中学数学教材知识点回顾共47页

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教材知识点回顾

老师的话：

同学们，临近高考，你们还需要在数学上下什么功夫，老师告诉你，回到课本中去

翻开课本，可以重温学习的历程，回忆学习的情节，知识因此被激活，联想由此而产生。课本是高考命题的依据，在课本的基础上组合加工和发展。2005年和2006年江苏卷的填空题的第一题和解答题的第一题都直接来源于课本，而事实上据全省的统计，填空题的得分率为50%不到（命题者的期望是95%），解答题的得分率为50%（命题者的期望是75%）。此可看出，离开书本的复习是无源之水，那么如何运用课本呢？不是简单的重复，你们应做到以下6点

1、在复习每一专题时，必须联系课本中的相应部分。不仅要弄懂课本提供的知识和方法，还要弄清定理、

公式的推导过程和例题的求解过程，揭示例、习题之间的联系及变换

2、在解高考训练题时，如果遇到障碍，应有查阅课本的习惯，通过课本查明我们在知识和方法上的缺陷，

尽可能把问题回归为课本中的例题和习题

3、在复习训练的过程中，我们会积累很多解题经验和方法，其中不少是规律性的东西，要注意从课本中探

寻这些经验、方法和规律的依据

4、注意在复习的各个环节，既要以课本为出发点，又要不断丰富课本的内涵，揭示课本内涵与高考命题之

间的联系

5、关于解题的表达方式，应以课本为标准。很多复习资料中关键步骤的省略、符号的滥用、语言的随意性

和图解法的泛化等，都是不可取的，就通过课本来规范

6、注意通过对课本题目改变设问方式、增加或减少变动因素和必要的引申、推广来扩大题目的训练功能。

现行课本一般是常规解答题，应从选择、填空、探索等题型功能上进行思考，并从背景、现实、来源等方面加以解释

第一章：集合与简易逻辑

1.元素与集合的关系： .（P4） 2.德摩根公式： .

3.包含关系: （P7） 4.容斥原理: （P23）

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5．集合{a1,a2,?,an}的子集个数共有 个；真子集有 个； 非空子集有 个；非空的真子集有 个. 6.真值表 （P27）

ｐ ｑ 非ｐ 真 真 真 假 假 真 假 假 7.常见结论的否定形式

原结论 是 都是 大于 小于 对所有x，成立 对任何x，不成立 8.四种命题的相互关系（P30）

9.充要条件（P34）

（1）充分条件：若p?q，则p是q的 条件. q是p的 条件

（2）必要条件：若q?p，则p是q的 条件. q是p的 条件 （3）充要条件：若p?q，且q?p，则p是q的 条件. （4）p是q的充分不必要条件等价于q的 条件是p

反设词 原结论 至少有一个 至多有一个 至少有n个 至多有n个 反设词 ｐ或ｑ ｐ且ｑ p或q p且q

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第二章 函数

1.二次函数的解析式的三种形式

(1)一般式 ； (2)顶点式 ； (3)两根式 .

2.解连不等式N?f(x)?M常有以下转化形式： ? ； 3.方程f(x)?0在(k1,k2)上有且只有一个实根,与f(k1)f(k2)?0不等价,前者是后者的一个必要而不是充分条件.特别地, 方程ax2?bx?c?0(a?0)有且只有一个实根在

(k1,k2)内,等价于

4.闭区间上的二次函数的最值二次函数f(x)?ax2?bx?c(a?0)在闭区间?p,q?上的最值

b处及区间的两端点处取得，具体如下： 2ab??p,q?，则其最值是 ； (1)当a>0时，若x??2ab??p,q?，则其最值是 ，. 若x??2ab??p,q?，则其最值是 ； (2)当a<0时，若x??2ab??p,q?，则其最值是 ，. 若x??2a只能在x??5.一元二次方程的实根分布

11.定区间上含参数的二次不等式恒成立的条件依据：

(1)在给定区间(??,??)的子区间L（形如??,??，???,??，??,???不同）上含参数的二次不等式f(x,t)?0(t为参数)恒成立的充要条件是 . (2)在给定区间(??,??)的子区间上含参数的二次不等式f(x,t)?0(t为参数)恒成立的充要条件是 .

(3)f(x)?ax?bx?c?0(a?0)恒成立的充要条件是 . 16.函数的单调性（P57）

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(1)设x1?x2??a,b?,x1?x2那么

f(x)在区间[a,b]上是增函数的充要条件是 ； f(x)在区间[a,b]上是减函数的充要条件是 .

(2)设函数y?f(x)在某个区间内可导，如果 ，则f(x)为增函数；如果 ，则f(x)为减函数.

17.如果函数f(x)和g(x)都是减函数,则在公共定义域内,和函数f(x)?g(x)是 函数；如果函数y?f(u)和u?g(x)在其对应的定义域上都是减函数,则复合函数y?f[g(x)]是 函数. 18．奇偶函数的图象特征

奇函数的图象关于 对称，偶函数的图象关于 对称；反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是 函数；如果一个函数图象关于y轴对称，那么这个函数是 函数．

19.若函数y?f(x)是偶函数，则 ；

若函数y?f(x?a)是偶函数，则 ，并且y?f(x)关于 对称. 20.对于函数y?f(x)(x?R),f(x?a)?f(b?x)恒成立,

则函数f(x)的对称轴是 ;

两个函数y?f(x?a)与y?f(b?x) 的图象关于直线 对称. 21.若f(x)??f(?x?a),则函数y?f(x)的图象关于点 对称；若

f(x)??f(x?a),则函数y?f(x)为周期为 的周期函数.

22．多项式函数P(x)?anx?an?1xnn?1???a0的奇偶性

多项式函数P(x)是奇函数? 多项式函数P(x)是偶函数? .

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23.函数y?f(x)的图象的对称性

(1)函数y?f(x)的图象关于直线x?a对称等价于 (2)函数y?f(x)的图象关于直线x?a?b对称等价于

2m24.两个函数图象的对称性

(1)函数y?f(x)与函数y?f(?x)的图象关于直线 对称.

(2)函数y?f(mx?a)与函数y?f(b?mx)的图象关于直线 对称. (3)函数y?f(x)和y?f?1(x)的图象关于直线 对称.

