二次曲线内接最大三角形探析

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数学通讯

2 0年第 l期 07 0

二次曲线内接最大三角形探析陶楚国(襄攀市长虹北路地矿所学校，湖北 415) 4 0 7

探求二次曲线的内接最大三角形是研究二曲线的一个重要方面，可以想象，抛物线、双曲线的内接三角形的面积可以无穷大 .此，文只讨论封闭二次因本—

当 S c一 3 。 . y; 2△ 4R时 3 3 R—y. R+一 2 R一一

.

曲线 (、圆 )的内接三角形 .圆椭 1圆内接最大三角形 如图 lB是半径为 R的，C圆 O的任一弦， B为一边的以 C圆内接最大三角形的高 AE必在 B的中垂线上 . B大小 C若 C变化。 A C的面积也随之变△ B化 . B= z D= y则根据设 E,E .相交弦定理有 .一 y 2 2 7 (R— ),=

即一要，: z=

=: R此， 要，时A B

A一√ . C

这是“内接三角形中正三角形的面积最大”圆

的一个代数证明. 2椭圆内接最大三角形 一

2

.2 .

。D

/=

设椭圆方程为 a+告 oln> b> O,考虑两 ( )先

J l

A

图 1

S加△ c=￣ (R— Y ( R— Y/ 2 ) 2 )=

1 f3 (R- y (R~ ) f y 2— ) 2—√3

种特殊位置的椭圆内接三角形 .图 2 B/如， C/z轴 .显 (. -然△ A C是以 BC为三角 B t日形一边内接于椭圆诸多三图角形中面积最大的那一个 .一

j

— c, 7 )2

≤

( R+ 2 ( R— ) 2 y) 2(+ j) 2— ) R,( R

2

2 3 4=

设 C( Y, ( z, )由- x. ) B - j,。, S T+ 2 2—

√3

1一 了 .以得z詈所 2 ( - ) z b

≤ 1L .

丁学R 3 R . z .

s c=△

尸女=一。一 )÷ (￡￡ ( 1+ . )=一。

曲=一

m 2u一

”.———— —一 .

当<+≤时 (芋 o芋芳 ,女 (+ 1 =等=芋等 1(+ )的大 )(+ )一旁]最值[芋 . s为√等等[ ( z.曲 (+ )一n ) 1。] V 。 n当<+<肘贝一1,七÷警

等 l'￡肘 ( J l ÷s的大为曲，最值专 . :

≤

当<+<时 芋吾 l, 1监a一

V n。

n。

≤ 1曲.

2当直线 A与 z轴垂直时，斜率不存在， ) B其A的方程为 z: .I B I— B 一 2 A b—.

综合可知定理成立 . 当点 P为椭圆的一个焦点时。们有如下：我

原点 O

推设圆程手=( 6o论椭方为+ l>>) n,A为椭圆的焦点弦， B则I￣' o<< _; c当 u‘\ -时； 、、=口_

到直线 A B的距离为 l , t l

S; 当。 h<ni 2,.

上.三 互nZ

b Z

.

￣、

[ 1时,

函￡ f(]数( )。 1在.一÷

(Q:一 sA j△) i口÷ 曲雩≤<时， e l.当(稿日期：0 6 l— 0}收 20一 2 8

‘<≤+≤, 芋芋吾专。

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20第 1 0 7年 O期

数学通讯=

2 3

=

一

(一 ) 6

、

D~一

/干 ~z j『 J j 2 ——一

志何而 -)厉 (y b2 b√3

2￣ (+ ) 6+ a一 m ) h o/1 (

一————1

≤÷=

(6 y(一 4+2 )6 )

√ - 2+ (一 _ (6 )6 )兰3 b

找到了 1的表达式，来找以 B为底边面积 3 C再 C最大三角形的高，然，弦 1为一边的面积最大显以 3 C的内接于椭圆0的/A C.顶点 A必是平行于BC xB其 的椭圆切线的切点 .行于 B的椭圆切线可设为 y平 C一

≤警学曲志c 当 s肋c:△一

如+,入椭圆的方程整理得：代(+乜 k )+ 2 k+乜 (~ b )= 0( ) 6 z anx 1

曲时，b 3: 6 ,b 2 3+ 一 4+ 。 n此时，B= A z一。 A C一

由判别式 A一 0得4 a一 4 6 a (+ a ) 一 b )一 0, (

2— 2即一一 6, b

即 4。。+ a k一 )一 0, ab(。。. - .一 b+ a .、

√ 詈< B这一顶大 6÷+ 6一C是个角于o .。的等腰三角形 .

如图 4不妨设 m> 0则< 0所以=,,。一

干

, ()代入 1求得点 A(,)其中 x,a2一

b

如图 3当 B∥ Y轴， C时。 B(,, (。 )设 x )C x一，

Jl

z丽一式有.

一丽 . b

’ .

B . Y)

设/A C的高为 h根据点到直线的距离公 XB,l。

则一 ÷厢类似地有S△ B AC=

.C x.~ (一图 3

a、

l侣一,

一一。、l+

十m。

÷ (—z 2 n )、b

、

佰

+m

一n

.(一 z ).

:

:

‘v3 - 3。/ - x .￣- -‘ 4 -.

。仙= . c专 S△、 + m

型— (侣 =、+ m)———一

≤— ( n- x) n— z 4 4 -2 ( )2口√3一

4 3

b . a) . 3 z_√3 z口J l

曲、一——————

—

口

4曲一 o h

剩下的问题是，边当

B C既不平行于 z轴又不平行于 Y轴时， A C的最大△ B0 I T

B

h o一

面积是多少？然是仍吗？面探求这个问题 .下

h o夕/

i

￣

/ 3" m) ( m" 3 i H南

如图 4B, C是椭圆 O的任一弦， B所在直线方设 C

图4

≤一 一

程为 Y— b+m。了求 B的长 . Y= k”代为 C把 x+ z入椭圆方程，理得整( n )+ 2 x+ n m一 b )一 0 b+ z a mk ( .

等z c南一

南 H

设 B(】 Y ) C x,2, x,】, ( 2 y )则2 a mk..

≤ 学曲 ( h o号 .至此。们圆满解决了这类问题，得到一个一我并般的结论：闭二次曲线内接最大三角形的面积与封二次曲线围成的面积之比均为 .

a( m~ b )

7Az C -一一 1

’ zz

— r=一’ _

一z一/ z+ 2。 x z l 1 2l￣( 1 z )一4 1 2 z

26、 F . d ==—— 广一’

(稿日期： 0 6 1— 1 )收 20— 0 2

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