高中数学微积分

更新时间：2024-05-14 08:24:01 阅读量：综合文库文档下载

说明：文章内容仅供预览，部分内容可能不全。下载后的文档，内容与下面显示的完全一致。下载之前请确认下面内容是否您想要的，是否完整无缺。

高中数学差怎么补救推荐度：
相关推荐

高中数学微积分

一、导数

1．导数的定义

定义：设函数y?f?x?在点x0的某邻域内有定义，若极限limx?x0f?x??f?x0?存在，

x?x0则称函数f在点x0处可导，并称该极限值为函数f在点x0处的导数，记为f??x0?（或

dydf．若令x?x0??x，?y?f?x0??x??f?x0?，则 y?|x?x0，|x?x0，|x?x0）

dxdxx?x0limf?x0??x??f?x0?f?x??f?x0??f??x0?．所以，导数是函数增量可改写为lim?x?0?xx?x0?y与自变量增量?x之比的极限．这个增量比称为函数关于自变量的平均变化率（又称差

商），而导数f??x0?则为f在x0处关于x的变化率．若limx?x0f?x??f?x0?极限不存在，则

x?x0称f在点x0处不可导．

2．导函数

若函数在区间I上每一点都可导（对区间端点，仅考虑相应的单侧导数），则称f为I上的可导函数．此时，对每一个x?I，都有f的一个导数f??x?（或单侧导数）与之对应，这样就定义了一个在I上的函数，称为f在I上的导函数，也简称为导数，记为f?或y?，即f??x??lim?x?0f?x??x??f?x?，x?I．

?x3．导数的几何意义

函数f在点x0处的导数f??x0?是曲线y?f?x?在点?x0,y0?处的切线斜率．曲线

y?f?x?在点?x0，y0?处的切线方程为y?y0?f??x0??x?x0?．

4．求导法则（1）基本求导法则

①?u?v???u??v?；

②?uv???u?v?uv?，?cu???cu?（c为常数）；

u??u?v?uv??1???v??③???，???2； 2vv?v??v?④反函数导数 dy?1；

dxdxdy⑤复合函数导数

dydydu． ??dxdudx（2）基本初等函数导数公式 ①?c???0（c为常数）；

②x????x??1（?为任意实数）；

??③?sinx???cosx，?cosx????sinx； ④?tanx???sec2x，?cotx????csc2x，

?secx???secxtanx，?cscx????cscxcotx；

⑤ ax??axlna，ex??ex．

????⑥?logax???11，?lnx???． xlnax5．导数的应用（1）判断函数单调性

定理：设函数f?x?在区间I上可导，则f?x?在I上递增（减）的充要条件是

f??x??0??0?．

推论：设函数f?x?在区间I上可导，若f??x??0??0?，则f?x?在区间I上严格递增（严格递减）．

（2）函数的极值

定义：若函数f?x?在点x0的某邻域U?x0?内对一切x?U?x0?有

f?x0??f?x??f?x0??f?x??，则称函数f?x?在点x0取得极大（小）值，称点x0为极

大（小）值点．极大值和极小值统称为极值；极大值点和极小值点统称为极值点．

（3）最值

对于闭区间?a,b?上的连续函数f?x?，我们只要比较f在所有稳定点、不可导点和区间端点上的函数值，就能从中找到f在区间?a,b?上的最大值与最小值．

二、定积分

1.定义：设f是定义在?a，b?上的一个函数，J是一个确定的实数．若对任给的正数?，总存在某一正数?，使得对?a，b?的任何分割T，以及在其上任意选取的点集??i?，只要

T??，就有?f??i??xi?J??，则称函数f在区间?a，b?上可积或黎曼可积；数Ji?1n称为f在区间?a，b?上的定积分或黎曼积分，记为J??f?x?dx，其中f称为被积函数，

abx称为积分变量，?a，b?称为积分区间，a,b分别称为这个定积分的下限和上限．

牛顿—莱布尼茨公式：若函数f在?a，b?上连续，且存在原函数F，即

F??x??f??x，x??a，b?，则f在?a,b?上可积，且?f?x?dx?F?b??F?a?，这称

ab为牛顿—莱布尼茨公式，它也常写为

?baf?x?dx?F?x?|ba．

2.几何意义：对于?a,b?上的连续函数f，当f?x??0，x??a，b?，定积分的几何意义就是y?f?x?，x?a，x?b，y?0所围成的曲边梯形的面积；当f?x??0，

?f?x??x??a，b?时，这时J?????dx是位于x轴下方的曲边梯形面积的相反数，不妨a?称之为“负面积”；对于一般非定号的f?x?而言，定积分J的值则是曲线y?f?x?在x轴上方部分所有曲边梯形的正面积与下方部分所有曲边梯形的负面积的代数和．