25.若将函数y?f(x)的图象右移a、上移b个单位，得到函数 的图象； 若将曲线f(x,y)?0的图象右移a、上移b个单位，得到曲线 的图象.

_______26．（P60）互为反函数的两个函数的关系：f(a)?b?__________.

27.若函数y?f(kx?b)存在反函数,则其反函数为 ，并不是

y?f?1(kx?b)，而函数y?f?1(kx?b)是 的反函数.

28.几个常见的函数方程

(1)正比例函数f(x)?cx,具有性质： .

(2)指数函数f(x)?ax,具有性质： . (3)对数函数f(x)?logax,具有性质： . (4)余弦函数f(x)?cosx,正弦函数g(x)?sinx，具有性质 ：， 29.几个函数方程的周期(约定a>0)

（1）f(x)?f(x?a)，则f(x)的周期 ； （2）f(x?a)??f(x)或f(x?a)?11(f(x)?0),则(f(x)?0)或f(x?a)??f(x)f(x)f(x) 的周期 ；

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(3)f(x?a)?1,(f(x)?1)，则f(x)的周期 ；

1?f(x)(4)f(x1?x2)?f(x1)?f(x2)且f(a)?1(f(x1)?f(x2)?1,0?|x1?x2|?2a)，

1?f(x1)f(x2)则f(x)的周期 ；

(5)f(x?a)?f(x)?f(x?a)，则f(x)的周期 . 30.分数指数幂： （P64） 31．根式的性质： 32．有理指数幂的运算性质： 33.指数式与对数式的互化式： .（P76） 34.对数的换底公式：

35．对数的四则运算法则： .（P77） 36.设函数f(x)?logm(ax2?bx?c)(a?0)，记??b?4ac.

2若f(x)的定义域为R,则

若f(x)的值域为R,则 .【对于a?0的情形，需要单独检验.】

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第三章 数列

一、数列的分类

1、 （P106）数列的定义：数列是按一定的次序排列的列数，在函数意义下，数列是定

义域为 的函数f(n)当自变量n以1开始依次取自然数时所对应的一列函数值f(1)，f(2)，…f(n)，通常用an代替f(n)，于是数列的一般形式为a1，a2…an简记{an}，其中an是数列{an}的第n项。

2、 （P106）数列的通项公式：一个数列{an}的第n项an与项数n之间的函数关系，如

果可以用一个公式an=f(n)来表示，我们就把这个公式叫做这个数列的 。 3、 （P109）递推公式： 4、 （P107）数列的分类：

a) 按照项数是有限还是无限来分： 。

b) 按照项与项之间的大小关系来分： 。 c) 按照任何一项的绝对值是否都小于某一正数来分： 5、Sn与an的关系： 常见的题型有： 二、等差数列的概念： 1、 等差数列：

（1） （P111）一般地，如果一个数列从第2项起， ，

这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示，定义的表达式为 。

（2） （P112）等差数列的通项公式： ，an=am+(n-m)d（其中n与

m的大小关系不确定），也可得d=

an?a1a?am(n≠1)或d=n (n≠m)由于n?1n?man=a1+(n-1)d，可整理为an= ，如果d=0，an是常

数；如果d≠0，an是n的一次函数式，那么公差不为0的等差数列的图象是

（3） 等差数列的增减性：d>0?{an}为 数列；d<0?{an}为 数列；

d=0?{an}为 数列。

（4） （P115）等差数列的求和公式：（由倒序相加法推得）

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sn= ? 由于sn=na1+

n(n?1)ddd，可整理得sn= ，设A=，B=a1-，222上式可写成sn= ，当A≠0（即d≠0）时，sn是关于n的二次函数（其中常数项为0），那么(n，sn)在二次函数y=Ax2+Bx的图象上，因此，当d≠0时，数列s1，s2，s3…sn的图象为 。 ? 注意①上面的数列s1，s2，s3…sn不为等差数列{an}；

②由二次函数的性质可以得出结论：当d>0时sn有最 值；当d<0时，sn有最 值；

③数列{an}为等差数列的充要条件是前n项和 ；

④显然若数列{an}的前n项和y=An2+Bn+C（C≠0）不是等差数列，而是

? 一个等差数列，只有五个基本元素，a1，an，d，n，sn知道其中任意三个元素，

通过解方程（组）均可求出另外二个元素，即“知三求二”。 ? 常用的求，sn的最大值或最小值的三种方法有：

（5） （P113）等差数列中 ：任意两个数a、b有且只有一个等差中项即，A= ，

a，A，b成等差数列的充要条件是 ，因此，两个数的等差中项就是这两个数的算术平均数。

2、 等差数列的性质：

（1） 有穷等差数列中，与首末两项距离相等的两项和相等，并且等于首末两项之和；

特别地，若项数为奇数，还等于中间项的2倍，即a1+an=a2+an-1=an+an-2=…2a中

（2） 若m，n，p，R∈N*，且m+n=p+k，则 ，其中am，an，ap，ak

是数列中的项，特别地，当m+n=2p时，有 。这条性质，可以推广到有三项，四项……等情形，使用该性质时，一要注意等式两边下标和相等，二要注意等式两边和的项数应是一样多的。

（3） 在等差数列中，每隔相同的项抽出来的项按照原来顺序排列，构成的新数列是

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数列，但剩下的项按原顺序构成的数列不一定是等差数列。

（4） 等差数列中连续几项之和构成的新数列是 数列。

（5） 若数列{an}与{bn}均为等差数列，则{man+kbn}为 数列，其中m，k均为

常数。

（6） 等差数列{an}中，若an=m，am=n(m≠n)，则am+n= （7） 等差数列{an}中，若sn=m，sm=n(m≠n)，则sm+n= （8） 等差数列{an}中，若sn=m，sm=n(m≠n)，则sm+n= （9） 若{an}与{bn}均为等差数列，有前n项和分别为sn与s′n，则

am?_____ bm（10） 项数为偶数2n的等差数列{an}，有s2nn(a1+a2n)=…=n(an+an+1)，

s偶-s奇= ；

s奇 ?_______s偶项数为奇数(2n-1)的等差数列{an}，有s2n-1=(2n-1)an(an为中间项)； s偶-s奇= ；

3、 等差数列的判定方法：

（1） 定义法：

（2） 中项公式法： ； （3） 通项公式法： ； （4） 前n项和公式法： . 三、等比数列： 1、 等比数列：

（1） （P122）一般地，如果一个数列从第2项起， ，这个

数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示(q≠0)可表示为 (其中n∈N*，n≥2).

