中考数学综合专题训练【二次函数压轴题】提升与解析

中考数学综合专题训练【二次函数压轴题】提升与解析

中考数学综合专题训练【二次函数压轴题】提升与解析

1. （2011年湖北省武汉市，25，12分）如图1，抛物线y=ax+bx+3经过A（-3，0），B（-1，0）两点. （1）求抛物线的解析式；

（2）设抛物线的顶点为M，直线y=-2x+9与y轴交于点C，与直线OM交于点D.现将抛物线平移，保持顶点在直线OD上.若平移的抛物线与射线CD（含端点C）只有一个公共点，求它的顶点横坐标的值或取值范围；

（3）如图2，将抛物线平移，当顶点至原点时，过Q（0，3）作不平行于x轴的直线交抛物线于E，F两点.问在y轴的负半轴上是否存在点P，使△PEF的内心在y轴上.若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.

2

分析：抛物线的解析式的求法及抛物线的平移。

2

答案：解：（1）抛物线y=ax+bx+3经过A（-3,0），B（-1,0）两点 ∴9a-3b+3＝0 且a-b+3＝0 解得a＝1

22

b＝4∴抛物线的解析式为y=x+4x+3（2）由（1）配方得y=(x+2)-1∴抛物线的顶点M（-2，,1）∴直线OD的解析式为y= 于是设平移的抛物线的顶点坐标为（h，

1x 2

1

h），∴平移的抛物线解析式2

1122

为y=（x-h）+h.①当抛物线经过点C时，∵C（0，9），∴h+h=9，

22

解得h=

-1 45-1--1 . ∴ 当 ≤h< 444

时，平移的抛物线与射线CD只有一个公共点.

（2）当抛物线与直线CD只有一个公共点时，

1

h,y=-2x+9. 2112222

得 x+（-2h+2）x+h+h-9=0，∴△=（-2h+2）-4（h+h-9）=0，

22

由方程组y=（x-h）+

2

解得h=4.

中考数学综合专题训练【二次函数压轴题】提升与解析

2

此时抛物线y=（x-4）+2与射线CD唯一的公共点为（3，3），符合题意. 综上：平移的抛物线与射线CD只有一个公共点时，顶点横坐标的值或取值范围是 h=4或

-1--1 ≤h<. 44

（3）方法1

2

将抛物线平移，当顶点至原点时，其解析式为y=x， 设EF的解析式为y=kx+3（k≠0）.

假设存在满足题设条件的点P（0，t），如图，过P作GH∥x轴，分别过E，F作GH的垂线，垂足为G，H.∵△PEF的内心在y轴上，∴∠GEP=∠EPQ=∠QPF=∠HFP，∴△GEP∽△HFP，...............9分∴GP/PH=GE/HF,

∴-xE/xF=(yE-t)/(yF-t)=(kxE+3-t)/(kxF+3-t) ∴2kxE·xF=（t-3）（xE+xF）

22

由y=x，y=-kx+3.得x-kx-3=0.

∴xE+xF=k,xE·xF=-3.∴2k（-3）=（t-3）k,∵k≠0,∴t=-3.∴y轴的负半轴上存在点P（0，-3），使△PEF的内心在y轴上.

方法2 设EF的解析式为y=kx+3（k≠0）,点E，F的坐标

22

分别为（m,m）（n,n）由方法1知：mn=-3.作点E关于y轴的

2

对称点R（-m,m）,作直线FR交y轴于点P，由对称性知∠EPQ=∠FPQ，∴点P就是所求的点.由F,R的坐标，可得直线FR的解析式为y=（n-m）x+mn.当x=0，y=mn=-3,∴P（0，-3）.∴y轴的负半轴上存在点P（0,-3），使△PEF的内心在y轴上. 点评：二次函数是中考考查的必考内容之一，本题是综合考查二次函数的一些基础知识，需要考生熟悉二次函数的相关基本概念即可解题． 2．（如图，在直角坐标系中，已知点A（0，1），B（-4，4），将点B绕点A顺时针方向90°得到点C；顶点在坐标原点的拋物线经过点B． （1）求抛物线的解析式和点C的坐标； （2）抛物线上一动点P，设点P到x轴的距离为d1，点P到点A的距离为d2，试说明d2=d1+1； （3）在（2）的条件下，请探究当点P位于何处时，△PAC的周长有最小值，并求出△PAC的周长的最小值．

中考数学综合专题训练【二次函数压轴题】提升与解析

【解题思路】（1）设抛物线的解析式：y=ax2，把B（-4，4）代入即可得到a的值；过点B作BE⊥y轴于E，过点C作CD⊥y轴于D，易证Rt△BAE≌Rt△ACD，得到AD=BE=4，CD=AE=OE-OA=4-1=3，即可得到C点坐标（3，5）；

