物理学(第五版)下册 马文蔚等改编(东南大学) 答案

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第九章振动

1、设一物体沿x轴作谐振动的方程为x 0.10cos(2 t （1）振幅，周期，频率和初相x

，式中x，t的单位分别为m，)

4

s.试求：

Acos( t )；（2）t 0.5s时，物体的位移、速度和加速度.

解：（1）谐振动的标准方程为，比较题中所给方程和标准方程，知振幅

A 0.10m，角频率

2 rad/s

周期为T

，初

4

.由此，

2

1s 频

1Hz率为2

（2）t物体位移x速度v

1s时，

0.10cos(2

) 0.10cos(2 0.5 )m 7.07 10 2m 44

dx

0.2 sin(2 t ) 0.2 sin(2 0.5 )m/s 0.44m/s dt44dv

加速度a 4 2sin(2 t ) 4 2cos(2 0.5 )m/s2 28m/s2

dt

4

4

2、有一弹簧，当其下端挂一质量为m的物体时，伸长量为9.8×10 m。若使物体上、下振动，并规定向

-2

-2

上为正方向。（1）当t=0时，物体在平衡位置下方4.0×10 m处，由静止开始向上运动，求运动方程。（2）当t=0时，物体在平衡位置并处以0.2m·s的速度向下运动，求运动方程。 解：（1）根据题给的条件，x0点）且

-1

4.0 10 2 m, v0 0（题取向上为正方向，且平衡位置处为原

A 4.0 10 2 m，其旋转矢量应为如图9-4-1图位置，所以 0 π。

k

m

，而 mg

又

kx0,

kg 所以

mx0

,

9.8

2

9.8

10

9-4-1图

所以谐振动方程：x（2）据题意，得

4.0 10 2cos(10t π)m

t 0时，x0 0，v0 0.6 m.s 1，其旋转矢量应为如图9-4-2图位置则

v0

0.22

A x () 0 2 2 10 2m

10

2

2

2

0

π 2

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（

x 0的投影有上、下两个矢量，但v0为负值，故只能选上面的OM矢量），所以谐振动

方程为x

π

4.0 10 2cos(10t )m。

2

3、做简谐振动的物体，由平衡位置向x轴正方向运动，试问经过下列路程所需的最短时间各为周期的几分之几？

（1）由平衡位置到最大位移处；（用旋转式量方法） （2）由平衡位置到x

AA

处；（3）由x 处到最大位移处。（用旋转式量方法） 22

解 ：（1）作旋转矢量如图9-5-1图，

得

t

t

2π T

O

M

因为求的是最短时间，故取向下的

M

πt1

旋转矢量，所以

πT4

（2）如图9-5-2图

9-5-1图

π

t t 1. （3）同理 π , t 1

6T63T12

4、某振动质点的

x t曲线如9-6图所示，试求：

（1）振动的周期和初相；

（2）点P位置所对应的相位和时刻。 解（1）由曲线知，

t 0时 ，x0 0.05m=，作旋转矢量如图

ππ

。由旋转矢量得，t1 4s时， t1 0

23

9-6-1图所示 0

ππ

2 23 5πs 1，所以运动周期为： T 9.6 s 。 所以

424

（2）如图9-6-2图， P

所以 t

0，即 t 0 p 0

π248

s 。 35π5

-2

-1

0

5、质量为0.10kg的物体，以振幅1.0×10m

作简谐运动，其最大速度为

4.0m·s。

求：(1)振动的周期；(2)物体通过平衡位置时的总能量与动能；(3)物体在何处其动能和势能相等； (4)当物体的位移大小为振幅的一半时，动能、势能各占总能量的多少?

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解:（1）vmax

vmax

A ，

A

Ek

A 2

T 2π 1.57 10，所以s.

vmax

2π

（2）此E

12

（3）设在mvmax 0.8J

2

x0处Ep Ek，则1kx

2

Ep

20

12112mv kA，222

，

x0

2

A 7.07 10 32

m（4）

121A21121kx k() kA E222424

Ek E Ep

3

E。 4

0.05cos(20t 0.75π)m；

6、已知同方向、同频率的两简谐运动的运动方程分别为x1

x2 0.06cos(20t 0.25π)m。

求：（1）合振动的振幅及初相；（2）若有另一同方向、同频率的简谐振动x3

0.07cos(10t 3)m，则

3为多少时，x2 x3的振幅最大？又 3为多少时，x1 x3的振幅小？

解（1）作两个简谐运动合成的旋转矢量图（如9-11-1图），

因为

2 1

2

，故合振动振幅为

A

2

A12 A2 7.8 10 2m

合振相位

(Asin 1 A2sin 2) 1 arctan11 1.48rad

A1cos 1 A2cos 2)