（2） 等比数列的通项公式 ，其中n>m也可以n≤m，由

s奇 ?________s偶第 9 页 http://www.mathedu.cn http://www.mathsedu.cn共 47 页

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于an=a1qn-1可以整理为an=??a1?a1?n

?q，因此，等比数列{a}，即{〃qn}中的各n?q?q?项所表示的点离散地分布在第一象限或第四象限，当q>0时，这些点在曲线y=

a1〃qx上。 q（3） 等比数列的增减性：

?{an}为递增数列 ?{an}为递减数列

?{an}为常数列 ?{an}为摆动数列

（4） （P125）等比数列的求和公式(可由错位相减法推得)

sn=

? 有关等比数列的求和问题，当不能确定“q≠1”时，应分q=1和q≠1来讨论。 ? 一个等比数列，共有5个基本元素，a1，an，n，q，sn，“知三求二”。

a1(1?qn)? 等比数列前n项和公式的结构特点，由sn=(q≠1)可以化为

1?qsn=

a1aaa-1〃qn，其中qn的函数-1与1互为相反数，这是公式的一个1?q1?q1?q1?q很重要的特点，注意前提条件是q≠0，q≠1。

（5） （p124）等比中项：

如果在a与b中间插入一个数G，使a、G、b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，如果G是a与b的等比中项，那么 因此，G= ，所以必有ab>0。

2、 等比数列的性质：

（1） 有穷等比数列中，与首末两项等距离的两项积相等，并且等于首末两项之积特别

地，若项数为奇数，等于中间项的平方。即a1〃an=a2〃an-1=a3〃an-2=a2中

（2） 若m，n，p，R∈N*，且m+n=p+k，则 ，特别地，当m+n=2p

时 类似于等差数列，在使用该性质时，不仅应注意等式两边下标和相等也应要求等式两边作积的项数应是一样多的。

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（3） 在等比数列中，每隔相同的项抽出来的项按照原来的顺序排列，构成的新数列仍

然是等比数列，剩下的项按原来的顺序构成的数列不一定是等比数列，一个等比数列的奇数项，仍组成一个等比数列，新公比是原公比的二次幂，一个等比数列的偶数项，仍组成一个等比数列，新公比是原公比的二次幂。

（4） {λan}(λ≠0)，{|an|}皆为等比数列，公比分别为q和|k|

一个等比数列各项的k次幂，仍组成一个等比数列，新公比是原公比k次幂。例如，以q为公比的等比数列的各项的倒数构成的数列仍为等比数列，公比为{a2n}也是等比数列，公比为q2

（5） 等比数列中连续n基之积构成的新数列仍然是等比数列。 （6） 若数列{an}与{bn}均为等比数列，则{m〃an〃bn}与?是不为零的常数。

（7） 已知三个数成等差数列可设三个数为 。已知

三个数成等比数列可设三个数为 .

3、 等比数列的判定方法：

（1） 定义法： （2） 通项公式法： ； （3） 中项公式法： ； （4） 前n项和公式法： 。 四、求数列通项公式的方法

1、 ：如a1?2,an?2?3n?11，q?man??仍为等比数列，其中mb?n??an?1(n?2)

2、 ：如a1?1,(2n?1)an?(2n?3)an?1(n?2) 3、 ：如a1?3,an?1?2an?5 4、 ：如a1?3an?11,an?(n?2) 2an?1?325、 ：如a1?3,an?1?an

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6、 ：如Sn?2an?1

五、数列求和的常用方法（关键是找数列的通项结构）：

（1） ：如等差、等比数列 （2） ：如an=1/n(n+1) （3） ：如an=(2n-1)2n

n（4） ：如an=nC100

（5） ：如an=2n+3n

（6） ：如求数列1，1+2,?，1+2+22+??2 n-1,?,的前n 项和 六、求数列{an}的最大、最小项的方法：

① ： 如an= -2n2+29n-3

9n(n?1)② ： (an>0) 如an=

10n③ ：如an=

n

n2?156

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第四章 三角函数

一、三角函数的概念（P4）

终边相同的角，区间和象限角

终边相同的角不一定相等，相等的角终边一定相同 三角函数线（P14） 正弦线： 余弦线： 正切线：

注：三角函数线是通过有向线段直观地表示出角的各种三角函数值的一种图示方法。利用三角函数线

在解决比较三角函数值大小、解简单三角方程及三角不等式等问题时，十分方便。

1、三角函数的定义（P13）：

以角?的顶点为坐标原点，始边为x轴正半轴建立直角坐标系，在角?的终边上任取一个异于原点的点P(x,y)，点P到原点的距离记为r， 则sin?= ， csc?=

cos?= ， sec?= tan?= ， cot?= 2、弧长公式与扇形面积公式（P8）

弧度制与角度制的换算：

L弧长= =

S扇形= = = 3、同角三角函数基本关系式（P24）

平方关系是： ， ， ； 倒数关系是： ， ， ； 商数关系是： ， 。

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4、诱导公式（P28）

可用十字口诀概括为： 如：sin(3?15???)? ，ctg(??)= ，tg(3???)? 。 225、特殊角的三角函数值：

? Sin? Cos? Tan? Cot? 二、三角基本公式

1、两角和与差的三角函数公式：（P34）

0 ? 12 ? 6 ? 4 ? 3 7? 12 ? 2 ? 3? 2 sin(???)? (??)? cos?tan(???)?

2、二倍角公式： （P42）

sin2?=

cos2?= = = tan2?= 。 3、半角公式是：（P45）

?= 2?cos=

2?tan= = = 。

2sin

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4、．升幂公式是：1?cos??__________ _ 1?cos??________。__5、降幂公式是：sin2??________________

。 cos2??_________________6、万能公式：

sin?= cos?= tan?= 7、辅助角公式：

asin??bcos??__________ （其中辅助角?与点（a,b）在同一象限，且tg??

