义务教育课程标准实验教科书数学五年级上册

《义务教育课程标准实验教科书数学五年级上册》培训提纲（转

载）

上传: 刘安平 更新时间：2013-3-12 11:13:10

整体内容分布：

（一）数与代数 （三）统计与概率 1．小数乘法 统计与可能性 2．小数除法 （四）数学思想方法 3．简易方程 数学广角――数字编码 （二）空间与图形 （五）综合应用 1．观察物体（二） 1．量一量 找规律 2．多边形的面积 2．铺一铺

第一单元 小数乘法

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教学内容 小数乘法 积的近似值

有关小数乘法的两步计算 整数乘法运算定律推广到小数

二、教学目标

1．自主探索小数乘法的计算方法，能正确进行笔算，并能对其中的算理做出合理的解释。 2．会用“四舍五入”法截取积是小数的近似值。

3．理解整数乘法运算定律对于小数同样适用，并会运用这些定律进行一些小数的简便运算，进一步发展学生的数感。

4．体会小数乘法是解决生产、生活中实际问题的重要工具。 三、编排特点

1．选择“进率是十的常见量”作为学习素材，引入小数乘法的学习。

对于五年级学生的生活经验而言，“元、角、分”“米、分米、厘米”是他们比较熟悉的计量单位。根据学生已有的知识基础，教材从丰富多彩的校内外活动中，选择“买风筝”（与元、角有关）、“换玻璃”（与米、分米有关）的活动为背景，引入小数乘法的学习。这样的生活背景，不但能激发童心童趣，而且能促成学生利用元、角之间，米、分米之间的十进关系顺利沟通小数乘法与整数乘法的联系，利于学生将新知纳入到已有的认知系统中。

2．淡化小数乘法意义的教学，突出计算方法的教学。

小数实质上是十进分数，要让学生理解小数乘法的意义，应从分数乘法的意义入手。但考虑到学生已有的知识经验和认知水平，根据小数与整数的密切联系，教材先教学小数乘法，再教学分数乘法。与原义务教材比，淡化了小数乘法意义的教学，把重点放在计算的算理和方法的总结上，引导学生利用因数的变化引起积的变化规律来解释小数乘法的算理，并由此总结小数乘法的一般方法。 3．应用转化和对比，概括小数乘法的计算方法。

小数的书写方式，进位规则均与整数相同，教材紧扣两者的密切联系，引导学生： ①用转化的方法，将小数乘法转化为整数乘法。

②用对比的方法，处理积中小数点的位置问题。在例3、例4中，均采用对比的方法，让学生分别观察因数和积中小数的位数，找出它们之间的关系，然后利用这一关系，准确找到积中小数点的位置。 ③帮助学生按一定顺序概括小数乘法的一般计算方法。例４的教学中，应用合作研讨的方式，引导学生自主地、有序地概括出计算小数乘法的一条清晰的思路：先按整数乘法算出积→再看因数中一共有几位小数，就从积的右边起数出几位，点上小数点→乘得的积的小数位数不够，要在前面用0补足，再点小数点。 四、具体编排

共安排8个例题。 标 题 小数乘整数 例1 例2 例3 例4 例5 例6 例7 例8 例题安排 小数乘整数的引入题 小数乘整数的算理及竖式写法 小数乘小数的算理及竖式写法 总结小数乘法的一般方法 倍数是小数的实际问题和乘法验算 按“四舍五入”法截取积的近似值 有关小数乘法的两步计算 整数乘法运算定律推广到小数 应用运算定律进行简便计算 小数乘小数 用小数乘法解决问题和验算 积的近似值 连乘、乘加、乘减 整数乘法运算定律推广到小数

小数乘整数

例1 编排意图：

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创设购物情境，引出“小数乘整数”。

结合具体量（人民币单位），以已有知识和经验解决小数乘整数的问题，为理解“小

数乘整数”的算理提供感性支撑。

教学建议：

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引导学生提出买风筝计算钱数的问题。

先解决书上女孩想要解决的问题。放手让学生利用自己已有的知识和经验解决，重

点说明将元转化为角的方法。

在此基础上，解决其他买风筝的问题。

例2 编排意图

?

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脱离具体量，直接引出小数乘整数。

用因数与积的变化规律说明将小数乘整数转化为整数乘法的理由。

根据计算结果，说明如果积的小数末尾有0，根据小数的基本性质，用最简方式写

出积，积中小数末尾的“0”可去掉。

教学建议：

? 注意引导学生紧紧抓住例１中的计算经验，特别是将“元”转化为“角”的经验来

学习例2。先提出0.72元×5，你会计算吗？再去掉元，提出0.72×5该怎么计算。

放手让学生应用已有的整数乘法经验自主计算“0.72×5”，列出竖式，并尝试对过

程做出合理的解释。

应引导学生小结小数乘整数的竖式计算要点。

①按整数乘法的规则进行；

②处理好积中小数点的位置。因数中有几位小数，积中也应有几位小数；

③算出积以后，应根据小数的基本性质用最简方式写出积，积中小数末尾的“0”可去掉。 做一做

第1题：将整数乘法与小数乘整数对照编排，使学生进一步明白小数乘整数与整数乘整数的不同点： ①小数乘整数先要转化为整数乘法来算，积要根据因数的变化作相应的调整。

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?

②小数乘法中，积的小数部分末尾如有0，可根据小数的基本性质去掉小数末尾的0，而整数乘法中末尾的零是不能去掉的。 小数乘小数 例3 编写意图：

? 以给校园宣传栏换玻璃，计算长方形玻璃面积引入小数乘小数。本素材贴近学生的

生活，计算长方形面积比较直观形象，引出小数乘小数学生容易理解。

有例2的计算经验，这里学生容易想到把第二个因数也转化为整数，即将小数乘法

转化为整数乘法来计算。故教材直接写出转化和计算的过程。

注意引导学生归纳因数与积的小数位数之间的关系。

教学建议

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让学生根据图意列出乘法算式。 让学生自主尝试计算1.2×0.8。

组织学生共同研讨1.2×0.8的竖式算法及算理。让学生将有代表性的方法展示出

来，并简述其道理。

可能有学生将“米”化为“分米”，将小数乘法转化为整数乘法来计算，也可的学生按书上的方法进行计算。

对照上述两种方法，教师应引导学生沟通两种方法的联系，以帮助学生理解 “1.2×0.8”的算理。

?

例4

最后组织学生探索因数和积的小数位数关系。

编写意图

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结合例4上面的“做一做”总结小数乘法的计算方法。 分两个层次：

①首先结合“做一做”第1小题，总结小数乘法的一般计算步骤。

②结合“做一做”第3小题，说明小数乘法的一些难点问题。如，积的小数位数不够，应在前面用0补足。

教学建议：

? ?

可按教材的层次结合具体的算式进行总结。

积的末尾是0的情况，也应作为小数乘法的一些难点问题处理。这里教材上没出，

教学时可补充或将“做一做”第2小题“2.4×6.2”改为“2.4×6.5”，来提醒学生注意确定积的小数点位置时，应先点上小数点，然后再把小数末尾的0划掉。

例5 编写意图

? 通过“非洲野狗追赶鸵鸟”有趣情境，引出“用小数倍表示两个数量间的关系”，

使学生领会有时“用小数倍表示两个数量间的关系”比较直观。然后计算出鸵鸟的最高时速。

由验算计算是否正确，提出验算要求，培养验算习惯。

对于验算方法没做统一规定，教材呈现了两种，一种是“把因数的位置交换一下，再乘一遍。”二是“用计算器验算。”其实，验算还有其他方法，如，对着原式再做一遍。再如，用观察法，因为第二个因数大于1，所以积一定大于第一个因数，所以答案7.28是错的。这里不要求学生一定要按哪种方法验算，只要会用合适的方法验算就行。 教学建议

?

? 结合本例让学生领悟有时“用小数倍表示两个数量间的关系”比较直观。可请学生

说一说“鸵鸟的最高速度是非洲野狗的1.3倍”中“1.3倍”的含义。

验算的引入，既可直接由检验书上女孩的计算引出，也可由检查自己的计算引出。 如何验算不作统一要求。

练习一

第2题，是联系学生的教科书来进行的计算活动。感受小数乘法在生活中的应用。

第4题，是应用因数的变化引起积的变化规律来计算的练习，进一步体会小数乘法转化为整数乘法计算的道理。

第5、6题，综合应用小数乘法和其他数学知识解决实际问题。第5题要读出秤盘上每种东西的千克数，再单价、数量和总价之间的关系来计算物品的价钱。第6题是用时间、速度和路程之间的关系来解决的问题。 第10题，让学生经过计算，发现积和因数之间的大小关系： 一个数（0除外）乘大于1的数，积比原来的数大。 一个数（0除外）乘小于1的数，积比原来的数小。

这个关系原义务教材是在例题后面揭示的，现在习题中结合计算找规律让学生感悟并记住。 第12题，是第10题规律的应用练习。 积的近似值 例6 编写意图

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? 通设一个“狗帮助人们抓坏蛋”的情境，让学生求狗的嗅觉细胞，引出求积的近似

值。

通过计算使学生认识到：在解决实际问题时，当积的小数位数比较多时，有时不需

要保留那么多的小数位数，只要根据需要求出积的近似数就可以了。

教材以算出狗的嗅觉细胞为2.205亿个为例，说明如何用“四舍五入”法求积的近

似数，同时说明应根据实际需要确定保留的小数位数。

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教学建议

? 复习求小数的近似数的方法。

求积的近似数所用的方法同求一个小数的近似数的方法完全相同。因此，本例教学前，可组织学生做适当的练习，让他们回忆求一个小数的近似数的方法，为自主求积的近似数做好准备。

? 当学生求出“0.049×45＝2.205”后，着重说明当积的小数位数比较多时，有时不

需要保留那么多的小数位数，只要根据需要求出积的近似数就可以了。然后让学生按照需要独立地求出2.205的近似数。

连乘、乘加、乘减 例7

编排意图：

? 有关小数连乘、乘加的数量关系在生活中应用比较多，但有的数量关系比较复杂，

教材选取用正方形地砖铺地板，引出连乘、乘加，便于学生理解和列式。

教材通过解决“100块砖够吗？”引出连乘。通过解决“110块砖够吗？”的不同方

法引出乘加。

教学建议

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? 让学生用自己的话表达解答过程，尝试解释解答的结果。

由于本题中的数量关系比较简单，所以，当提出“用100块瓷砖来铺，够吗？”“110块呢？”以后，应为学生提供独立列式解答、用自己的话表达解答过程的时间，逐步培养学生具有回顾与分析解决问题过程的意识。

? 由于运算顺序是一种规定，不必讲太多的理由，所以当整数四则运算扩充到小数后，

可直接告诉学生、小数的连乘、乘加、乘减的运算顺序和整数的相同。

整数乘法运算定律推广到小数 乘法运算定律的推广、例8 编写意图

? ?

结合具体算式说明整数乘法运算定律对于小数乘法同样适用。

教材分两个层次编排：①给出三组算式，让学生观察、计算，找出每组中两个算式

的关系。②用归纳的方法类推出“整数乘法的交换律、结合律和分配律，对于小数乘法也适用。”通过这两个层次的活动，逐步培养学生合情推理的能力。

? 应用乘法运算定律进行简便运算。

例8安排了应用乘法交换律和结合律使计算简便的例子，使学生体会到，一道比较复杂的小数乘法算式，如果能用运算定律进行变换，中间有些计算只需口算，这样整个计算就变得简便了。 教学建议

? 在复习整数乘法运算定律的基础上进行教学。

? 加强对乘法分配律应用的教学。

由于学生在整数一单元中已有了应用乘法运算定律进行简便运算的基础，这里可以引导学生类推。 乘法运算定律的运用中，常出错的往往是乘法分配律。教学时，要注意分析学生出错的原因，加强就题说理练习。如，练习二的第4题“1.5×105”和“1.2×2.5＋0.8×2.5”都要运用乘法分配律进行简算，但在“1.5×105”中，是乘法分配律正向应用，而在“1.2×2.5＋0.8×2.5”中，则是乘法分配律的逆向应用。 练习二

第3题，通过计算和“明明”的介绍、直观对比，使学生感受到计算机的惊人发展，激发起学好科学知识的热情。

第5、6题，是用连乘、乘加解决实际问题的练习。题中有的条件比较隐蔽，学生需在分析清楚数量关系的基础上去寻找。如，第5题，饮料5箱，每箱24瓶；第6题， 4个成人和1个小孩。

