物理学(第五版)下册 马文蔚等改编(东南大学) 答案
更新时间:2023-05-16 18:39:01 阅读量: 实用文档 文档下载
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第九章振动
1、设一物体沿x轴作谐振动的方程为x 0.10cos(2 t (1)振幅,周期,频率和初相x
,式中x,t的单位分别为m,)
4
s.试求:
Acos( t );(2)t 0.5s时,物体的位移、速度和加速度.
解:(1)谐振动的标准方程为,比较题中所给方程和标准方程,知振幅
A 0.10m,角频率
2 rad/s
周期为T
,初
4
.由此,
2
1s 频
1Hz率为2
(2)t物体位移x速度v
1s时,
0.10cos(2
) 0.10cos(2 0.5 )m 7.07 10 2m 44
dx
0.2 sin(2 t ) 0.2 sin(2 0.5 )m/s 0.44m/s dt44dv
加速度a 4 2sin(2 t ) 4 2cos(2 0.5 )m/s2 28m/s2
dt
4
4
2、有一弹簧,当其下端挂一质量为m的物体时,伸长量为9.8×10 m。若使物体上、下振动,并规定向
-2
-2
上为正方向。(1)当t=0时,物体在平衡位置下方4.0×10 m处,由静止开始向上运动,求运动方程。(2)当t=0时,物体在平衡位置并处以0.2m·s的速度向下运动,求运动方程。 解:(1)根据题给的条件,x0点)且
-1
4.0 10 2 m, v0 0(题取向上为正方向,且平衡位置处为原
A 4.0 10 2 m,其旋转矢量应为如图9-4-1图位置,所以 0 π。
k
m
,而 mg
又
kx0,
kg 所以
mx0
,
9.8
2
9.8
10
9-4-1图
所以谐振动方程:x(2)据题意,得
4.0 10 2cos(10t π)m
t 0时,x0 0,v0 0.6 m.s 1,其旋转矢量应为如图9-4-2图位置则
v0
0.22
A x () 0 2 2 10 2m
10
2
2
2
0
π 2
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(
x 0的投影有上、下两个矢量,但v0为负值,故只能选上面的OM矢量),所以谐振动
方程为x
π
4.0 10 2cos(10t )m。
2
3、做简谐振动的物体,由平衡位置向x轴正方向运动,试问经过下列路程所需的最短时间各为周期的几分之几?
(1)由平衡位置到最大位移处;(用旋转式量方法) (2)由平衡位置到x
AA
处;(3)由x 处到最大位移处。(用旋转式量方法) 22
解 :(1)作旋转矢量如图9-5-1图,
得
t
t
2π T
O
M
因为求的是最短时间,故取向下的
M
πt1
旋转矢量,所以
πT4
(2)如图9-5-2图
9-5-1图
π
t t 1. (3)同理 π , t 1
6T63T12
4、某振动质点的
x t曲线如9-6图所示,试求:
(1)振动的周期和初相;
(2)点P位置所对应的相位和时刻。 解(1)由曲线知,
t 0时 ,x0 0.05m=,作旋转矢量如图
ππ
。由旋转矢量得,t1 4s时, t1 0
23
9-6-1图所示 0
ππ
2 23 5πs 1,所以运动周期为: T 9.6 s 。 所以
424
(2)如图9-6-2图, P
所以 t
0,即 t 0 p 0
π248
s 。 35π5
-2
-1
0
5、质量为0.10kg的物体,以振幅1.0×10m
作简谐运动,其最大速度为
4.0m·s。
求:(1)振动的周期;(2)物体通过平衡位置时的总能量与动能;(3)物体在何处其动能和势能相等; (4)当物体的位移大小为振幅的一半时,动能、势能各占总能量的多少?
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解:(1)vmax
vmax
A ,
A
Ek
A 2
T 2π 1.57 10,所以s.
vmax
2π
(2)此E
12
(3)设在mvmax 0.8J
2
x0处Ep Ek,则1kx
2
Ep
20
12112mv kA,222
,
x0
2
A 7.07 10 32
m(4)
121A21121kx k() kA E222424
Ek E Ep
3
E。 4
0.05cos(20t 0.75π)m;
6、已知同方向、同频率的两简谐运动的运动方程分别为x1
x2 0.06cos(20t 0.25π)m。
求:(1)合振动的振幅及初相;(2)若有另一同方向、同频率的简谐振动x3
0.07cos(10t 3)m,则
3为多少时,x2 x3的振幅最大?又 3为多少时,x1 x3的振幅小?