（2）使

x2 x3

振幅最大，即两振动同相，则由

2kπ

得：

3 2 2kπ 2kπ 0.25π，k 0, 1, 2, , 要使x1 x3的振幅最小，即两振动反向，

则由

(2k 1)π得： 3 1 (2k 1)π 2kπ 1.75π，k 0, 1, 2,

1

1.0 10 2kg的子弹，以500m.s

8、如9-8图所示，质量为

的速度射人木块，并嵌在木块中，同时弹簧压缩从而作简谐运动。设木块的质量为4.99kg，弹簧的劲度系数为

8.0 103N·m 1，若以弹簧原长时物体所在处为坐标原点，

向左为

x轴正向，求简谐振动方程。

0时刻，弹簧原长处为原点，则

解：设子弹射入木块时为t

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x0 0

，

m1vv0 1.0

m1 m2

m.s

1

,由旋转矢量9-8-1图得

0

π2

,又

k

40

m1 m2

v0

2

A x0 (

)2 2.5 10 2 所以振动方程为x 2.5 10 2cos(40t )

π

2

9、示波管的电子束受到两个相互垂直的电场的作用。电子在两个方向上的位移分别为

x Acos t

和

y Acos( t )。求在 0、 300及 900各种情况下，电子在荧光屏上的

轨迹方程。

解：这是两个振动方向互相垂直的同频率简谐运动的合成问题。合振动的轨迹方程为

x2y22xycos 2

sin 式中，A1、A2为两振动的振幅； 为两个振动22A1A2A1A2

的初相差。本题中

A1 A2，

，故有x

2

y2 2xycos A2sin2

（1）当

0时，有x y，轨迹为一直线方程。

，轨迹为椭圆方程。

2

A220

（2）当

30时，有x y

4

2220

x y A 90（3）当时，有，轨迹为圆方程。

第十章波动

1 . 一横波沿绳子传播时的波动表达式为

y 0.05cos(10πt 4πx)，x，y

的单位为米，

（1）求此波的振幅、波速、频率和波长。（2）求绳子上各质点振动的最大速度和最大加速t的单位为秒。度。（3）求

x 0.2 m处的质点在t 1s时的相位，它是原点处质点在哪一时刻的相位？

tx

) 0.20.5

解 （1）将题中绳波表达式y 0.05cos(10πt 4πx) 0.05cos2π(

与一般波动表达式

tx

y Acos2π( )比较，得振幅A 0.05 m，T 0.2s频率

T

-1

5 Hz，波长 0.5 m。波速u 0.5 5 2.5 m s

（

2

）

绳

上

各

质

点

振

动

的

-1

最大速度

vmax A 2π A 2 3.14 5 0.05 1.57 m s

绳上各质点振动时的最大加

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速度

amax 2A 4π2 2A 4 3.142 52 0.05 49.3

x 0.2

m，

m s

-

（3）将

t 1

s代入

(10πt 4πx)

得到所求相位

10π 1 4π 0.2 9.2π， x 0.2 m处质点的振动比原点处质点的振动在时间上

落后

x0.2 0.08u2.5

s （

u 2.5

m s），所以它是原点处质点在

-1

t0 (1 0.08) 0.92s时的相位。

2.设有一平面简谐波 y 0.02cos2π(

tx ) ， x，y以m计， t以s计。（1）求振0.010.3

幅、波长、频率和波速。（2）求

x 0.1m处质点振动的初相位。

y 0.02cos2π(

tx

)0.010.3

与一般表式

解（1）将题设平面简谐波的表式

y Acos2π(

tx

)比较，可得振幅A 0.02 m，波长 0.3 m，周期T 0.01s。 T

-

11 100Hz ， 波速 u 0.3 100 30m·s 因此频率

T0.01

（2）将

x 0.1m代入波动表式，得到位于该处的质点的振动表式

t0.12π2π

y 0.02cos2π( ) 0.02cos(t )