第9题，是用乘加解决实际问题的练习。题中注明可以使用计算器，使学生感受到在计算步数比较多时，使用计算器比较方便快捷。

第8、11、12题，是与环境保护有关的实际问题。 五、教学建议：

1．重点引导学生用转化的方法学习小数乘法。

由于小数乘法与整数乘法之间有着十分密切的联系，因此，教学时应紧紧抓住这种联系，帮助学生将未知转化为已知。如，在例2“0.72×5”的教学中，可提出转化性的问题：“你能将它转化为已学过的乘法算式吗？”，引导学生经历将未知转化为已知的学习过程，同时获得用转化的思想方法去探究新知的本领。 2．指导学生对小数乘法的算理做出合理的解释，提高简单的推理能力。

本单元学习过程中，学生感到困难的不是小数乘法计算方法的掌握，而是对算理的理解和表述。因此，教学时应给学生提供充分的思考、交流的机会，帮助学生对计算的过程做出合理性的解释。如，教学“1.2×0.8”时，应引导学生先说出将因数“1.2和0.8”转化为整数12和8的理由，再说出积“96”扩大到原来积的“100”倍，所以必须将“96”缩小到它的

的理由。这个算理清楚了，能表达了，在实际操

作时，就能正确地移动小数点的位置，达到正确计算的目的。 3．注意引导学生探索因数与积之间的大小关系的规律。

让学生学会探求模式、发现规律是数与代数领域学习的重要目标。在组织学生自主小结小数乘法计算方法的同时，应注意引导他们去探索因数与积之间的大小关系的规律。教学时，应重视练习一中第4题、第10题的练习，还可增加一些类似的练习内容，并以此为载体，培养学生养成探索隐含在数字、算式后面的规律的习惯。

第二单元 小数除法

（一）教材内容

本单元的主要内容有：※小数除法的计算方法、※商的近似值、※循环小数、※用计算器探索规律、※用小数除法解决简单的实际问题。 以上内容具体安排如下： 标 题 例1 小数除以整数 例2 例3 例4 一个数除以小数 求商的近似值 循环小数 用计算器探索规律 解决问题 例5 例6 例7 例8、例9 例10 例11 例12 例题安排 整数部分够商1，能除尽。 整数部分不够商1，能除尽。 除到被除数的小数末尾还有余数，需要添0继续除。 总结小数除以整数的计算方法。 一个数除以小数。 被除数的小数位数比除数少。 用“四舍五入法”求商的近似值。 认识循环小数、有限小数和无限小数。 用计算器探索规律，并用规律来计算。 用连除（双归一）的方法解决实际问题。 结合具体情景体会“进一法”和“去尾法”。 （二）教学目标

1．掌握小数除法的计算方法，能正确地进行计算。

2．会用“四舍五入法”截取商是小数的近似值，能结合实际情况用“进一法”和“去尾法” 截取商的近似值。初步认识循环小数、有限小数和无限小数。

3．能用计算器探索计算规律，能应用探索出的规律进行一些小数乘除法的计算。 4．会解决有关小数除法的简单实际问题，体会小数除法的应用价值。 （三）教材的编写特点

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引导学生对小数除法计算方法的自主探究，体现知识的形成过程。

例如，在小数除以整数中，先让学生根据已有的知识经验对小数除以整数的方法进行探究，并通过与小数除以整数的一般方法的对比，使学生看到两种方法的联系。接着，组织学生对一些关键问题进行讨论（如商的整数部分不够商“1”时，为什么要写“0”），帮助学生掌握小数除法的算理。最后，让学生自己归纳总结小数除法的计算方法。

2．结合现实情景进行计算教学，与解决问题教学有机结合。

注意从现实情景中引出计算教学的内容，练习中也尽可能选择贴近学生生活实际的内容，如购物、乘车、计算用水量等，让学生体会计算的现实意义，提高解决实际问题的能力。 3．适时引入计算器。

小数除法计算的步骤比较多，适宜使用计算器计算。教材把握时机，不仅在新授内容和练习中让学生适时使用计算器，而且还安排用计算器探索规律的内容。使学生通过亲身体验，感受到计算器的作用的优势，同时培养灵活选择计算方法和工具的意识。 （三）具体内容的安排 小数除以整数 ○ 教材编排的变化：

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不再单独教学“小数除法的意义”，而是结合3个例题的具体数量关系，让学生体

会小数除法的意义与整数除法的意义相同。

贴近学生的生活，体现计算与解决问题的密切联系。例1～例3，都是晨练中的具体

计算问题。

体现算法多样化，体现学生对计算方法的探索过程（例1）；留给学生自己尝试、

探索的空间（例2、例3）。

不出现文字概括形式的计算法则，而是让学生通过小组讨论交流的形式，总结计算

时应注意的问题（例4）。

○ 具体的教学内容：

1．例1 （整数部分够商1，能除尽。）

（1）创设学生晨练的情景，解决实际问题，列出算式：22.4÷4，让学生体会小数除法的意义余整数除法的意义相同。

（2）呈现了两种计算方法，① 将千米数转化为米数，把小数除以整数的除法转化成整数除法来做；②小数除以整数的一般方法。

（3）着重说明除数是整数的小数除法的计算步骤与整数除法基本相同，不同的是要解决小数点的位置问题——商的小数点要和被除数的小数点对齐。

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例2

（1）整数部分不够商1，能除尽。

（2）提出“为什么要商0呢”，启发学生理解“整数部分不够商1，要商0，点上小数点再除”的算法。

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例3及“做一做”

（1）整数部分不够商1，除到被除数的小数末尾还有余数。

（2）提出“接下来怎么除？”启发学生理解“除到被除数的小数末尾还不能除尽，要添0再除”的算法。

（3）王鹏“每天跑5分钟”是一个“多余”的条件，既可培养学生选择有用信息的能力，也可利用之提出新的数学问题。

（4）“做一做”涉及了小数除以整数的各种情况。到此，学生探讨了小数除以整数的一般情况和特殊情况，可以比较完整地掌握小数除以整数的计算方法了。 4．例4及“做一做”

（1）结合前三个例题的计算，引导学生回顾总结小数除以整数的计算步骤以及要注意的问题。 （2）在“做一做”中用改错的方式，提醒学生注意计算过程中常出错的问题。 （3）没有特别说明验算的方法，让学生用已学的知识自己思考如何验算。 5．练习三

第11题，通过填表引导学生回忆商不变的性质，为后面一个数除以小数的学习做准备。填完表可让学生进一步思考：如果被除数是0.15，除数是0.5，商应该是多少？虽然学生这时没有学习除数是小数的除法，但凭借表中的商不变规律，是可以类推出的，这样为一个数除以小数做一些准备。 一个数除以小数

小数除法教学的重点，关键在于把除数是小数的除法转化成除数是整数的除法。 ○ 教材的编排：

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例题的设计与原义教教材相同。

没有安排对商不变性质的复习（前面练习中安排了）。 没有出现文字概括形式的计算法则，不再进行总结概括。

○ 具体的教学内容： 1．例5

（1）教学一个数除以小数，由编“中国结”的情境引入。

（2）用“想一想，除数是小数怎么计算”突出讨论的重点，用学生的话点明解决问题的基本方法是“把除数转化成整数”。

（3）用虚线框的图示呈现了根据商不变的性质，把除数和被除数同时扩大到原来的100倍，使除数变成整数的过程。之后出示简便的写法。 （4）教学前可先复习商不变性质。 2．例6及“做一做”

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教学被除数的小数位数比除数小数位数少的情况。

（2）用学生提问“被除数的位数不够怎么办？”引起思考。并通过虚线框里的图示说明在把除数变成整数小数点要向右移动两位，而被除数12.6只有一位小数，要在被除数末尾用“0”补足。

（3）“做一做”第2题，呈现了小数除法中学生容易出现的两种错误，通过纠正错误，明确计算小数除法要注意的问题。

（4）到这里小数除法的教学基本完成，可以引导学生对小数除法的计算方法进行小结。小结时，要鼓励学生用自己的语言描述，再加以提炼。在学生概括的基础上，教师可以引导学生把小数除法总结出三个步骤： 一看：看清除数有几位小数；

二移：把除数和被除数的小数点同时向右移动相同的位数，使除数变成整数。当被除数位数不足时，用“0”补足；

三算：按照除数是整数的小数除法的方法计算。 商的近似数

○ 教材编排的变化：

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情境贴近学生的生活，体现商的近似数知识在生活中的应用。 呈现用计算器计算，符合生活实际，减轻学生计算负担。

○ 具体的教学内容：

1．例7

（1）通过买羽毛球的情景，说明在现实生活中会遇到除法除不尽的情况，可根据需要取商的近似数。 （2）呈现用计算器算比较复杂的小数除法，把重点放在如何根据生活实际的需要保留一定的小数位数上。 2．练习四

第3题，通过小数点在被除数和除数中位置的变化，让学生体会商的变化规律。

第7题，可提很多数学问题，如“一共有多少位学生”“一共要花多少钱”“每个学生一共要准备多少钱”等。

第9题，题中隐含了“上半年是6个月” “第二季度有3个月”等中间条件，综合性比较强。

第12题，需要应用小数乘、除法的意义，根据等号右边得数与左边已知数大小比较，来判断该填什么运算符号。

思考题的解法比较多，①看12.5元中包含多少个2.5元，由12.5÷2.5=5中，可知停车时间是1＋（5－1）×0.5＝3（时）；②用总钱数减去2.5元后，再看剩下的钱包含多少个2.5元，就有多少个0.5小时，再用这个时间加上1小时。 循环小数

这部分内容概念较多，且比较抽象，是教学的难点。 ○ 教材编排的变化：

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创设贴近学生生活的问题情境，在解决实际问题中引出要学习的内容。

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体现学生观察、思考、探索商的规律的过程。

体现小组合作、自主探索的学习方式。（如讨论：两个数相除，如果不能得到整数

商，所得的商会有的两种情况，从而引出有限小数、循环小数的概念。）

○具体的教学内容： 1．例8

教学商从某一位起，一个数字重复出现的情况，为认识循环小数提供感性材料。 2．例9

通过计算两道除法式题，呈现了除不尽时商的两种情况：一种是从某位起重复出现某个数字；另一种是从某位起几个数字依次不断重复出现。由此引出循环小数的概念并介绍循环小数的简便记法。 3．介绍有限小数和无限小数

通过组织学生讨论“两个数相除，如果不能得到整数商，所得的商会有哪些情况”。由商的两种情况，介绍有限小数和无限小数的概念。

以前学生对小数概念的认识仅限于有限小数。到学习了循环小数以后，小数概念的内涵进一步扩展了，循环小数就是一种无限小数。 用计算器探索规律

结合小数除法的学习，安排了用计算器探索规律的内容，让学生感受发现规律的乐趣，同时体会计算器的工具性作用。 例10

1．包括“用计算器计算——观察发现规律——用规律写商”三部分。其中商的规律是：都是循环小数；循环节都是被除数的9倍，如 1÷11＝0.0909?的循环节是09， 2÷11＝0.1818?的循环节是18， 3÷11＝0.2727?的循环节是27， 4÷11＝0.3636?的循环节是36

根据这一规律就可以直接填出下面一组题的商。

2．教学建议：① 让学生经历的发现规律的思维过程，即观察、对比、分析的过程，要给留给学生足够的独立思考时间。② 可以采用先独立发现，再小组交流的方式组织教学。③ 用发现的规律写出商后，要问“你是根据什么来写这些商”，让学生说出自己应用规律的思维过程，加深对规律的理解。 练习五

第1题，如果商是循环小数的，只要除到出现两个循环节时就可以了。

第2题，用计算器计算除法时，当商是无限小数时，有的计算器会自动将计算结果按“四舍五入法”保留一定的位数，比如9.4÷6计算器上显示的商为1.5666667，是个近似数。由于这道题使用的是等号，所以需要学生把近似数“还原”为循环小数。

第6题，与以前学的比较小数的大小方法相同，但比较时要把循环小数的简便记法进行还原，如比较1. 解决问题

这里安排了有特殊数量关系的连除问题（例11）和根据实际情况用“进一法”和“去尾法”取商的近似值的问题（例12）。 1．例11及“做一做”

（1）需要连除解决的实际问题，特点是：总量与两个变量有关系，并随着两个变量的变化而变化。例如， 220.5千克奶，既与3头奶牛有关系，也与一周（7天）产奶时间有关系，这类问题的应用比较广泛。 （2）题中“7天”这个条件通过“上周”这个词隐藏了起来。

（3）通过两个学生的对话呈现了两种不同的解决问题的方法，体现了解决问题策略的多样化。 （4）两个学生的思路、解题过程都没有完全呈现，让学生自己参与完成。

（5）“做一做”的题目，在解决问题中不但要用到小数除法，还要用到小数乘法，知识的综合性更强。 （6）教学建议：① 在引导学生分析数量关系时，可以采用先独立思考、再小组交流的方式进行。如果学生有困难，教师应给予必要的提示，比如问学生“能一步算出每头奶牛每天的产奶量吗”，“如果不能，那么应该先算什么，后算什么”??也可通过线段图形象地表示数量关系。②要鼓励学生多向思维，体会解决问题策略的多样化，但不能要求每个同学都掌握多种解题方法。 2．例12及“做一做”

（1）安排了两道小题，分别教学：在解决问题时，需要根据实际用“进一法”（第1小题）和“去尾法”（第2小题）取商的近似值。

（2）两题算出的结果都是小数，由于要求的瓶子数和礼品盒数都必须是整数，因此都要取计算结果的近似值。在取近似值时，不能机械地使用“四舍五入法”，而是要根据具体情况确定是“舍”还是“入”。 （3）强调“在解决实际问题时，要根据实际情况取商的近似值”。

（4）教学中，不要求学生掌握“进一法”“去尾法”这些概念，只要学生能根据具体情况掌握这些求商的近似值的方法就行了。可让学生说一说生活中哪些地方用到了“进一法”或“去尾法”，感受这些方法的现实意义。 3．练习六

○1.233时，要先把1.