三、三角函数的图象与性质、变换（P48）

1、正弦、余弦、正切函数的图象和性质可归纳为下表： 三角 函数 图象 定义域 值域 最值 奇偶性 周期性 有界性 b）ay?sinx y?cosx y?tanx 第 15 页 http://www.mathedu.cn http://www.mathsedu.cn共 47 页

中国数学教育网 http://www.mathedu.cn info@mathedu.cn 单调性 对称性 （其中A?0，??0）2、函数y?Asin(?x??)?B（P65）

的最大值是 ，最小值是 ，周期是 ，频率是 ，相位是 ，初相是 ；

3、函数y?Asin(?x??)?k(A?0,??0,??0,k?0)的图象的基本变换（P60）

（1）振幅变换： （2）周期变换： （3）相位变换： （4）上、下变换： 4、五点描点法

?x?? x y 0 ? 2 ? 3? 2 2? 5、已知三角函数求角（P73）

（1） 当x? 时符合条件 的角x，叫做实数a的反正

弦，记作 ，即

（2） 当x? 时符合条件 的角x，叫做实数a的反余

弦，记作 ，即

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（3） 当x? 时符合条件 的角x，叫做实数a的反正

切，记作 ，即

四、与三角形有关的几个重要结论（P127）

1、正弦定理是（其中R表示三角形的外接圆半径）：

2、余弦定理第一形式：

余弦定理第二形式：

3、△ABC的面积用S表示，外接圆半径用R表示，内切圆半径用r表示，半周长

用p表示，则你能写出几种求面积的形式

（1） （2） （3） （4） （5） （6） 4、三角形中的射影定理：

5、在△ABC 中：

sin(A+B)=_________cos(A+B) ?_________tan(A+B) ?__________sinA?BA?B?_______ tan?________ 22A?tanB?tanC?_______________ __ tantanABBCCAtan?tantan?tantan?_______; 222222第 17 页 http://www.mathedu.cn http://www.mathsedu.cn共 47 页

6、在△ABC中有

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⑴ A?B?________ ?_________;cosA?cosB?_________;⑵ A，B，C成等差数列?_________;a,b,c成等差数列?___________；

a, b, c 成等比数列?__________; ⑶ tanAtanB?1??ABC是 三角形；

tanAtanB?1??ABC是 三角形； tanAtanB?1??ABC是 三角形；

附：几个重要式子与结论

（1）sin(???)sin(???)= ，

cos(???)cos(???)= = 。 （2）4sin?sin(600??)sin(600??)= ； 4cos?cos(600??)cos(600??)= ； tan?ot(600??)tan(600??)= 。 （3）cot??tan?= 。 （4）若a?(0,?2)，则____?sina?cosa?_____;sina?a?tana（可由三角函数

线的关系得到）；

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第五章 平面向量

1．基本概念：（P94） 向量的定义： 向量的模： 零向量： 单位向量： 相反向量： 共线向量： 相等向量：

2． （P97）加法与减法的代数运算： (1)A1A2?A2A3???An?1An?A1An．

(2)若a=（x1,y1）,b=（x2,y2）则a?b= ． 向量加法与减法的几何表示：平行四边形法则、三角形法则。

以向量AB=a、AD=b为邻边作平行四边形ABCD，则两条对角线的向量

a+b= ,b－a= ,a－b=

且有︱a︱－︱b︱≤︱a?b︱≤︱a︱+︱b︱．

3．（P103）实数与向量的积： 。 (1)︱?a︱=︱?︱〃︱a︱;

(2) 当?＞0时，?a与a的方向 ；当?＜0时，?a与a的方向 ；当?=0

时，?a= ．

(3)若a=（x1,y1），则?〃a= ． 两个向量共线的充要条件：

(1) 向量b与非零向量a共线的充要条件是 ． (2) 若a=（x1,y1）,b=（x2,y2）则a∥b?_______________．

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（P105）平面向量基本定理： 4．（P113）P分有向线段P1P2所成的比：

设P1、P2是直线l上两个点，点P是l上不同于P1、P2的任意一点，则存在一个实数?使 ，?叫做点P分有向线段P1P2所成的比。

? 0；当点P在线段P1P2或P2P? 0；当点P在线段P 1P2上时，1的延长线上时，

5、（P114）线段的定比分点公式：

?????????设P是实数，且PP12的分点,1(x1,y1)，P2(x2,y2)，P(x,y)是线段PP1??PP2，则

????????????????????????OP??OP112t? （）. ?(1?t)OP?OP??OP?tOP121??1??中点坐标公式： 三角形的重心坐标公式：

△ABC三个顶点的坐标分别为A(x1,y1)、B(x2,y2)、C(x3,y3),则△ABC的重心的坐标是 .

6、 （P116）向量的数量积：

（1）．向量的夹角： （2）．两个向量的数量积：

已知两个非零向量a与b，它们的夹角为?，则a〃b= ． 其中 称为向量b在a方向上的投影． （3）．（P117）向量的数量积的性质：

若a=（x1,y1）,b=（x2,y2）则e〃a=a〃e= (e为单位向量);

；

a⊥b? ? （a，b为非零向量）;

︱a︱= ; cos?= = ． (4) ．向量的数量积的运算律：

a〃b=b〃a;(?a)〃b=?(a〃b)=a〃(?b);(a＋b)〃c=a〃c+b〃c．

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7、（P121）点的平移公式 ：

????????????''?OP?OP?PP .

????注:图形F上的任意一点P(x，y)在平移后图形F上的对应点为P(x,y)，且PP'的坐

''''标为(h,k).

8、“按向量平移”的几个结论

（1）点P(x,y)按向量a=(h,k)平移后得到点的坐标是 .

(2) 函数y?f(x)的图象C按向量a=(h,k)平移后得到图象C,则C的函数解析式

''为 .

(3) 图象C按向量a=(h,k)平移后得到图象C,若C的解析式y?f(x),则C的函数解

析式为 .

(4)曲线C:f(x,y)?0按向量a=(h,k)平移后得到图象C,则C的方程为 .