解(1)作两个简谐运动合成的旋转矢量图(如9-11-1图),
因为
2 1
2
,故合振动振幅为
A
2
A12 A2 7.8 10 2m
合振相位
(Asin 1 A2sin 2) 1 arctan11 1.48rad
A1cos 1 A2cos 2)
(2)使
x2 x3
振幅最大,即两振动同相,则由
2kπ
得:
3 2 2kπ 2kπ 0.25π,k 0, 1, 2, , 要使x1 x3的振幅最小,即两振动反向,
则由
(2k 1)π得: 3 1 (2k 1)π 2kπ 1.75π,k 0, 1, 2,
1
1.0 10 2kg的子弹,以500m.s
8、如9-8图所示,质量为
的速度射人木块,并嵌在木块中,同时弹簧压缩从而作简谐运动。设木块的质量为4.99kg,弹簧的劲度系数为
8.0 103N·m 1,若以弹簧原长时物体所在处为坐标原点,
向左为
x轴正向,求简谐振动方程。
0时刻,弹簧原长处为原点,则
解:设子弹射入木块时为t
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x0 0
,
m1vv0 1.0
m1 m2
m.s
1
,由旋转矢量9-8-1图得
0
π2
,又
k
40
m1 m2
v0
2
A x0 (
)2 2.5 10 2 所以振动方程为x 2.5 10 2cos(40t )
π
2
9、示波管的电子束受到两个相互垂直的电场的作用。电子在两个方向上的位移分别为
x Acos t
和
y Acos( t )。求在 0、 300及 900各种情况下,电子在荧光屏上的
轨迹方程。
解:这是两个振动方向互相垂直的同频率简谐运动的合成问题。合振动的轨迹方程为
x2y22xycos 2
sin 式中,A1、A2为两振动的振幅; 为两个振动22A1A2A1A2
的初相差。本题中
A1 A2,
,故有x
2
y2 2xycos A2sin2
(1)当
0时,有x y,轨迹为一直线方程。
,轨迹为椭圆方程。
2
A220
(2)当
30时,有x y
4
2220
x y A 90(3)当时,有,轨迹为圆方程。
第十章波动
1 . 一横波沿绳子传播时的波动表达式为
y 0.05cos(10πt 4πx),x,y
的单位为米,
(1)求此波的振幅、波速、频率和波长。(2)求绳子上各质点振动的最大速度和最大加速t的单位为秒。度。(3)求
x 0.2 m处的质点在t 1s时的相位,它是原点处质点在哪一时刻的相位?
tx
) 0.20.5
解 (1)将题中绳波表达式y 0.05cos(10πt 4πx) 0.05cos2π(
与一般波动表达式
tx
y Acos2π( )比较,得振幅A 0.05 m,T 0.2s频率
T
-1
5 Hz,波长 0.5 m。波速u 0.5 5 2.5 m s
(
2
)
绳
上
各
质
点
振
动
的
-1
最大速度
vmax A 2π A 2 3.14 5 0.05 1.57 m s
绳上各质点振动时的最大加
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速度
amax 2A 4π2 2A 4 3.142 52 0.05 49.3
x 0.2
m,
m s
-
(3)将
t 1
s代入
(10πt 4πx)
得到所求相位
10π 1 4π 0.2 9.2π, x 0.2 m处质点的振动比原点处质点的振动在时间上
落后
x0.2 0.08u2.5
s (
u 2.5
m s),所以它是原点处质点在
-1
t0 (1 0.08) 0.92s时的相位。
2.设有一平面简谐波 y 0.02cos2π(
tx ) , x,y以m计, t以s计。(1)求振0.010.3
幅、波长、频率和波速。(2)求
x 0.1m处质点振动的初相位。
y 0.02cos2π(
tx
)0.010.3
与一般表式
解(1)将题设平面简谐波的表式
y Acos2π(
tx
)比较,可得振幅A 0.02 m,波长 0.3 m,周期T 0.01s。 T
-
11 100Hz , 波速 u 0.3 100 30m·s 因此频率
T0.01
(2)将
x 0.1m代入波动表式,得到位于该处的质点的振动表式
t0.12π2π
y 0.02cos2π( ) 0.02cos(t )
0.010.30.013
因而该处质点振动的初相位 0
2π。 3
3. 有一平面简谐波在介质中传播,波速处一点P的运动方程为
u 10 m s,已知沿传播方向距波源O(坐标原点)为5.0 m
-1
yP 0.30cos(2πt π2)m,求波动方程。
解 波动方程要根据任意点的振动方程写出。取波动向为
x轴正方向(右向)传播, 如图Q点(距离o点
x)比P点晚振动(xQ xP)u时间,所以波动方程可以写出为
xQ xP
10
yQ 0.30cos[2π(t
x3
]m ) ] 0.30cos[2π(t )
1022
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Q点为任意一点,任意一点的运动方程即为波动方程。
3题图
0时的波形如图所示,且周期T 2s。(1)写出O
4. 已知一沿x轴负方向传播的平面余弦波,在t
点的振动表达式;(2)写出此波的波动表达式;(3)写出
Q点的振动表达式;(4)Q点离O点的距离多大?