“还原”为1.232323?再和1.233进行比较。

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第5、6、7题都是取商的近似值，第6题用到“去尾法”，第7题用到“进一法”。

第8题，需要两步计算解答，最后的结果需用“去尾法”取近似值，另外“8本相册”对于解答“孙老师还可以买几枝钢笔？”是多余条件。

第9题，注意：① 橙子粉瓶上隐藏了450克这个条件；② 在计算450÷16时就要遇到取商的近似值，然后再用取的近似值与9相乘。

第10题，按一般的分析解法为：6.3÷10000÷7×50000×31，由于出现的小数位数太多，可以这样想，50000平方米是10000平方米的5倍，10000平方米每天可以吸收6.3÷7=0.9（吨）二氧化碳，50000平方米8月份可以吸收0.9×5×31=139.5（吨）二氧化碳。不仅使解题过程变得简单，也培养了学生灵活解决问题的能力。 整理和复习

1．第1题，对本单元的知识进行回顾和整理。

2．第2题，用小数除法解决实际问题。本单元的解决问题既要用到小数除法，又要取商的近似值，综合性比较强，所以单列出来复习。 3．练习七

第4题，注意分清哪个是刘大伯，哪个是李大伯。通过题中刘大伯取得第一名和图中挂有奖牌的方式来说明图中左边的人物就是刘大伯，右边的老人比左边的老人多跑了2分钟，显然不是第一名，因此这个人就应该是李大伯。

第6题，解答思路是先想正确商是多少。题中说“由于小数点向右点错了一位，结果得24.6”，那么正确的商应是2.46。再用被除数3.69除以商2.46，得到除数是1.5。

（五）教学建议

1．抓住新旧知识的连接点，为小数除法的学习架设认知桥梁。

本单元内容与旧知识联系十分紧密。小数除法的计算法则是以整数除法中被除数和除数同时乘上相同的数（0除外）商不变，以及小数点位置移动规律等知识为基础来说明的。小数除法的试商方法、除的步骤和整数除法基本相同，不同的只是小数点的处理问题。因此，要注意复习和运用整数除法的有关知识，为新知识的学习奠定好基础。

2.联系数的含义进行算理指导，帮助学生掌握小数除法的计算方法。

小数除法的重点是突出小数点的处理问题，而商的小数点为什么要和被除数的小数点对齐要涉及数的含义。如，22.4÷4＝5.6

*

用4除22，商5以后，余数是2，化为20个十分之一，与十分位上的4合起来是24个十分之一。4除24个十分之一，商是6个十分之一，所以商“6”应该写在商的十分位上。故此，在说明小数除法的计算方法时要联系数的含义帮助学生理解算理。

第三单元 观察物体

（一）教材内容

“视图与投影”是《课标》中“空间与图形”领域的内容，每一学段要求不同： 第一学段：“能辨认从正面、侧面、上面观察到的简单物体的形状”。 第二学段：“能辨认从不同方位看到的物体的形状和相对位置”。 第三学段“：正式学习投影和三视图的知识。

所以在本册中没有给出视图的概念，而是采用“从不同方向观察”的表述。

学生已经积累了丰富的观察物体的感性经验，通过第一学段的学习，已经能辨认从不同位置观察到的简单物体的形状。本册通过让学生观察较为抽象的几何形体，○进一步认识到从不同的位置观察物体，所看到的形状是不同的；○能正确辨认从正面、侧面和上面观察到的简单物体；○能正确辨认两个及一组立体图形的位置关系和形状。 （二）教学目标

1．让学生经历观察的过程，认识到从不同的位置观察物体，所看到的形状是不同的。

2．通过观察实物，能正确辨认从正面、侧面、上面观察到的两个物体或一组立体图形的位置关系和形状。 3. 通过拼搭活动，培养学生的空间想像和推理能力。 （三）教材的编写特点

通过各种方式培养学生的空间观念。

本单元教材在编排上不仅设计观察活动，而且设计了需要学生进行想像、猜测和推理的探究活动，培养学生的空间想像力和思维能力。例如，呈现从不同方位观察一个立体图形所得到的三个图形，让学生用正方

体搭出相应的立体图形。这就要求学生要根据已有的图形的表象，不断在头脑中对这些表象进行组合和调整，最后再通过拼摆进行验证，从而使学生的空间想像力和思维能力得到充分的锻炼。 （四）具体编排 例1

教科书通过观察小药箱的活动，使学生认识到从不同方向观察立体图形看到的形状是不同的，在任一位置，都不能同时看到所有的面；使学生能够辨认从正面、左面和上面观察到的简单物体的形状。 教学时，可以分以下两步进行。

（1）提供相应实物，让学生站在不同的位置进行观察，说一说自己看到的是哪几个面。使学生真正体验到从不同方向观察同一物体，看到的形状是不同的；并且发现站在任一位置，都不能同时看到长方体所有的面，而最多只能看到它的三个面。

（2）指导学生分别从正面、左侧面和上面进行观察， 使学生能辨认从不同方向看立体图形得到的平面图形。

注意：①提供给学生的实物要足够大，观察时，视线都要垂直于被观察物体的表面。否则学生在观察的时候很难只看到一个面，会给教学带来不必要的麻烦。②使学生明确，这里所说的正面、左面和上面，都是相对于观察者而言的。③还可以让学生从右侧面和背面观察这个物体，描述所看到的形状。或提供一些其他的简单立体图形，如正方体、球、圆柱等，让学生观察，看一看观察到的是什么形状，为后面的学习做准备。

例2及“做一做” （1）例2

通过让学生观察两个简单立体图形组合的活动，学会辨认从不同方向观察到的两个物体的形状和相对位置。 前面学生学习的都是从不同方向观察一个物体，这里是进一步学习从不同方向观察两个物体的位置关系和形状。可分以下几步进行。

①让学生根据头脑中已有的从不同方向观察这些立体图形所得到的形状的表象，结合这两个物体的位置关系进行判断。如果学生有困难，教师可以提供相应实物，让学生通过观察进行判断。 ②让学生实地进行观察，检验自己的判断是否正确。

(2)做一做

呈现了从正面观察两个物体得到的一组图形，让学生判断可能是观察哪两个物体的组合得到的，进一步发展学生的空间观念。

“根据从一个方向看到的图形，判断是哪两个物体”要比“给出两个物体，辨认从某一个方向看到的图形”所要求的空间想像力和思维能力更高。教学时，可以将练习八中第2题作为基础，引导学生先想一想这两个立体图形可能是什么，并根据这两个平面图形的位置进行猜测，再验证。 练习八

第2题，让学生根据从一个方向看到的图形，判断所观察的物体是什么立体图形，使学生认识到从同一个方向观察不同形状的立体图形，得到的形状也可能是相同的；不能只根据一个方向看到的形状，就确定是什么立体图形，只有把从不同方向看到的形状进行综合，才能形成完整的表象。在教学例1时，已经提醒教师做了一些铺垫。这里教师可以引导学生先根据头脑中已经具有的从不同方向观察立体图形所得到的形状的表象进行猜测，再验证。进一步引导学生思考，如何再增加条件，使其他人能确定是什么立体图形。而且可以让学生仿照此题进行活动，加深学生的认识。

第3题，呈现了从不同方位观察两个物体得到的三组图形，让学生判断是观察哪两个物体的组合得到的，培养学生的空间想像能力和思维能力。由于有了第2题和例2的“做一做”的基础，教师可以放手让学生自主探究。但要注意引导学生进行有序的思维，例如：先根据从正面看到的图形进行想像、猜测；再根据从左面和上面看到的图形对前面的猜测进行修正并得出结论。如果学生有困难，教师可以提供相应的实物帮助学生判断。 例3及“做一做” （1）例3

呈现观察4个小正方体搭成的一个简单立体图形的活动，使学生进一步学习从不同的方向观察立体图形，发展学生的空间观念。可以分以下几步进行。

①让学生辨认从不同方向观察立体图形得到的平面图形。

②让学生用4个小正方体在小组中摆出不同的立体图形，再指导学生从不同的方向进行观察。对观察的结果进行比较，并认识到从同一角度观察不同形状的立体图形，得到的平面图形可能是相同的，也可能是不同的。

③教师也可以逐步提出要求让学生进行拼摆，例如：用4个小正方体拼摆，先使从正面观察这个立体图形得到的图形与例题中的相同（会有无数种可能）；再使从左面观察到的图形与例题相同（也有无数种可能）；最后，使从上面观察到的图形与例题相同（只有一种可能）。在这个过程中教师可以不断提问“能确定立体图形的形状了吗”，使学生认识到仅仅依据从一个或两个方向看到的图形不能确定立体图形的形状。 教师还可以增加小正方体的数量，进行类似的活动，但注意数量不宜过多。 （2）做一做

呈现观察4个小正方体搭成的两个简单立体图形的组合的活动，使学生进一步学习辨认从不同方位观察到的两个物体的形状和相对位置。可以让学生直接判断，如果学生有困难，教师可以提供相应的实物帮助学生判断。 练习九

第2题，呈现了从不同方位观察一个立体图形得到的三个图形，让学生用正方体搭出相应的立体图形。教师可以放手让学生自主探究，然后组织全班同学讨论交流拼搭的方法。注意引导学生有步骤、简洁地进行操作。例如：先根据从正面看到的图形进行拼摆，会有无数种摆法，教师应提醒学生选择比较简单的方式；再根据从左面和上面看到的图形对所拼搭的立体图形进行调整并完成。

第3题，让学生先摆出所给的立体图形，再在附页1的方格纸上画出从不同方向观察到的图形。 如果有的学生凭借空间想像力直接画出这几个图形，也是可以的，但不要要求所有的学生都能达到这种水平。 第4题，让学生根据从一个方向看到的图形，判断所观察的物体是什么立体图形，使学生进一步认识到：不能只根据一个方向看到的形状，就确定是什么立体图形。如果是由3个正方体搭成的，那么只有一种可能；如果是由4个正方体搭成的，那么就有无数种可能了。教师还可以让学生说一说或在方格纸上画出，从不同的方向观察自己所搭的立体图形得到的图形；还可以让学生小组活动，由一名学生增加所给的条件，使其他人能准确地摆出这个立体图形。

第5题，让学生根据从一个方向看到的图形，判断所观察的两个物体是如何拼搭的。根据所给的条件，可能有无数种搭法，教材中给出了两种。教学过程可以参考第4题。

第6题，让学生联系生活经验进行辨认，使学生体会到同一景物在不同位置拍摄出来的画面不同。 （五）教学建议

1．准备好必要的教具和学具。

由于本单元有大量的观察和拼搭等活动，所以除教具外，最好每个学生都准备一套相应的学具。可以结合实际，指导学生自制学具。

.