''''(5) 向量m=(x,y)按向量a=(h,k)平移后得到的向量为 . 9．常用结论：

（1） AB?BC?CA?0;AB/?/BC?AB?BC?AB?BC;

（2）三角形四“心”向量形式的充要条件，设O为?ABC所在平面上一点，则

????2????2????21、O为?ABC的外心?OA?OB?OC.

?????????????12、O为?ABC的重心?OA?OB?OC?0? OG?(OA?OB?OC).

3????????????????????????3、O为?ABC的垂心?OA?OB?OB?OC?OC?OA.

?????????????4、O为?ABC的内心?aOA?bOB?cOC?0.(a,b,c为角A,B,C所对边长)

（3） a?b,b?c?a?c，但a//b,b//c?a//c；一般地，若a,b,c为非零向量，则

a?(b?c)与(a?b)?c不一定相等，a?(b?c)?(a?b)?c?a 与 c 共线（注意“〃”的

不同意义）；

（4）设非零向量 a?(x1,y1),b?(x2,y2), a 与 b 的夹角为?，则??[0,?],

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当a与b不共线时，a〃b=0??为直角，a〃b>0??为锐角，a〃b<0??为钝角。也就是说，当夹角为锐角时，注意检验夹角为零度角的时候；当夹角为钝角角时，注意检验夹角为180?度角的时候。

（5）异面直线所成的角、直线与平面所成的角、向量的夹角的取值范围

依次是 ； 直线的倾斜角，L1到L2的角，L1与L2的夹角的取值范围 依次是 ；

（6）反正弦、反余弦、反正切函数的值域分别是 ； （7）直线上的向量及与它平行的向量都称为直线的方向向量。

当直线L的方向向量为m?(x0,y0)时，其斜率为 ； 当直线L斜率为 k 时，其方向向量为

????????????（8）设A(x1,y1)，B(x2,y2),则AB?OB?OA?(x2?x1,y2?y1).

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第六章 不等式

一、（P4）不等式的基本性质：

注意：(1)特值法是判断不等式命题是否成立的一种方法，此法尤其适用于不成立的命题。

(2)注意课本上的几个性质，另外需要特别注意： ①若ab>0，则改变。

②如果对不等式两边同时乘以一个代数式，要注意它的正负号，如果正负号未定，要注意分类讨论。

③图象法：利用有关函数的图象（指数函数、对数函数、二次函数、三角函数的图

象），直接比较大小。

④中介值法：先把要比较的代数式与“0”比，与“1”比，然后再比较它们的大小

二、（P9）均值不等式

两个数的算术平均数不小于它们的几何平均数。 若a,b?0，则基本变形：

①a?b? ；(2211?。即不等式两边同号时，不等式两边取倒数，不等号方向要aba?b?ab（当且仅当a?b时取等号） 2a?b2)? ； 2a2?b2a?b2?() ②若a,b?R，则a?b?2ab，

22a?b?ab??即：a,b,c均为正数，则

112?ab注意：（1）对于函数y?ax?2a2?b2（一正，二定，三相等）； 2b(a?0) x当b?0时在(??,?bbb)或[,??)上都分别单调递增，在[?,0)或aaa(0,b0]上都分别单调递减； a第 23 页 http://www.mathedu.cn http://www.mathsedu.cn共 47 页

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当b?0时在(??,0)或(0,??)上都分别单调递增

（2）(a2?b2)(c2?d2)?(ac?bd)2(a,b,c,d?R)（柯西不等式） 基本应用 ①放缩，变形；

②求函数最值：注意：①一正二定三取等；②积定和小，和定积大。

当ab?p（常数），当且仅当 时， ； 当a?b?S（常数），当且仅当 时， ； 常用的方法为：拆、凑、平方； 如：①函数y?4x?91(x?)的最小值 。

2?4x2②若正数x,y满足x?2y?1，则

三、绝对值不等式：

11?的最小值 。 xy内容： ? ?

注意：上述等号“＝”成立的条件；

四、常用的基本不等式：

（1）设a,b?R，则a2?0,(a?b)2?0（当且仅当 时取等号） （2）|a|?a（当且仅当 时取等号）；|a|??a（当且仅当 时取等号） （3）a?b,ab?0?1111?；?? ； abab五、（P12）证明不等式常用方法： （1）比较法：

作差比较：A?B?0?A?B

作差比较的步骤：

⑴作差：对要比较大小的两个数（或式）作差。

⑵变形：对差进行因式分解或配方成几个数（或式）的完全平方和。 ⑶判断差的符号：结合变形的结果及题设条件判断差的符号。

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注意：若两个正数作差比较有困难，可以通过它们的平方差来比较大小。

（2）综合法：

由因导果。 （3）分析法：

执果索因。基本步骤：要证……只需证……，只需证…… （4）反证法：

正难则反。 （5）放缩法：

将不等式一侧适当的放大或缩小以达证题目的。

放缩法的方法有：

⑴添加或舍去一些项，如：a2?1?____；n(n?1)?____ ⑵将分子或分母放大（或缩小）

________________； ⑶利用基本不等式，如：log3?lg5?__________ n(n?1)?__________________⑷利用常用结论：

Ⅰ、k?1?k?1?__________；

k?1?k11?_____________?___________（程度大） ； k2k21Ⅲ、2?___________________ ； （程度小）

kⅡ、

（6）换元法：换元的目的就是减少不等式中变量，以使问题化难为易，化繁为简，常用的

换元有三角换元和代数换元。如：

已知x?y?a，可设 ；

22已知x?y?1，可设 (0?r?1)；

222x2y2已知2?2?1，可设 ；

ab第 25 页 http://www.mathedu.cn http://www.mathsedu.cn共 47 页

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x2y2已知2?2?1，可设 ；

ab（7）构造法：通过构造函数、方程、数列、向量或不等式来证明不等式； 六、（P17）不等式的解法： （1）一元一次不等式：

Ⅰ、ax?b(a?0)：⑴若a?0，则 ；⑵若a?0，则 ； Ⅱ、ax?b(a?0)：⑴若a?0，则 ；⑵若a?0，则 ； （2）一元二次不等式：

一元二次不等式二次项系数小于零的，同解变形为二次项系数大于零； 注：要对?进行讨论： （5）（P20）绝对值不等式：

若a?0，则|x|?a? ；|x|?a? ；

注意：(1).几何意义：|x|： ；|x?m|： ；

(2)解有关绝对值的问题，考虑去绝对值，去绝对值的方法有：

⑴对绝对值内的部分按大于、等于、小于零进行讨论去绝对值；①若a?0 则|a|? ；②若a?0则|a|? ；③若a?0则|a|? ；

（2）

f?x??g?x?与 同解 f?x?