0.010.30.013

因而该处质点振动的初相位 0

2π。 3

3. 有一平面简谐波在介质中传播，波速处一点P的运动方程为

u 10 m s，已知沿传播方向距波源O（坐标原点）为5.0 m

-1

yP 0.30cos(2πt π2)m，求波动方程。

解 波动方程要根据任意点的振动方程写出。取波动向为

x轴正方向（右向）传播, 如图Q点（距离o点

x）比P点晚振动(xQ xP)u时间,所以波动方程可以写出为

xQ xP

10

yQ 0.30cos[2π(t

x3

]m ) ] 0.30cos[2π(t )

1022

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Q点为任意一点，任意一点的运动方程即为波动方程。

3题图

0时的波形如图所示，且周期T 2s。（1）写出O

4. 已知一沿x轴负方向传播的平面余弦波，在t

点的振动表达式；（2）写出此波的波动表达式；（3）写出

Q点的振动表达式；（4）Q点离O点的距离多大？

解 （1）由图及题给条件知：

A 0.1m，

y0

A

且2

2π πs

T

-1

。作原点的旋转矢量图

4题图

4题-1图

v0 0因为波动向x轴负方向传播，所以原点要跟随其

右方的质点进行运动，故应向上即向正方向运动，

2

可得 0 π ，所以O点的振动表达式为

3

（2）由题图可得

y0 0.10cos(πt

2

π) m 3

-1

0.40 m ，u

T

0.4

0.20 m s2

波动向

x

轴负向传播，所以波动表达式为

x2

y 0.10cos[π(t ) π]

u3

0.10cos[π(t

x2

) π] m（3）因不能直接求出xQ，所以不能由波动表达式求出Q点的振动0.23

表达式。可由图线判断出Q点的初相，再用振动表达式的标准形式写出Q点的振动方程。 据题给图线，

可作出Q点的旋转矢量（如图），可得Q点的初相位是，其振动表达式为

π

yQ 0.10cos(πt )m 。

2

2

) π] m （4）根据波动方程可写出Q点的振动表达式为yQ 0.10cos[π(t

与yQ 0.10cos[ t

xQ

2

]m比较得xQ 0.233 m 。

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5.一平面波在介质中以速度

u 20m·s

-1

沿

x轴负方向传播，如图所示，已知a点的振动方程为

u

a

ya 3cos4πt，t的单位为秒，y的单位为米。求：（1）以a为坐标原

点写出波动方程。（2）以距

a点5m处的b

5题图

点为坐标原点，写出波动方程。

x

)m 解（1）以a点为坐标原点的波动方程为y 3cos4π(t 20

（2）以

a点为坐标原点时，b点的坐标为x 5m，代入上式，得b点的振动方程为

yb 3cos4π(t

5

) 3cos(4πt π)m 20

x

) π]m。 20

的运动方向向

若以

b点为坐标原点，则波动方程y 3cos[4π(t

6.图示为平面简谐波在

t 0时的波形图，设此简谐波的频率为200 Hz，且图中质点P

上。求：（1）该波的波动方程；（2）在距原点O为7.5 m处质点的运动方程与

t 0时该点的振动速度。

m，

解（1）由P的运动方向可知：该波动向x轴负向传播。且：

A 0.10

20

-1

m，

0

π

3

，

u 4 103m s

所以

y 0.10cos[400π(t

xπ) ]40003

（2）

6题图

y 0.10cos[400π(t

5π) ] 40003

-1

5

0.10cos(400πt π) M， v dy (400π 0.10)sin5π 62.8m s

6dtt 06

7.波源作简谐运动，周期为0.2 s，若该振动以10m s的速度沿直线传播，设

-1

。

t 0时，波源处的质点

经平衡位置向负方向运动，求：（1）距波源5.0 m处质点的运动方程和初相；（2）距波源为16.0 m和17.0 m的两质点间的相位差。

解 需先写出波动方程。由题给条件可知T

0.2 s，u 10 m s

-1

， 0

1

π 2

取传播方向为

x

轴正向，

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y Acos[

（1）x

2πxx1

(t ) 0] Acos[10π(t ) π] m Tu102

5 m处质点的振动方程为

y Acos(10πt 4.5π) Acos(10πt 0.5π) m初相 0 0.5π。

（2）

2π(x2 x1) 2π(17 16)u T π。

8.如题图所示，设B点发出的平面横波沿BP方向传播，它在B点的振动方

y1 2 10 3cos2 t;C点发出的平面横波沿CP方向传播，它在C点的振动方程为

y2 2 10 3cos(2 t )，本题中y以m计，t以s计．设BP＝0.4m，CP＝0.5 m，波速u=0.2m·s

-1

，求：(1)两波传到P点时的位相差；(2)当这两列波的振动方向相同时，P处合振动的振幅；

8题图

解: (1)