3.性质：

性质1：若f在?a,b?上可积，k为常数，则kf在?a，b?上也可积，且

b?bakf?x?dx?k?f?x?dx．

ab性质2：若f、g都在?a,b?上可积，则f?g在?a，b?上也可积，且

?ba??f?x??g?x???dx??af?x?dx??ag?x?dx．

性质3：若f、g都在?a，b?上可积，则f?g在?a，b?上也可积．

性质4：f在?a,b?上可积的充要条件是：任给c??a,b?，f在?a，b?与?a，b?上

bb都可积．此时又有等式

?baf?x?dx??f?x?dx??f?x?dx．

accb性质5：设f为?a,b?上的可积函数．若f?x??0，x??a,b?，则性质6：若f在?a,b?上可积，则f在?a，b?上也可积，且

?f?x?dx?0．

abab?baf?x?dx??f?x?dx．

性质7：（积分第一中值定理）若f在?a，b?上连续，则至少存在一点???a，b?，使得

?f?x?dx?f????b?a?．

ab性质8：设f在?a，b?上连续，若F?x??处处可导．

4.定积分的应用

?f?t?dt，x??a,b?则F?x?在?a，b?上

ax①求平面图形的面积：由连续曲线y?f?x?(?0)以及直线x?a，x?b?a?b?，

y?0所围成的曲边梯形的面积为A??f?x?dx??ydx，如果f在?a，b?上不都是非

aabb负的，则所围成图形的面积为A??baf?x?dx??ydx．一般地，由上、下两条连续曲线

aby?f2?x?与y?f1?x?以及两条直线x?a，x?b?a?b?所围成的平面图形的面积为A???f?x??f1?x???dx． a?2b三、例题选讲

例1 求下列函数的导数．

53（1）y?x?x?x；（2）y?sinx?cosx；

（3）y?x2；（4）y?xcosx?3x?1． 1?x解析：根据求导法则及四则运算进行求解．

（1）y??x?????x???x??5x534?3x2?1；

（2）y???sinx???cosx??cosx?sinx；

????x??1?x??x?1?x?1?x??（3）y???； ??221?x?1?x??1?x???（4）y??x???cosx?x?cosx???3?2xcosx?x222sinx?3．

例2 求过曲线y?2lnx上点A?e，2?处的切线方程．

?2解析：利用导数的几何意义得到切线斜率是解题关键．?y???2lnx??，由导数

x22的几何意义，曲线在点A?e，2?处的斜率k?|x?e?，故所求的切线方程为

xe2y?2??x?e?，即2x?ey?0．

e例3 求y?x4?2x2?8的单调区间．

解析：令y??4x3?4x?4xx2?1?4x?x?1??x?1??0，得x1?0，x2??1，

??x3?1，列表如下：

x f??x? f?x? ???，?1? 小于0 单调递减 ??1，0? 大于0 单调递增 ?0，1? 小于0 单调递减 ?1，??? 大于0 单调递增所以f?x?在区间??1，0?，?1，???上单调递增；在区间???，?1?，?0，1?上单调递减．

例4 已知函数f?x??x3?12x?bx?c． 2（1）若f?x?有极值，求b的取值范围；

（2）若f?x?在x?1处取得极值，当x???1，2?时，f?x??c2恒成立，求c的取值范围；

，2?内的任意两个值x1，x2，都有（3）若f?x?在x?1处取得极值时，证明：对??1f?x1??f?x2??7． 21； 122解析：（1）f??x??3x?x?b，令f??x??0，由??0，得1?12b?0，即b?（2）因为f?x?在x?1处取得极值，故f??1??0，即3?1?b?0，得b??2，令

22f??x??0，得x1??，x2?1，当x的取值为?，1，?1，2时，经比较，当x?2时，

33f?x?max?2?c，所以2?c?c2，解得c?2或c??1；

（3）可以计算得f?x?max?2?c，f?x?min??3?c，所以对??1，2?内的任意两个值2?3?7x1，x2，都有f?x1??f?x2??2?c????c??．

?2?2例5 计算：

（1）（2）（3）

??x102?2dx；

???x?cosx?dx；

20???ax212?bxdx，其中a，b为实数．

1?7?13?112解析：（1）?x?2dx??x?2x?|0??2?；

033?3????1?2?（2）?2?x?cosx?dx??x2?sinx?|0??1；

028??（3）

??2??ax212b?28aab7a3b?a?bxdx??x3?x2?|1??2b????．