(3).通过两边平方去绝对值；需要注意的是不等号两边为非负值。

即f?x??g?x??f2?x??g2?x????f?x?+g?x?????f?x?-g?x???>0

(4).含有多个绝对值符号的不等式可用“按零点分区间讨论”的方法来解。 （6）分式不等式的解法：通常变形为整式不等式；

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⑴

f(x)f(x)?0? ；⑵?0? ； g(x)g(x)f(x)f(x)?0? ；⑷?0? ； g(x)g(x)⑶

（7）不等式组的解法：分别求出不等式组中，每个不等式的解集，然后求其交集，即是这

个不等式组的解集，在求交集中，通常把每个不等式的解集画在同一条数轴上，取它们的公共部分。

（8）解含有参数的不等式：

解含参数的不等式时，首先应注意考察是否需要进行分类讨论.如果遇到下述情况则一般需要讨论：

①不等式两端乘除一个含参数的式子时，则需讨论这个式子的正、负、零性.

②在求解过程中，需要使用指数函数、对数函数的单调性时，则需对它们的底数进行讨论.

③在解含有字母的一元二次不等式时，需要考虑相应的二次函数的开口方向，对应的一元二次方程根的状况（有时要分析△），比较两个根的大小,设根为x1,x2（或更多）但含参数，要分x1?x2、x1?x2、x1?x2讨论。

（9）指数不等式:

当a>1时,af?x?>ag?x?与 同解; 当0

当a>1时,log当0

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aaf?x?>ag?x?与 同解.

f?x?>logag?x?与不等式组 同解;

logaf?x?>logag?x?与不等式组 同解.

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第七章 直线与圆

（P34）1、斜率公式： （P1(x1,y1)、P2(x2,y2)）. （P38）2.直线的五种方程

（1）点斜式 （2）斜截式 . （3）两点式 (4) 截距式 （5）一般式 . 3.（P45）两条直线的平行和垂直

(1)若l1:y?k1x?b1，l2:y?k2x?b2

两直线平行的充要条件是： 两直线垂直的充要条件是：

(2)若l1:A1x?B1y?C1?0,l2:A2x?B2y?C2?0,且A2、B2 、C2都不为零, 两直线平行的充要条件是： 两直线垂直的充要条件是：

4.（P47）夹角公式： .(l1:y?k1x?b1，l2:y?k2x?b2,kk??1)

12直线l1?l2时，直线l1与l2的夹角是 .

5. l1到l2的角公式： .(l1:y?k1x?b1，l2:y?k2x?b2,kk??1)

12直线l1?l2时，直线l1到l2的角是 . 6．四种常用直线系方程

(1)定点直线系方程：经过定点P0(x0,y0)的直线系方程为 (除直线x?x0),其中

k是待定的系数；经过定点P0(x0,y0)的直线系方程为 ,其中A,B是待定的系

数．

(2)共点直线系方程：经过两直线l1:A1x?B1y?C1?0,l2:A2x?B2y?C2?0的交点的直线系方

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程为 (除l2)，其中λ是待定的系数．

(3)平行直线系方程：直线y?kx?b中当斜率k一定而b变动时，表示平行直线系方程．与直线Ax?By?C?0平行的直线系方程是 (??C)，λ是参变量．

(4)垂直直线系方程：与直线Ax?By?C?0 (A≠0，B≠0)垂直的直线系方程是 ,λ是参变量．

7.（P51）点到直线的距离： (点P(x0,y0)，直线l：Ax?By?C?0). 8. （P57）Ax?By?C?0或?0所表示的平面区域

设直线l:Ax?By?C?0，则Ax?By?C?0或?0所表示的平面区域是： 若C?0，则用原点代入；若C?0，则用另外特殊点代入即得 9. （P75）圆的四种方程

（1）圆的标准方程 .

（2）圆的一般方程 . （3）圆的参数方程 .

（4）圆的直径式方程 【圆的直径的端点是

A(x1,y1)、B(x2,y2)】.

10. 圆系方程

(1)过直线

l:

Ax?By?C?0与圆

C:

x2?y2?Dx?Ey?F?0的交点的圆系方程

是 ,λ是待定的系数． (2)过圆C1:x2?y2?D1x?E1y?F1?0与圆C2:x2?y2?D2x?E2y?F2?0的交点的圆系

方程是 ,λ是待定的系数．

（3）两圆相交弦所在直线方程的求法：

圆C1的方程为：x2+y2+D1x+E1y+C1=0. 圆C2的方程为：x2+y2+D2x+E2y+C2=0.

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把两式相减得相交弦所在直线方程为：

11.点与圆的位置关系，点P(x0,y0)与圆(x?a)2?(y?b)2?r2的位置关系有三种：

若d?(a?x0)2?(b?y0)2，则

d?r? ；d?r? ；d?r? .

12.直线与圆的位置关系

直线Ax?By?C?0与圆(x?a)2?(y?b)2?r2的位置关系有三种: ； ________?相离?_________ ________?相交?_________. ________?相切?_________其中d?Aa?Bb?CA?B22.

13.两圆位置关系的判定方法，设两圆圆心分别为O1，O2，半径分别为r1，r2，O1O2?d

____________?外离?_____条公切线____________?外切?_____条公切线____________?相交?_____条公切线____________?内切?_____条公切线____________?内含?_____条公切线

14.圆的切线方程

(1)已知圆x?y?Dx?Ey?F?0．

①若已知切点(x0,y0)在圆上，则切线只有一条，其方程是 .

当(x0,y0)圆外时, 表示过两个切点的切点

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22；

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弦方程．

②过圆外一点的切线方程可设为y?y0?k(x?x0)，再利用相切条件求k，这时必有两条切线，注意不要漏掉平行于y轴的切线．

③斜率为k的切线方程可设为y?kx?b，再利用相切条件求b，必有两条切线． (2)已知圆x2?y2?r2．

①过圆上的P0(x0,y0)点的切线方程为 ； ②斜率为k的圆的切线方程为 .