解 (1)由图及题给条件知:
A 0.1m,
y0
A
且2
2π πs
T
-1
。作原点的旋转矢量图
4题图
4题-1图
v0 0因为波动向x轴负方向传播,所以原点要跟随其
右方的质点进行运动,故应向上即向正方向运动,
2
可得 0 π ,所以O点的振动表达式为
3
(2)由题图可得
y0 0.10cos(πt
2
π) m 3
-1
0.40 m ,u
T
0.4
0.20 m s2
波动向
x
轴负向传播,所以波动表达式为
x2
y 0.10cos[π(t ) π]
u3
0.10cos[π(t
x2
) π] m(3)因不能直接求出xQ,所以不能由波动表达式求出Q点的振动0.23
表达式。可由图线判断出Q点的初相,再用振动表达式的标准形式写出Q点的振动方程。 据题给图线,
可作出Q点的旋转矢量(如图),可得Q点的初相位是,其振动表达式为
π
yQ 0.10cos(πt )m 。
2
2
) π] m (4)根据波动方程可写出Q点的振动表达式为yQ 0.10cos[π(t
与yQ 0.10cos[ t
xQ
2
]m比较得xQ 0.233 m 。
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5.一平面波在介质中以速度
u 20m·s
-1
沿
x轴负方向传播,如图所示,已知a点的振动方程为
u
a
ya 3cos4πt,t的单位为秒,y的单位为米。求:(1)以a为坐标原
点写出波动方程。(2)以距
a点5m处的b
5题图
点为坐标原点,写出波动方程。
x
)m 解(1)以a点为坐标原点的波动方程为y 3cos4π(t 20
(2)以
a点为坐标原点时,b点的坐标为x 5m,代入上式,得b点的振动方程为
yb 3cos4π(t
5
) 3cos(4πt π)m 20
x
) π]m。 20
的运动方向向
若以
b点为坐标原点,则波动方程y 3cos[4π(t
6.图示为平面简谐波在
t 0时的波形图,设此简谐波的频率为200 Hz,且图中质点P
上。求:(1)该波的波动方程;(2)在距原点O为7.5 m处质点的运动方程与
t 0时该点的振动速度。
m,
解(1)由P的运动方向可知:该波动向x轴负向传播。且:
A 0.10
20
-1
m,
0
π
3
,
u 4 103m s
所以
y 0.10cos[400π(t
xπ) ]40003
(2)
6题图
y 0.10cos[400π(t
5π) ] 40003
-1
5
0.10cos(400πt π) M, v dy (400π 0.10)sin5π 62.8m s
6dtt 06
7.波源作简谐运动,周期为0.2 s,若该振动以10m s的速度沿直线传播,设
-1
。
t 0时,波源处的质点
经平衡位置向负方向运动,求:(1)距波源5.0 m处质点的运动方程和初相;(2)距波源为16.0 m和17.0 m的两质点间的相位差。
解 需先写出波动方程。由题给条件可知T
0.2 s,u 10 m s
-1
, 0
1
π 2
取传播方向为
x
轴正向,
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y Acos[
(1)x
2πxx1
(t ) 0] Acos[10π(t ) π] m Tu102
5 m处质点的振动方程为
y Acos(10πt 4.5π) Acos(10πt 0.5π) m初相 0 0.5π。
(2)
2π(x2 x1) 2π(17 16)u T π。
8.如题图所示,设B点发出的平面横波沿BP方向传播,它在B点的振动方
y1 2 10 3cos2 t;C点发出的平面横波沿CP方向传播,它在C点的振动方程为
y2 2 10 3cos(2 t ),本题中y以m计,t以s计.设BP=0.4m,CP=0.5 m,波速u=0.2m·s
-1
,求:(1)两波传到P点时的位相差;(2)当这两列波的振动方向相同时,P处合振动的振幅;
8题图
解: (1)
( 2 1)
2
(CP BP)
u
(CP BP) 2 (0.5 0.4) 0,
0.2
(2)P点是相长干涉,且振动方向相同,所以
AP A1 A2 4 10 3m
A且初相相同的
9.如图所示,两相干波源分别在P,Q两点处,它们发出频率为 ,波长为 ,振幅为两列相干波。设PQ 3
2,R为PQ连线上的一点。求:(1)自P,Q发出的两列波在R处的相
位差及合振幅;(2)P,Q连线之间因干涉而静止的点。 解(1)
P Q 2π
rP rQ
9题图
3
0 2π 3π
所以
A 0。