注意让学生真正地、充分地进行活动和交流。

只有在活动的过程中，学生才能真正经历观察、想像、猜测、分析和推理等过程，学生的空间想像力和思维能力才能得以锻炼，空间观念才能得到发展。因此，教师要切实组织好学生的课堂活动，要让所有的学生都真正地、实实在在地进行观察和操作。注意不要让教师的演示或少数学生的活动和回答来代替每一位学生的亲自动手、亲自体验和亲自思考。并应鼓励学生敢于发表自己的意见，与同伴交流自己的想法，在交流中理清思路，互相启发。

第四单元 简易方程

一、教学内容 1．用字母表示数

2．简易方程（解方程、列方程解决实际问题） 二、教学目标

1.初步认识用字母表示数的意义和作用，能够用字母表示学过的运算定律和计算公式，能够在具体的情境中用字母表示常见的数量关系。初步学会根据字母所取的值，求含有字母式子的值。 2.初步了解方程的意义，初步理解等式的基本性质，能用等式的性质解简易方程。

3.感受数学与现实生活的联系，初步学会列方程解决一些简单的实际问题。培养学生根据具体情况，灵活选择算法的意识和能力。 本单元的作用

1.从具体到抽象、个别到一般的一次飞跃。

具体的物（3个苹果）----数（3）----字母（用字母a表示3）

用一个符号表示一个数（常量）----用一个符号表示可变的、抽象的数（变量） 2.有助于对所学的算术知识进行巩固和加深理解。 运算定律、周长与面积计算公式

3.有利于加强中小学数学的衔接，初步渗透代数的思想。

（1）算术思维方法存在局限性：※逆向思考，※未知数不参加运算，等于缺少一个条件，思维的步骤增加。 （2）代数方法是数学的一般方法，在这里学习方程，可先行渗透代数方法。 课标对这方面内容的规定和说明：

（１）在具体情境中会用字母表示数。（２）会用方程表示简单情境中的等量关系。（３）理解等式的性质，会用等式的性质解简单的方程（如３x＋２＝５，２x－x＝３）。 和义务教材对比，有以下不同： （1）解方程的方法

九义教材：利用四则运算各部分间的关系

实验教材：利用等式的性质，思路更统一，基本方程的解法可归结为“两边同时加上、减去、乘上、除以同一个数（除法时此数不能为0）”。

从已有的实验来看，方程解法的这种改变学生是可以接受的。在培训过程中，也有很大一部分老师认可这种改变。 （2）方程的类型

由于利用等式的性质解方程，实验教材删去了a－x=b 、a÷x=b的方程基本类型（不是不能解，是解答过程比较麻烦，如果学生列出这样的方程，一是可以让学生自主探索解方程的方法，二是可以引导学生列出其同解方程，如x＋b=a、bx=a）。 增加了a(x±b)=c的类型。

（3）解方程与解决实际问题的教学有机整合。

九义教材：先独立学习解方程，再学习列方程解应用题，重难点分散。

实验教材：为了突出数学与实际生活的联系，方程是根据现实素材而列出来的，因此解方程的过程就是解决实际问题的过程，尤其是在“稍复杂的方程”部分，两者完全融合。

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具体内容

标题 例1 第1节 用字母表示数 例2 例3 例4 方程的意义 第2节 解 方 程 例1 例2 例3 例4 稍复杂的方程 例1 例题安排 用字母表示数 用字母表示运算定律 用字母表示计算公式 用字母表示数量关系 方程的意义 等式基本性质一 等式基本性质二 方程的解、解方程 解形如x±a=b的方程 解形如ax=b或x÷a=b的方程 列方程解加减计算的问题 列方程解乘除计算的问题 解方程ax±b=c及其应用

1．用字母表示数

例1（用字母表示某个具体的数）

通过复习以前所学知识，巩固用符号、字母表示某个具体的、特定的数，渗透求未知数的思想，从符号表示逐渐过渡到字母表示，并引出例2。

例2（用字母表示运算定律）

（1）使学生认识用字母表示运算定律的简明性、优越性，一是可以表示一般规律，二是叙述方便。在这儿，字母不止表示一个特定的数，而是表示一般的数。 （2）两字母相乘的表示法。

（3）教材上只给出乘法交换律的表示法，要求学生自己写出其他定律。

“你知道吗？”

介绍单位名称的字母表示法，今后教材中的单位名称一般用字母表示，面积单位可放在例3平方的表示法以后再教学。

例3（用字母表示面积和周长计算公式）

（1）两个过程：用公式表示面积、周长公式是一个一般化的过程（具体到抽象），而根据公式计算某一具体图形的面积和周长则是一个特殊化的过程（代入求值）。代入求值在这儿要多加训练，后面解方程的验算就是一个代入求值的过程。

（2）平方的表示，数与字母相乘的表示。

例4（代数式）

. . . .

用一个代数式可以表示两个含义：数量、数量关系。如a＋30可以表示爸爸的年龄，

也可以表示爸爸与小红年龄之间的关系。

通过归纳法，从具体到一般，得出代数式的表示法，渗透函数思想，第1小题是加

减法数量关系，第2小题是乘除法关系。

渗透函数中自变量的取值范围（定义域）。 代入求值。

练习十

出现一些常见的数量关系，如第6、7题的速度、时间、路程以及单价人、数量、总价的数量关系。

2．解简易方程 方程的意义

（1）通过用天平称量物体的活动引出方程概念，与后面利用天平原理解方程相一致。 （2）前面已经有了列代数式的基础，因此天平左边的代数式学生比较容易列出来。 （3）通过两边物体轻重的直观比较引出不等式及方程。

（4）根据方程的概念自己写一些方程，范围可以很广，可以包括多元方程，只要符合方程的定义即可。 天平原理（等式性质）

（1）利用直观的形式使学生理解天平平衡的两条原理（在方程中相当于作同解变换）： 天平保持平衡的原理1：两边同时加上或减去相同的数，左右两边仍然相等；

天平保持平衡的道理2：两边同时乘上或除以相同的数（0除外），左右两边仍然相等。

（2）其中第二、四个图蕴含了解方程的思路（即天平的左边只留下一种物体，在解方程时，最终目标是使方程左边只剩下未知数）。 解方程

? 方程的解和解方程的概念

（1）利用前面天平平衡的素材直接给出现成的方程，因此不涉及到如何列方程。

（2）利用已有知识，通过四种不同的方法求出未知数的值，其中一种方法就是后面要学到的一般的解方程的方法。再给出方程的解和解方程等概念。

? 解基本的方程

例1（x+a=b）

. . . .

情境相对简单，利用直观即很容易列出方程，因此重点不是列方程而是解方程。 天平原理的直观演示与抽象的方程解法相对应。

重点突出“为什么要减3”这一问题，目的是使方程一边只剩下未知数。 验算。就是前面所学的代入求值的过程。

例2（ax=b）

具体过程同例1。“除以几”要求学生根据直观图自行探索。

x－a=b、x÷a=b这两种类型的解法要求学生利用所学知识进行迁移类推，不出专门例题，在“做一做”中出现。

※解方程的一般性方法、步骤也要求学生自行总结。

例3（列方程解形如x±a=b的问题）

. . . . .

结合现实情境。

先给出算术解法，但在用算术方法解答时实际已经把“今天水位超过警戒水位0.64

米”转化成了“警戒水位比今天水位低0.64米”，就是所谓的逆思考。

由于列方程解决问题时未知数是参与运算的，所以第一步要把未知数设成一个“假

设已知数”。

第二步，根据题目中信息的叙述方式，通过顺向思考列出数量关系。由于是刚接触

方程，列出文字性的数量关系对于学生正确地列出方程是很重要的。

根据数量关系列出方程（此时数量关系中的每一部分都是作为“已知数”参与运算

的），解方程和验算的过程在这儿不是重点，可让学生独立完成。

例4（列方程解形如ax=b或x÷a=b的问题）

（1）基本过程同例3，可更多地让学生自主探究，列方程的过程中要注意单位统一，如把“半小时”写成“30分”，把“1.8千克”化成“1800克”。

（2）渗透环保教育。 练习十一

第8～11题结合生活实际，取材面宽。

稍复杂的方程

例1（列方程解形如ax±b=c的问题）

. . . .

把解方程和用方程解决问题有机结合，在解决问题的过程中解较复杂的方程。 结合平时司空见惯的现实素材（足球上两种颜色皮的块数）引出，这种问题用算术

方法解决思考起来比较麻烦。

解方程的过程其实是由解若干基本方程构成的（y-20=4，2x=24），需要强调把2x

看成一个整体。

可以列出不同的方程，如2x－4=20，关键是使学生理解数量关系。

练习十二

素材比较丰富，渗透许多常识教育、国情教育，如动物的奔跑速度、华氏温度与摄氏温度的关系，天安门广场面积、干旱地区的年降水量等。

例2（列方程解形如ax±ab=c的问题）

. . . . .

根据不同的思路列出不同的数量关系，进而列出不同的方程。

两个方程之间有内在的联系，从2x＋2.8×2＝10.4到（2.8＋x）×2＝10.4实际是

运用了初中的“合并同类项”，而从后者到前者实际是“去括号”的过程。

第一种解法只是在例1的基础上多了一步，可自行解决。

第二种解法的重点是要把小括号里的看成一个整体，可认为是2y＝10.4和2.8＋x

＝5.2的组合。

教学时，可改变条件，先从2x＋2.8×3＝13.2引入，再把3千克梨改成2千克梨，

再在此基础上列出第二个方程。

例3（列方程解形如ax±bx=c的问题）

. . .

此类问题称为“和差、和倍、差倍问题”，用算术方法解比较难。

有两个未知数，但是两个未知数之间存在和差关系或倍数关系，因此其中一个未知

数可以用另一个未知数的形式来表示。

重点是设谁是x，一般为了解方程方便，设倍数关系中的单位量为x。当然，也可任

意设，只是解答起来比较困难。教学时，可能有学生设海洋面积为x亿平方千米，列出的方程是x＋x÷2.4＝5.1，只是解方程的方法超出学生的接受范围，教师适当引导即可。

. .

解方程的过程就是一个乘法分配律进行合并同类项的过程。

求海洋面积时可以根据不同的数量关系用不同的方法求（地球总面积－陆地面积、

陆地面积的2.4倍）。

练习十三

可鼓励学生列出不同的方程，从不同的角度思考。如第6题，如果设第一个自然数是x，则方程为x＋（x＋1）＝97，如果设第二个自然数是x，则方程为（x－1）＋x＝97。第8题，利用不同的已知信息可列出不同的方程，如利用“我比你大24岁”，则方程为3x－x＝24，如利用“妈妈今年的年龄是我的3倍”，则方程为x＋24＝3x。

四、教学中需注意的问题

. . . .

关注由具体到一般的抽象概括过程，培养学生初步的代数思想。 用好教材资源，适当扩展联系实际的范围。

重视良好学习习惯的培养。（字母相乘的写法、验算等） 正确看待解方程方法的改变。

第五单元 多边形的面积

一、教学内容

※平行四边形的面积 ※三角形的面积 ※梯形的面积 ※组合图形的面积

到本单元结束，多边形面积的计算就基本学完。组合图形的面积在义务教育的教材中是选学内容。本单元安排在平行四边形、三角形和梯形面积计算之后学习，学生在进行组合图形面积计算中，要把一个组合图形分解成已学过的平面图形并进行计算，可以巩固对各种平面图形特征的认识和面积公式的运用，有利于发展学生的空间观念。 二、 教学目标

1．利用方格纸和割补、拼摆等方法，探索并掌握平行四边形、三角形和梯形的面积计算公式。会计算平行四边形、三角形和梯形的面积。

2．认识简单的组合图形，会把组合图形分解成已学过的平面图形并计算出它的面积。

三、编排特点

1．加强知识之间的联系，促进知识的迁移和学习能力的提高。

在认识这些图形时是按照四边形和三角形分类编排，学习这些图形的面积计算则以长方形面积计算为基础，以图形内在联系为线索，以未知向已知转化为基本方法开展学习。安排顺序：

2．体现动手操作、合作学习的学习方式，让学生经历自主探索的过程。

各类图形面积公式的推导均采用让学生动手实验，先将图形转化为已经学过的图形，再通过合作学习的方式，探索转化后的图形与原来图形的联系，发现新图形的面积计算公式这样一个过程。同时按照学习的先后顺序，探索的要求逐步提高。

平行四边形面积的计算，是先借助数方格的方法，得到平行四边形的面积；再引导学生将平行四边形转化为一个长方形，推导出平行四边形的面积计算公式。三角形的面积计算就直接要求学生将三角形转化为已学过的图形推导出面积计算公式。到梯形面积的计算，要求学生综合运用学过的方法自己推导出面积计算公式。

每一种图形教材均没有给出推导的过程和计算公式，以便于学生从多种途径探索，自己得出结论，从而给教师和学生都留以较大的创造空间。

3．注意练习的探索性，形式多样化，以促进学生对知识的理解和灵活运用。

练习的编排减少了直接用公式计算的习题，安排了较多的应用问题、变式题、用间接条件求面积及画一画、分一分的操作性习题，并安排的一定数量的思考题。习题的探索性加强，例如过去直接要求量出图形底和高的长度求出面积，现在则要求学生自己想办法求出图形的面积。

另外本单元还安排了两个“你知道吗？”，介绍我国古代数学著作和数学家对平面图形面积的推导和计算方法，丰富学生对我国数学史的认识。 四、具体编排

主题图

设计了一幅街区图。由小精灵提出观察的要求：“你发现了哪些图形？你会计算它们的面积吗？”这样把本单元教学与已有图形的认识联系起来，引入面积计算的教学。学生通过观察主题图去发现图形，巩固和加深了对已学过的图形特征的认识，并可把学习的内容与学生生活实际紧密联系，使学生体会到自己生活的空间就是一个图形的世界。