（2）设P点坐标为（a，b），过P作PF⊥y轴于F，PH⊥x轴于H，则有d1= 又AF=OF-OA=PH-OA=d1-1=

12

a，4

12

a-1，PF=a，在Rt△PAF中，利用勾股定理得到PA=d2= 4

12

a+1，即有结论d2=d1+1； 4

（3）△PAC的周长=PC+PA+5，由（2）得到△PAC的周长=PC+PH+6，要使PC+PH最小，则C、P、H三点共线，P点坐标为（3，的最小值=5+6=11．

【答案】（1）设抛物线的解析式：y=ax2，

∵拋物线经过点B（-4，4），

∴4=a 42，解得a=

9

），此时PC+PH=5，得到△PAC的周长4

1， 4

12

x； 4

所以抛物线的解析式为：y=

过点B作BE⊥y轴于E，过点C作CD⊥y轴于D，如图， ∵点B绕点A顺时针方向90°得到点C， ∴Rt△BAE≌Rt△ACD，

∴AD=BE=4，CD=AE=OE-OA=4-1=3， ∴OD=AD+OA=5， ∴C点坐标为（3，5）； （2）设P点坐标为（a，b），过P作PF⊥y轴于F，PH⊥x轴于H，如图， ∵点P在抛物线y=

12

x上， 4

12a， 41

∴d1= a2，

4

∴b=

∵AF=OF-OA=PH-OA=d1-1=

12

a-1，PF=a， 4

在Rt△PAF中，PA=d2= =

1

AF2 PF2 (a2 1)2 a2

4

12

a+1， 4

∴d2=d1+1；

（3）由（1）得AC=5， ∴△PAC的周长

=PC+PA+5

中考数学综合专题训练【二次函数压轴题】提升与解析

=PC+PH+6，

则C、P、H三点共线时，PC+PH最小，

∴此时P点的横坐标为3，把x=3代入y= 即P点坐标为（3，

129x，得到y=， 44

9

），此时PC+PH=5， 4

∴△PAC的周长的最小值=5+6=11．

【点评】本题考查了点在抛物线上，点的横纵坐标满足二次函数的解析式和顶点在原点的二次函数的解析式为：y=ax2；也考查了旋转的性质、勾股定理以及两点之间线段最短．本题第（3）小题的关键是将△PAC的周长转化为PC与PH和的关系，从而求出三角形周长的最小值．难度较大．

本题第（3）小题与2010年南通市28题的第（3

（2010江苏南通，28，14分）已知抛物线y＝ax20）

两点，当x=3和x=－3时，这条抛物线上l与 x轴平行，O为坐标原点．

（1）求直线AB和这条抛物线的解析式；

（2）以A为圆心，AO为半径的圆记为⊙A由；

（3）设直线AB上的点D的横坐标为－1，P（m点，当△PDO的周长最小时，求四边形CODP的面积． （第28题）

3．已知抛物线：y＝x2－2x+m－1与x轴只有一个交点，且与y轴交于A点，如图，设它的顶点为B．

(1)求m的值；

(2)过A作x轴的平行线，交抛物线于点C，求证△ABC是等腰直角三角形；

(3)将此抛物线向下平移4个单位后，得到抛物线C'，且与x轴的左半轴交于E点，与y轴交于F点，如图，请在抛物线C'上求点P，使得△EFP是以EF为直角边的直角三角形．

【解题思路】(1)由抛物线与x轴只有一个交点，则b2－4ac＝0，得出关于m的方程，求出m的值．(2)求出点A、B的坐标，得出OA＝OB，再根据AC∥x轴，得出∠BAC＝45°，根

中考数学综合专题训练【二次函数压轴题】提升与解析

据点C和点A是关于抛物线对称轴的对称点，得出AB＝BC，则△ABC为等腰直角三角形．或分别计算出AB、AC、BC的长度，由勾股定理的逆定理确定为等腰直角三角形．(3)由平移规律，得出抛物线C′的解析式，得出点E、F的坐标；待定系数法求出直线EF的解析式，根据互相垂直的两条直线的系数之间的关系，设出过点E、F的EF的垂线的解析式；分别解两条垂线与抛物线解析式构成的方程组，得出点P的坐标．

【解】（1）∵抛物线与x轴只有一个交点， ∴△＝b2－4ac＝22－4×1×(m－1)＝0，解得m＝2． （2）方法一：∵m＝2，∴抛物线的解析式为y＝x²－2x+1． 把x＝0代入y＝x²－2x+1，得y＝1， ∴点A的坐标为（0，1）．