( 2 1)

2

(CP BP)

u

(CP BP) 2 (0.5 0.4) 0，

0.2

(2）P点是相长干涉，且振动方向相同，所以

AP A1 A2 4 10 3m

A且初相相同的

9.如图所示，两相干波源分别在P，Q两点处，它们发出频率为 ，波长为 ，振幅为两列相干波。设PQ 3

2，R为PQ连线上的一点。求：（1）自P，Q发出的两列波在R处的相

位差及合振幅；（2）P，Q连线之间因干涉而静止的点。 解（1）

P Q 2π

rP rQ

9题图

3

0 2π 3π

所以

A 0。

'

（2） 设此点距P为

x

，则距Q为 (

3 x2

),该点相位差为

P Q 2π

rP rQ

x (

0 2

3 x)

32x 2 ( )

2

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1 k

。 干涉静止，则 (2k 1) ，即 x 2

, 1, 2，可分别得x 取k 0,1

3

,0, , 。这些点即为干涉静止点。 22

10.两波在同一细绳上传播，它们的方程分别为

y1 0.06cos(πx 4πt)

m和

y2 0.06cos(πx 4πt)m。（1）证明这细绳是作驻波式振动，并求波节和波腹的位置；（2）波

腹处的振幅多大？在

x 1.2m处，振幅多大？

解 将

y1的方程改写为：y1 0.06cos[ (4πt πx)] 0.06cos(4πt πx) m这样y1，

y2便为在x方向上沿相反方向传播的相干波源，其合成结果即为驻波。

且从方程可知

4π，

u

π， 所以

u

2m。

π

（1）波节：x (2k 1)

4

(k 0.5)m k 0,1,2,

波腹：

x k

2

km k 0,1,2,

x

（2）波腹处：

A 2Acos2π

2 0.06cos2π

k

0.12m 2

x 0.12m处，A 2 0.06cos2π

11.一平面简谐波的频率为500 Hz，在空气（

0.12

0.097m。 2

-3

1.3 kg m）中以u 340 m s

-1

的速度传播，到达

人耳时，振幅约为

A 1.0 10 6m。试求波在耳中的平均能量密度和声强。

-2

解 w

122

A 2π2 A2 2 6.42 10 6 J m2

，I

w u 2.18 10 3 w m

-2

。

12.一把小提琴演奏时的声强级为60dB，两把小提琴演奏时的声强级为多少？声强为多少？ 解 设一把小提琴演奏时的声强为I1，对应的声强级为L1

10log10

I1

60dB I0

则 I1

I010L1 10 12 106 10 6W.m 2两把小提琴演奏时的声强为2I1，对应的声强级为

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L2 10log10

2I1

10lg2 L1 63dB. I0

第十一章光学

1、在双缝干涉实验中，两缝间距为0.30mm，用单色光垂直照射双缝，在离缝1.20m的屏上测得中央明纹一侧第

5条暗纹与另一侧第5条暗纹间的距离为22.78mm，问所用光的波长为多少？

d'

(2k 1) (k 0,1,2, ) 解：双缝干涉暗纹条件x d2

中央明纹一侧第

5

条暗纹对应于

k 4

，由于条纹对称，该暗纹到中央明纹中心的距离为

x

22.78

11.39mm那么由暗纹公式即可求得 2

2xd2 11.39 10 3 0.30 10 3

' 6.328 10 7m 632.8nm

d(2k 1)1.20 (2 4 1)

2、用白光垂直入射到间距为d

0.25mm的双缝上，距离缝1.0m处放置屏幕，求零级明纹同侧第二

~760nm）。

级干涉条纹中紫光和红光中心的间距（白光的波长范围是400

d'

(k 0, 1, 2, ) 解：第k级明纹位置应满足x kd

对紫光和红光分别取 1

400nm， 2 760nm；则同侧第二级条纹的间距

d'1.0 103

x k( 2 1) 2 (760 400) 10 6 2.88mm

d0.25

3、用n

1.58的透明云母片覆盖杨氏双缝干涉装置的一条缝，若此时屏中心为第五级亮条纹中心，设

光源波长为0.55μm，（1）求云母片厚度。（2）若双缝相距0.60mm，屏与狭缝的距离为求0级亮纹中心所在的位置。

解：（1）由于云母片覆盖一缝，使得屏中心处的光程差变为 质片光程变化(n 1)e。所以

2.5m，

5 ，一条光路中插入厚度为e的透明介

(n 1)e 5

D 2.5 0.555 5 0.55

x 2.29mm, 4.74μm（2）解得云母片厚度e 因为

d0.60n 11.58 1

又由于中心位置为

5

级明纹中心，故

级条纹距中心为

5

倍条纹宽度，所以

x5 5 x 5 2.29 11.45mm

4、如图所示，在折射率为1.50的平板玻璃表面有一层厚度为300nm，折射率为1.22的厚度均匀透明油膜，用白光垂直射向油膜，问：（1）哪些波长的可见光在反射光中干涉加强?（2）若要使透射光中

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550nm的光干涉加强，油膜的最小厚度为多少?

