六年级奥数平面几何部分

六年级奥数平面几何部

分

公司内部档案编码：[OPPTR-OPPT28-OPPTL98-OPPNN08]

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平面几何部分 教学目标：

1．熟练掌握五大面积模型

2. 掌握五大面积模型的各种变形 知识点拨

一、等积模型

①等底等高的两个三角形面积相等；

②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；

两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比； 如右图12::S S a b =

③夹在一组平行线之间的等积变形，如右图

ACD BCD S S =△△；

反之，如果ACD BCD S S =△△，则可知直线AB 平行于CD ．

④等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)；

⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；

⑥两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比． 二、鸟头定理

两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形． 共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比． 如图在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点如图 ⑴(或D 在BA 的延长线上，E 在AC 上)，

则:():()ABC ADE S S AB AC AD AE =??△△

E

D

C

B

A

E

D

C

B

A

图⑴ 图⑵

三、蝴蝶定理

任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”)： ①1243::S S S S =或者1324S S S S ?=?②

()()1243::AO OC S S S S =++

蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径．通过构造模型，一方面可

b a S

2

S 1

D

C B

A S 4

S 3

S 2

S 1O D

C

B

A A B

C

D

O b

a S 3

S 2

S 1S 4

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精彩文档 以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系．

梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理”)：

①2213::S S a b =

②221324::::::S S S S a b ab ab =；

③S 的对应份数为()2a b +．

四、相似模型

(一)金字塔模型 (二) 沙漏模型

G F E A B

C D

A B C D

E

F G ①AD AE DE AF AB AC BC AG ===；

②22:ADE ABC S S AF AG =△△：．

所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形(只要其形状不改变，不论大小怎样改变它们都相似)，与相似三角形相关的常用的性质及定理如下：

⑴相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比；

⑵相似三角形的面积比等于它们相似比的平方；

⑶连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．

三角形中位线定理：三角形的中位线长等于它所对应的底边长的一半． 相似三角形模型，给我们提供了三角形之间的边与面积关系相互转化的工具．

在小学奥数里，出现最多的情况是因为两条平行线而出现的相似三角形．

五、燕尾定理 在三角形ABC 中，AD ，BE ，CF 相交于同一点O ，

那么::ABO ACO S S BD DC ??=． 上述定理给出了一个新的转化面积比与线段比的手段，因为ABO ?和ACO ?的形状很象燕子的尾巴，所以这个定理被称为燕尾定理．该定理在许多几何题目中都有着广泛的运用，它的特殊性在于，它可以存

在于任何一个三角形之中，为三角形中的三角形面积对应底边之间提供互相联系的途径.

典型例题

O F

E D C B A

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【例 1】 如图，正方形

ABCD 的边长为6，AE =，CF =2．长方形EFGH 的

面积为 ．

【巩固】如图所示，正方形ABCD 的边长为8厘米，长方形EBGF 的长BG 为

10厘米，那么长方形的宽为几厘米

【例 2】 长方形ABCD 的面积为

362cm ，E 、F 、G 为各边中点，H 为AD

边上任意一点，问阴影部分面积是多少

E

【巩固】在边长为6厘米的正方形ABCD 内任取一点P ，将正方形的一组

对边二等分，另一组对边三等分，分别与P 点连接,求阴影部分面积．

_A _B _G

_C

_E

_F

_D _A _B

_G

_C

_E _F _D _

A _B

_C

_D _E _F _G _H _H _G _F _E _D _C

_B

_A

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【例 3】 如图所示，长方形ABCD 内的阴影部分的面积之和为70，

8AB =，15AD =，四边形EFGO 的面积为 ．

B A

【巩固】如图，长方形ABCD 的面积是36，E 是AD 的三等分点，

2AE ED =，则阴影部分的面积为 ．

B

【例 4】 已知ABC 为等边三角形，面积为400，D 、E 、F 分别为三边的

中点，已知甲、乙、丙面积和为143，求阴影五边形的面积．(丙是三角形HBC )

B

【例 5】 如图，已知5CD =，7DE =，15EF =，6FG =，线段AB 将图形分成两部分，左边部分面积是38，右边部分面积是65，那么三角形ADG 的面积是 ．

G

F E D

C B A

【例 6】 如图在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点，且:2:5AD AB =，

:4:7AE AC =，16ADE S =△平方厘米，求ABC △的面积．

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E

D

C

B

A

【巩固】如图，三角形ABC 中，AB 是AD 的5倍，AC 是AE 的3倍，如果

三角形ADE 的面积等于1，那么三角形ABC 的面积是多少

E

D

C

B

A

【巩固】如图，三角形ABC 被分成了甲(阴影部分)、乙两部分，

4BD DC ==，3BE =，6AE =，乙部分面积是甲部分面积的几倍

乙

甲

E D

C

B

A

【例 7】 如

图在ABC △中，D 在BA 的延长线上，E 在AC 上，且:5:2AB AD =，

:3:2AE EC =，12ADE S =△平方厘米，求ABC △的面积．

E

D

C

B

A

【例 8】 如图，平行四边形ABCD

，BE AB =，2CF CB =，3GD DC =，

4HA AD =，平行四边形ABCD 的面积是2， 求平行四边形ABCD 与四边形EFGH 的面积比．

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精彩文档 H

G A

B C D

E

F

【例 9】 如图所示的四边形的面积等于多少 D C

13

12

13

131212

【例 10】 如图所示，ABC ?中，90ABC ∠=?，3AB =，5BC =，以AC 为一边向ABC ?外作正方形ACDE ，中心为O ，求OBC ?的面积．

