第14章 - 光的衍射习题答案

思 考 题

1 为什么隔着山可以听到中波段的电台广播，而电视广播却很容易被高大建筑物挡住？

答：只有当障碍物的大小比波长大得不多时，衍射现象才显著。对一座山来说，电视广播的波长很短，衍射很小；而中波段的电台广播波长较长，衍射现象比较显著。

2 用眼睛通过一单狭缝直接观察远处与缝平行的光源，看到的衍射图样是菲涅耳衍射图样还是夫琅和费衍射图样?为什么?

答：远处光源发出的光可认为是平行光，视网膜在眼睛(相当于凸透镜)的焦平面上，所以观察到的是平行光的衍射。由此可知，这时人眼看到的是夫琅和费衍射图样。

3 在单缝衍射图样中，离中央明纹越远的明纹亮度越小，试用半波带法说明。

答：在单缝衍射图样中，未相消的一个半波带决定着明纹的亮度。离中央明纹越远处，衍射角越大，单缝处波阵面分的半波带越多，未相消的一个半波带的面积越小，故离中央明纹越远的明纹亮度越小。

4 根据惠更斯-菲涅耳原理，若已知光在某时刻的波阵面为S，则S的前方某点P的光强度决定于波阵面S上所有面积元发出的子波各自传到P点的(A)振动振幅之和。(B)光强之和。(C)振动振幅之和的平方。 (D)振动的相干叠加。

答：衍射光强是所有子波相干叠加的结果。选(D)。

5波长为?的单色平行光垂直入射到一狭缝上，若第一级暗纹的位置对应的衍射角为30o，则缝宽的大小（ ） (A) a=0.5?。 (B) a=?。 (C)a=2?。 (D)a=3?。 答：[ C ]

6波长为?的单色光垂直入射到单缝上，若第一级明纹对应的衍射角为30?，则缝宽a等于（ ）

3?。 (D) a=3?。答：[ D ] 27在单缝夫琅和费衍射实验中波长为?的单色光垂直入射到单缝上，对应于衍射角为30?的方向上，若单缝处波面可分成3个半波带，则缝宽度a等于（ ）(A) ? 。 (B) 1.5?。 (C) 2?。 (D) 3?。答：[ D ]

8在单缝夫琅和费衍射实验中，波长为?的单色光垂直入射到宽度a=4?的单缝上，对应于衍射角为30?的方向，单缝处波面可分成的半波带数目为（ ）(A)2个。 (B)4个。 (C)6个。 (D)8个。 答：[B]

9在单缝夫琅和费衍射实验中，屏上第三级暗纹对应的单缝处波面可划分为（ ）

(A)2个半波带。 (B)4个半波带。 (C)6个半波带。 (D)8个半波带。 答：[C] 10 在如图所示的单缝夫琅和费衍射装置中，将单缝宽度a稍稍变宽，同时使单缝沿y轴正方向作微小位移，则屏幕E上中央明条纹将( ) E L y

(A)变窄，同时向上移。(B)变窄，同时向下移。

? (C)变窄，不移动。 (D)变宽，同时向上移。

a o (E)变宽，不移动。 x 2f?答：由中央明条纹宽度公式?x?可知，将单缝宽度a稍稍变宽，

af (A) a=? 。 (B) a=2?。 (C) a=

中央明条纹将变窄。由于透镜未动，焦点位置不动，故位于焦点附近的中央明条纹位置也将不移动。故选(C)。

11 波长为?000?的单色光垂直入射到光栅常数为1.0?10-4cm的平面衍射光栅上，第一级衍射主极大所对应的衍

射角为（ ）(A) 60?。 (B) 30?。 (C) 45?。 (D) 75?。答： [B]

12 波长为?500?的单色光垂直入射到光栅常数为2.0?10-4cm的平面衍射光栅上，可能观察到的光谱线的最大级次为（ ）(A)2。 (B)3。 (C)4。 (D)5。答：[B]