解：(1)因反射光的反射条件相同(n1

波损失，由垂直入射

n2 n3)，故不计半

i 0

，得反射光干涉加强的条件为

2n2d k , k 1,2,3

2n2d由上式可得：

k

, k 1时： 1

2 1.22 300

732nm 红光

1

2 1.22 300

366nm 紫外, 故反射中波长为732nm的红光产生干k 2时： 2

2

涉加强。(2)由反射光干涉相消条件为：

2n2d 2k＋1 , k 0,1,2,

2

2k 1 , 显然k=0所产生对应的厚度最小，即d故d

4n2

min

4n2

550

113nm

4 1.22

5、如下图所示，在生产半导体中，有时为了测定硅片上的SiO2的薄膜厚度，将薄膜一侧腐蚀成劈尖形状。现用波长为589.3nm的钠黄光垂直照射到SiO2薄膜表面上，结果在垂直方向上观察到MN面的反射光干涉条纹有七条暗纹，且第七条位于N处，试求薄膜的厚度。

解：根据题意，可知SiO2薄膜表面上的暗纹条件为2n2e (2k 1)

2

(k 0,1,2, )

因第七条暗纹的k

6则有e 2k 1 2 6 1 589.3 1276.8nm

4n24 1.5

6、在利用牛顿环测未知单色光波长的实验中，当用已知波长为589.3nm的钠黄光垂直照射时，测得第一和第四暗环的距离为 r

4.00 10 3m；当用波长未知的单色光垂直照射时，测得第一和第四环的

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距离为 r

'

3.85 10 3m，求该单色光的波长。

解：牛顿环干涉的暗环半径所以k

r kR

(k 0,1,2, )

1和k 4时，所对应的干涉暗环半径分别为 r1

R

， 4

r 2R

'

,由分析得

由题意知：它们之间的距离

r r4 r1 R

R '

，设未知光的波长为

r'

r R , 所以

r

'

'

'

R

，故可解得未知波长

' 546nm

7、如图所示，狭缝的宽度b

0.60mm，透镜焦距f 0.40m，有一与狭缝平行的屏放置在透镜

的焦平面处。若以单色平行光垂直照射狭缝，则在屏上离点O为x 1.4mm处的点P看到衍射明条纹。

试求：（1）该入射光的波长；（2）点半波带的数目。

P条纹的级数；（3）从点P看对该光波而言，狭缝处的波阵面可作

解：（1）由单缝衍射的明纹条件有bsin

2k 1

2

，对点P而言，因为

x

f>>b有sin

f

，

所以有b

x (2k 1)f2

，将

b，x，f

值代入，并考虑可见光波的上下限值有

min 400nm时 kmax 4.75， man 760nm时kmix 2.27

因为

k只能取整数值，故在可见光范围内只允许有k 3和k 4，它们所对应的入射光波分别为

1 600nm， 2 466.7nm

（2）点P的条纹级数随入射光的波长而定， 当

1 600nm时， k 3；

2 466.7nm时， k 4。

600nm时，k

当

（3）当 1当 2

3 466.7nm时，k 4，半波带数为2k 1 9。

8、一单色平行光垂直照射于一单缝,若其第三条明纹位置正好和波长为600nm的单色光入射时的第二级明纹位置一样，求前一种单色光的波长。 解：

对于同一观察点，两次衍射的光程差相同，由于明纹条件

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bsin 2k 1

，故有 2k 1 2k 1

11222

由以上分析，将

2 600nm

，

k1 3

，

k2 2

代入即可求出未知的波长

1

2k2 1 2

2k1 1

(2 2 1) 600

428.6nm

2 3 1

9、有一单缝，宽a

0.10mm，在缝后放一焦距为50cm的会聚透镜，用平行绿光（ 546.0nm）

垂直照射单缝，试求位于透镜焦面处的屏幕上的中央明条纹及第二级明纹宽度。 解：设屏上第k级暗纹的位置为

x。由单缝衍射的暗纹条件bsin k

，即b

x 又因 很小，有sin

f

x0 x1 x 1 2

x

k f

，

k 1时，对应的中央明纹宽度

f50 10 2 546.0 10 6 5.46mm a0.10

第k级明纹宽度 xk xk 1 xk (k 1)