教学时可以利用主题图作为新旧知识过渡的桥梁，引导学生仔细观察，充分发表意见。有条件的地方可以将主题图做成多媒体课件。 平行四边形的面积

编排意图：

教材分三个步骤安排。

（1）引入。从主题图中学校大门前的两个花坛（一个长方形，一个平行四边形）引入一个实际问题：两个花坛哪一个大？也就是要计算它们的面积各有多大。长方形的面积学生已经会计算，从而提出如何计算平行四边形面积的问题。

（2）用数方格的方法计算面积。这是一种直观的计量面积的方法，在学习长方形和正方形面积计算时学生已经使用过，但是像平行四边形这样两边不成直角的图形该如何数？对学生讲是一个新问题。教材给出提示，不满一格的都按半格计算。教材安排同时数一个长方形和一个平行四边形的面积，再对它们的底（长）、高（宽）和面积进行比较，暗示这两个图形之间的联系，为学生进一步探寻平行四边形面积的计算方法做准备。

（3）探究平行四边形面积计算公式。提出“不数方格能不能计算平行四边形的面积呢？”通过学生动手操作，用割补的方法把一个平行四边形转化为一个长方形，找出两个图形之间的联系，推导出平行四边形面积的计算公式。

最后把面积计算公式用字母表示。 教学建议：

（1）结合引入环节进行长方形面积计算和平行四边形概念的复习。

（2）数方格和填表环节要让学生独立完成，然后让学生交流一下是怎样数的和数的结果。有的学生可能用把斜边上的不满一格的两个格拼成一个方格的方法，也应给以肯定。要组织学生对填表的结果进行讨论，学生比较容易发现两个图形的底与长、高与宽和面积分别相等。教师可以进一步提问：根据你的发现你能想到什么？培养学生联想、猜测的能力，同时为下一步的探究提供思路。

（3）探究平行四边形的面积公式是本课的重点。可以用提出假设——动手实验——推导——概括的步骤开展探究活动。

第一步根据上面的讨论提出假设：是否可以把平行四边形变成一个长方形来计算出它的面积？

第二步组织学生动手实验，要求每个学生准备一个平行四边形和一把剪刀。教师注意巡视和进行个别指导。学生一般会出现以下两种割补的方法，都应给以肯定。

第三步小组讨论：观察拼出的长方形和原来的平行四边形你发现了什么？这是本课教学的关键，也是学生学习的难点。有些学生可能不知怎样去思考。可以出示一些问题引导学生思考。积计算公式吗？

第四步进行全班交流，要求学生叙述出自己的推导过程。

在此基础上利用多媒体课件或教具进行演示（如第81页的图），注意在演示过程中显示平移的方法。

练习十五

第2题要求学生自己想办法求出平行四边形的面积，有一定的探索性。学生需要先画出平行四边形一边上的高，再量出底和高的长度，最后应用公式进行计算。

第3题是逆用公式的题目，已知平行四边形的面积和底，求高。引导学生依据乘除法的互逆关系学会灵活运用公式。

第5题认识等底等高的平行四边形的面积相等。先不要学生计算，引导学生讨论它们的面积相等吗？并说明理由。（两个平行四边形共底，根据平行线间的距离处处相等，它们的高也相等）。 第8题是选作题。要求出小平行四边形的面积，必须知道它的底和高的长度，题中没有给出。但从

、

是大平行四边形上下两边的中点，可以推出小平行四边形的底是大平行四边形底长的一

2

*

半，它们的高相等，所以小平行四边形的面积是大平行四边形面积的一半，即48÷2＝24（cm） 三角形的面积 编排意图：

教材以小组合作学习的形式展现学生探究的过程。首先由怎样计算红领巾的面积这样一个实际问题引入三角形面积计算的问题；接着根据平行四边形面积公式推导的方法提出解决问题的思路：把三角形也转化成学过的图形；通过学生动手操作和探索，推导出三角形面积计算公式。最后用字母表示出面积计算公式。 教学建议：

（1）本部分教学可按提出问题、寻找思路、实验探究的步骤，以小组合作学习为主的形式进行。学生已经经历了平行四边形面积公式的推导过程，要以学生在推导中获得的经验为基础，放手让学生自主去探究。 （2）学生动手操作实验环节是本部分教学的重点。按教材的编排，把三角形转化成已学过的图形，没有采用平行四边形的割补方法，而是用两个同样三角形拼摆的方法。这个方法推导过程简单，学生比较容易理解和掌握。每个小组最少应准备相同的直角三角形、锐角三角形、钝角三角形各两个，教师可提出明确的操作和探究要求。学生可能拼出三角形、长方形和平行四边形，其中长方形和平行四边形学生已经会计算面积。在小组操作和讨论的基础上组织交流。可以选择用直角三角形、锐角三角形、钝角三角形拼的三种情况分别进行汇报，要求学生能根据拼出的图形叙述出推导的过程。在此基础上作总结归纳。

（3）根据学生的基础，也可以让学生用剪拼或折的方法进行推导，或结合教材第96页介绍的我国古代数学家刘徽的三角形面积计算方法，让学生进行推导，增强学生探究的兴趣，提高学生推理的能力。 练习十六

第1题还可以进行交通常识的教育。

第2题没有给出底和高的数值，要学生想办法求出每个三角形的面积。

第3题根据乘除法的互逆关系灵活运用三角形面积计算公式。

第6题根据三角形面积计算公式，使学生理解三角形相等的基本条件是等底（两个三角形共底）和等高（平行线间的垂直距离都相等）。可以让学生先讨论：图中你能找到几个三角形？哪两个三角形面积相等吗？为什么？再根据等底等高三角形面积相等的道理，画出三角形。

第7题是运用等底等高三角形面积相等的道理去分三角形（将底平分为4份）。

第8题是选作题。已知两个三角形的面积和高，可以分别求出它们的底长，也就是平行四边形的两条边长。 第9题也是选作题。可以让学生根据三角形面积公式的推导和对三角形面积相等的判别知识进行推理。平行四边形的对角线把平行四边形分成两个相等的三角形，每个三角形面积是平行四边形面积的一半；

点是其中一个三角形底边的中点。根据等底等高三角形面积相等，涂色的三角形的面积是这个

**

三角形面积的一半，也就是平行四边形面积的四分之一。所以涂色三角形的面积是 48÷4=12（㎡）。 梯形的面积 编排意图：

与前两节一样，先通过小轿车车窗玻璃是梯形的这样一个生活实例引入梯形面积计算。然后通过学生动手实验探索出面积计算公式，最后用字母表示出梯形面积计算公式。但是要求又有提高，不再给出具体的方法，而是要求用学过的方法去推导梯形面积计算公式。这里仍然要运用转化成已学过图形的方法，但是从教材中学生的操作可以看出，方法与途径多了，可以用分割的方法，也可以用拼摆的方法；可以转化为三角形进行推导，也可以转化成平行四边形进行推导。 教学建议：

（1）学生经过平行四边形和三角形面积公式的推导，已经知道要把梯形转化为学过的图形进行推导。前面平行四边形和三角形转化的方法不同，平行四边形主要是用割补的方法，而三角形主要用拼的方法。本课要求用学过的方法去推导，没有指明具体的方法。在学生操作实验前，可以先回忆一下前面运用过的两种方法，有条件的可以把前面推导的过程制成课件，比较直观。在此基础上放手让学生自己去做，教师不必提出统一的操作要求。

（2）梯形面积计算公式推导有多种方法，教材显示了三种方法。

第（1）种方法比较容易推导和理解，（2）和（3）因为涉及乘除法运算定律 、性质和等式变形，学生的推导会有困难。教学中要鼓励学生用多种方法进行推导，在此基础上进行汇报和交流。可以第（1）种方法为研究重点，让学生叙述推导的过程，得出梯形面积计算公式。（2）和（3）种方法可视学生接受能力，不做统一要求。

学生在操作实验中，可能会出现更多的方法。例如教材第96页的方法，注意给学生留有较充分的操作和交流时间。 练习十七

第3题要选择条件进行计算，有些是间接条件要转化为直接条件。通过练习可以加深学生对梯形面积计算公式的理解和记忆。

第6题，可结合教材中的图使学生理解圆木堆的横截面可以看作一个梯形，梯形的上底长相当于顶层的根数，梯形的下底长相当于底层的根数，梯形的高相当于圆木的层数。所以可以借助梯形面积计算公式计算出圆木的总根数。

第8题是选作题。首先要考虑如何剪去一个最大的平行四边形。应该是以梯形上底长度为底长的平行四边形。

组合图形的面积

组合图形面积的计算在义务教育教材中是选学内容。现在放在多边形面积计算最后学习，有利于综合运用平面图形计算的知识，进一步发展学生的空间观念。 编写意图：

由于实际生活中，我们见到的物体表面，许多是由我们已学过的正方形、长方形、平行四边形、三角形及梯形组合成的图形，所以教材紧密结合生活实际认识组合图形。

首先提供了几个生活中具体物品：中队旗、房屋的一面墙、风筝、由七巧板拼成的一个长方形，通过在这些物品的表面中找图形，使学生认识组合图形是由几个简单图形组合而成的。然后要求学生在自己的生活中找一找组合图形，以巩固对组合图形的认识。

例4是学习组合图形面积的计算，因为限于简单的组合图形，教材主要安排2～3个简单图形的组合。由于一个组合图形可以有不同的分解方法，教材展示了两种计算方法。 教学建议：

（1）可以使用教材中的实例，也可以应用学生身边的实例。有条件的地方可以做成幻灯片或多媒体课件，方便学生观察和讨论。着重让学生观察这些物品的表面有哪些我们学过的图形，建立组合图形的概念，同时为学习组合图形面积的计算打下基础。

（2）观察实物注意从易到难，例如，房子和七巧板，比较容易找到组成它们的图形，而中队旗学生可能就会有不同的看法，可以看成有两个梯形，也可以看成有一个长方形和两个三角形，还可以看成有一个梯形和一个三角形。要鼓励学生发表不同的看法。

（3）找生活中的组合图形时，要强调从物体的表面上找，不要与立体组合图形混淆。

（4）教学例4时，可先组织学生讨论：怎样才能计算出这面墙表面的面积？明确计算组合图形面积的基本思路，即可以把组合图形分成我们已经会计算面积的简单图形，分别计算出它们的面积，再求和。 （5）在讨论的基础上，让学生试做。鼓励学生用不同的方法去计算，然后交流各自的算法。还可结合学生提出的方法，让学生比较一下，哪种方法简便。通过试做、交流、讨论，使学生进一步理解和掌握组合图形面积的计算方法，认识到要根据已知条件对图形进行分解，不是任意分解都能计算的；分解图形时要考虑尽量用简便的方法计算。 练习十八

第1题和第2题图形形状是相同的，只是给出的条件不同，都可以用不同的方法计算。

*

第3、4、5题的思考方法是一样的。通过这几题的练习，使学生知道计算组合图形的面积，不仅做加法，有时也要用一个图形面积减去另一个图形的面积。可以选一道题让学生讨论计算的方法，再独立完成其他几题。第5题要指导学生看图，它不是两幅图，而是一个组合图形的分解图。 五、教学建议

.

重视动手操作与实验。

本单元面积公式的推导都是建立在学生数、剪、拼、摆的操作活动之上的，所以操作是本单元教学的重要环节。教师既要做好引导，又要注意不要包办代替，一定要学生在独立思考和合作交流的基础上进行操作，切忌由教师带着做。通过实际操作活动，发展学生的空间观念，培养动手操作能力。

.