'
(2) 设此点距P为
x
,则距Q为 (
3 x2
),该点相位差为
P Q 2π
rP rQ
x (
0 2
3 x)
32x 2 ( )
2
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1 k
。 干涉静止,则 (2k 1) ,即 x 2
, 1, 2,可分别得x 取k 0,1
3
,0, , 。这些点即为干涉静止点。 22
10.两波在同一细绳上传播,它们的方程分别为
y1 0.06cos(πx 4πt)
m和
y2 0.06cos(πx 4πt)m。(1)证明这细绳是作驻波式振动,并求波节和波腹的位置;(2)波
腹处的振幅多大?在
x 1.2m处,振幅多大?
解 将
y1的方程改写为:y1 0.06cos[ (4πt πx)] 0.06cos(4πt πx) m这样y1,
y2便为在x方向上沿相反方向传播的相干波源,其合成结果即为驻波。
且从方程可知
4π,
u
π, 所以
u
2m。
π
(1)波节:x (2k 1)
4
(k 0.5)m k 0,1,2,
波腹:
x k
2
km k 0,1,2,
x
(2)波腹处:
A 2Acos2π
2 0.06cos2π
k
0.12m 2
x 0.12m处,A 2 0.06cos2π
11.一平面简谐波的频率为500 Hz,在空气(
0.12
0.097m。 2
-3
1.3 kg m)中以u 340 m s
-1
的速度传播,到达
人耳时,振幅约为
A 1.0 10 6m。试求波在耳中的平均能量密度和声强。
-2
解 w
122
A 2π2 A2 2 6.42 10 6 J m2
,I
w u 2.18 10 3 w m
-2
。
12.一把小提琴演奏时的声强级为60dB,两把小提琴演奏时的声强级为多少?声强为多少? 解 设一把小提琴演奏时的声强为I1,对应的声强级为L1
10log10
I1
60dB I0
则 I1
I010L1 10 12 106 10 6W.m 2两把小提琴演奏时的声强为2I1,对应的声强级为
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L2 10log10
2I1
10lg2 L1 63dB. I0
第十一章光学
1、在双缝干涉实验中,两缝间距为0.30mm,用单色光垂直照射双缝,在离缝1.20m的屏上测得中央明纹一侧第
5条暗纹与另一侧第5条暗纹间的距离为22.78mm,问所用光的波长为多少?
d'
(2k 1) (k 0,1,2, ) 解:双缝干涉暗纹条件x d2
中央明纹一侧第
5
条暗纹对应于
k 4
,由于条纹对称,该暗纹到中央明纹中心的距离为
x
22.78
11.39mm那么由暗纹公式即可求得 2
2xd2 11.39 10 3 0.30 10 3
' 6.328 10 7m 632.8nm
d(2k 1)1.20 (2 4 1)
2、用白光垂直入射到间距为d
0.25mm的双缝上,距离缝1.0m处放置屏幕,求零级明纹同侧第二
~760nm)。
级干涉条纹中紫光和红光中心的间距(白光的波长范围是400
d'
(k 0, 1, 2, ) 解:第k级明纹位置应满足x kd
对紫光和红光分别取 1
400nm, 2 760nm;则同侧第二级条纹的间距
d'1.0 103
x k( 2 1) 2 (760 400) 10 6 2.88mm
d0.25
3、用n
1.58的透明云母片覆盖杨氏双缝干涉装置的一条缝,若此时屏中心为第五级亮条纹中心,设
光源波长为0.55μm,(1)求云母片厚度。(2)若双缝相距0.60mm,屏与狭缝的距离为求0级亮纹中心所在的位置。
解:(1)由于云母片覆盖一缝,使得屏中心处的光程差变为 质片光程变化(n 1)e。所以
2.5m,
5 ,一条光路中插入厚度为e的透明介
(n 1)e 5
D 2.5 0.555 5 0.55
x 2.29mm, 4.74μm(2)解得云母片厚度e 因为
d0.60n 11.58 1
又由于中心位置为
5
级明纹中心,故
级条纹距中心为
5
倍条纹宽度,所以
x5 5 x 5 2.29 11.45mm
4、如图所示,在折射率为1.50的平板玻璃表面有一层厚度为300nm,折射率为1.22的厚度均匀透明油膜,用白光垂直射向油膜,问:(1)哪些波长的可见光在反射光中干涉加强?(2)若要使透射光中
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550nm的光干涉加强,油膜的最小厚度为多少?