【例 11】 如图，以正方形的边AB 为斜边在正方形内作直角三角形ABE ，90AEB ∠=?，AC 、BD 交于O ．已知AE 、BE 的长分别为3cm 、5cm ，求三角形OBE 的面积．

【例 12】 如下图，六边形ABCDEF 中，AB ED =，AF CD =，BC EF =，且有

AB 平行于ED ，AF 平行于CD ，BC 平行于EF ，对角线FD 垂直于BD ，已知24FD =厘米，18BD =厘米，请问六边形ABCDEF 的面积是多少平方厘米

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精彩文档 F

E A B

D

C

【例 13】 如图，三角形ABC 的面积是1，E 是AC 的中点，点D 在BC 上，且:1:2

BD DC =，AD 与BE 交于点F ．则四边形DFEC 的面积等

于 ． F E

D C B

A

【巩固】如图，长方形ABCD 的面积是2平方厘米，2EC DE =，F 是DG 的

中点．阴影部分的面积是多少平方厘米

x x A B F

G

E D C B A

【例 14】 四边形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O (如图所示)．如果三角

形ABD 的面积等于三角形BCD 的面积的13

，且2AO =，3DO =，那么CO 的长度是DO 的长度的_________倍．

A

B C D O

【巩固】如图，四边形被两条对角线分成4个三角形，其中三个三角形的面积已知，

求：⑴三角形BGC 的面积；⑵:AG GC =

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B

C

【例 15】 如图，平行四边形ABCD 的对角线交于O 点，CEF △、OEF △、ODF △、BOE △的面积依次是2、4、4和6．求：⑴求OCF △的面

积；⑵求GCE △的面积． O

G

F E D C B A

【例 16】 如图，长方形ABCD 中，:2:3BE EC =，:1:2DF FC =，三角形DFG

的面积为2平方厘米，求长方形ABCD 的面积．

A B C

D

E

F

G 【例 17】 如图，正方形ABCD 面积为3平方厘米，M 是AD 边上的中点．求

图中阴影部分的面积．

C

B A

【巩固】在下图的正方形ABCD 中，E 是BC 边的中点，AE 与BD 相交于F

点，三角形BEF 的面积为1平方厘米，那么正方形ABCD 面积是 平方厘米．

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精彩文档A

B C

D

E

F

【例 18】已知ABCD是平行四边形，:3:2

BC CE ，三角形ODE的面积为6平方厘米．则阴影部分的面积是平方厘米．

B

【巩固】右图中ABCD是梯形，ABED是平行四边形，已知三角形面积如图所示(单位：平方厘米)，阴影部分的面积是平方厘

米．

B

【巩固】右图中ABCD是梯形，ABED是平行四边形，已知三角形面积如图所示(单位：平方厘米)，阴影部分的面积是平方厘

米．

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B

【例 19】 如图，长方形ABCD 被CE 、DF 分成四块，已知其中3块的面积

分别为2、5、8平方厘米，那么余下的四边形OFBC 的面积为___________平方厘米．

?8

52

O

A B

C D E

F

【例 20】 如图，ABC ?是等腰直角三角形，DEFG 是正方形，线段AB 与CD 相交于K 点．已知正方形DEFG 的面积48，:1:3AK KB =，则BKD ?的面积是多少

B

【例 21】 下图中，四边形ABCD 都是边长为1的正方形，E 、F 、G 、H 分

别是AB ，BC ，CD ，DA 的中点，如果左图中阴影部分与右图中阴影部分的面积之比是最简分数

m n ，那么，()m n +的值等于 ．

B E

【例 22】 如图， ABC △中，DE ，FG ，BC 互相平行，AD DF FB ==，

则::ADE DEGF FGCB S S S =△四边形四边形 ．

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E

G

F A D C

B

【巩固】如图，DE 平行BC ，且2AD =，5AB =，4AE =，求AC 的长．

A E

D C

B

【巩固】如图， ABC △中，DE ，FG ，MN ，PQ ，BC 互相平行，AD DF FM MP PB ====，则

::::ADE DEGF FGNM MNQP PQCB S S S S S =△四边形四边形四边形四边形 ．

【例 23】 如图，已知正方形ABCD 的边长为4，F 是BC 边的中点，E 是DC

边上的点，且:1:3DE EC =，AF 与BE 相交于点G ，求ABG S △

G

F

A

E

D

C

B

【例 24】 如图所示，已知平行四边形ABCD 的面积是

1，E 、F 是AB 、AD

的中点， BF 交EC 于M ，求BMG ?的面积．

M

H

G

F E D

C

B

A

【例 25】 如图，ABCD 为正方形，1cm AM NB DE FC ====且2cm MN =，请问

四边形PQRS 的面积为多少

Q E G

N

M

F P

A

D

C

B

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C

A

【例 26】 如右图，三角形ABC 中，:4:9BD DC =，:4:3CE EA =，求:AF FB ． O F

E D C B A

【巩固】如右图，三角形ABC 中，:3:4BD DC =，:5:6AE CE =，求:AF FB .