引导学生探究，渗透“转化”思想。

“转化”是数学学习和研究的一种重要思想方法，本单元面积公式的推导都采用了转化的方法。教学中，应以学生的探究活动为主要形式，教师加强指导和引导。通过操作，一方面启发学生设法把所研究的图形转化为已经会计算面积的图形，渗透“转化”的思想方法；另一方面引导学生去主动探究所研究的图形与转化后的图形之间有什么联系，从而找到面积的计算方法，切忌由教师直接演示讲给学生。利用讨论和交流等形式，要求学生把自己操作——转化——推导的过程叙述出来，以发展学生的思维和表达能力。

3．注意培养学生用多种策略解决问题的意识和能力。

运用转化的方法推导面积计算公式和计算多边形面积，可以有多种途径和方法。教师注意不要把学生的思维限制在一种固定或简单的途径或方法上，要尊重学生的想法，鼓励学生从不同的途径和角度去思考和探索解决问题。

第六单元 统计与可能性

? 教学内容

1．事件发生的可能性以及游戏规则的公平性，会求简单事件发生的概率。

关于“可能性”，本套教材分两次编排。首次是在三年级上册，让学生初步体验有些事件的发生是确定的，有些则是不确定的；第二次在本册。本单元内容是在三年级基础上的深化，使学生对“可能性”的认识和理解逐渐从定性向定量过渡，不但能用恰当的词语来表述事件发生的可能性大小，还要学会通过量化的方式，用分数描述事件发生的概率。 2．中位数的统计意义及计算方法。

学生在三年级已经学过平均数，知道平均数是描述数据集中程度的一个统计量，用它来表示一组数据的情况，具有直观、简明的特点。但是当一组数据中有个别数据偏大或偏小时，用中位数来代表该组数据的一般水平就比平均数更合适。让学生理解中位数的意义，会求数据的中位数，并且在统计分析中能根据实际情况合理选择适当的统计量来描述数据的特征。 二、教学目标

1．体验事件发生的等可能性以及游戏规则的公平性，会求简单事件发生的可能性。

2．能按照指定的要求设计简单的游戏方案。

3．理解中位数在统计学上的意义，学会求中位数的方法。

4．会根据数据的具体情况，选择适当的统计量来反映数据的集中趋势。 三、编排特点

1．以学生熟悉的游戏活动和生活实际展开教学内容。

等可能性事件与游戏规则的公平性是紧密相联的，因为一个公平的游戏规则本质上就是参与游戏的各方获胜的机会均等，用数学语言描述即是他们获胜的可能性相等。因此，教材在编排上就围绕等可能性这个知识的主轴，以学生熟悉的游戏活动展开教学内容，使学生在积极的参与中直观感受到游戏规则的公平性，并逐步丰富对等可能性的体验，学会用概率的思维去观察和分析社会生活中的事物。此外，通过探究游戏的公平性，还可在潜移默化中培养学生的公平、公正意识，促进学生正直人格的形成。

在选材上特别注意联系学生的生活实际，教学中位数时，教材选取的掷沙包、跳远、跳绳等活动，都是学生几乎天天参与的游戏，可使学生在活动过程中完成数据的收集和整理，也便于教师组织教学。 2．经历引入中位数的必要性，突出中位数的统计意义。

中位数和平均数一样，也是描述一组数据集中趋势的统计量，但它和平均数有以下两点不同：一是平均数只是一个“虚拟”的数，即一组数据的和除以该组数据的个数所得的商，而中位数并不完全是“虚拟”数，当一组数据有奇数个时，它就是该组数据顺序排列后最中间的那个数据，是这组数据中真实存在的一个数据；二是平均数的大小与一组数据里的每个数据都有关系，任何一个数据的变动都会引起平均数大小的改变，而中位数则仅与一组数据的排列位置有关，某些数据的变动对中位数没有影响，所以当一组数据的个别数据偏大或偏小时，用中位数来描述该组数据的集中趋势就比较合适。 ⒊ 由易至难，逐步深入，从旧知引出新知。

学生在前面已经学过平均数，知道平均数是描述数据集中程度的一个统计量，所以教科书在引入中位数时，就以平均数为参照物，说明当一组数据中有个别数据偏大或偏小时，用中位数来代表该组数据的一般水平就比平均数更合适。这样编排，不但新旧知识过渡自然，便于学生理解和掌握，而且通过对比更加清晰地阐明了中位数的统计意义。

在介绍中位数的计算方法时，教科书在编排上采取了由易至难，逐步深入的方式。如例4和例5，列出的一组数据都是7个，即奇数个数据，从而最中间的那个数据就为中位数，可直接在数据组中找出；然后把7个数据变为8个，最中间就有两个数据，引出当数据个数为偶数个时计算中位数的方法。

?

具体编排

标 题 主题图、例1～例3 例4、例5 具体内容 体验事件发生的等可能性以及游戏规则的公平性，会求简单的事件发生的概率。 理解中位数的统计意义，会求给定数据的中位数；能根据实际情况选择适当的统计量描述数据的特征。

.

体验事件发生的等可能性以及游戏规则的公平性，会求简单事件发生的可能性。

主题图

主题图通过呈现学生熟悉的校园活动场景，引入本单元的学习内容。目的是从学生已有的生活经验出发，使学生体会到在我们的身边就存在大量的等可能性事件，平时的游戏活动中也隐含着许多公平性的问题。 这里通过引导学生探究击鼓传花、足球比赛等活动中蕴涵的概率思想，特别要引导学生从事件发生的可能性这个角度去观察问题，引导学生说说这些游戏活动对参与的各方是否公平。

教学时应注意说明每个活动的游戏规则，提出相关的数学问题让学生讨论。应注意引导学生从事件发生的可能性以及游戏规则是否公平这个角度来思考问题，不要过分关注游戏、活动内容本身。 例1

教科书呈现了足球比赛前用抛硬币来决定谁开球的场景，由小精灵提出问题“你认为抛硬币决定谁开球公平吗？”引出教学内容。设计目的是使学生理解随机抛掷一枚硬币时“出现正面和出现反面的可能性是相同的”，从而说明比赛的公平性。

教学时，为使学生更直观感受，可先让学生小组合作做抛硬币试验，并做好结果记录（如：每个小组抛100次，分别算出正面朝上和反面朝上的频率）。在试验完成后，教师可让学生汇报本组得到的结果。针对有的小组得到的结果可能与理论上的概率值相差较大，教师可以把各个小组试验的情况汇总，再进行分析，就可使结果更加逼近理论值。同时说明：当试验的次数增大时，正面朝上的频率和反面朝上的频率都越来越逼近 做一做

这是一个简单的转盘游戏，学生在三年级时就已经接触过了，知道指针停在红色区域的可能性比停在蓝色区域和黄色区域的可能性都要大，所以判断“这样公平吗”对学生来说并不困难，教学的重点应放在小精灵提出的问题“怎样设计这个转盘才公平”上。

引导学生思考：指针停在红色区域的可能性是多大呢？实现对可能性的认识由定性感受到定量刻画的自然过渡。

为便于学生理解，教材把转盘平均分成了四份，其中红色区域占两份，蓝色区域和黄色区域各占一份，所以指针停在红色区域的可能性是 是

，即

，而停在蓝色区域和停在黄色区域的的可能性都

。

，从而说明这个转盘设计得不公平。在此基础上，教师可引导学生从等可能性的角度来重新设计

，就可保证游戏的公平性了。

这个转盘，即将转盘平均分成三部分，红、黄、蓝各占 练习二十

第3题，虽然橡皮各部分的材料是均匀的，但它的6个面大小不等，一个面的面积越大，投掷后朝上的可能性也越大，所以，小强设计的这个方案不公平。 例2

通过击鼓传花的游戏，让学生理解用几分之几来表示可能性的大小及等可能性。教学的难点在于让学生认识到基本事件与事件的关系，即花落到每个人手里的可能性与落到男生（或女生）手里的可能性的联系。为了直观展现可能性由

变为

这一过程，教学时可借助学生熟悉的转盘游戏来模拟本活动：把

一个转盘平均分成18个区域，灰色区域代表男生，白色区域代表女生，灰白间隔，则例2的问题就转化为了指针停在灰色区域的可能性是多大，而这对学生来说就比较容易理解了。 做一做

又是一个转盘游戏，转盘表面被平均分成了8个部分，并着了红、黄、蓝3种颜色，分别占转盘表面积的 是

、

、

。教学时可先让学生观察转盘，认识到指针停在每一个小扇形区域的可能性都

，即基本事件的发生是等可能性的，然后再观察红、黄、蓝3种颜色各占几个小扇形，从而得出

指针停在红、黄、蓝三种颜色区域的可能性。

转动指针80次，根据上面的结果，则指针大约会有30（利用80× =30）次停在红色区域，这

是利用概率知识来预测事件发生的结果。教学时应指出这是理论上的结果，因为随机事件的概率值是建立在大量重复试验的基础之上的，所以在实际转动80次时，有可能会偏离这个结果，这也是正常的。 练习二十一

第1题，①把9张数字卡片打乱顺序后摆在桌子上，随机抽取一张，抽到每个数字的可能性都是 而单数有1，3，5，7，9，共5个，所以抽到单数的可能性是

，同理，抽到双数的可能性是

，。

可见，这个游戏对小芳而言是不公平的。②虽然游戏规则对小芳不利，但在一次或有限次试验中，小芳却不一定会输。③为了使游戏规则变得公平，可去掉一张单数卡片或再增加一张双数卡片，从而使得摸到单数和摸到双数的可能性都是

，就实现了游戏的公平。

第2题，这是一个开放题，教学时可放手让学生去设计，只要他们的方案满足红色区域占整个转盘面积的一半，绿色和黄色区域各占整个转盘面积的

就行。

第3题，①转盘被均匀地分成了10个区域，指针停在任一区域的可能性都相等，均为 指针时，乙能猜对指针停在哪一区域（即乙获胜）的可能性是 是

，所以这个游戏规则对乙来说是不公平的。

。当甲转动

，而乙猜错（即甲获胜）的可能性

②虽然乙获胜的可能性很小，但根据随机事件的特性，小概率事件也是会发生的，所以在一次试验中并不能断定乙就一定会输，只是说明乙输的可能性很大，尤其是在该游戏大量重复进行试验时，这一点会表现得更明显。

③针对教材中列出的四种猜数方法，第一种：不是2的倍数的数有1，3，5，7，9共5个，因而乙猜对的可能性是

；第二种：不是3的倍数的数有1，2，4，5，7，8，10共7个，因而乙猜对的可能性是

；

第三种：大于6的数有7，8，9，10共4个，因而乙猜对的可能性是 2，3，4，5，6共6个，因而乙猜对的可能性是

；第四种：不大于6的数有1，

。比较四种方法后发现，乙选择第二种方法获胜的

可能性最大，所以乙应选择第二种。特别要指出的一点是，第三种和第四种方法在概率论里称为 “互补事件”，两个互补事件发生的概率之和等于1。所以，如果我们已经知道了第三种方法获胜的可能性，第四种方法获胜的可能性就可直接通过减法计算求得。

④因为这个游戏只有甲、乙两个人参与，所以公平的游戏规则应是甲乙双方获胜的可能性都为 ，设

计规则时只要满足这个条件即可。如可让乙猜指针停在奇数或偶数上，或猜指针停在1～5这5个数字上等等。

例3及“做一做”

例3要求出小强获胜的可能性是多大，首先应找出小丽和小强玩“石头、剪子、布”的所有可能的结果。 从表中可见，一共有9种可能的结果，因为每人出石头、剪子、布的可能性都相同，所以上述9种结果出现的可能性都相等，均为

。其中小强获胜的结果有3种，小丽获胜的结果有3种，平的结果也有3

=

，同理，小丽获胜的可能性也是

，所以用“石头、

种，故小强获胜的可能性是3× 剪子、布”来决定谁跳是公平的。

为了不重复、不遗漏地列出所有可能的结果，教学时可让学生结合以前学的排列组合知识进行思考。在找出游戏的所有可能结果后，应引导学生认识到每种结果出现的可能性都相等。 做一做。

为了求摆出的三位数是单数的可能性，首先应罗列出3，5，6这三张卡片能够摆出的所有三位数， 6个三位数中单数有4个，双数有两个，所以摆出的三位数是单数的可能性是

，是双数的可能性是

。

教学时，应注意引导学生利用以前学习的排列组合方法，以保证在罗列时做到不重复不遗漏。

除了列举法，也可根据单数和双数的特性来分析问题。判断一个数是单数还是双数主要看这个数的个位，若个位上的数字是单数，则该数就是单数，反之，则说明该数是双数。现在来看3，5，6这3个数字，3，5都是单数，只有6是双数，所以当3或5都放在个位时，组成的三位数就是单数，只有当6放在个位时，组成的三位数才是双数，因而摆出的三位数是单数的可能性是

，是双数的可能性是

。

由以上的分析可以看出，这个游戏规则对猜“摆出的三位数是双数”的一方不利，所以游戏不公平。 练习二十二

第1题，从4张数字卡片中任意抽取两张，这是一个组合问题，共有 种，分别是：①2，3；②2，7；

③2，8；④3，7；⑤3，8；⑥7，8。其中第一种和第五种情况下两数的乘积既是2的倍数又是3的倍数，所以可排除，即有效的组合有4种。在这4种组合中，乘积是2的倍数的有3种（2，7；2，8；7，8），乘积是3的倍数的有1种（3，7），所以这个玩法不公平。

根据已有的规则，为了使游戏公平，则必须换掉卡片2或卡片8，并且新加的数字卡片应满足如下条件：该数字是不能被3整除的奇数，如5，11等。教学时，应注意说明当两个数的乘积既不能被2整除又不能被3整除时，也要重来。

第2题，投掷一粒骰子，朝上的数字有6种可能的结果，根据乘法原理，同时掷两粒骰子时，则可能出现的结果共有6×6=36种，并且这36种结果出现的可能性都相等，均为 个数字的和的分布情况如下表阴影部分所示： 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 7 2 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8 9 4 5 6 7 8 9 10 5 6 7 8 9 10 11 6 7 8 9 10 11 12 。与此对应，36种情况下两

