专题四：函数零点的解题思路及技巧(学生版1) - 王彦文

专题五：函数零点的解题思路及技巧

【高考地位】

函数的零点是新课标的新增内容，其实质是相应方程的根，而方程是高考重点考查内容，因而函数的零点亦成为新课标高考命题的热点.其经常与函数的图像、性质等知识交汇命题，多以选择、填空题的形式考查.

【方法点评】

一、零点或零点存在区间的确定

使用情景：一般函数类型

解题模板：第一步 直接根据零点的存在性定理验证区间端点处的函数值的乘积是否大于0；

第二步 若其乘积小于0，则该区间即为存在的零点区间；否则排除其选项即可.

例1 函数f?x??e?4x?3的零点所在的区间为（ ）

xA．?0,??1??11??13??3? B． C． D．,,??????,1? 4??42??24??4?【变式演练1】方程2x?x?2?0的解所在的区间为（ ）

A．(?1,0) B．(0,1) C．(1,2) D．(2,3) 【变式演练2】函数f(x)?log2x?1的零点所在区间（ ） x11(0,)(,1)2 B．2 C．(1,2) D．(2,3) A．

二、零点的个数的确定

方法1：定义法

使用情景：一般函数类型

解题模板：第一步 判断函数的单调性；

第二步 根据零点的存在性定理验证区间端点处的函数值的乘积是否小于0；若其乘积小于0，

则该区间即为存在唯一的零点区间或者直接运用方程的思想计算出其零点；

第三步 得出结论.

例2.函数f(x)?e?3x的零点个数是（ ） A．0 B．1 C．2 D．3

【变式演练3】函数f(x)?2?x?2在区间（0,1）内的零点个数是（ ） A.0 B.1 C.2 D.3 【变式演练4】方程x?3sinx的根的个数是（ ）

A．3 B．4 C．5 D．6

x3x1

【变式演练5】已知函数f?x??xlnx，g?x??xe?x．

（1）记F?x??f?x??g?x?，求证：函数F?x?在区间?1，???内有且仅有一个零点；

方法2：数形结合法 使用情景：一般函数类型

解题模板：第一步 函数g(x)有零点问题转化为方程f(x)?m(x)有根的问题；

第二步 在同一直角坐标系中，分别画出函数y?f(x)和y?m(x)的图像； 第三步 观察并判断函数y?f(x)和y?m(x)的图像的交点个数；

第四步 由y?f(x)和y?m(x)图像的交点个数等于函数g(x)?0的零点即可得出结论.

例3. 方程()x?|log3x|的解的个数是 （ ） A．3 B．2 C．1 D．0

13【高考再现】

?2x?a?x?1??8.【2015高考北京，理14】设函数f?x???

4x?ax?2a?x≥1.??????

①若a?1，则f?x?的最小值为 ；

．

②若f?x?恰有2个零点，则实数a的取值范围是

【反馈练习】

1．【 2017年福建福州外国语学校高二上月考一数学试卷,】函数f(x)?()x?x?2的零点所在的一个区间是（ ） A．??1,0? B．?0,1? C．?1,2? D．?2,3?

2. 【2017届山西省名校高三9月联考数学试卷, 文4】函数f(x)?x?3|x|?1(x?1)的零点所在区间为（ ）

31211111111111,?)和(,) C．(?,?)和(,1) D．(?,?)和(,) 23322323432c23. 【2017届】已知二次函数f(x)?ax?bx?c满足2a??b且c?0，则含有f(x)的零点的一个区间是（ ）

2A．(?,?)和(,1) B．(?A．(0,2) B．(?1,0) C．(0,1) D．(?2,0)

?x??2?1,?x?0?4. 【2017届甘肃肃南裕固族自治县一中高三10月月考数学试卷, 文12】已知函数f?x???，若方??f?x?1?,?x?0?131412程f?x??x?a有且只有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围为（ ） A．???,0? B．?0,1? C．???,1? D．?0,???

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