把y＝0代入y＝x²－2x+1，得x＝1， ∴点B的坐标为（1，0）． ∴△AOB是等腰直角三角形． 又AC∥OB，∴∠BAC＝∠OAB＝45°． A，C是对称点，∴AB＝BC， ∴△ABC是等腰直角三角形． 方法二：∵m＝2，∴抛物线的解析式为y＝x²－2x+1． 把x＝0代入y＝x²－2x+1，得y＝1， ∴点A的坐标为（0，1）．

把y＝0代入y＝x²－2x+1，得x＝1， ∴点B的坐标为（1，0）． ∵AC∥x轴，∴点C的纵坐标为1．

把y＝1代入y＝x²－2x+1，得x1＝0，x2＝2． ∴点C的坐标为(2，1)．

∴AC＝2，AB

BC

∴AB＝BC．

又∵AB2+BC2

＝

2+2＝2+2＝4＝AC2，∴△ABC是等腰直角三角形． （3）平移后解析式为y＝x2－2x－3，可知F(0，－3)． 把y＝0代入y＝x2－2x－3，得x1＝－1，x2＝3． 又点E在x轴得左半轴上，∴E(－1，0)．

设直线EF的解析式为y＝kx－3，把E(－1，0)代入y＝kx－3，得k＝－3， ∴EF的解析式为：y＝－3x－3．

平面内互相垂直的两条直线的系数k值相乘等于－1，

1

x+b． 31

把E点和F点分别代入可得b＝或－3，

3

111

y=x 或y＝x－3． ∴

333

∴过E点或F点的直线为y＝

中考数学综合专题训练【二次函数压轴题】提升与解析

11 y=x ，10

解方程 解得x1＝－1，x2＝．x1是E点横坐标，舍去． 33

3 y=x2 2x .

把x2＝

10131013代入y=x2 2x ，得y＝，∴P1（，）． 3939

1

y=x ，7

同理，解方程 解得x1＝0(舍去)，x2＝． 3

3 y=x2 2x .

把x2＝

720720代入y=x2 2x ，得y＝－，∴P2(，－)． 3939

【点评】本题主要考查了二次函数及其运用，①b2－4ac＝0 二次函数y＝ax2+bx+c与

x轴只有一个交点；②对称轴是关于直线对称的两个点的垂直平分线，垂直平分线上的点到线段两个端点到距离相等；③把抛物线上下平移，就是纵坐标进行加减运算，即“上加下减”；④平面上互相垂直的两条直线的比例系数的乘积等于－1．

4． 如图，抛物线y＝轴是x=1.

（1）求抛物线解析式及A，B两点的坐标；

（2）在x轴下方抛物线上是否存在点D，使四边形ABDC的面积是3？若存在，求出点D的

坐标，若不存在，说明理由（使用图1）；

（3）点Q在y轴上，点P在抛物线上，要使Q、P、A、B为顶点的四边形是平行四边形，

请求出所有满足条件的点P的坐标（使用图2）.

图1

图2

12

x―mx+n与x轴交于A、B两点，与y轴交与点C（0，-1）且对称3

【思路分析】（1）根据对称轴公式可求解m,代入C点坐标可求解n；（2）将四边形分

中考数学综合专题训练【二次函数压轴题】提升与解析

割成三角形AOC、OCD、OBD，三角形AOC面积可求，三角形OCD、OBD，的底已知，高分别为点D的横坐标和纵坐标的相反数，根据三个三角形面积和是3列方程求解；（3）通过画图可观察以Q、P、A、B为顶点的四边形是平行四边形时，点Q只能在y轴正半轴上，且PQ=AB=4 , PQ ∥AB ,即已知点P横坐标，代入抛物线解析式可求纵坐标．

【答案】解：（1）x=

-m212

=1,∴m=，∴y＝x2―x+n.把C（0，-1）代入得n= -1,13332 3

∴求抛物线解析式是y＝

令0＝

122

x―x-1； 33

122

x―x-1，得x=3或-1，∴A，B两点的坐标分别是（-1,0）（3,0）； 33

（2）存在.

122

x―x-1，连接AC、CD、OD、BD. 33111

∴S△AOC+ S△OCD+ S△OBD=3，∴×1×1+×1×x+×3×(-y)=3,

222

11112

∴+x+×3×(―x2+x+1)=3, 22233

44

解得x=2或1，所以y=-1或-，∴D的坐标是（2，-1）、（1, -）.

