1998年全国初中数学联赛第一试和第二试试题及答案

1998年全国初中数学联合竞赛试题

第一试

一、填空题 1.设m?5?1,那么m?1的整数部分是 . m2.在直角三角形ABC中,两条直角边AB,AC的长分别为1厘米,2厘米,那么直角的角平分线的长度等于 厘米.

3.已知x?x?1?0,那么代数式x?2x?1的值是 . 4.已知m,n是有理数,并且方程x?mx?n?0有一个根是5?2,那么m?n的值是 .

5. 如图,ABCD为正方形,A,E,F,G在同一条直线上,并且AE＝5厘米,EF＝3厘米,那么FG＝ ________________厘米.

233

)的整数对(m,n),共有 _______个. 6.满足1998＋m＝1997＋n(0?m?n?19982

2

227.设平方数y是11 个连续整数的平方和,则y的最小值是 . 8.直角三角形ABC中,直角边AB上有一点M,斜边BC上有一点P, 已知MP?BC,?BMP的面积等于四边形MPCA的面积的一半, BP=2厘米, PC=3厘米,那么直角三角形ABC的面积是__________平方厘米.

2

9.已知正方形ABCD的面积35平方厘米, E, F分别为边AB, BC上的点, AF, CE相交于点G,并且?ABF的面积为5平方厘米,?BCE的面积为14平方厘米,那么四边形BEGF的面积是____________平方厘米.

10.把100个苹果分给若干个人,每人至少分一个,且每人分的数目各不相同,那么至多有__________人.

11.设(a,b)为实数,那么a?ab?b?a?2b的最小值是__________.

12. 1, 2, 3,…98共98个自然数中,能够表示成两整数的平方差的个数是_______. 13.在右边的加法算式中,每一个□表示一个数字,任意两个数字都不相同,那么A与B乘积的最大值是____________.

14.直线AB和AC与圆O分别为相切于B,C两点,P为圆上一点,P到AB,AC的距离分别为4厘米,6厘米,那么P到BC的距离为 厘米.

15.每一本书都有一个国际书号: A B C D E F G H I J ,其中A B C D E F G H I 由九个数字排列而成,J是检查号码.令S＝10A＋9B＋8C＋7D＋6E＋5F＋4G＋3H＋2I, r是S除以11所得的余数,若r 不等于0或1,则规定J＝11－r.(若r＝0,则规定J＝0;若r＝1,规定J用x表示)现有一本书的书号是962y707015,那么y＝ .

22第二试

1．求所有正实数a,使得方程x?ax?4a?0仅有整数根.

2．已知P为□ABCD内一点,O为AC与BD的交点,M、N分别为PB,PC的中点,Q为AN与DM的交点,求证:

（1）P,Q,O三点在一条直线上; （2）PQ＝2OQ.

3

3.试写出5个自然数,使得其中任意两个数中的较大的一个数可以被这两个数的差整除.

一 九 九 八 年

第 一 试

1． 3

m?5?1，

115?1， ??m45?1∴ m?153?1??5?，?m???3. m44?m?2．

22 3如图，AD为直角A的平分线，过B作BE//DA交CA的延长线于点E.?EBA?

?BAD?45?，

AE?AB?1，EB?2，又?CDA∽?CBE，

ADAC2??，∴EBCE3AD?222. EB?333．2

x3?2x?1?(x3?x2?x)?(x2?x?1)?2

?x(x?x?1)?(x?x?1)?2?2. 4．3

因为m、n为有理数，方程一根为5?2，那么另一个根为?5?2，由韦达定理. 得 m?4，n??1，∴m?n?3.

5．

2216 3由原图

AEBEEGEF?FG???， EFEDAEAEAE2?EF ∴ FG?EF5216?3?(厘米). ?336．16

n?m?3995?5?17?47, (n?m)(n?m)?5?17?47.

显然，对3995的任意整数分拆均可得到(m,n)，故满足条件的整数对(m,n)共

222?2?2?2?16(个).