解:(1)因反射光的反射条件相同(n1
波损失,由垂直入射
n2 n3),故不计半
i 0
,得反射光干涉加强的条件为
2n2d k , k 1,2,3
2n2d由上式可得:
k
, k 1时: 1
2 1.22 300
732nm 红光
1
2 1.22 300
366nm 紫外, 故反射中波长为732nm的红光产生干k 2时: 2
2
涉加强。(2)由反射光干涉相消条件为:
2n2d 2k+1 , k 0,1,2,
2
2k 1 , 显然k=0所产生对应的厚度最小,即d故d
4n2
min
4n2
550
113nm
4 1.22
5、如下图所示,在生产半导体中,有时为了测定硅片上的SiO2的薄膜厚度,将薄膜一侧腐蚀成劈尖形状。现用波长为589.3nm的钠黄光垂直照射到SiO2薄膜表面上,结果在垂直方向上观察到MN面的反射光干涉条纹有七条暗纹,且第七条位于N处,试求薄膜的厚度。
解:根据题意,可知SiO2薄膜表面上的暗纹条件为2n2e (2k 1)
2
(k 0,1,2, )
因第七条暗纹的k
6则有e 2k 1 2 6 1 589.3 1276.8nm
4n24 1.5
6、在利用牛顿环测未知单色光波长的实验中,当用已知波长为589.3nm的钠黄光垂直照射时,测得第一和第四暗环的距离为 r
4.00 10 3m;当用波长未知的单色光垂直照射时,测得第一和第四环的
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距离为 r
'
3.85 10 3m,求该单色光的波长。
解:牛顿环干涉的暗环半径所以k
r kR
(k 0,1,2, )
1和k 4时,所对应的干涉暗环半径分别为 r1
R
, 4
r 2R
'
,由分析得
由题意知:它们之间的距离
r r4 r1 R
R '
,设未知光的波长为
r'
r R , 所以
r
'
'
'
R
,故可解得未知波长
' 546nm
7、如图所示,狭缝的宽度b
0.60mm,透镜焦距f 0.40m,有一与狭缝平行的屏放置在透镜
的焦平面处。若以单色平行光垂直照射狭缝,则在屏上离点O为x 1.4mm处的点P看到衍射明条纹。
试求:(1)该入射光的波长;(2)点半波带的数目。
P条纹的级数;(3)从点P看对该光波而言,狭缝处的波阵面可作
解:(1)由单缝衍射的明纹条件有bsin
2k 1
2
,对点P而言,因为
x
f>>b有sin
f
,
所以有b
x (2k 1)f2
,将
b,x,f
值代入,并考虑可见光波的上下限值有
min 400nm时 kmax 4.75, man 760nm时kmix 2.27
因为
k只能取整数值,故在可见光范围内只允许有k 3和k 4,它们所对应的入射光波分别为
1 600nm, 2 466.7nm
(2)点P的条纹级数随入射光的波长而定, 当
1 600nm时, k 3;
2 466.7nm时, k 4。
600nm时,k
当
(3)当 1当 2
3 466.7nm时,k 4,半波带数为2k 1 9。
8、一单色平行光垂直照射于一单缝,若其第三条明纹位置正好和波长为600nm的单色光入射时的第二级明纹位置一样,求前一种单色光的波长。 解:
对于同一观察点,两次衍射的光程差相同,由于明纹条件
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bsin 2k 1
,故有 2k 1 2k 1
11222
由以上分析,将
2 600nm
,
k1 3
,
k2 2
代入即可求出未知的波长
1
2k2 1 2
2k1 1
(2 2 1) 600
428.6nm
2 3 1
9、有一单缝,宽a
0.10mm,在缝后放一焦距为50cm的会聚透镜,用平行绿光( 546.0nm)
垂直照射单缝,试求位于透镜焦面处的屏幕上的中央明条纹及第二级明纹宽度。 解:设屏上第k级暗纹的位置为
x。由单缝衍射的暗纹条件bsin k
,即b
x 又因 很小,有sin
f
x0 x1 x 1 2
x
k f
,
k 1时,对应的中央明纹宽度
f50 10 2 546.0 10 6 5.46mm a0.10
第k级明纹宽度 xk xk 1 xk (k 1)
fff
k aaa
可见,各级明纹宽度相等,与k无关。并且,中央明纹宽度为其它明纹宽度的两倍。所以,第二级明纹宽
度为 x2
f50 10