33

设D的坐标是（x，y），则y＝

（3）（3）1°当AB为边时：设PQ =AB=4 , PQ ∥AB ,则P点的横坐标是4或-4，把x=4代入y＝

122512

x―x-1得y=;把x= -4代入y＝x2-x-1得y=7，即当P的坐标是（4，33333

5

）或（-4，7）时以Q、P、A、B为顶点的四边形是平行四边形. 3

2°当AB为对角线时，则AB与PQ互相平分，线段AB中点是G，PQ过G与y轴交于Q点，过点P作x轴垂线交x轴于H，则△PHG≌△QOC，所以OG=GH，又因为点G的横坐标是1，所以点P的横坐标是2，把x=2代入y＝

122

x-x-1得y= -1，即当P的坐标是（2，33

-1），即当P的坐标是（2，-1））时以Q、P、A、B为顶点的四边形是平行四边形.

综上，当P的坐标是（4，

5

）、（-4，7）或（2，-1））时以Q、P、A、B为顶点的四边3

形是平行四边形.

【点评】这类探究类问题首先假设存在，根据图形的存在性，求出符合条件的点的坐标．如果不存在，经过推理论证或计算，能够得出与已知条件或公里相矛盾的结论，从而推出假设错误．

中考数学综合专题训练【二次函数压轴题】提升与解析

5．某工厂在生产过程中要消耗大量电能，消耗每千度电产生利润与电价是一次函数关系，经过测算，工厂每千度电产生利润y(元/千度)与电价x(元/千度)的函数图象如图：

（1）当电价为600元千度时，工厂消耗每千度电产生利润是多少？

（2）为了实现节能减排目标，有关部门规定，该厂电价x(元/千度)与每天用电量m(千度)的函数关系为x=10m+500，且该工厂每天用电量不超过60千度，为了获得最大利润，工厂每天应安排使用多少度电？工厂每天消耗电产生利润最大是多少元？

【解题思路】由函数图象上的两个点很容易用代定系数法求出一次函数关系式，利用二次函数的性质求最值。 【答案】解：（1）工厂每千度电产生利润y(元/千度)与电价(元/千度)的函数解析式为：

y kx b

该函数图象过点 0,300 , 500,200

1

k 500k b 2001

∴ ，解得 5 ∴y x 300 x 0

5 b 300 b 300

当电价x=600元/千度时，该工厂消耗每千度电产生利润y 600 300 180（元/千度）

（3）设工厂每天消耗电产生利润为w元，由题意得：

15

1 1

w my m x 300 m 10m 500 300

5 5

化简配方，得：w 2 m 50 5000 由题意，m 60，∴当m 50时，w最大 5000

即当工厂每天消耗50千度电时，工厂每天消耗电产生利润为5000元。

【点评】试题充分体现了函数知识在生活中的广泛应用，用函数知识可以解决生活中的很多问题。

2

中考数学综合专题训练【二次函数压轴题】提升与解析

6．抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点为A（m－4,0）和B(m,0)，与直线y=－x+p相交于点A和点C(2m－4,m－6).

(1)求抛物线的解析式；

（2）若点P在抛物线上，且以点P和A,C以及另一点Q为顶点的平行四边形ACQP面积为12，求点P,Q的坐标；

（3）在（2）条件下，若点M是x轴下方抛物线上的动点，当⊿PQM的面积最大时，请求出⊿PQM的最大面积及点M的坐标。

【解题思路】(1)求函数关系式的三种方法是一般式，顶点式和交点式。此题可由A,C两点在一次函数图象上，求得m值，从而得出A,C两个点的坐标，进一步确定出B的坐标，然后选取任意一种方法求出抛物线的解析式。