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第八章 圆锥曲线

x2y21、（P92）椭圆2?2?1(a?b?0)的参数方程是 .

abx2y22．（P97）椭圆2?2?1(a?b?0)焦半径公式： .

ab3、椭圆的的内外部

x2y2（1）点P(x0,y0)在椭圆2?2?1(a?b?0)的内部，则 .

abx2y2（2）点P(x0,y0)在椭圆2?2?1(a?b?0)的外部，则 .

abx2y24.（P104）双曲线2?2?1(a?0,b?0)的焦半径公式：

ab5.（P108）双曲线的方程与渐近线方程的关系

x2y2(1）若双曲线方程为2?2?1?渐近线方程： .

ab (2)若渐近线方程为y??xybx???0?双曲线可设为 .

abax2y2 (3)若双曲线与2?2?1有公共渐近线，可设为 （??0，焦点在x轴

ab上；??0，焦点在y轴上）

（4）焦点到渐近线的距离为 6. （P115）抛物线y?2px的焦半径公式

2抛物线y?2px(p?0)焦半径 . 过焦点弦长 .

7.抛物线y?2px上的动点可设为

22b24ac?b2(a?0)的图象是抛物线： 8.二次函数y?ax?bx?c?a(x?)?2a4a2第 32 页 http://www.mathedu.cn http://www.mathsedu.cn共 47 页

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（1）顶点坐标为 ； （2）焦点的坐标为 ； （3）准线方程是 .

9.直线与圆锥曲线相交的弦长公式为 端点A(x1,y1),B(x2,y2)， 【?为直线AB的倾斜角，k为直线的斜率】.

10.圆锥曲线的两类对称问题

（1）曲线F(x,y)?0关于点P(x0,y0)成中心对称的曲线是 . （2）曲线F(x,y)?0关于直线

Ax?By?C?0成轴对称的曲线是

11、焦点三角形：重视焦半径公式、三角形中正余弦定理和合分比定理等的应用

x2y2 （1）若椭圆方程为2?2?1(a?b?0)，F1,F2分别是其左、右焦点，B是其短轴端

ab点，P是椭圆上除长轴端点A1、A2的任一点，则 ①?F1PF2的最大值为②S?F1PF2?

__________1|F1F2|?|PH|?c|y0|?__________，其最大值为 2x2y2（2）若双曲线方程为2?2?1(a?0,b?0)，F1,F2分别是其左、右焦点，P是椭圆上

ab除实轴端点A1、A2的任一点，则 ①S?F1PF2?________

②焦点三角形的内切圆的圆心（即三角形的内心）切实轴于顶点 （3）抛物线y?2px的焦点弦性质

2 已知AB是抛物线y?2px(p?0)的焦点弦，且A(x1,y1),B(x2,y2)，直线AB的倾

2斜角为α，点F为抛物线的焦点，则

x1x2?_______ ⑴y1y2?______,

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⑵AB?____________?___________

⑶S?AOB?________ ⑷

11为定值 ?|AF||BF|__________⑸以AB焦点弦为直径的圆必与抛物线的准线 （以AB焦点弦为直径的圆必与椭圆的准线 ，以AB焦点弦为直径的圆必与双曲线的准线 ）

（6）过A准线的垂线于A1，过B准线的垂线于B1，则?A1FB1?_______

（7）O为坐标原点，则A、O、B1———————（O为中点）（椭圆与双曲线有类似性质） （8）抛物线上不存在两点关于焦点弦所在的直线对称 12、解析几何与向量综合时可能出现的向量内容： 1. 给出直线的方向向量u??1,k?或u??m,n?；

2. 给出OA?OB与AB相交,等于已知OA?OB过AB的 ;

???3. 给出PM?PN?0,等于已知P是MN的 ;

4. 给出AP?AQ??BP?BQ,等于已知 ;

5. 给出以下情形之一 ①

??AB//AC,

??②存在实数?,使AB??AC,

???③若存在实数?,?,且????1,使OC??OA??OB,

等于已知

A,B,C .

6. 给出OP?OA??OB，等于已知P是AB的定比分点，?为定比，即

1??7. 给出MA?MB?0,等于已知MA?MB,即?AMB是 ,给出MA?MB?m?0,

等于已知?AMB是 , 给出MA?MB?m?0,等于已知?AMB是 ,

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???MAMB?8. 给出?????MP,等于已知MP是

?MAMB???9. 在平行四边形ABCD中，给出(AB?AD)?(AB?AD)?0，等于已知ABCD是 ; 10. 在平行四边形ABCD中，给出AB?AD?AB?AD，等于已知ABCD是 ;

11. 在?ABC中，给出OA2?OB?OC22，等于已知O是?ABC的 ；

12. 在?ABC中，给出OA?OB?OC?0，等于已知O是?ABC的 ；

13. 在?ABC中，给出OA?OB?OB?OC?OC?OA，等于已知O是?ABC的 ； 14. 在?ABC中，给出OP?OA?的 ；

15. 在?ABC中，给出a?OA?b?OB?c?OC?0,等于已知O是?ABC的 ； 16. 在?ABC中，给出AD?

?(ABAB?ACAC)(??R?)等于已知AP通过?ABC

1AB?AC,等于已知AD是?ABC中 ; 2??第 35 页 http://www.mathedu.cn http://www.mathsedu.cn共 47 页

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第九章 直线、平面、简单几何体

Ⅰ、平行与垂直位置关系的论证

1、线线、线面、面面平行关系的转化：

面面平行性质 ?//?????a,????a//b a a//b? ? b a??,b? ???? ???b? ?a//? a??,b?? A b ? a a?b?A a//?,b//? ???????公理4 a//b,b//c线线∥ ?a//c线面平行判定 线面平行性质 线面∥ ??//?面面平行判定1 面面平行性质 面面∥ 面面平行性质1 ?//???//????a??? ????b??a//??a//b?//??a????? ??//? ?a//?

