2013年高考仿真模拟理科数学试题（命题人：覃祖光）参考答案

2013年全国高考仿真模拟试题

理科数学参考答案（编辑：覃祖光）

一、CACB BDAD ABCD

二、13． 3 14. 1 15. 17解：（1）证明：

(1?tanA)(1?tanB)?2?1?tanA?tanB?tanAtanB?2?tanA?tanB?1?tanAtanB

2? 16. 33tanA?tanB??1?tan(A?B)?1?A?B?

1?tanAtanB433而C???(A?B)??（定值），故内角C为定值?。

44cc?2R，即（2）解：由正弦定理得?2?1，于是c?2，

3sinCsin?4?由余弦定理c2?a2?b2?2abcosC得：2?a2?b2?2ab，即2?2ab?a2?b2， 而a2?b2?2ab，于是有2?2ab?2ab，即ab?2?2（当且仅当a?b时取等号）

而S?ABC?absinC?absin??121234222?12?1，所以△ABC的面积的最大值为。 ab?(2?2)?4422321?? 43218、解：（1）记“他不需要补考就可获得证书”为事件A，则P（A）=

32339（2）?的可能取值为：2，3，4，则P(??2)???(1?)(1?)? 4344163323223226P(??3)?(1?)????(1?)???(1?)?(1?)? 44343343316332233221P(??4)?(1?)??(1?)??(1?)??(1?)?(1?)? 4433443316∴?的分布列为： 所以E??2?

? 2 3 4 P 961 1616169615?3??4???2.5 16161621

19、解：建立如图所示的直角坐标系，设AB=a，AD=b，PA=c， 则A（0，0，0）、B（a，0，0）、C（a，b，0）、P（0，0，c）（2分） z P 证：（Ⅰ）∵M为AB的中点，N为PC的中点，

aabc，0，0），N（，，）. （3分） 2222bc∴MN=（0，，） （4分）

22∴M（

A M B x ● N D y 又∵AB=（a，0，0），∴MN?AB=0.（6分） 即MN⊥AB. （7分）

C 解：（Ⅱ）由（Ⅰ）得MN⊥AB，故MN为AB和PC的公垂线当且仅当MN⊥PC. （8分） MN⊥PC?MN?PC?0 ①

bcb2c2∵MN=（0，，），PC=（a，b，－c），∴①?0???0?b=c，也就是PA=AD.（10分）

2222∵PA⊥平面AC，CD?平面AC，∴CD⊥PA . 又∵CD⊥AD，PA∩AD=A ∴CD⊥平面PAD，又PD?平面PAD.∴CD⊥PD，又CD⊥AD.

∴∠ADP为二面角A—CD—P的平面角.因此PA=AD?△PAD为等腰直角三角形 ?∠ADP=

??，故存在??44使MN为AB与PC的公垂线. （12分）

20解：(Ⅰ)当n?1时，有a2?a1b2，

b21，又因为P?,?1)即a1?1,b1??1，于是有 1(12b11?4a1a2?b2，

b2111111?P(,)的直线方程为 ，解得a2?b2?，所以P2(,)，经过P，(1,?1)21?11?433333y?(?1)x?1即y??2x?1。………2分 ?11?(?1)?133l(Ⅱ)证明：因为Pn(an,bn)在直线上，所以bn??2an?1，故bn?1??2an?1?1，由an?1?anbn?1，得

an?1?an(?2an?1?1)，进而an?1??2an?1an?an?an?1?an??2an?1an?an?an?1?2an?1an

2

?111，所以数列{}是公差为2，首项为1的等差数列；……6分 ??2（常数）

an?1anan112n?31?1?，因此bn??2an?1??2? ?2n?1，故an?2n?12n?12n?1an（Ⅲ）解：由(Ⅱ)知

12n2462n2222?) ，于是(1?a1)(1?a2)...(1?an)?(???...?2n?12n?11352n?11352n?32n?11...?bnbn?1????...????0 因为b2b3?3572n?12n?12n?11?an?1?所以由(1?a1)(1?a2)...(1?an)?222222?b2b3?...?bnbn?1得??(1?a1)2(1?a2)2...(1?an)2b2b3?...?bnbn?1

...?bnbn?1?(?而(1?a1)(1?a2)...(1?an)b2b3?设F(n)?(?2462n21??...?)………9分 1352n?12n?12462n21??...?)，则只需所有n?N*，??F(n)恒成立即可。 1352n?12n?1462n2n?221(??...??)2F(n?1)12n?22n?11(2n?2)12n?12n?12n?3?(于是 ?35)2???2462n21F(n)22n?12n?322n?12n?3(???...?)1352n?12n?11(2n?2)14(n?1)24n2?8n?41?????2?1?2?1， 22n?12n?3(2n?1)(2n?3)4n?8n?34n?8n?3因此F(n)单调递增，所以F(n)?F(1)?21、解：（1）由题意知e?2444，于是??F(1)?，所以实数?最大值为。…12分 333c?3?c2?3a2,b2?c2?a2?2a2,代入双曲线得ax2?2x?2a2?1?0设A（x1，y1），B（x2，y2），则有x1+x2=-2，x1x2=-2a2-1，又因

为直线AB的方程为y?x?1，y1y2=（x1-1）（x2-1）=x1x2-（x1+x2）+1=-2a2+2．

????????又F(3a,0)，则FA?(x1?3a,y1),FB?(x2?3a,y2),

????????得FA?FB?(x2?3a)(x1?3a)?y1y2?x1x2?3a(x1?x2)?3a2?y1y2?4

x2y2?1。 ∴a?23a?3?0，解得a=3，b=6，双曲线C方程为?36222 3

（2）直线l：y=k（x-3），(k≠3)．设P（x，y），Q（x3，y3），N（x4，y4）， 6k29k2?6联立方程得（2-k）x+6kx-9k-6=0，得x3+x4=2， x3x4=2， k?2k?22222kPN=k(x3?3)k(x4?3)， kQN= x4?xx3?xk(x3?3)k(x4?3)k(8k2?12?18k2?12x)∵∠PNF=∠QNF，∴kPN+kQN=+=?0 2x4?xx3?x(x3?x)(x4?x)(k?2)∴x=1， 0＜x＜3，所以存在点N（1，0）． 22、解：（1）f?(x)??ax?(a?1)，又在点M处的切线与直线2x?3y?0垂直，则

f?(2)?13 x?2a?(a?1)? 解得a?2即f(x)?lnx?2x?3221x 令g(x)?f(x)?x2?2x?1?lnx?x?1， g?(x)??1?1x1?x?0 x当x?1时，即g(x)在[1,??)单调递减?g(x)?g(1)?0，即当x≥1时，f(x)?x2?2x?1。…6分

?a1?1?0，?an?0,(?n?N?) （2）证明：

an?1?an(1?n)?an 2n即数列{an}单调递增 ?an?1?an?a1?1

由（1）知，lnan?1?lnan?ln(1?nnn)?lnan?n，即lnan?1?lnan?n n222nn?121?n?1???2? n2222?lnan?1?lnan?1?lnan???lna2?lna1?令Tn??122n?1n112n?1n，则????T??????n?1 n2222n?12n22232n211(1?n)1111n2?n?1?1?n?1 Tn??2???n?n?1?2n?1nn?11222222221?2所以lnan?1?Tn?2，即an?1?e2

综上所述，1?an?an?1?e2 ………………………………………12分

4

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