(2)由平行四边形的面积，及一边长，很容易求得高，再由特殊角求出PQ与y轴的交点。结合二次函数求出P,Q的坐标。可能有两种情况，分别讨论。

（3）△PQM中PQ一定，只需PQ上的高最大则△PQM的面积最大。 【答案】解：点A m 4,0 和C 2m 4,m 6 在直线y=－x+p上

m 3 m 4 p 0∴ 解得 ∴A 1,0 ,B 3,0 ,C 2, 3

p 1 2m 4 p m 6

2

设抛物线y ax bx c a x 3 x 1 ∵C 2, 3 ∴a 1

∴抛物线解析式为y x 2x 3

（2）

AC=AC所在直线的解析式为：y x 1，∠BAC=45° ∵ ACQP的面积为12

2

∴ ACQP中AC

中考数学综合专题训练【二次函数压轴题】提升与解析

过点D作DK⊥AC与PQ所在直线相交于点K，

DK=∴DN=4 ∵ ACQP的边PQ所在直线在直线AC的两侧可能各有一条， ∴PQ的解析式为y x 3或y x 5

y x2 2x 3 x1 3 x2 2∴ 解得 或

y1 0 y2 5 y x 3 y x2 2x 3

方程组无解

y x 5

即P2 2,5 1 3,0 ,P

∵四边形ACQP是平行四边形，A 1,0 ,C 2, 3 ∴当P1 6, 3 1 3,0 时，Q当P,2 2 2,5 时，Q2 1

∴满足条件的P,Q点是P,2 1 6, 3 或P2 2,5 ,Q2 11 3,0 ,Q

2

（3）设Mt,t 2t 3, 1 t 3 ，过点M作y轴的平行线，交PQ所在直线点T，则

T t, t 3 ， MT= t 3 t2 2t 3 t2 t 6

过点M作MS⊥PQ所在直线于点S，

2

1 MS=MT t2 t

6 =t 22 2 ∴当t

1 115

时， M , ，△PQM中PQ

边上高的最大值为 28 24

【点评】本题综合性较强，考查了很多基础知识、还要具备较高的空间想象能力、必须考虑

到各种情况，此题的运算量和难度都比较大。

7．如图，在平面直角坐标系中，直线y

331

x 与抛物线y x2 bx c交于A、B424

两点，点A在x轴上，点B的横坐标为－8.

（1）求该抛物线的解析式； （2）点P是直线AB上方的抛物线上一动点（不与点A、B重合），过点P作x轴的垂．．线，垂足为C，交直线AB于点D，作PE⊥AB于点E

.

中考数学综合专题训练【二次函数压轴题】提升与解析

①设△PDE的周长为l，点P的横坐标为x，求l关于x的函数关系式，并求出l的最大值； ②连接PA，以PA为边作图示一侧的正方形APFG．随着点P的运动，正方形的大小、位置也随之改变．当顶点F或G恰好落在y轴上时，直接写出对应的点P的坐标．

【解题思路】（1）根据已知条件，结合正方形的性质求出A、B点的坐标，利用一般式根据待定系数法求解. （2）①根据△AOM∽△PED，得出DE：PE：PD=3：4：5，再求出PD=yP-yD求出二函数最值即可；②根据G和F点的位置进行分类讨论：当点G落在y轴上时，由△ACP≌△GOA得PC=AO=2，即，解得x的值，求出P点的坐标，当点F落在y轴上时，同法可得求出P点的坐标．

3315x ，当y＝0，x＝2.当x＝－8时，y＝－.

242

15

∴A点坐标为（2，0），B点坐标为( 8, ).

2

12

由抛物线y x bx c经过A、B两点，得

4

【解】（1）对于y

0 1 2b c,

351235

解得b ，c . y x x . 15

42442 16 8b c. 2

（2）①设直线y

33

x 与y轴交于点M． 42

33

当x＝0时，y＝ . ∴OM＝.

22

∵点A的坐标为（2，0），∴OA＝2.∴AM

5

. 2

∵OM∶OA∶AM＝3∶4∶5. 由题意得，∠PDE＝∠OMA，∠AOM＝∠PED＝90°，∴△AOM～△PED. ∴DE∶PE∶PD＝3∶4∶5． ∵点P是直线AB上方的抛物线上一动点， ∴PD＝yP－yD

13533 ( x2 x ) (x )

44242123

＝ x x 4

44

中考数学综合专题训练【二次函数压轴题】提升与解析

l ∴

12123

( x x 4) 54231848 x2 x .

5553

l x(x 3)2 15. x 3时，l最大 15.

5

②满足题意的点P有三个，分别

是P1(

3 3

P2(22

P3(

7 7 22

当点G落在y轴上时，由△ACP≌△GOA得PC＝AO＝2，即

1235

x x

2，解得442

x

3 3 3(P( ，所以P12

222

当点F落在y

轴上时，同法可得P3， （舍去）.