7．11

11个相继整数的平方和为

(x?5)2?(x?4)2???x2???(x?4)2?(x?5)2

?11(x2?10)?y2,

则y最小时，从而x?1，∴y?11.

8．39

∵ ?MBP∽?CBA， S?MBP:S?CBA?1:3， BP:BA?1:3, ∴ BA?23，AC?13.

2

S?ABC?9．41?23?13?39. 220 27BE4BFS?ABF2?, ??，同理

BA5BCS?ABC7∵

由原图，连BG.

记S?AGE?a，S?EGB?b，S?BGF?c，S?EGc?d. 又由已知 a?b?c?5，b?c?d?14， 解之得 b?∴ SBEGF10．13

由题意，设有n人，分苹果数分别为1,2,…,n 1?2?3???n?28100， c?. 272712820?b?c??4(平方厘米).

2727n(n?1)≤100, 2∴ n≤13，所以至多有13人. 11．-1

a?ab?b?a?2b ?a?(b?1)a?b?2b

2222b?123231)?b?b? 2424b?123)?(b?1)2?1≥-1. ?(a?24b?1?0，b?1?0， 当 a?2 ?(a?即 a?0，b?1时，上式不等式中等号成立，故所求最小值为-1.

12．73

对 x?n2?m2?(n?m)(n?m) (1≤m

因为n+m与n-m同奇同偶，所以x是奇数或是4的倍数，所以1至98共98个自然数中，满足条件的数有49+24=73个.

13．15 设算式

∴ A≤6.

2(A?B)?19?2?3?4?5?6?7?8?35. ∴ A?B?8.

欲令A·B最大，取A=5，B=3，此时b,e为6,8;a,c,f为2,4,7，故A·B最大值为15.

14．26

如图，PM?AB，PN?AC，PQ?BC.P,Q,C,N四点共圆，P,Q,B,N四点共圆,

+ d

g

h

b

e A

a c f B 显然：g=1,d=9,h=0. a+c+f=10+B b+e=9+A

?MPQ?180???MBQ??180???NCQ??NPQ，

?MQP??MBP??BCP??QNP，

∴ ?MPQ∽?QPN，

MPPQ， ?PQNP PQ?15．7

MP?NP?26(厘米).

S?9?10?6?9?2?8?y?7?7?6?0?5?7?4?0?3?1?2

∴ S被11除所得的余数等于7y?1被11除所得的余数.由检查号码可知，S被11除所得的余数是11-5=6，因此7y被11除所得余数为 6-1=5, ∴y=7

第 二 试

一、设两整数根为x,y(x≤y)，

则??x?y?a?0,

xy?4a?0?ax2≤y≤a,4≤x≤8.可推出x?4， ∴ a?，由于x为整数, 2x?4∴ x?5时，a?25，y?20； x?6时，a?18，y?12； x?7时，a不是整数；x?8时，a?16，y?8. 于是a?25或18或16均为所求.

说明 没有说明理由，仅指出a的每一个正确值给4分.

二、证明 如原图，连PO，设PO与AN，DM分别交于点Q',Q''. 在?PAC中，∵AO?OC，PN?NC， ∴Q'为重心，PQ'?2OQ'

在?PDB中，∵DO?BO，BM?MP， ∴Q''为重心，PQ''?2OQ''

这样Q'?Q''，并且Q',Q''就是AN，DM的交点Q.故P,Q,O在一条直线上，且

PQ?2OQ.

三、1680，1692，1694，1695，1696为满足条件的5个数（注：答案不唯一） 以上5个数可用以下步骤找出： 第一步：2,3,4为满足要求的三个数.

第二步：设a,a+2,a+3,a+4为满足条件的四个数，则a可被2,3,4整除.取a=12，得满足条件的四个数12，14，15，16.

第三步：设b,b+12,b+14,b+15,b+16.取12,14,15,16的最小公倍数为b.即b=1680，得满足条件的五个数1680，1692，1694，1695，1696.

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