546.0 10 6 2.73mm a0.10
10、在迎面驶来的汽车上,两盏前灯相距120cm。试问汽车离人多远的地方,眼睛恰可分辨这两盏前灯?设夜间人眼瞳孔直径为5.0mm,入射光波长 解:已知瞳孔直径D
550nm。(这里仅考虑人眼圆形瞳孔的衍射效应。)
D
5.0mm, 550nm。人眼的最小分辨角 0 1.22
汽车两盏前灯间距l 120cm,当车与人相距为d时,两盏灯对人眼的张角
l
d
当 0时,人眼恰可分辨这两盏灯。由得恰可分辨两盏车灯的距离为
l 1.22dD
Dl5.0 10 3 1.203
d 8.94 10m
1.22 1.22 550 10 9
11、波长为 的单色光垂直入射到每厘米有6000条刻痕的光栅上,测得第1级谱线的衍射角为20,求
o
(1)单色光波长;(2)第2级谱线的衍射角。
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解: (1)每厘米6000条刻痕即光栅常数为(b b )
11cm mm 6000600
由已知(b b )sin 1 , 得 (2)由(b b )sin2
1
106sin20o 570nm 600
2
2 570 o
arcsin得2 arcsin0.684 43.16
106 600
12、利用一个每厘米有4000条缝的光栅,可以产生多少完整的可见光谱(取可见光的波长范围:
400~760nm)?
解:此光栅的光栅常数
(b b )
1
cm 2.5 10 6mm
4000
按光栅公式(b b )sin k , 光谱线的最高级别sin 1,即k 比,因此,完整的可见光谱的最高级别
b b
,它与波长成反
k
b b
m
2.5 10 6
3.29 nm所以,k ,取 m 760 9
760 10
取整数,k 3,即可以产生三级完整的可见光谱。
o
13、已知某透明媒质对空气全反射的临界角等于45,求光从空气射向此媒质时的布儒斯特角。 解:由题意知全反射临界角i0
45o
,只有当
n2 n1时才会有全反射。有折射定律
,设布儒斯特B,由布儒斯特定律:
n2sin90o1
n2sini0 n1sin90,
n1sini0sini0
o
i
taniB
n21
n1sini0
11o
i ) 54.7, B
sini0sin45o
14、一束自然光,以某一角度射到平行平面玻璃板上,反射光恰为线偏振光,且折射光的折射角为32o,试求:(1)自然光的入射角;(2)玻璃的折射率;(3)玻璃板表面的反射光、折射光的偏振状态。 解:(1)由布儒斯特定律知,反射光为线偏振光时,反射光与折射光垂直,即:iB所以自然光的入射角为B
r 90o
i 90o r 58o
n2
n1
,
(2)根据布儒斯特定律taniB
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其中n1
1,因此玻璃折射率为n2 n1taniB tan58o 1.6
(3)自然光以布儒斯特角入射介质面,反射光为光振动方向垂直入射面的线偏振光;折射光是光振动平行入射面部分强的部分偏振光。
15、自然光垂直射到互相叠放的两个偏振片上,若(1)透射光强为透射光最大光强的三分之一;(2)透射光强为入射光强的三分之一;则这两个偏振片的偏振化方向的夹角为多少? 解:设自然光的光强为I0,通过第一个偏振片以后,光强为I0为0
2,因此通过第二个偏振片后的最大光强
, 解得
I2。根据题意和马吕斯定律有(1)I0cos2 1I0
2
32
, 解得 = 3516
o
= 54o44
I0I02
cos (2)23
(3)16、使自然光通过两个偏振化方向相交60的偏振片,透射光强为I1,今在这两个偏振片之间插入
o
另一偏振片,它的方向与前两个偏振片均成30角,则透射光强为多少? 解:设自然光的光强为I0,通过第一个偏振片以后,光强为I0
o
2,则通过第二个偏振片后光的强度
I1
I0I1
cos2 0cos260 I0, 在两偏振片之间插入第三个偏振片后,则通过第三偏振片228
的光的强度I2
I0I9
cos2 cos2 0cos230 cos230 I0 2232
因此两式相比得I2 2.25I1
第十二章气体动理论
12-1 温度为0℃和100℃时理想气体分子的平均平动动能各为多少?欲使分子的平均平动动能等于1eV,气体的温度需多高?