P4【点评】此题是一个典型的动点压轴题，它融知识于一体，包万象于其中，知识点之多,

综合性之强，难度系数之大.分类讨论思想是重要的数学思想，同学们一定注意掌握．

8．如图12，在平面直角坐标系中，点A、B、C的坐标分

别为（0，2）、（－1，0）、（4，0）．P是线段OC上的一动

点（点P与点O、C不重合），过点P的直线x＝t与AC相

交于点Q．设四边形ABPQ关于直线x＝t的对称的图形与△QPC重叠部分的面积为S．

⑴点B关于直线x＝t的对称点B′的坐标为________； ⑵求S与t的函数关系式． 【解题思路】(1)对称点连线被对称轴垂直平分，可以求B′的坐标； 图12 （2）因为点P的位置不同导致点B的对称点B′的位置不同，可能在线段OC上，也可能在线段OC的延长线上，

如图a和图b，重合部分分别是四边形和三角形，图a先求AC的解析式和A’B’的解析式，求出点M的纵坐标，然后用△QPC的面积减去△B’MC的面积；图b，直接求△QPC的面积即可．

中考数学综合专题训练【二次函数压轴题】提升与解析

Q

Q

P

P

【答案】（1）B’（2t+1,0）

（2）当t=1.5是点B关于x=t的对称点B’与点C重合

1

b 2 k

当0<t<1.5时（如图a）设AC的解析式为y=kx+b，，依题可知 解得 2

0 4k b b 2

所以y

11

x 2①， 当x=t时，QP= t 2 22

2 2tk b

由对称性可知A’(2t，2)，B’（2t+1,0）设A’B’的解析式为y=kx+b，代入得

0 2t 1k b

解得

k 2

，所以y 2x 4t 2②

b 4t 2

6 4t11

，所以S四边形QPB'M S QPC S MB'C PC QP B'C yM 322

由①②可知yM

116 4t13 1

4 t t2 2t 1 t 2 5 2 t 1 2312 2 2

当1.5 t 4时（如图b）重合部分的面积

S QPC

11 1 1

PC QP 4 t t 2 t2 2t 4 22 2 4

【点评】本题是一次函数、二次函数结合的综合题，偏重于一次函数，两次求一次函数的解

析式，两次求交点坐标，多次解二元一次方程组，计算量比较大，加上分情况讨论点B’的位置，导致此题难度较大，不容易做完．

9．如图15，抛物线y＝ax2+bx+c经过A（－1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点，对称轴与抛物线相交于点

P、与直线BC相交于点M，连接PB．

⑴求该抛物线的解析式； ⑵抛物线上是否存在一点Q，使△QMB与△PMB的面积相等，若存在，求点Q的坐标；若不存在，说明理由； ⑶在第一象限、对称轴右侧的抛物线上是否存在一点

中考数学综合专题训练【二次函数压轴题】提升与解析

R，使△RPM与△RMB的面积相等，若存在，直接写出点R的坐标；若不存在，说明理由． 【解题思路】（1）把A、B、C三点的坐标代入y＝ax2+bx+c，得到三元一次方程组，解出a、b、cj即可；因为A、B是抛物线与x轴的交点，也可以把抛物线设成y=a（x+1）（x-3），然后代入C得坐标。 （2）若使△QMB与△PMB的面积相等，须等底等高，因此考虑和BC平行的直线PQ和l，求出它们的解析式，在求它们与二次函数的交点，就是点Q的坐标； （3）（图b）要使△RPM与△RMB的面积相等，须等底等高，MR要是底的话，点P、B到MR的距离PN抽查（图中没有画出来）=BD，易证三角形PNE与三角形BDE全等，因此PE=BE，点M为PF的中点，E为PB的中点，因此ME与x轴平行，点M与N重合，把y=2代入二次函数即可求点R的横坐标（舍掉不符合题意的那个）。