fff

k aaa

可见，各级明纹宽度相等，与k无关。并且，中央明纹宽度为其它明纹宽度的两倍。所以，第二级明纹宽

度为 x2

f50 10

546.0 10 6 2.73mm a0.10

10、在迎面驶来的汽车上，两盏前灯相距120cm。试问汽车离人多远的地方，眼睛恰可分辨这两盏前灯？设夜间人眼瞳孔直径为5.0mm，入射光波长 解：已知瞳孔直径D

550nm。（这里仅考虑人眼圆形瞳孔的衍射效应。）

D

5.0mm， 550nm。人眼的最小分辨角 0 1.22

汽车两盏前灯间距l 120cm，当车与人相距为d时，两盏灯对人眼的张角

l

d

当 0时，人眼恰可分辨这两盏灯。由得恰可分辨两盏车灯的距离为

l 1.22dD

Dl5.0 10 3 1.203

d 8.94 10m

1.22 1.22 550 10 9

11、波长为 的单色光垂直入射到每厘米有6000条刻痕的光栅上，测得第1级谱线的衍射角为20，求

o

（1）单色光波长；（2）第2级谱线的衍射角。

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解： （1）每厘米6000条刻痕即光栅常数为(b b )

11cm mm 6000600

由已知(b b )sin 1 ， 得 （2）由(b b )sin2

1

106sin20o 570nm 600

2

2 570 o

arcsin得2 arcsin0.684 43.16

106 600

12、利用一个每厘米有4000条缝的光栅，可以产生多少完整的可见光谱（取可见光的波长范围：

400~760nm）？

解：此光栅的光栅常数

(b b )

1

cm 2.5 10 6mm

4000

按光栅公式(b b )sin k ， 光谱线的最高级别sin 1，即k 比，因此，完整的可见光谱的最高级别

b b

，它与波长成反

k

b b

m

2.5 10 6

3.29 nm所以，k ，取 m 760 9

760 10

取整数，k 3，即可以产生三级完整的可见光谱。

o

13、已知某透明媒质对空气全反射的临界角等于45，求光从空气射向此媒质时的布儒斯特角。 解：由题意知全反射临界角i0

45o

，只有当

n2 n1时才会有全反射。有折射定律

，设布儒斯特B，由布儒斯特定律：

n2sin90o1

n2sini0 n1sin90，

n1sini0sini0

o

i

taniB

n21

n1sini0

11o

i ) 54.7， B

sini0sin45o

14、一束自然光，以某一角度射到平行平面玻璃板上，反射光恰为线偏振光，且折射光的折射角为32o，试求：（1）自然光的入射角；（2）玻璃的折射率；（3）玻璃板表面的反射光、折射光的偏振状态。 解：（1）由布儒斯特定律知，反射光为线偏振光时，反射光与折射光垂直，即：iB所以自然光的入射角为B

r 90o

i 90o r 58o

n2

n1

，

（2）根据布儒斯特定律taniB

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其中n1

1，因此玻璃折射率为n2 n1taniB tan58o 1.6

（3）自然光以布儒斯特角入射介质面，反射光为光振动方向垂直入射面的线偏振光；折射光是光振动平行入射面部分强的部分偏振光。

15、自然光垂直射到互相叠放的两个偏振片上，若（1）透射光强为透射光最大光强的三分之一；（2）透射光强为入射光强的三分之一；则这两个偏振片的偏振化方向的夹角为多少？ 解：设自然光的光强为I0，通过第一个偏振片以后，光强为I0为0

