低通滤波器设计课题研究报告

1、 课题背景

滤波器是具有一定传输选择特性的、对信号进行加工处理的装置，它允许输入信号中的一些成分通过，抑制或衰减另一些成分。其功能是将输入信号变换为人们所需要的输出信号。

滤波器按照处理的信号不同可分为模拟滤波器和数字滤波器；按功能不同可分为低通、高通、带通和带阻。

本次课设是完成低通滤波器的设计，目前常用的方法有模拟滤波器设计的巴特沃斯和切比雪夫滤波器以及数字滤波器设计的冲激响应不变法和双线性变换法。

巴特沃斯滤波器的频率特性曲线，无论在通带还是阻带都是频率的单调减函数。因此，当通带边界处满足指标要求时，通带内肯定会有较大富余量。因此，更有效的设计方法应该是将逼近精确度均匀地分布在整个通带内，或者均匀分布在整个阻带内，或者同时均匀分布在两者之内。这样，就可以使滤波器阶数大大降低。

切比雪夫滤波器的幅频特性就具有这种等波纹特性。它有两种形式： 振幅特性在通带内是等波纹的、在阻带内是单调下降的切比雪夫Ⅰ型滤波器； 振幅特性在通带内是单调下降、在阻带内是等波纹的切比雪夫Ⅱ型滤波器。

脉冲响应不变法的优点是频率变换关系是线性的，即ω=ΩT，如果不存在频谱混叠现象，用这种方法设计的数字滤波器会很好地重现原模拟滤波器的频响特性。另外一个优点是数字滤波器的单位脉冲响应完全模仿模拟滤波器的单位冲激响应波形，时域特性逼近好。但是，有限阶的模拟滤波器不可能是理想带限的，所以，脉冲响应不变法的最大缺点是会产生不同程度的频率混叠失真，其适合用于低通、带通滤波器的设计，不适合用于高通、带阻滤波器的设计。

双线性变换法的优点：避免了频率响应的混叠，数字域频率与模拟频率之间是单值映射。缺点：除了零频附近外，数字域频率与模拟频率之间存在严重非线性。

2、 方案设计 2.1、模拟滤波器

2.1.1、巴特沃斯滤波器

具有单调下降的幅频特性 2.1.1.1、设计步骤

1、由技术指标要求确定滤波器阶次

对于本次课设，已经要求是三阶，故此步可省略 2、由阶次确定归一化后的表达式

对于3阶的归一化表达式为：H(p)?3、由截止频率去归一化 令s?1p?2p?2p?132 （1）

p代入上式得到去归一化后的结果（wc是截止角频率，当fc?100Hz时，wc2.48?108：H(s)? wc?628rad/s）25(s?627.8)(s?628s?3.945?10)2.1.1.2、仿真验证

设计的滤波器的频域特性曲线如下图：

Bode Diagram0-10-20System: sysFrequency (rad/sec): 628Magnitude (dB): -3.05Magnitude (dB)Phase (deg)-30-40-50-60-70-800-45-90-135-180-225-27010110210Frequency (rad/sec)3104

幅频特性曲线在wc?628rad/s（fc?100Hz）处开始下降，满足设计要求。 在simulink中搭建一个完整系统，进行滤波效果仿真验证：

1GaussianGaussian NoiseGeneratorden(s)Transfer FcnScopeyyyTo Workspace1Sine WaveTo Workspace2 图中的输入信号为叠加了高频噪声的100Hz的正弦信号，经过滤波前后的信号波形如下图：

加入噪声后的100Hz的信号151050-5-10-1500.050.10.150.20.250.30.350.40.450.5

经过滤波的信号151050-5-10-1500.050.10.150.20.250.30.350.40.450.5

经过滤波处理后，输出信号更为光滑，含有的无用成分减少了 2.1.1.3、电路原理图

上图为EWB仿真的3阶有源低通滤波器的电路图，其传递函数为：

R1R31RxR4R1R2R3C1C2C3 （2） H(s)?R1C3?R1C1R2C2Rx?R1R3C31s3?s2?s?R1R3C1C3R1R2R3RxC1C2C3R2R3RxC1C2C3?

对比（1）（2）可得

R1R31R1C3?R1C1?1 ?2

RxR4R1R2R3C1C2C3R1R3C1C3

R2C2Rx?R1R3C31?2 ?1

R1R2R3RxC1C2C3R2R3RxC1C2C3

为了方便计算取：R1=R2=R3=R4=1Ω,C1=C3=1F,C2=0.25F,Rx=4R1 还要进行一步去归一化处理：

归一化主要包括频率归一化和阻抗归一化两部

?F?实际要求的截止频率某一阻抗的实际值 ZF?