13一束白光垂直照射在一平面衍射光栅上，在形成的同一级光栅光谱中，从中央向外方向颜色的排列顺序是（ ）(A) 由红到紫。 (B) 由红到红。 (C) 由紫到紫。 (D) 由紫到红。答：[D]

14用波长为?的单色平行光垂直入射到一光栅上，其光栅常数d=3?m，缝宽a=1?m，则在单缝衍射的中央明纹宽度内主极大的个数是（ ）(A)3个。 (B) 4个。 (C) 5个。 (D) 6个。答：[C]

15 一衍射光栅对垂直入射的某一确定的波长，在屏幕上只能出现零级和一级主极大，欲使屏幕上出现更高级次的主极大，应该( ) (A)换一个光栅常数较小的光栅。(B)换一个光栅常数较大的光栅。

(C)将光栅向靠近屏幕的方向移动。(D)将光栅向远离屏幕的方向移动。答：光栅方程：dsin?=kλ，取?=90?，能看

思考题10图

d，对某一确定的波长，光栅常数越大，屏幕上出现的级次越高。故选(B)。 ?16 一束平行单色光垂直入射在光栅上，当光栅常数(a+b)为下列哪种情况时(a代表每条缝的宽度)，k=3，6，9等级次的主极大均不出现?（ ） (A)a+b=2a。 (B)a+b=3a。 (C)a+b=4a。 (D)a+b=6a。

a?ba?b答：由缺级公式：k?k?，要k=3，6，9缺级，即要k?k?=3k?，所以a+b=3a，选(B)。

aa17 在双缝衍射实验中，把两条缝的宽度a略微加宽，而其它条件保持不变，则( ) (A)单缝衍射的中央主极大变宽，其中所包含的干涉条纹数目变少。 (B)单缝衍射的中央主极大变宽，其中所包含的干涉条纹数目变多。 (C)单缝衍射的中央主极大变宽，其中所包含的干涉条纹数目不变。 (D)单缝衍射的中央主极大变窄，其中所包含的干涉条纹数目变少。

(E)单缝衍射的中央主极大变窄，其中所包含的干涉条纹数目变多。

2f?答：由中央明条纹宽度公式?x?可知，将单缝宽度a稍稍变宽，其它条件保持不变，中央明条纹将变窄。

ad在单缝衍射的中央明纹宽度内 dsin?=kλ asin?=λ kmax= d不变，a变宽，在单缝衍射的中央明条纹宽

a到的最高级次：kmax=

度内干涉条纹数目将变少。故选(D)。

18 某元素的特征光谱中含有波长分别为λ1=450nm和λ2=750nm的光谱线。在光栅光谱中，这两种波长的谱线有重叠现象，重叠处λ2的谱线的级数将是( )(A)2,3,4,5…。 (B)2,5,8,11…。 (C)2,4,6,8…。 (D)3,6,9,12…。

答：重叠：dsin?=k1λ1=k2λ2，即3k1=5k2，只有k1=5，10，15，k2=3，6，9。故选(D)。

习 题

14-1 某种单色平行光垂直入射在单缝上，单缝宽a=0.15mm。缝后放一个焦距f=400mm的凸透镜，在透镜的焦平面上，测得中央明条纹两侧的两个第三级暗条纹之间的距离为8.0mm，求入射光的波长。

解 第三级暗条纹：asin?=3λ 由于

3f?x ?tg??sin?(因?很小)，第三级暗条纹坐标 x3?fa故中央明条纹两侧的两个第三级暗条纹之间的距离为 ?x?2x3?6f?a?x 所以 ??2x3?=5000?

6fa14-2 在夫琅和费单缝衍射实验中，如果缝宽a与入射光波长λ的比值分别为(1)1，(2)10，(3)100，试分别计算中

央明条纹边缘的衍射角，再讨论计算结果说明什么问题。

解：中央明纹边缘衍射角即第一级暗纹衍射角asin????，sin???（1）（2）（3）

?a。

?a?1,则sin???1,???90?，即中央明纹占据整个屏幕。 ?0.1，sin???0.1,???5.7?

