx11解：(1)cos?xy??(y?xy?)??y??=0

x?1y（2） 当x?0时，0?lny?1?y?e

y???2??1???2??1?x?

y????2??1???2??1?x???

?4?31（3）cos?0?e??(e?0)?1?y?(0)?0

e1e?1?y?(0) ，y?(0)?e(e?1)

e16．设 y?x?sinx?coxsny???2??1?n!?1?x?n?n?1

19． 设y?y?x?

22由方程Fx?y?F?x?y??y?0所确

??，求y?

定，其中F可导，且

解：（1）lny?lnx?cosxlnsinx

1dy

F??2??,F?(4)?1,y?0??2，求?x?0

2dx

22解：（1）F?x?y??2x?2yy??

11cosx(2)y???sinx?lnsinx?cosx

yxsinx??y??x?sinx?cosx?1cos2x???sinxlnsinx???（2）当x?0时，y?2 ?xsinx???F??x?y??1?y???y??0

??x?ln1?t217 ．设?，确定y?y?x?，

??y?t?arctant（3）F??4???4y?(0)??F?(2)?1?y?(0)? ?y?(0)?0

d2y求2。 dx

20

4y?(0)?1?1?y?(0)??y?(0)?0 2

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1y?(0)??

720．已知f??x??解得x?x0?x0y0,

x0y0 dy1?x?1?，求 ,y?f??dxx?x?1?令x?0，y?y0?解得y?y0?解：（1）y??f???x?1??x?1???x?1? ??2?x?1??x?1?x0y0

（3）证明两截距之和为a（即x?y?a）

??2?x?1?2?x?1?f???

x?1??1 xx?y?x0?y0+2x0y0 ?????x0??2?y02?2(2)?f??x???2x0y0?

??2??x?1?x?1 ?f????x?1x?1???x0?y0???a??a

证毕

五、综合题（每小题10分，共30分） 22．若曲线y?x2?ax?b与2y??1?xy3在点?1,?1?相切，求常数a,b。 解：（1）求两曲线的斜率

在y?x?ax?b上，y??2x?a,y??1??2?a

2dy?2x?1?2 ??22dx?x?1?x?1x?1四、证明题（本题8分） 21．证明抛物线x?y?a任一点处的切线所截两坐标轴的截距之和等于a。 证：（1）求切线方程：设切点坐标为?x0,y0?

在y??1?xy上，2y??y?3xyy?,y??1??1

332?12x?12yy??0，y???y0 x0y x2）求a,b之值：依题意，?两曲线在点?1,?1?相切，

?y??x0????2?a?1,a??1,

又?点?1,?1?在曲线y?x?x?b上

2故有切线方程：

yy?y0??0?x?x0?

x0（2）求截距： 令y?0，?y0????1?12?1?b,b??1

23．设y?f?x?单调，且二阶可导，求

dx及dyy0?x?x0? x021

d2xf??x??0? 2?dy

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解：（1）

dx11 ??dy?dyf?x?dx(2)∵f?0??0?cosf?0??1,sinf?0??0（3）y??0??cosf?0??f??0??cosf?0??f??0?

1d2x?dx?d（2）= ?2?dydyf?x?dy1d1dx0?f???x???= ?2??fxdxf?x?dy?f??x????????f???x???f??x???3???cosf?0??????f??0??????f??0???

2．设f?x?有任意阶导数，且

(n)f??x????f?x???，求f?x?

2222

解：∵f??x??f2?x?

324．设y?arctan1?x，求y?? 1?x∴f???x??2f?x?f??x??2f?x?

dx?解：（1）dy(1?x)2?1?x??? 2?1?x??1?x??1????1?x?12f????x??2?3f2?x?f??x??2?3f4?x?,???

f?n??x??n!fn?1?x?

3．设f?x?可导且f?x??0， 证明

?(1?x)2??1?x???(1?x)??1?x?(1?x)2??2?1? 222(1?x)(1?x)f??x?d lnf?x??dxf?x?解：（1）当f(x)?0时

?2?1? (2)y????1?1?x?????? ?1?x选做题

?2?2??2x?2xdd1lnf?x??lnf?x??f??x? dxdxf?x?

（2）当f?x??0时：

?1?x?22inx1．设f可导，y?sinf????s??且f(0)?0，求y?(0)

解：（1）y??cosf??sinf?x???

??ddlnf?x??ln??f?x?? ??dxdx???f??x?f?x??f??x?f?x?

??（3）综上所述：

?f???sinf?x????cosf?x??f??x?

22

f??x?d lnf?x??dxf?x?

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/9ez7.html