2，因此通过第二个偏振片后的最大光强

， 解得

I2。根据题意和马吕斯定律有（1）I0cos2 1I0

2

32

， 解得 ＝ 3516

o

＝ 54o44

I0I02

cos （2）23

（3）16、使自然光通过两个偏振化方向相交60的偏振片，透射光强为I1，今在这两个偏振片之间插入

o

另一偏振片，它的方向与前两个偏振片均成30角，则透射光强为多少？ 解：设自然光的光强为I0，通过第一个偏振片以后，光强为I0

o

2，则通过第二个偏振片后光的强度

I1

I0I1

cos2 0cos260 I0， 在两偏振片之间插入第三个偏振片后，则通过第三偏振片228

的光的强度I2

I0I9

cos2 cos2 0cos230 cos230 I0 2232

因此两式相比得I2 2.25I1

第十二章气体动理论

12-1 温度为0℃和100℃时理想气体分子的平均平动动能各为多少？欲使分子的平均平动动能等于1eV,气体的温度需多高？

3kT1

解：1

2

由于1eV=1.6×10

＝5.65×10

21

J，

2 3kT2＝7.72×10 21J

2

19

J , 所以理想气体对应的温度为：T=2/3k=7.73×103 K

12-2一容器中储有氧气，其压强为0.1个标准大气压，温度为27℃，求：(1)氧气分子的数密度n；(2)氧气密度

；(3)氧气分子的平均平动动能

εk？

(1)由气体状态方程

p0.1 1.013 10524

2.45 10p nkT得，n m 3 23

kT1.38 10 300

M

RT (MMmol

，

(2)由气体状态方程

pV

Mmol分别为氧气质量和摩尔质量) 得氧气密度：

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Mmolp0.032 0.1 1.013 105M

0.13 kg m 3 VRT8.31 300

(3) 氧气分子的平均平动动能k 12-3 在容积为2.0×10

3

33

kT 1.38 10 23 300 6.21 10 21 22

m3的容器中，有内能为6.75×102J的刚性双原子理想气体分子，求（1）气

22

体的压强；（2）设分子总数5.4×10个，求气体温度；（3）气体分子的平均平动动能？

miRT 解：（1）由

M2

（2）分子数密度n

mRT 以及pV M

, 得该气体的温度T

, 可得气体压强

p=2

iV

=1.35×10 Pa

5

NV

ppV 3.62×102K nkNk

(3)气体分子的平均平动动能为

3

3kT

=7.49×10 21J 2

m的容器内，当容器内的压强为3.90 10Pa时，氢气分子

3

12-4 2.0 10

2

kg氢气装在4.0 10

5

的平均平动动能为多大？

解：由

pV

mRTM

得 T

MpVmR

所以

33MpVkT k 3.89 10 22J 22mR

12-5 1mol刚性双原子气体分子氢气，其温度为27℃，求其对应的平动动能、转动动能和内能各是多少?（求内能时可不考虑原子间势能）

i

E nRT解：理想气体分子的能量为

2

t 1

，所以氢气对应的平动动能为（

t 3）

3

8.31 300 3739.5J 2

转动动能为（r

2） r 1 2 8.31 300 2493J

2

内能i 5 i 1 8.31 300 6232.5 J

52

12-6 设有N个粒子的系统，其速率分布如图所示，求：(1)分布函数

f(v)的表达式； (2)速度

在1.50到2.0v0之间的粒子数；(3) N个粒子的平均速率；(4) 0.5v0到1v0区间内粒子的平均速率？ 解：(1)从上图所给条件得：

v

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Nf(v) av/v0

Nf(v) a Nf(v) 0

(0 v v0)(v0 v 2v0) (v 2v0)

由此可得分布函数表达式为：

av/Nv0 f(v) a/N

0

(0 v v0)(v0 v 2v0) (v 2v0)

f(v)满足

类似于概率密度的归一化条件，故

f(v)dv＝1,即

v0

2v0av2N

dv adv 1,计算得a

v0

v03v0

，带入上式得分布函数

f(v)为：

2v/3v02

2f(v)

3v0 0

(0 v v0)(v0 v 2v0) (v 2v0)

，所以可通过计算矩形面积得该区间粒子数为：

(2)该区间对应的

f(v)为常数

2N3v0

 N

2N1

(2v0 1.5v0) N 3v03

v0

2v02v112v2

v0 v dv

2v093v03v0

(3) N个粒子平均速率

vf(v)dv vf(v)dv

(4)同理0.5v0到1v0区间内粒子平均速率

v0

0.5v0

72v2

v0 vf(v)dv v=20.5v0363v0

v0

12-7 设N个粒子系统在各速率区间对应的粒子数变化率为：

dN Kdv （V v 0,K为常量），dN 0 （v V

）

（1） 画出速率分布函数图；（2）用N和V表示常量K；（3）用V表示出平均速率和方均根速率。 解：（1）因为dN Kdv 所以有：f(v)

dNK

N dvN

（V v 0）

f(v) 0 （v V

）故速率函数分布图如右图所示。

（2） 由归一化条件：

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f(v)dv

V0

V

K

dv 1可得：KN

KN

N V

（3v

vf(v)dv

V

2

V

vdv

K121 V VN22

v ( vf(v)dv)