F

F

图a 图b

0 a b c a 1

【答案】（1）依题可知 0 9a 3b c 解得 b 2 所以抛物线的解析式为y= -x2+2x+3

3 c c 3

（2）（图a）y= -x2+2x+3可变形为y x 1 4，所以顶点坐标P（1,4）

2

设 BC的解析式为y kx b∵B（3，0）、C（0，3）∴

k 1 3 b

∴ ∴

b 3 0 3k b

y x 3

∴点M的纵坐标y=-1+3=2，即M（1,2）设对称轴与x轴的交点为F，∴PM=MF，∴S△PMB=S

△FMB

∵△QMB与△PMB的面积相等，∴点Q在过点P且平行于BC的直线a上或过点F且平行

于BC的直线b上，

设a的解析式为y x b1，则4 1 b1，即b1 5，∴y x 5 设b的解析式为y x b2，则0 1 b2，即b2 1，∴y x 1

设a与抛物线相交于Q（m，-m+5），b与抛物线的交点Q（’n，-n+1），则 m 5 m 2m 3

2

中考数学综合专题训练【二次函数压轴题】提升与解析

解得m1 1舍去，m2 2, 点Q的坐标为 2,3

n 1 n2 2n 3, 解得

n1 n2

3 2

3 1 3 1 3 ,)或 ,，∴点Q’的坐标为( 2222 2

综上，满足条件的Q的坐标有三个，分别是（2，3）、(

3 1 ,)、22

3 1

2, 2

（3）存在，点R

1，2）．

【点评】第一问灵活地考查二次函数解析式的求法——待定系数法，两种方法难度较小；第二问难度较大，不容易想到第二个和第三个Q，利用到等底等高的两个三角形面积相等，很自然地想到平行线间的距离相等．求BC的两条平行线的解析式时，要用到“在坐标系中，平行线的k值相等”．求交点的方法就是连方程组，解方程组．难度较大．第三问是拔高题． 10．已知抛物线y1 x2 4x 1的图象向上平移m个单位(m 0)得到的新抛物线过点(1,8).

(1)求m的值,并将平移后的抛物线解析式写成y2 a(x h)2 k的形式；

(2)将平移后的抛物线在x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方,与平移后的抛物线没有变化的部分构成一个新的图象.请写出这个图象对应的函数y的解析式,并在所给的平面直角坐标系中直接画出简图,同时写出该函数在 3 x≤ 时对应的函数值y的取值

2

范围；

(3)设一次函数y3 nx 3(n 0),问是否存在正整数n使得(2)中函数的函数值y y3时,对应的x的值为 1 x 0,若存在,求出n的值；若不存在,说明理由.

【解题思路】第(1)小题得出平移后含m的解析式是关键,再用待定系数法、配方法,求解问题；

第(2)小题要理解好题意,构造出分段函数,用数形结合思想方法得出y的取值范

围；第(3)小题根据自变量的取值范围 1 x 0,得出相应的二次函数解析式,与一次函数联立列出二次方程,再次结合自变量的取值范围 1 x

0解出答

中考数学综合专题训练【二次函数压轴题】提升与解析

案.

【答案】解:(1)由题意可得

y2 x2 4x 1 m 又点(1,8)在图象上 ∴8 1 4 1 1 m

∴m 2 ………………………………………………………(1分) ∴y2 (x 2)2 1………………………………………………(3分)

2 (x 3或x 1) （4分） x 4x 3(2)y 2

x 4x 3（ 3 x 1) （6分）

如图 ………………………………………………(7分)

当

3 x(3)不存在 ………………………………………………(10分) 理由:当y y3且对应的 1 x 0时

x2 4x 3 nx 3

∴x1 0,x2 n 4 ………………………………………(11分) 且 1 n 4 0 得3 n 4

∴不存在正整数n满足条件 ……………………………(12分)

【点评】本题以抛物线为载体,结合图形的平移与对称,考查了初中数学的主干知识:函数、方

程与不等式；考查了学生综合运用数学知识以及运用转化思想、数形结合思想、函数与方程思想解决问题的能力；考查了待定系数法、配方法等数学方法.试题入口宽,三个小题层层深入,有一定的梯度,第(2)小题学生易用两端点的值代入求y的取值范围,容易造成失分,第(3)小题是本卷的制高点,对学生要求较高,具有很好的区分度.综合可得,本试题用存在性问题连接着一次函数与二次函数,连接着方程与不等式,试题呈现方式新颖,难度较大.

11．如图，正比例函数和反比例函数的图象都经过点 A ( 3 , 3) ，把直线 OA 向下平移后，与反比例函数的图象交于点B(6,m)，与x轴、y轴分别交于C、D两点 ⑴求 m的值；

⑵求过 A、B、D 三点的抛物线的解析式；

⑶ 若点E是抛物线上的一个动点，是否存在点 E ，使四边形 OECD 的面积S1 ，是四边形OACD 面积S的

2

？若存在，求点 E 的坐标；若不存在，请说明理由． 3

中考数学综合专题训练【二次函数压轴题】提升与解析

目

【解题思路】⑴设正比例函数和反比例函数的解析式分别为y kx(k 0),y ∵正比例函数和反比例函数的图象都经过点 A ( 3 , 3)

n

(n 0) x

3

1，n 3 3 9 3

9

∴y x，y

x

∴k

∵点B(6,m)在反比例函数y ∴m

9

的图像上 x

93 62

3)， 2

⑵由⑴得点B(6，

设直线OA 向下平移后BD的解析式为：y x t

39)代入BD的解析式：y x t得t 229

∴D(0， )

2

39

设过A ( 3 , 3)，B(6，)，D(0， )的

22

把点B(6，

9

9a 3b 3 9 22

抛物线的解析式为y ax bx (a 0)则

932 36a 6b

22

1

,b 4. 2129

∴y x 4x

22

9999

⑶ ∵BD：y x ，∴令y x 0得x 则C(,0)