O F

E D C B A

【巩固】如右图，三角形ABC 中，:2:3BD DC =，:5:4EA CE =，求:AF FB .

O F

E D C B A

【例 27】 如右图，三角形ABC 中，:::3:2AF FB BD DC CE AE ===，且三角形

ABC 的面积是1，则三角形ABE 的面积为______，三角形AGE 的面积为________，三角形GHI 的面积为______．

I H

G F

E

D C B A

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精彩文档 【巩固】 如右图，三角形ABC 中，:::3:2AF FB BD DC CE AE ===，且三角

形GHI 的面积是1，求三角形ABC 的面积．

I

H G F

E D C B A

【巩固】如图，ABC ?中2BD DA =，2CE EB =，2AF FC =，那么ABC ?的面积

是阴影三角形面积的 倍．

B

【巩固】如图在ABC △中，12DC EA FB DB EC FA ===,求GHI ABC △的面积△的面积

的值． I

H

G F

E

D C

B A

【例 28】 如图，三角形ABC 的面积是1，BD DE EC ==，CF FG GA ==，三角形ABC 被分成9部分，请写出这9部分的面积各是多少

G

F

E D C

B A

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精彩文档 【巩固】如图，ABC 的面积为1，点D 、E 是BC 边的三等分点，点F 、

G 是AC 边的三等分点，那么四边形JKIH 的面积是多少

K

J I H A B C

D E

F

G

【例 29】 右图，ABC △中，G 是AC 的中点，D 、E 、F 是BC 边上的四等分点，AD 与BG 交于M ，AF 与BG 交于N ，已知ABM △的面积比四边形FCGN 的面积大7.2平方厘米，则ABC △的面积是多少平方厘米

N

M

G A

B C

D E F

【例 30】 如图，面积为l 的三角形ABC 中，D 、E 、F 、G 、H 、I 分别是

AB 、BC 、CA 的三等分点,求阴影部分面积.

G C

B A

【例 31】 如图，面积为l 的三角形ABC 中，D 、E 、F 、G 、H 、I 分别是

AB 、BC 、CA 的三等分点,求中心六边形面积.

G C

B A

课后练习：

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精彩文档 练习1. 已知DEF △的面积为7平方厘米，,2,3BE CE AD BD CF AF ===，求

ABC △的面积．

F

E D

C

B

A

练习2. 如图，四边形EFGH 的面积是66平方米，EA AB =，CB BF =，

DC CG =，HD DA =，求四边形ABCD 的面积．

H

G F

E D

C B A

练习3. 正方形ABCD 的面积是120平方厘米，E 是AB 的中点，F 是BC 的

中点，四边形BGHF 的面积是 平方厘米．

H

G

F E D

C B

A

练习4. 如图，已知4cm AB AE ==，BC DC =，90BAE BCD ∠=∠=?，

10cm AC =，则S ABC ACE CDE S S ???++= 2cm ．

D C

E

B

A

练习5. 如图，正方形ABCD 的面积是120平方厘米，E 是AB 的中点，F 是

BC 的中点，四边形BGHF 的面积是_____平方厘米．

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E D

C

B 练习6. 如图，AB

C ?中，点

D 是边AC 的中点，点

E 、

F 是边BC 的三等分

点，若ABC ?的面积为1，那么四边形CDMF 的面积是_________．

F A

B C D E M N

练习7. 如右图，三角形ABC 中，:::4:3AF FB BD DC CE AE ===，且三角形

ABC 的面积是74，求角形GHI 的面积．

I

H G F

E D C B A

备选

【备选1】 按照图中的样子，在一平行四边形纸片上割去了甲、乙两个

直角三角形．已知甲三角形两条直角边分别为2cm 和4cm ，乙三角形两条直角边分别为3cm 和6cm ，求图中阴影部分的面积．

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精彩文档 【备选2】 如图所示，矩形ABCD 的面积为36平方厘米，四边形PMON

的面积是3平方厘米，则阴影部分的面积是 平方厘米．

【备选3】 如图，已知3BD DC =，2EC AE =，BE 与CD 相交于点O ,则

ABC △被分成的4部分面积各占ABC △ 面积的几分之几

O

E

D C

B A

【备选4】 如图，在ABC △中，延长AB 至D ，使BD AB =，延长BC 至

E ，使12

CE BC =，F 是AC 的中点，若ABC △的面积是2，则DEF △的面积是多少

A

B

C D

E F

【备选5】 如图，:2:3BD DC =,:5:3AE CE =,则:AF BF =

G

F E

D C B A

【备选6】 如图在ABC △中，13DC EA FB DB EC FA ===,求GHI ABC △的面积△的面积的值．

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