2

K133 (V) V

N33

8

12-8 某些恒星的温度可达到约1.0 10k，这是发生聚变反应（也称热核反应）所需的温度。通常在此温度下恒星可视为由质子组成。求：（1）质子的平均动能是多少？（2）质子的方均根速率为多大？ 解：（1）

3

kT 2.07 10 15J （质子i=3, 只有平动动能） 2

（2）

v2

3RT3kT

1.58 106m.s 1（质子质量为1.675 10 27kg） Mm

12-9、图中Ⅰ、Ⅱ两条曲线是两种不同气体（氢气和氧气）在同一温度下的麦克斯韦分子速率分布曲线。试由图中数据求：（1）氢气分子和氧气分子的

最概然速率；（2）两种气体所处的温度。解：（1）

vP

2RT

M

2

温度相同时，

vP与M

成反比

∵MH

Mo2,∴(vP)H2 (vP)o2

. 故从图

知，Ⅱ图线对应的vP值应为氢气的。

∴

(vP)H2 2.0 103m.s

-1,

又由

MO2MH2

16可得：(vP2

m.s

-1

（2）氢气、氧气温度相同。所以，由v P

2RT得

M

MH2M

T v (vP)H2 4.81 102K

2R2R

2P

12-10一瓶氧气，一瓶氢气，等压、等温，氧气体积是氢气的2倍，求(1)氧气和氢气分子数密度之比；(2)氧分子和氢分子的平均速率之比． 解：(1)因为 p nkT 则

nO

1 nHRTMmol

8

(2)由平均速率公式 1.,

OMmolH1 HMmolO4

2

12-11若氖气分子的有效直径为2.59 10cm,问在温度为600K、压强为1.33 10Pa时氖气分子1s内的平均碰撞次数为多少？

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解：Z

2 d2nv 2 d2(

p8RT) 3.81 106s 1 kT M

3

12-12一真空管的真空度约为1.38 10(设分子的有效直径d＝3×10解：由气体状态方程

-10

Pa，试求在27℃时单位体积中的分子数及分子的平均自由程

m)．

p nkT得

p1.38 10 3 317

mn 3.33 10

kT1.38 1023 300

由平均自由程公式

12dn

2

，

1

2 9 10

20

3.33 10

17

7.5 m

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3、理想气体做绝热膨胀，由初状态

p0,V0 至末状态 p,V ，试证明此过程中气体做的功为：

W

mp0V0 pV

。证明：绝热过程Q 0，所以W E，W CV,m(T T0)，

M 1

初状态和末状态的方程分别为：P0V0

m

RT0，PV mRTMM

，解出T0与T代入

W

有：

W

CV,m(p0V0 pV)

R

，又因为

R Cp,m CV,m

，

Cp,mCV,m

，所以，

W

p0V0 pV

1

解：

∵外界对物体做功 ∴W=300J ∵气体的内能减少了 ∴△U=-300J 根据热力学第一定律 得

Q=△U - W=-300J – 300J= -600J Q是负值，表示气体放热，

因此气体放出了600J的热量。

7．奥托（内燃机）循环是由两个等容过程和两个绝热过程组成的，试求此循的热机效率是多少？ 解：Q吸

CV(Ta Td) Q放 CV(Tb Tc)

， =1

Q放W

=1

Q吸Q吸

Tb Tc

Ta Td

，

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ab：TV

a

a

1

TbVb 1，

dc：TdVd 1 TcVc 1

，

TaTb

TdTc

，

Ta TdTb Tc

TdTc

Tb TcTc

Ta TdTd

TcV1 (d) 1

VTdVc

(c) 1Vd

Vc

：压缩比 令Vd

，

1

1

1，

，

8．逆向斯特林循环是由两个等容过程和两个等温过程组成的，则逆向斯特林循环的致冷系数是多少？ 解：

W RT1ln

VaV

RT2lndVbVc

T1

a

Vd

RT2lnQ吸

Vc

Vd

RT2ln

Vc Q吸

e =

W RTlnVa RTlnVd

12

VbVc

，e

T2

T1 T2

9．一定质量的氧气经历以下两个过程

（1）（2）

m

求：两个过程中的

A、 E、Q

解：（1）

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/9d94.html