11?F在数值上等于实际要求的截止角频率，但无量纲。对于阻抗：RN?R/ZF, 对于电容：

CN?ZF?FC

已知归一化的 RN , CN , 通过上述公式可以求出实际的 R, C 值 指标要求：截止频率628（f=100Hz）,选取R1=R2=R3=R4=10MΩ 则?F?62810M?628，ZF??10M 111F0.25FC1?C3??0.16nFC2??0.04nF ,

628?10?106628?10?106代入上图中，用波特仪观察滤波器的幅频特性曲线如下图：

在100Hz处开始下降，电路结构满足设计要求 2.1.2、切比雪夫滤波器

上图分别为切比雪夫1型、2型。幅频特性在通带或者阻带有等波纹特性，可以提高选择性 2.1.2.1、设计步骤

1、由技术指标要求确定滤波器阶次

对于本次课设，已经要求是三阶，故此步可省略 2、由阶次确定归一化后的表达式 3、由截止频率去归一化

令s?p代入得到去归一化后的结果 wc0.4913 ?93?624.038?10s?2.506?10s?0.001972s?0.4913H(s)?2.1.2.2、仿真验证

设计的滤波器的频域特性曲线如下图：

Bode Diagram0System: sysFrequency (rad/sec): 626Magnitude (dB): -0.954Magnitude (dB)Phase (deg)-20-40-60-800-90-180-27010110210Frequency (rad/sec)3104

幅频特性曲线在wc?628rad/s（fc?100Hz）附近开始下降，满足设计要求。 用和巴特沃斯滤波器同样的方法得到加入噪声后的信号滤波后波形：

3阶切比雪夫151050-5-10-1500.050.10.150.20.250.30.350.40.450.5

信号波形曲线和巴特沃斯滤波器的相似，在高频滤波方面两者效果相近。 2.2、数字滤波器

对于有计算机参与的控制系统，必须要进行信号的转换，把模拟信号转换为数字信号计算机才能识别，因此就有数字滤波器的设计必要 2.2.1、冲激响应不变法

冲激响应不变法是使数字滤波器的单位冲激响应等于模拟滤波器的单位冲激响应的等间隔采样。???T

为了避免频率混叠失真，对采样周期的选取应满足?s??/T 设计步骤：

1.根据指标要求求出模拟滤波器的表达式

2.利用???T将表达式从S平面转换到Z平面 仿真验证:

设计的滤波器的频域特性曲线如下图：

20冲激相应不变法 数字滤波器4阶Magnitude (dB)0-20-40-60050100150200250300Frequency (Hz)3504004505000Phase (degrees)-100-200-300-400050100150200250300Frequency (Hz)350400450500

幅频特性曲线在fc?100Hz处开始下降，满足设计要求。 在simulink中搭建数字信号系统，进行滤波效果仿真验证：

DSPnum(z)den(z)Scope1Sine Wave1Discrete FilterDSPSine Wave

第一条波形曲线是100Hz的正弦数字信号，第二条波形曲线是叠加了400Hz的等幅值正弦数字信号的曲线，第三条波形曲线是经过低通滤波后的输出信号。采样频率为1000Hz。

可看出经过滤波后，信号基本复原了有用信号的波形。 2.2.2、双线性变换法 利用 ??2???避免tan?? 变换将整个S平面频率轴上的频率范围压缩到??/T之间，

T?2?了频率混叠失真。

设计步骤和冲激响应不变法一样。 仿真验证：

设计的滤波器的频域特性曲线如下图：

3阶数字滤波器100-10-20-30Magnitude (dB)050100150200250300Frequency (Hz)3504004505000Phase (degrees)-50-100-150-200-250050100150200250300Frequency (Hz)350400450500

幅频特性曲线在fc?100Hz处开始下降，满足设计要求。 在simulink中搭建数字信号系统，进行滤波效果仿真验证：

第一条波形曲线是100Hz的正弦数字信号，第二条波形曲线是叠加了1000Hz的等幅值正弦数字信号的曲线，第三条波形曲线是经过低通滤波后的输出信号。采样频率为10000Hz。 可看出经过滤波后，信号基本复原了有用信号的波形。 2.3、比较分析

2.3.1、巴特沃斯和切比雪夫滤波器的比较

100Hz叠加1000Hz的滤波情况1.54阶155阶15110100.555000-0.5-5-5-1-10-10-1.500.050.10.150.20.250.30.350.40.45-150.501080.050.10.150.20.254阶0.30.350.40.45-150.501086420-2-4-6-80.050.10.150.20.250.30.350.40.450.53阶155阶切比雪夫10642500-2-5-4-6-8-10-1500.050.10.150.20.250.30.350.40.45-100.500.050.10.150.20.250.30.350.40.45-100.500.050.10.150.20.250.30.350.40.450.5