2222

19199135∴s 3

222228

解得：a

中考数学综合专题训练【二次函数压轴题】提升与解析

2213545S 3384

1919945

假设存在点E，则 yE

222224

11291

∴yE ，令y x 4x

2222

∴S1

解得x1 4 6，x2 4 6（不合题意，舍去） ∴E(4 )

【点评】这是一道典型的数形结合的试题，综合考查了二次函数、一次函数、反比例函

数、点的坐标、方程、直角坐标系中平行线解析式的处理，知识的综合运用能力强，要求学生有直觉猜想、空间想象、合情推理、抽象概括、符号表示、运算求解、演绎说理等综合能力.难度较大.

12． 如图所示，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是直角梯形，BC∥AD，∠BAD= 90°，BC与y轴相交于点M，且M是BC的中点，A、B、D三点的坐标分别是A（-1．0），B( -1.2)，D( 3.0)，连接DM，并把线段DM沿DA方向平移到O/V，若抛物线y=ax2+bx+c经过点D、M、N。

（1）求抛物线的解析式

（2）抛物线上是否存在点P．使得PA= PC．若存在，求出点P的坐标；若不存在．请说

明理由。

（3）设抛物线与x轴的另—个交点为E．点Q是抛物线的对称轴上的—个动点，当点Q

在什么位置时有QE QC最大？并求出最大值。

12

【解题思路】1）待定系数法求二次函数解析式

2）求线段AC垂直平分线与抛物线的交点

3）为直线上一点到直线外两点距离差最小 利用轴对称解题

【答案】（1）解：由题意可得M（0．2），N（-3．2）

2 c

a 3b c ∴ 2 9 0 9 a 3b c

中考数学综合专题训练【二次函数压轴题】提升与解析

1 a 9

1

解得： b

3

c 2

∴y=

（2）∵PA= PC ∴P为AC的垂直平分线上，依题意，AC的垂直平分线经

过（-1．2）（1．0） 所在的直线为y=－x+1

121

x 293

y x 1 121

y x x 2

93

x1 3 解得：

y1 2 x2 3 y2 2 ∴P1

（3 2 P2

（3 2 （3）D为E关于对称轴x=1.5对称

CD所在的直线y=－x+3 ∴yQ=4.5 ∴Q（-1.5．4.5）

QE QC最大值为

【点评】本题综合性较强，主要考查了一次函数、二次函数等知识，用到了待定系数法、数形结合等数学思想．难度较大．

13. 已知顶点为A(1,5)的抛物线y ax bx c经过点B(5,1).

(1)求抛物线的解析式;

(2)如图(15.1),设C,D分别是x轴、y轴上的两个动点，求四边形ABCD周长的

（3）在（2）中，当四边形ABCD的周长最小时，作直线CD.设点P(x,y)(x>0)是直线y=x上的一个动点，Q是OP的中点，以PQ为斜边按图（15.2）所示构造等腰直角三角形PRQ. ①当△PBR与直线CD有公共点时,求x的取值范围；

②在①的条件下，记△PBR与△COD的公共部分的面积为S.求S关于x的函数关系式，并求S的最大值。

2

中考数学综合专题训练【二次函数压轴题】提升与解析

【解题思路】用待定系数法确定一次函数、二次函数的解析式，从而进一步解决问题。 【答案】解：⑴.设以A(1,5)为顶点的二次函数解析式为y a x 1 5

2

∵y a x 1 5的图像经过了点B(5,5)

2

∴1 a (5 1)2 5 解得a

1

4

1

x 1 2 5 4

12119

即：y x x

424y ∴

⑵

.

如图，作点A关于y轴对称点A,与y轴交与点D,作点B关于x轴对称点B,与x轴交与点C,连接AD,AC,CB,BA.四边形ABCD的周长最小。

∵A(1,5),B(5,1)

∴A 1,5 ，B 5， 1

'

'

'

'

∴C四边形ABCD AB BC CD DA

AB AB

''

中考数学综合专题训练【二次函数压轴题】提升与解析

1 52 5 12 1 52 5 12

42 62

2

⑶.①如图

∵A 1,5 ，B 5， 1

'

'

∴直线AB的解析式为y x 4

∴直线y x 4与直线y x的交点M 2,2 ∵P x,y ，点Q为OP的中点 ∴Q ,

xy

22

∵△PBR与直线CD有公共点，M 2,2

x 2 ∴ x，即2 x 4

2 2

【点评】本题考查了一次函数、二次函数、三角形、四边形等知识的综合运用。难度较大。

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/9d8j.html