从表中可见，和是单数的结果有18种，所以和是单数的可能性是 是

，故这个游戏对双方是公平的。

，同理，和是双数的可能性也

第3题，本题是开放的，学生可根据自己的生活实际，从熟悉的游戏、活动中寻找题材，先探究这些游戏、活动的规则是否对比赛各方都公平，如果不公平，则根据等可能性思想，对游戏的规则进行矫正，或重新制定，直到使其满足公平性。

2．理解中位数的统计意义，会求数据的中位数；了解中位数与平均数的联系和区别，会根据数据的具体情况合理选择统计量。 例4

通过解决“用什么数表示第3组同学的掷沙包水平比较合适”这一问题，引出了中位数的概念。在第一学段，学生已知道用平均数来描述一组数据的总体情况比较方便和适用，但平均数与一组数据中的每个数据都有直接的关系，任意一个数据大小的变化都会对平均数值产生影响，从而很自然地引入中位数的概念。 教学时，应把握好以下几个层次：一是引入中位数的必要性；二是定义中位数的概念时，要突出中位数的统计意义；三是阐明中位数与平均数各自的特点和适用范围。

教学时应把中位数特点讲清楚，让学生明白：把一组数据按大小顺序排列后，最中间的数据就是中位数，它的优点是不受偏大或偏小数据的影响。如在本例中，因为有两个特同学的成绩太高，严重偏离了大多数同学的水平，这时用中位数来表示第3组同学掷沙包的一般水平就比较合适。另外，计算中位数前首先应将该组数据按照大小顺序进行排列，再找出处于最中间位置的数据。

最后，教师可适当小结一下，使学生认识到平均数与中位数都是反映一组数据集中趋势的统计量，但针对具体的一组数据来说，则应根据数据组中各个数据的分布情况，合理选择适当的统计量。如当一组数据中某些数据严重偏大或偏小时，就最好选用中位数来表示该组数据的一般水平。 例5

设计本例的目的是使学生进一步理解中位数的概念，掌握求中位数的方法，另外更重要的一点是让学生体会中位数在统计学上的作用。

本例呈现了几名男生的跳远成绩，并从平均数和中位数两个角度对该数据组进行了分析，结果表明用中位数代表这组成绩的一般水平更合适。针对给定的一组数据，判断某个统计量优劣的标准就是该统计量是否包含了数据组足够多的信息量，是否很好地反映了该组数据的大部分特征，也即该统计量蕴涵了更多的有关该组数据的信息。对例5而言，7名男生跳远成绩的平均数是2.96，中位数是2.89，分析发现有5名男生的成绩都低于平均值，从而说明在这里用平均数来代表该组成绩不太合适，应选用中位数。为让学生更完整地掌握求给定一组数据的中位数的方法，在本例最后，有意将原数据组的7个数据变成了8个，以向学生介绍当一组数据有偶数个数据时中位数的求法。

教学时可让学生通过小组讨论的形式来分析平均数和中位数的特点，并引导他们结合本例的实际情况，以做出合理的选择。 练习二十三

第1题，教学时，可以先让学生根据7名同学的成绩估一估他们跳绳的一般水平大约应是多少，然后再分别计算出平均数和中位数，比较后再选择合适的统计量。

第2题，本题的编写意图有两点：一是使学生认识到当一组数据中没有特别偏大或偏小的数据时，平均数和中位数这两个统计量都能较好地反映该组数据的统计特征；二是让学生初步理解中位数与平均数的大小关系：当一组数据中所有比中位数小的数与中位数之差的和小于所有比中位数大的数与中位数之差的和时，中位数就比平均数小，反之中位数就比平均数大。

第3题，通过展示两个公司职工工资情况统计表，说明在生活中要特别警惕平均数的误用，要看清在平均数掩盖下的事实真相，以帮助我们在生活中作出科学合理的选择。

普通职员在公司里占绝大多数，所以他们的工资更能代表公司职工工资的一般水平，这实际上也是工资统计表里的中位数，从而也与前面学习的用“中位数代表全体数据的一般水平更合适”相一致。用平均工资来反映该公司职工工资的一般水平并不合适。

如果爸爸想应聘公司的员工，从工资水平的角度考虑应该选择甲公司，因为甲公司普通职员的工资是1200元，高于乙公司的1100元。

第4题，这是一道实践活动题，同时又是一道开放题，可让学生小组合作开展调查活动。首先是确定需要调查的内容，如调查本班同学视力情况，调查一个年级学生的身高、体重等，并制定好相应的调查计划，作好统计表，然后在全班（全年级或全校）的同学中进行调查。调查后把结果反映在设计好的统计表里，由此求出所收集数据的中位数，特别应让学生说说中位数的意义。例如在视力情况的调查中，如果中位数显示的视力结果是没有近视，则说明全班同学有一半以上都没有近视，反之则说明全班同学患近视的人数超过了一半。 五、教学建议

1．注重学生对等可能性思想的理解，淡化纯概率数值的计算。

在自然界和人类社会中存在两类不同的现象：确定性现象（即必然事件和不可能事件）和随机现象（即不确定事件）。概率论就是研究随机现象的规律性的数学分支。在小学阶段设置简单的“概率”内容，主要是为了培养学生的随机思维，让其学会用概率的眼光去观察大千世界，而不仅仅是以确定的、一成不变的思维方式去理解事物。因此，在可能性知识的教学中，应注意加强对学生概率素养的培养，增强学生对随机思想的理解，而不要把丰富多彩的可能性内容变成了机械的计算和练习。 2. 加强学生对中位数在统计学意义上的理解。

中位数和平均数一样，也是反映一组数据集中趋势的一个统计量。教学时应注意结合学生已经很熟悉的平均数，对比教学，以帮助学生厘清两者的联系和区别，使他们明白：平均数主要反映一组数据的总体水平，中位数则更好地反映了一组数据的中等水平（或一般水平）。

在教学中，教师应选择恰当的数据组，以反映中位数在统计学上的意义和价值，在与平均数的对比中体现中位数的特点。如例4、例5的数据组中，因个别数据严重偏大，影响到平均数也偏大，导致平均数不能很好地代表该组数据的总体水平，而中位数的优势正好能够避免一些偏大或偏小数据的影响，因而在这样的场合中，中位数就能很好地反映一组数据的一般水平。 3. 加强动手操作，提供自主探索的空间。

可以结合学生熟悉的游戏、活动（如掷硬币、玩转盘、摸卡片等），让学生亲自动手试验，在试验中直观体验事件发生的可能性，探究游戏规则的公平性与等可能性事件的关系等，使其经历知识的形成过程。

第七单元 数学广角

? 教学内容

数字编码

“数学广角”主要是向学生渗透一些重要的数学思想方法。通过日常生活中的一些事例，使学生初步体会数字编码思想在解决实际问题中的应用，并通过观察、比较、猜测来探索数字编码的简单方法，让学生学会运用数进行编码，初步培养学生的抽象能力和概括能力。

? 教学目标

1．通过生活中的事例，使学生初步体会数字编码思想在解决实际问题中的应用。

2．让学生通过观察、比较、猜测来探索数字编码的简单方法，学会用数进行编码，初步培养学生的抽象能力和概括能力。

3．让学生进一步体会数在日常生活中的广泛应用，尝试用数学的方法来解决实际生活中的简单问题，初步培养学生的应用意识和实践能力。

4． 使学生在数学活动中养成与人合作的良好习惯，初步学会表达和交流解决问题的过程和结果。

三、编排特点

1．通过生活中的简单事例向学生渗透重要的数学思想。

数字编码和我们的生活紧密相关，比如邮政编码、身份证号码、电话号码等，在这些号码中都蕴含着数字编码的思想，同时也为我们的生活提供了很多便利。运用数字或者符号来描述事物，可以比较简洁、准确地表示出事物蕴含的客观规律，也便于我们分类查询和统计。

为了更好的帮助学生理解，我们都是通过生活中的事例向学生渗透数字编码思想。比如教材首先从老师点名的情境引入，说明我们可以用数字编码来区分班上的每个学生。接下来，例１和例2通过邮政编码和身份证号码等生活实例让学生体会数字编码在生活中的应用，初步了解邮政编码的结构与含义，了解身份证号码中蕴含的一些简单信息和编码的含义，探索数字编码的简单方法。还有练习中的习题都是和生活紧密联系的。

2．在实践中体会数字编码的应用。

在学生初步了解数字编码的思想后，例3和例4让学生通过两个实践活动来运用数字或字母进行编码，加深对数字编码思想的理解。例3是让学生给学校的每一个学生编一个学号，例4是让学生给班里或学校图书角的书籍编一个书号，和例3相比，更复杂一些，是用符号和数字的组合进行编码。通过学生的动手实践进一步来体会数字编码在生活中的应用。

具体编排 标 题 具体内容 例1～例2 例3、例4 情境图

通过实例让学生体会数字编码在生活中的应用，初步了解编码的结构与含义，探索数字编码的简单方法。 通过实践活动来运用数字或字母进行编码，加深对数字编码思想的理解。 教材首先由学生非常熟悉的老师点名的生活情境来引入，说明数不仅可以用来表示数量和顺序，还可以用来编码。

教学时，教师可以创设这样的情境，让学生探讨用编号的方法来区分班上的学生。这部分内容也可以结合后面的例1来教学，教师课前可以让学生先收集一些由数字组成的号码，如车牌号、邮政编码、电话号码等，然后在班上交流和汇报，教师在学生汇报的基础上，通过多媒体课件再来展示生活中经常见到的这些数字编码现象引出，激发了学生的探索欲望。

例1

例1是通过了解邮政编码的结构和含义来初步体会数字编码的方法，同时通过邮政编码在信件传递中的功能初步体会数字编码在我们日常生活中的作用。

我们知道邮政编码是代表投送邮件的邮局的一种专用代号，也是这个局（所）投送范围内的居民与单位的通信代号。教材这里呈现了一个标准信封的正面，并向同学们介绍了邮政编码的结构：邮政编码由6位阿拉伯数字组成，如448268。它的前两位数表示省、自治区、直辖市，如44表示湖北省；第三位数表示邮区代号，如448表示湖北省荆门邮区；第四位数表示县（市）的编号，如4482代表湖北省荆门市沙洋县邮局；最后两位代表邮件投递局（所），所以448268表示的就是──湖北省荆门市沙洋县五里邮电支局的投递局。最后，介绍邮政编码作为我们国家的邮政代号在信件传递的过程中所起的作用。

教学时，教师要充分调动学生学习的积极性，可以结合例1后面的做一做，让学生利用课外时间调查、收集一些邮政编码，如学校所在地的邮政编码、父母单位所在地的邮政编码、爷爷奶奶住址所在地的邮政编码等。并要求学生设法了解邮政编码的结构与含义，如向邮局工作人员或邮递员咨询、查阅邮政编码书籍等。让学生在调查的基础上展开讨论，老师再结合教材给出的邮政编码的结构图具体说明它的组成，也就是每个数字代表的含义。然后再让学生结合某个邮政编码给出它的组成，在小组中相互说一说。 例2

例2是通过了解身份证号码中蕴含的一些简单信息和编码的含义进一步体会数字编码的方法，进一步体会数字编码在我们日常生活中的广泛应用。

教材首先从身份证在生活中实际应用的情境来引入，接下来让学生通过小组交流讨论身份证号码的组成。教材在这里举例给出了一些简单的信息。实际上，身份证号码是由18位数字组成：前6位为行政区划代码，第7至14位为出生日期码，第15至17位为顺序码，第18位为校验码。

教师可以让学生课前调查一下爸爸妈妈、爷爷奶奶的身份证号码并了解身份证在生活中的作用。在学生汇报完后，教师在此基础上补充介绍身份证号码中蕴含的其他信息和含义，注意这里不要求学生掌握每个数字所代表的含义以及编排方法，有些学生不易理解的（比如校验码）让学生知道就可以了。然后再让学生就某个身份证号码说一说号码中的数字代表的含义，并结合后面“做一做”的第2题来完成这个练习。

最后，还可以让学生根据了解的身份证号码的结构试着给自己编一个身份证号码，再与户口簿上的身份证号码对照一下，进一步体会身份证号码蕴含的信息和编排方法，初步学会编码，为后面的实践活动打下铺垫。 例3

例3是让学生给学校的每一个学生编一个学号，通过这个实践活动来运用数字编码的简单方法进行编码，加深对数字编码思想的理解。让学生讨论学号中要体现的内容，比如学生所在的年级、班级、性别、入学年份等，然后再根据这些内容来设计编码的方法，比如说可以用1表示男生，2表示女生，还可以按年龄的大小给每个班的学生排一下号等等。教材这里只是提供了一些范例。