2、 线线、线面、面面垂直关系的转化：

??a?b?O? l?a,l?b??a,b???l?? ?????? a???a?? 面面⊥ 三垂线定理、逆定 理线线⊥ PA??,AO为PO在?内射影a??则a?OA?a?POa?PO?a?AOl??线面垂直判定1 线面垂直定 义线面⊥ ???面面垂直判 定面面垂直性质，推2论 ??a??? ?l?a ??????b??a?? a??,a?b??????????? ????a?? ?a?? 面面垂直定义 ????l，且二面角??l???成直二面角????? ?

3、平行与垂直关系的转化：

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a//b?a????b???线面垂直判定2 线面垂直性质2 线面⊥ a??????a???//? 面面∥ 线线∥ 面面平行判定2 面面平行性质3 a???b?????a//b ?//??a???a???

4. 应用以上“转化”的基本思路——“由求证想判定，由已知想性质。”其中核心的位置

关系是 ，它既与其它位置关系有着最紧密的联系，又是解决角度与距离问题的前提，所以在解答立体几何题时，尽可能地先从图形中找出线面垂直的位置关系

Ⅱ、空间中的角与距离的数量关系的求法

三类角的求法：转化为平面角“一找、二作、三指、四算” 即：（1） ； （2） ； （3） （4） 1 、异面直线所成的角θ：

（1）定义：如图

（2）范围： （3）求法： 注：（1）求异面直线所成的角的最关键是要找出一个点，

把其作为角的顶点，然后把两条直线“平行平移”过来，这个角就完成了。 这个点有时很好找，中点、交点、对称点等。

（2）若用平移转化烦琐或无法平移时，可考虑是否异面垂直，即可通过证明垂直

的位置关系得到90°的数量关系

2、直线与平面所成的角：

（1）定义：如图

（2）范围：

（??0?时，b∥?或b??）

（3）求法：

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即三余弦定理： （其中?、?、?分 别是斜线与射影（即线与面）、射影与面内线、斜线与面内线所成的角)

3、二面角：

（1）定义 ：

（2）求法：如图，即所谓的常见的点、线、面法

另外，还有

公式法：①、利用面积射影公式，即 （直棱柱中截面与底面夹角）

②、利用异面直线上任意两点间的距离公式

l2?m2?n2?d2?2mncos?

向量法：最后是向量的夹角还是其补角，要在图形中注出法向量的方向后判

定，若方向是同进同出，则是其补角，若是一进一出，则就是此角

注：（1）当二面角由两个等腰三角形构成时，利用底面的两个中线 （2）求正棱锥侧面夹角时，利用全等三角形

（3）若是无棱二面角，一种办法是作出交线，利用结论：若三个平面两两相交于在

三条直线，则三条直线平行或相交于一点，即要么作平行线，要么延长相交，就能作出交线。 另外，也可用面积射影公式

3、空间距离：

从各种距离的定义上看，它们基本上是将空间距离转化为两点间距离——构造三角形、解三角形、求该线段的长，即求距离时，应注意运用化归与转化思路：面面距→线面距→点面距→点点距。求点到面的距离是重点，求异面直线的距离是难点。 （1）点与点的距离、点到直线的距离，一般用三垂线定理“定性” （2）给出公垂线的两条异面直线的距离，先进行论证（先定性），后计算（后定量） （3）线面距、面面距都转化为点面距 （4）如何求点面距？共有两大类办法 第一类：作射影

①、利用面面垂直

②、熟知一些关于三棱锥P-ABC的顶点P在底面上的射影O的结论

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若PA=PB=PC，则O为△ABC的 心；

若侧棱与底面所成的角相等，则O为△ABC的 心； 若P到△ABC的三边距离相等，则O为△ABC的 心； 若侧面与底面所成的角相等，则O为△ABC的 心； 若PA⊥BC，PB⊥AC，则PC⊥AB且O为△ABC的 心； 若PA、PB、PC两两互相垂直，则O为△ABC的 心 ③、如果一个角?AOB所在平面外一点P到角的两边距离相等（或

?POA??POB），那么这一点在平面上的射影在 上；

第二类：不作射影

①、 ，转化为锥体高

②、 （d为P到面的距离，n为平面的法向量）

③、转化法，如果求这个点到平面的距离非常困难的情况下，可以利用平行转化（即转化为面的平行线上的其它特殊点）

或分点转化（即转化为平面的斜线上的其它点，如中点）

Ⅲ、简单多面体与球

1、棱柱（两底面平行，侧棱平行的多面体） 侧棱垂直底面 底面为正多边形 斜棱柱 直棱柱 正棱柱

?侧棱都相等； C1 ?侧面是平行四边形； ?? A1 B1 ?对角面是平行四边形；性质? ?两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形； D C?S侧?直截面周长?侧棱长； ? A B??V柱?底面积?高?直截面面积?侧棱长。

注：（1）S侧=各个侧面面积之和 （2）V=

1S?h，其中h是某一侧棱到其相对侧面的距离，S是这一侧面的面积 2 （3）直棱柱的一个很重要的性质是：侧面与底面垂直的面面垂直关系

2、棱锥（底面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形所围成的多面体）

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棱锥 底面是正多边形，顶点 在底面的射影是底面的中心 正棱锥

1 S 底面积?高3 正棱锥的性质： l—侧棱 a—底边长 h—高，h’—斜高 l h h’ R—底面正多边形半径 r—边心距 D C α—侧面与底面成角 r α 180° R O θ E ?—侧棱与底面成角，?BOE?n A a B

V锥??侧棱都相等，侧面都是全等的等腰三角形??四个直角三角形（如图所示）及元素之间的关系?Rt?SOBh?l2?R2?h'sin??lsin? ?? S2 12r222?Rt?SOEh'?h?r?l?a?? h1 O2 4cos??S 12a h 1?222O1 R?l?h?r?a??Rt?SEB180°4S 2sin?nO ???Rt?OEB

如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么截面和底面相似，并且它们面积的比等于截得

的棱锥的高与已知棱锥的高的平方比。

S正棱锥侧?1ch'(c—底面周长)2

即

S截S底h?12h2

如图所示，S1、S2是两个平行截面且??O2O1O1O

则S1?S2??S1??

3、球（半圆以它的直径为旋转轴，旋转所成的曲面叫做球面，球面所围成的几何体叫做

球体，简称球）

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