?a?a这表明，比值λ/a变小的时候，衍射角也变小，中央明条纹变窄(其他明条纹也相应地靠近中央)，衍射效应越来越不明显。当λ/a?0时，将没有衍射现象，光线沿直线传播，这是几何光学的情况。

14-3 (1)在单缝夫琅和费衍射实验中，垂直入射的光有两种波长，λ1=4000?，λ2=7600?。已知单缝宽度a=1.0×10-2cm，透镜焦距f=50cm。求两种光第一级衍射明纹中心之间的距离。

(2)若用光栅常数d=1.0×10-3cm的光栅替换单缝，其他条件和上一问相同，求两种光第一级主极大之间的距离。

33?解：（1）第一级衍射明纹中心位置asin???，sin????，

22a?0.01，sin???0.1,???0.57?,中央明纹已经很难看到。

3??3(7600?4000)?10?10?2所以?x?f???f?50?10???1.35mm。

?42a22?1?10（2）第一级主极大位置dsin???，

?x?f???f??d?50?10?2?(7600?4000)?10?101?10?5?18mm

14-4在单缝夫琅和费衍射实验中，波长为λ＝632.8nm的单色光以与单缝平面的法线成200的角入射到缝宽为

a=0.010mm的单缝上，对应于衍射角土150的方向，如图所示。求：

(1)单缝处波阵面可分半波带的数目； (2)屏上是明条纹，还是暗条纹； (3)条纹的级次。

解：如图斜入射，入射线与单缝平面法线的夹角为???20?，单缝边缘对应光线在到达单缝前就产生了光程差。

（1）对于衍射角为?的衍射方向，单缝处波阵面可分为半波带的数目为N?asin??asin??，

2当???15?时， N?15??asin??asin???0.010?10?3?sin(?20?)?0.010?10?3?sin(15?)?9632.8?10?2.63

22当???15?时， N?15??asin??asin???0.010?10?3?sin(?20?)?0.010?10?3?sin(?15?)632.8?10?9?19.0，

22即：衍射角???15?时，透过单缝的波阵面可分半波带的数目为2.63；衍射角???15?时，透过单缝的波阵面可分半波带的数目为19.0。

(2)当???15?时，由于单缝处波阵面可分半波带的数目为2．63，衍射光在屏上会聚抵消了两个半波带的光能，还剩下o．63个半波带的光能。故衍射角???15?。对应为明暗纹的过渡区。

当???15?时，由于单缝处波阵面可分半波带的数目为19．0，是奇数个半波带。故衍射角???15?，对应为明条纹。

(3)当???15?时，由于单缝处波阵面可分半波带的数目为2．63，即2?N?15??3，写成

。

2?1(暗纹条件?）N?15??2?1?（1明纹条件，故衍射角为+15对应为正一级暗纹到正一级明纹的过渡区，为正

一级明纹的一部分。

1当???15?时，由于单缝处波阵面可分半波带的数目为19，满足N?15??2?9?（明纹条件），故对应为负9

级明纹，不过因k值较大，所以条纹光强较弱。

14-5 波长范围在450~650nm之间的复色平行光垂直照射在每厘米有5000条刻线的光栅上，屏幕放在透镜的焦平面处，屏上第二级光谱在屏上所占范围的宽度为35.1cm，求透镜的焦距f。

解 光栅常数d?1?2?10-6m ?55?10 dsin?1=2?1，?1=450nm

dsin?2=2?2，?1=650nm

2?1?26.74o d2??2?sin?12?40.54o

d?1?sin?1第二级光谱的宽度

x2-x1=f(tg?2- tg?2)

透镜的焦距

f?x2?x1=100cm

tg?2?tg?1

14-6 设某种波长λ1的光与波长λ2=486.1nm的光均为平行光，它们同时垂直人射到光栅上，若λ1光的第三级光谱线(即第三级亮条纹)与λ2光的第四级光谱线恰好重合在离中央亮纹距离为5mm处，设透镜焦距为0.50m。求：(1)光栅常数； (2) λ1的值

解：根据光栅方程dsin??k?，

?dsin??3?1?4?2，

44?486.1?10?9?648.1nm。

33??x?ftan?