3kT1
解:1
2
由于1eV=1.6×10
=5.65×10
21
J,
2 3kT2=7.72×10 21J
2
19
J , 所以理想气体对应的温度为:T=2/3k=7.73×103 K
12-2一容器中储有氧气,其压强为0.1个标准大气压,温度为27℃,求:(1)氧气分子的数密度n;(2)氧气密度
;(3)氧气分子的平均平动动能
εk?
(1)由气体状态方程
p0.1 1.013 10524
2.45 10p nkT得,n m 3 23
kT1.38 10 300
M
RT (MMmol
,
(2)由气体状态方程
pV
Mmol分别为氧气质量和摩尔质量) 得氧气密度:
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Mmolp0.032 0.1 1.013 105M
0.13 kg m 3 VRT8.31 300
(3) 氧气分子的平均平动动能k 12-3 在容积为2.0×10
3
33
kT 1.38 10 23 300 6.21 10 21 22
m3的容器中,有内能为6.75×102J的刚性双原子理想气体分子,求(1)气
22
体的压强;(2)设分子总数5.4×10个,求气体温度;(3)气体分子的平均平动动能?
miRT 解:(1)由
M2
(2)分子数密度n
mRT 以及pV M
, 得该气体的温度T
, 可得气体压强
p=2
iV
=1.35×10 Pa
5
NV
ppV 3.62×102K nkNk
(3)气体分子的平均平动动能为
3
3kT
=7.49×10 21J 2
m的容器内,当容器内的压强为3.90 10Pa时,氢气分子
3
12-4 2.0 10
2
kg氢气装在4.0 10
5
的平均平动动能为多大?
解:由
pV
mRTM
得 T
MpVmR
所以
33MpVkT k 3.89 10 22J 22mR
12-5 1mol刚性双原子气体分子氢气,其温度为27℃,求其对应的平动动能、转动动能和内能各是多少?(求内能时可不考虑原子间势能)
i
E nRT解:理想气体分子的能量为
2
t 1
,所以氢气对应的平动动能为(
t 3)
3
8.31 300 3739.5J 2
转动动能为(r
2) r 1 2 8.31 300 2493J
2
内能i 5 i 1 8.31 300 6232.5 J
52
12-6 设有N个粒子的系统,其速率分布如图所示,求:(1)分布函数
f(v)的表达式; (2)速度
在1.50到2.0v0之间的粒子数;(3) N个粒子的平均速率;(4) 0.5v0到1v0区间内粒子的平均速率? 解:(1)从上图所给条件得:
v
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Nf(v) av/v0
Nf(v) a Nf(v) 0
(0 v v0)(v0 v 2v0) (v 2v0)
由此可得分布函数表达式为:
av/Nv0 f(v) a/N
0
(0 v v0)(v0 v 2v0) (v 2v0)
f(v)满足
类似于概率密度的归一化条件,故
f(v)dv=1,即
v0
2v0av2N
dv adv 1,计算得a
v0
v03v0
,带入上式得分布函数
f(v)为:
2v/3v02
2f(v)
3v0 0
(0 v v0)(v0 v 2v0) (v 2v0)
,所以可通过计算矩形面积得该区间粒子数为:
(2)该区间对应的
f(v)为常数
2N3v0
N
2N1
(2v0 1.5v0) N 3v03
v0
2v02v112v2
v0 v dv
2v093v03v0
(3) N个粒子平均速率
vf(v)dv vf(v)dv
(4)同理0.5v0到1v0区间内粒子平均速率
v0
0.5v0
72v2
v0 vf(v)dv v=20.5v0363v0
v0
12-7 设N个粒子系统在各速率区间对应的粒子数变化率为:
dN Kdv (V v 0,K为常量),dN 0 (v V
)
(1) 画出速率分布函数图;(2)用N和V表示常量K;(3)用V表示出平均速率和方均根速率。 解:(1)因为dN Kdv 所以有:f(v)
dNK
N dvN
(V v 0)
f(v) 0 (v V
)故速率函数分布图如右图所示。
(2) 由归一化条件:
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f(v)dv
V0
V
K
dv 1可得:KN
KN
N V
(3v
