第一章 质点运动学习题答案

第一章 质点运动学习题答案 1-1 质点做直线运动，运动方程为

x?12t?6t2

其中t以s为单位，x以m为单位，求：(1)t＝4s时，质点的位置、速度和加速度；(2)质点通过原点时的速度；(3)质点速度为零时的位置；(4) 做出x-t图、v-t图、a-t图.

解：(1) 根据直线运动情况下的定义，可得质点的位置、速度和加速度分别为 x?12t?6t （1） v?2dx?12?12t （2） dtd2x a?2??12 （3）

dt2当t＝4s时，代入数字得：x??48m v??36m/s a??12m/s

（2）当质点通过原点时，x＝0，代入运动方程得：12t?6t＝0 解得：t1?0,t2?2，代入（2）式得： v1?12m/s v2=－12m/s

(3) 将v?0代入（2）式，得12?12t?0 解得：t?1s 代入（1）式得：x?12m－6m=6m 1.2一质点在xOy平面上运动，运动方程为

2x=3t+5, y=

12

t+3t-4. 2式中t以 s计，x,y以m计．(1)以时间t为变量，写出质点位置矢量的表示式；(2)求出t=1 s 时刻和t＝2s 时刻的位置矢量，计算这1秒内质点的位移；(3)计算t＝0s时刻到t＝4s时刻内的平均速度；(4)求出质点速度矢量表示式，计算t＝4s 时质点的速度；(5)计算t＝0s 到t＝4s 内质点的平均加速度；(6)求出质点加速度矢量的表示式，计算t＝4s 时质点的加速度.

?12??r?(3t?5)i?(t?3t?4)jm 解：（1）

2(2)将t?1,t?2代入上式即有

???r1?8i?0.5j m

???r2?11j?4jm ??????r?r2?r1?3j?4.5jm

(3)∵ r0?5j?4j,r4?17i?16j

???????????????rr4?r012i?20j???3i?5jm?s?1 ∴ v??t4?04????dr?3i?(t?3)jm?s?1 (4) v?dt????1则 v4?3i?7j m?s

(5)∵ v0?3i?3j,v4?3i?7j

????????????vv4?v04???1jm?s?2 a??t44???dv?1jm?s?2 (6) a?dt这说明该点只有y方向的加速度，且为恒量.

1-4 一质点沿一直线运动，其加速度为a??2x，式中x的单位为m，a的单位为m/s,试求该质点的速度v与位置坐标x之间的关系.设x?0时，v0＝4m/s 解：依题意

2a?dvdvdxdv??v??2x dtdxdtdxvv0?x0?2xdx??vdv

2积分得 ?x? v?12(v?v02) 2v02?2x2?16?2x3 21-5质点沿直线运动，加速度a?4?t，如果当t＝3时，x?9，v?2，求质点的运动方程. (其中a以m/s为单位，t以s为单位，x以m为单位，v以m/s为单位) 解：加速度表示式对t积分，得

21v??adt??t3?4t?v0

3x??vdt??14t?2t2?v0t?x0 12将t＝3s，x＝9m，v?2m/s代入以上二式，得积分常数v0??1m/s，x0＝0.75m，则

1v??t3?4t?13

1x??t4?2t2?t?0.7512

1-6 当物体以非常高的速度穿过空气时，由空气阻力产生的反向加速度大小与物体速度的平方成反比，即a??kv，其中k为常量. 若物体不受其他力作用沿x方向运动，通过原点时的速度为v0，试证明在此后的任意位置x处其速度为v?v0e?kx.

解：根据加速度定义得：

2dvdvdvdxdv?a??kv2，因a???v，代入上式，分离变量，整理后得：dtdtdxdtdx1dv??kdx，应用初始条件x?0,v?v0，两边积分得 v

x1v?kx??kxdv??kdx 得 即 有： lnv?ve0?v0v?0v0v1-7试写出以矢量形式表示的质点做匀速圆周运动的运动学方程，并证明做匀速圆周运动质点的速度矢量v和加速度a矢量的标积等于零，即va=0 解：以直角坐标表示的质点运动学方程为

x?Rcos?t,y?Rsin?t

以矢量形式表示的指点运动学方程为

r?Rcos?ti?Rsin?tj

速度和加速度分别为

v?dr???Rsin?ti??Rcos?tj dta???2Rcos?ti??2Rsin?tj

所以 va=0

1-8一质点在xoy平面内运动，其运动方程为r?acos?ti?bsin?tj，其中a,b,?均为大于零的常量.

解：（1）质点在任意时刻的速度v?dr??a?sin?ti?b?cos?tj dt （2）由x?acos?t,y?bsin?t

消去t，可得轨道方程

x2y2 2?2?1 可见是椭圆方程，表明质点作椭圆运动 ab（3）加速度a?2

dv???2(acos?ti?bsin?tj)=??2r dt因为?>0，所以a的方向恒与r反向，即a恒指向椭圆中心.

1-9路灯离地面高度为H，一个身高为h的人，在灯下水平路面上以匀速度v0步行. 如图所示，求当人与灯的水平距离为x时，他的头顶在地面上的影子移动的速度的大小.

'图1-9

解：建立如图所示的坐标，t时刻头顶影子的坐标为x?x，设头顶影子的移动速度为v，则

d(x?x')dxdx'dx'???v0? v? dtdtdtdt由图中可看出有

Hh?， x?x'x''hv0hxdx'?则有x?

H?hdtH?h所以有 v?v0?hv0H?v0 H?hH?h12bt的规律运动，式中s为质点离圆周上某点的21-10 质点沿半径为R的圆周按s＝v0t?弧长,v0，b都是常量，求：(1)t时刻质点的加速度；(2) t为何值时，加速度在数值上等于b．

解：（1） v?ds?v0?bt dtdv??bdt 22(v?bt)van??0RRa??(v0?bt)4则 a?a??a?b? 2R22n2加速度与半径的夹角为

??arctan(2)由题意应有

a??Rb ?an(v0?bt)2(v0?bt)4 a?b?b?2R2(v0?bt)44,?(v?bt)?0 即 b?b?02R22∴当t?v0时，a?b b21-11质点做半径为20cm的圆周运动，其切向加速度恒为5cm/s，若该质点由静止开始运动，需要多少时间：(1)它的法向加速度等于切向加速度；(2)法向加速度等于切向加速度的二倍.

解：质点圆周运动半径r＝20cm，切向加速度a?＝5cm/s，t时刻速度为v?a?t，法向加速度为an?v2/r，因此有 t?v/a??2anr/a??anr 2a?（1） 当a??an时，t?anr20r???4s a?2a?5（2） 当a??1an2r40an时，t?r???2.83s 22a?a?561-12 (1)地球的半径为6.37?10m，求地球赤道表面上一点相对于地球中心的向心加速度. (2)地球绕太阳运行的轨道半径为1.5?10m，求地球相对于太阳的向心加速度. (3)天文测量表明，太阳系以近似圆形的轨道绕银河系中心运动，半径为2.8?10m，速率为2.5?10m/s，求太阳系相对于银河系的向心加速度. 解：（1）地球赤道表面一点相对于地球中心的向心角速度为 an1?R1?1?6.37?10?(26112052?)2?3.36?10?2 m/s2

24?60?60（2）地球相对太阳的向心加速度为

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