上图的输入信号均为100Hz的正弦信号同时叠加了等幅值的1000Hz的正弦信号 从左到右从上到下依次为：巴特沃斯3、4、5阶，切比雪夫3、4、5阶滤波器 横向比较可看出：随着阶次越高，滤波效果越好

纵向比较可看出：同一阶次下，切比雪夫滤波器比巴特沃斯滤波器效果好；但是当无用信号频率较高时，两者效果近似，因为切比雪夫滤波器的优点只是体现在过渡带。在阻带对于切比雪夫2型效果反不如巴特沃斯滤波器。

2.3.2、冲激响应不变法和双线性变换法的比较

下图为双线性变换法设计3阶低通滤波器的幅频特性曲线:

3阶数字滤波器100Magnitude (dB)0-100-200-300050010001500200025003000Frequency (Hz)3500400045005000

可看出，随着频率的增加，非线性越严重。 冲激响应不变法： -100优点：频率变换关系是线性的，时域特性逼近好。缺点：频率混叠失真 双线性变换法：

优点：避免了频率响应的混叠。缺点：除了零频附近外，变换存在严重非线性 -300

2.4、软件设计

50010001500200025003000Frequency (Hz)3500400045005000-2000一些matlab语句：

[z,p,k]=buttap(N); %N阶巴特沃斯滤波器

bode(sys); %画出系统的伯德图，即频域相应曲线 [z,p,k]=cheb1ap(N,0.1) %N阶切比雪夫滤波器1型

Phase (degrees)

下面为冲激响应不变法的程序： wp=0.2*pi; ws=0.4*pi; rp=1;

rs=15; %数字指标要求 [n,wn]=buttord(wp,ws,rp,rs,'s') [z,p,k]=buttap(n); [bap,aap]=zp2tf(z,p,k); [b,a]=lp2lp(bap,aap,wn)

[bz,az]=impinvar(b,a) %冲激响应不变法 figure(1);

freqz(bz,az,1024,1000); %绘制频域曲线 下面为双线性变换法的程序：

fs=10000; %采样频率 wp=628; %通带截止频率 ws=2000; %阻带截止频率

rp=1; %到达通带截止频率处下降的幅值，1dB rs=15; %到达阻带截止频率处下降的幅值，15dB [n,wn]=buttord(wp,ws,rp,rs,'s') [z,p,k]=buttap(n); [bap,aap]=zp2tf(z,p,k); [b,a]=lp2lp(bap,aap,wn);

[bz,az]=bilinear(b,a,fs) %双线性变换法 figure(1);

freqz(bz,az,1024,fs); %绘制频域响应曲线 3、课设小结

通过这次课设在专业知识方面我学到了很多东西，狭义地说是关于低通滤波器的设计，以及巴特沃斯低通滤波器的物理实现，广义上来说我了解了多种关于滤波器的设计方案以及它们的优缺点、适用场合，扩充了知识储备。以后再遇到滤波器的问题，我想我可以更快更深入地解决了。

4、致谢

首先要感谢学校给我们这样一次动手实践的机会，并分配师资帮助我们解决困难。然后要感谢我们的指导老师，在我困惑时给我指明了方向。

课设结束了，在收获知识的同时，我还收获了阅历，收获了成熟。课程设计是培养学生综合运用所学知识发现、提出、分析和解决实际问题，锻炼实践能力的重要环节，是对学生实际工作能力的具体训练和考察过程。平时上课可能只需要把课本的知识、老师的讲解掌握了就行，考试可以考得不错，但是到真正实践时就会发现自己的知识欠缺，不亲自去动手、去实践，你永远不会知道会遇到什么问题，也就不会有那种通过自己的努力解决问题的喜悦。我觉得我们在课堂上所学的是对某一方面知识的初步认识，知识面广却不精，但是却可以给我们一个印象，以便以后遇到时可以更好地深入研究。“纸上得来终觉浅，绝知此事要躬行”，通过实践研究自己获得的知识远远比老师教的更持久。在这次课设中也遇到了很多实际性的问题，在实际设计中才发现，书本上理论性的东西与在实际运用中的还是有一定的出入的，所以有些问题不但要深入地理解，而且要不断地更正以前的错误思维。一切问题必须靠自己的一点一滴的解决，而在解决的过程中你会发现自己在飞速的提升。

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