vf(v)dv
V
2
V
vdv
K121 V VN22
v ( vf(v)dv)
2
K133 (V) V
N33
8
12-8 某些恒星的温度可达到约1.0 10k,这是发生聚变反应(也称热核反应)所需的温度。通常在此温度下恒星可视为由质子组成。求:(1)质子的平均动能是多少?(2)质子的方均根速率为多大? 解:(1)
3
kT 2.07 10 15J (质子i=3, 只有平动动能) 2
(2)
v2
3RT3kT
1.58 106m.s 1(质子质量为1.675 10 27kg) Mm
12-9、图中Ⅰ、Ⅱ两条曲线是两种不同气体(氢气和氧气)在同一温度下的麦克斯韦分子速率分布曲线。试由图中数据求:(1)氢气分子和氧气分子的
最概然速率;(2)两种气体所处的温度。解:(1)
vP
2RT
M
2
温度相同时,
vP与M
成反比
∵MH
Mo2,∴(vP)H2 (vP)o2
. 故从图
知,Ⅱ图线对应的vP值应为氢气的。
∴
(vP)H2 2.0 103m.s
-1,
又由
MO2MH2
16可得:(vP2
m.s
-1
(2)氢气、氧气温度相同。所以,由v P
2RT得
M
MH2M
T v (vP)H2 4.81 102K
2R2R
2P
12-10一瓶氧气,一瓶氢气,等压、等温,氧气体积是氢气的2倍,求(1)氧气和氢气分子数密度之比;(2)氧分子和氢分子的平均速率之比. 解:(1)因为 p nkT 则
nO
1 nHRTMmol
8
(2)由平均速率公式 1.,
OMmolH1 HMmolO4
2
12-11若氖气分子的有效直径为2.59 10cm,问在温度为600K、压强为1.33 10Pa时氖气分子1s内的平均碰撞次数为多少?
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解:Z
2 d2nv 2 d2(
p8RT) 3.81 106s 1 kT M
3
12-12一真空管的真空度约为1.38 10(设分子的有效直径d=3×10解:由气体状态方程
-10
Pa,试求在27℃时单位体积中的分子数及分子的平均自由程
m).
p nkT得
p1.38 10 3 317
mn 3.33 10
kT1.38 1023 300
由平均自由程公式
12dn
2
,
1
2 9 10
20
3.33 10
17
7.5 m
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3、理想气体做绝热膨胀,由初状态
p0,V0 至末状态 p,V ,试证明此过程中气体做的功为:
W
mp0V0 pV
。证明:绝热过程Q 0,所以W E,W CV,m(T T0),
M 1
初状态和末状态的方程分别为:P0V0
m
RT0,PV mRTMM
,解出T0与T代入
W
有:
W
CV,m(p0V0 pV)
R
,又因为
R Cp,m CV,m
,
Cp,mCV,m
,所以,
W
p0V0 pV
1
解:
∵外界对物体做功 ∴W=300J ∵气体的内能减少了 ∴△U=-300J 根据热力学第一定律 得
Q=△U - W=-300J – 300J= -600J Q是负值,表示气体放热,
因此气体放出了600J的热量。
7.奥托(内燃机)循环是由两个等容过程和两个绝热过程组成的,试求此循的热机效率是多少? 解:Q吸
CV(Ta Td) Q放 CV(Tb Tc)
, =1
Q放W
=1
Q吸Q吸
Tb Tc
Ta Td
,
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ab:TV
a
a
1
TbVb 1,
dc:TdVd 1 TcVc 1
,
TaTb
TdTc
,
Ta TdTb Tc
TdTc
Tb TcTc
Ta TdTd
TcV1 (d) 1
VTdVc
(c) 1Vd
Vc
:压缩比 令Vd
,
1
1
1,
,
8.逆向斯特林循环是由两个等容过程和两个等温过程组成的,则逆向斯特林循环的致冷系数是多少? 解:
W RT1ln
VaV
RT2lndVbVc
T1
a
Vd
RT2lnQ吸
Vc
Vd
RT2ln
Vc Q吸
e =
W RTlnVa RTlnVd
12
VbVc
,e
T2
T1 T2
9.一定质量的氧气经历以下两个过程
(1)(2)
m
求:两个过程中的
A、 E、Q
解:(1)
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