?1??2?5?10?34?486.1?10?9?1.94?10?4m ?tan???0.01?sin?，d?0.010.514-7 用每毫米有300条刻痕的衍射光栅来检验仅含有属于红和蓝的两种准单色成分的光谱。已知红谱线波长λR

在0.63μm~0.76μm范围内，蓝谱线波长λB在0.43μm~0.49μm范围内。当光垂直入射时，发现在22.46°角度处，红蓝两谱线同时出现。求：

(1) 在22.46?角度处，同时出现的红兰两谱线的级次和波长； (2) 如果还有的话，在什么角度下还会出现这种复合谱线?

解 d?1mm?3.33?m 300(1) dsin22.46?=1.38?m =k?

对红光： k=2， ?R=0.69?m 对兰光： k=3， ?B=0.46?m (2) dsin?=kR?R= kB?B

对红光(0.63?0.76?m)：

?=90?，最大级次kR=d/0.63?m=4.8， 取kR=4 对兰光(0.43?0.49?m)：

?=90?, 最大级次kB=d/0.43?m=7.2, 取kB=7

显然，红光的第4级和兰光的第6级还会重合。 由 dsin?=4?R 求得重合的角度为

?=arcsin4?r=55.9? d14-8 试证：双缝夫琅和费衍射图样中，中央包络线内的干涉条纹为(2d ?1)条。式中，d是缝间距，a是缝宽。a解：考虑缺级条件后单缝衍射中央明纹内衍射角满足 ?对双缝干涉，有dsin??k?，sin???a?sin???a

k? d在单缝的中央明纹包络线内双缝干涉的最高级次为??a?k??dd?，??k?， daaadd所以总共出现的干涉极大的个数为2(?1)?1?2?1。

aa14-9 一衍射光栅，每厘米有200条透光缝，每条透光缝宽为a=2×10-3cm，在光栅后放一焦距f=1m的凸透镜，现以λ=6000?的单色平行光垂直照射光栅，求：

(1) 单缝衍射的中央明条纹宽度为多少?

(2) 在中央明条纹宽度内，有几个光栅衍射主极大?

解 (1) 中央明条纹宽度

?x?(2) d?2f?=0.06m a1?5?10?3cm 200asin? =?

由 dsin? =k?

在中央明条纹宽度内的最高级次：k?d=2.5 a所以在中央明条纹宽度内有k=0，?1，?2，共5个衍射主极大。

14-10用每毫米内有500条刻痕的平面透射光栅观察钠光谱(λ=589.3nm)，设透镜焦距为f=1.00m。问： (1)光线垂直入射时，最多能看到第几级光谱?

(2)光线以入射角300入射时，最多能看到第几级光谱?

(3)若用白光(400~760nm)垂直照射光栅，最多能看到几级完整光谱?最多能看到几级不重叠光谱? 求第一级光谱的线宽度。

1?10?3解：该光栅的光栅常数为d?m?2.00?10?6m。

500（1）因为光是垂直入射，最高级次衍射角应满足 dsin?k?k??dsin90??d，

即k?d??2.00?10?6589.3?10?9?3.39，取k=3，最多看到第3级光谱。

（2）当光斜入射，光到达光栅时，相邻两缝衍射光产生的光程差为dsin?，故最高级次的衍射角应满足

d(sin?k?sin?)?k??d(sin90??sin?)，

所以k?d(1?sin30?)??2.00?10?6?1.5589.3?10?9?5.09，取k=5，所以最多看到第5级。

（3）若白光照射光栅，对所看到最高级次的完整光谱，应以长波长的光出现为准。 故dsin?k?k?2?dsin90??d， 即k?d?2?2.00?10?6760?10?9?2.63，取k=2，最多看到第2级完整光谱。

对所看到的最高级次不重叠光谱，即要求高级次短波的衍射角大于低一级次长波的衍射角

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