教学时，教师适当引导学生讨论在学号中需要反映出哪些内容，比如入学年份、年级、班级、班级序号、性别等。在全班同学统一了编码中要包含的信息后，如何用数字来体现就是一个开放的活动了，可以充分调动学生自主探索的积极性，充分发挥创造性，以小组为单位编排出既符合要求又形式多样的学号来，教师只在必要时给予一定的点拨、引导。最后，以小组为单位来展示本组同学设计的学生学号的编排方法，这里老师要注意引导学生说出每个数字在编码中的作用。

接下来的“做一做”安排了3个题目，第2题是配合例2的，学生在了解身份证号码中蕴含的一些简单信息和编码的含义后，回家可以跟爸爸、妈妈汇报，说一说父母身份证号码中的数字代表的含义。 第1题是让学生来设计一个编学号的方案，给全班同学编号。在这里是完全开放的，学生可以自己来设定号码中要体现的信息和编码的方法，然后再在小组中互相交流，看看谁的设计比较好。

第3题的第一个要求，让学生想一下身边还有哪些数字编码的事物，小组互相交流一下。这个调查也可以安排在例1的教学之前，让学生课前去调查，然后在班上汇报交流，作为例1教学的引入。后一个要求是让学生选择一种感兴趣的数字编码，去了解它的意义。学生可以根据前面所学的先进行猜测，然后再去实际调查验证，并且在调查中学生还会发现，在我们的生活中还有很多编码中包括用字母进行编码的，通过这个实践活动可以为例4的教学做准备。 例4

例4还是一个实践活动，让学生给班里或学校图书角的图书编上书号，和例3相比，更复杂一些，除了数字还可以利用字母来编码，也就是用符号和数字的组合来进行编码。这种编码比较有代表性的就是图书的检索号，在图书馆里有成千上万册的图书，为了便于查询和统计，我们给图书也编了一个“书号”——检索号。

图书的检索号一般包括分类号和书次号，分类号是按照《中国图书馆分类法》的标准对图书进行分类，用字母来表示图书的种类，中文图书共分为22大类，分别用A、B、C??Z字母表示，字母后的数字表示进一步细分。一般来说，数的位数标志类名的级别，多一位数码表示细分一层。书次号则表示同一类图书的序号，这里也可以考虑作者、出版日期等。

教材从一个小女孩到图书角借阅图书的情境引入。由于图书很多，每找一本书几乎就要把所有的图书都翻个遍，所以有必要给图书来编个号码，贴上标签。接下来，学生分组来活动：为图书角的图书编排号码，并整理出目录。学生先要讨论书号中要包含的信息，比如图书的类别、作者、捐书人等，接下来就是探索怎样用编码的形式来表示书号了。教材在这里给出一些范例。

课前教师可以布置学生到学校图书馆（或比较大的图书馆）进行实地调查，然后流各自调查的收获，在学生汇报的基础上，教师可以对图书的检索号进行简单的介绍，主要突出可以用字母来表示图书的分类。 由于学生前面已经有了编学号的基础，这里可以放手让学生分组来完成这个实践活动。小组活动时，每个学生先提出自己的想法再在小组中讨论，每个小组先确定好图书的书号要包含的信息，再讨论每个信息如何用字母和数字进行编排。设计好方案后，全班同学对每个小组汇报的方案进行评价，并挑选出大家最满意的一种作为最终的方案。按照这个方案，再分工完成图书角的目录登记表。 练习二十四

练习二十四中的习题向学生展示了数字编码在生活中更广泛的应用。另外，后面的“生活中的数学”版块中，让学生感受数字编码在我们生活的各个方面无处不在。

第1题是探讨电话号码中的编码信息，让学生通过调查、收集并交流不同城市的区号，了解电话号码中各数字的意义。我们国家的电话号码由两部分组成，前面是所在城市的区号，比如北京的区号是010，广州是020，上海是021等，我们在拨打长途电话时，都要先拨区号，再拨后面的号码。电话号码后面部分的数字也代表一些重要的信息，可以让学生自己去调查了解。

第2题是让学生体会汽车车牌号中的编码，这里除了数字还有用汉字和字母的应用，用各省的简称表示省份，用字母表示地市。

第3题向学生介绍了图书的“身份证”——国际标准书号，它是国际上通用的比较科学合理的一种图书编码系统，外文简称ISBN。国际标准书号以“ISBN”作为标志，后面带有10位数字，这10位数字分为4部分即组号、出版社号、书序号、检验号；各部分之间用“-”或空位隔开。其中组号是代表一个国家、地区或语种的编号，这个编号是由国际ISBN中心设置和分配，中国为“7”。出版社号是由地区或国家的ISBN中心设置和分配的，可以多达7位数，如人民教育出版社的出版社号是“107”。书名号是由该出版者出版的每种出版物的编号。检验号是国际标准书号编号的最后一位数字。

第4题是一个实践活动，让学生给家美小区一栋新楼的居民编一个门牌号，这个号码中可以包含楼号、门栋号、层数以及房间号等信息。

以上练习包括后面的“生活中的数学”，教师可以先让学生自己去调查，通过查资料、向父母咨询等方式感受数字编码在生活中各个方面的广泛应用，体会编码思想的作用。然后再在班上进行交流，教师适当加以补充。也可以在学生了解各种编码的意义后，让学生再去观察身边的这些数字编码现象，说一说编码中数字或字母代表的含义。

? 教学建议

⒈ 恰当把握目标。

数字编码是一种抽象的数学思想方法，在这里只是让学生通过日常生活中的一些实例，初步体会数字编码在解决实际问题中的应用，并通过观察、比较、猜测来探索数字编码的简单方法，学会运用数进行编码，初步培养学生的抽象能力和概括能力。学生只要能从邮政编码、身份证号码等具体实例中初步了解蕴含其中的一些简单信息和编码的含义，探索出数字编码的简单方法，并能在实践活动中加以应用就可以了，并不要求学生掌握编码中每个数字的信息和含义。 ⒉ 注意数学与生活的联系，适度关注学生的生活经验。

教学中，老师要尽量联系学生的生活实际，从学生身边的具体事例来引入教学。同时，让学生多接触生活中的数学，比如通过调查了解邮政编码和身份证号码的含义，了解生活中的一些数字编码的意义等。 ⒊ 让学生动手实践，提供自主探索的空间。

学生在实践中可以有不同的编码方法，教师要允许学生采用不同的形式，并且要放手让学生亲身去体会、经历运用所学知识解决实际问题的过程，培养学生的探索精神和实践能力。教师只是在必要时给以一定的点拨、引导。

《义务教育课程标准实验教科书数学五年级下册》培训提纲（转

载）

上传: 刘安平 更新时间：2013-3-12 11:17:41

《义务教育课程标准实验教科书五年级下册数学》培训提纲

整体内容分布：

（一）数与代数 （三）统计与概率 1．因数与倍数 统计 2．分数的意义和性质 （四）数学思想方法 3．分数的加法和减法 数学广角――找次品 （二）空间与图形 （五）综合应用 1．图形的变换 1．粉刷围墙 2．长方体和正方体 2．打电话

第一单元 图形的变换

?

轴对称

教学内容

旋转 欣赏设计

数学游戏

? 教学目标

1. 使学生进一步认识图形的轴对称，探索图形成轴对称的特征和性质，并能在方格纸上画出一个图形的轴对称图形。

2. 进一步认识图形的旋转, 探索图形旋转的特征和性质，能在方格纸上把简单图形旋转90o。 3. 使学生初步学会运用对称、平移和旋转的方法在方格纸上设计图案,进一步增强空间观念。

4. 让学生在上述活动中，欣赏图形变换所创造出的美,进一步感受对称、平移和旋转在生活中的应用，体会数学的价值。 三、编排特点

.

重视学生已有的知识基础，探索两个图形成轴对称的特征和性质。

在二年级学生已经认识了日常生活中的对称现象，有了轴对称图形的概念，并能画出一个轴对称图形的对称轴和它的另一半,这里是进一步认识两个图形成轴对称的概念，探索图形成轴对称的特征和性质，并学习在方格纸上画出一个图形的轴对称图形。本单元教材先设计了画对称轴，观察轴对称图形的特征和画出一个轴对称图形的另一半的活动,加深对轴对称图形特征的认识，从而让学生在已有的知识基础上探索新知识。

2. 注重联系生活实际，让学生在具体情境中认识图形的旋转。

本单元联系具体情境,让学生观察钟表的表针和风车旋转的过程,分别认识这些实物怎样按照顺时针和逆时针方向旋转，明确旋转的含义，探索图形的旋转的特征和性质,再让学生学会在方格纸上把简单图形旋转90o。

3.通过大量的活动，帮助学生理解图形的对称和旋转变换，增强空间观念。

本单元不仅设计了看一看、画一画、剪一剪等操作活动，而且注意设计需要学生进行想像、猜测和推理进行探究的活动，培养学生的空间想像力和思维能力。例如，让学生判断几个图案分别是由哪种方法剪出来的。这就要求学生要根据图案的特征，不断在头脑中对这个图案进行“折叠”，并将最后的结果与下面的剪法对应起来。而且还让学生思考“还有什么剪法”，从而使学生的空间想像力和思维能力得到充分的锻炼。

四、具体编排 共安排4个例题。

标 题 轴对称 旋转 例1 例2 例3 例题安排 轴对称的特征 画轴对称图形 旋转的特征 例4 把一个图形旋转90度 轴对称 主题图 编排思想：

o o

联系生活实际，引出图形的变换。

从古至今，感受数学的应用价值、文化价值和美学价值。

教学建议：

o o o

引导学生从图案本身观察其数学特征。

引导学生从历史的角度观察，感受数学的应用价值、文化价值和美学价值。 例1

编排意图：

o o

复习轴对称图形有关知识。

分别观察松树和小草，再整体认识轴对称。体会轴对称图形不仅仅是把一个图形平

均分成两半。

通过数一数对应点到对称轴的距离，概括轴对称的性质：对应点到对称轴的距离相

等，对应点连线垂直于对称轴。从而使学生对轴对称的认识从经验上升到理论。

教学建议：

o

o o o

在已有知识和经验基础上教学。 注意从经验上升到理论。

抓住“相等、垂直”特征，在知识、语言等方面勿拔高要求。

例2 编排意图

o 在已经掌握画简单图形的轴对称图形和轴对称图形的性质的基础上画一个图形的轴

对称图形。

提示学生思考画的步骤和方法。

教学建议：

o

o o o

让学生独立画。

对有困难的学生提示：先画几个关键的对称点，再连线。 全班汇报交流画的步骤和方法，尤其是窗户的的画法。

o

做一做

教师归纳总结画法。

教材让学生判断把一张纸连续对折三次，画上一个图形，剪出的是什么图案。在这个活动中，要让学生进行空间想像，进一步体会轴对称变换的特点。如果学生想像对折四次后剪出的图案有困难，教师可以让学生按书上的方法实际折一折、剪一剪，帮助学生进行想象。 旋转 例3 编写意图：

o o o

复习旋转有关知识。

线段的旋转：从指针的变换方向、长度和角度，三个方面把握线段旋转变换的特征。 图形的旋转：从点、线段、图形的角度观察风车：对应点与原点O连线组成的角有

没有变化，对应点与原点连线的长度有没有变化。从而使学生对旋转变换的认识从经验上升到理论。

教学建议

o o o

例4

在已有知识和经验基础上教学。 注意从经验上升到理论。

抓住“旋转方向、长度、角度”三个特征，在知识、语言等方面勿拔高要求。

编写意图：

o o

把一个图形旋转90度。

从三角形的旋转方向、边的长度和角度三个方面，思考如何把三角形顺时针旋转90

度。

把图形的旋转分解为顶点与点O连线的旋转，先把OA旋转90度；再把OB旋转90

度，连结AB便可。

教学建议：

o

o o o

在已有知识和经验基础上教学。 可让学生合作学习。

教师归纳总结方法：抓住“旋转方向、长度、角度”三个特征，把图形的旋转分解

为线段的旋转（只须顶点与点O的连线），在知识、语言等方面勿拔高要求。

做一做 编写意图：

o o

１.根据旋转变换的性质判断，进一步体会旋转的特征。 ２.利用旋转设计图案。

o 体会利用旋转变换进行设计图案带来的美感。

教学建议：

o o

放手让学生独立画，再全班汇报交流。

教师小结，结合生活中的数学介绍旋转变换在生活中的应用。

欣赏设计 编写意图：

o 结合主题图中的图案，让学生体会图形变换在生活中的应用，利用图形变换进行设

计图案带来的美感，数学的价值。

利用图形变换设计图案。

教学建议：

o

o 可再准备一些漂亮的图案，包括多种变换的图案。让学生分析、交流变换的性质和

应用。

可放手让学生独立设计，再进行交流。 体现开放性和弹性。

教师小结时对科学性问题要纠正，同时以表扬为主。

练习一

第1题，让学生利用轴对称设计美丽的图案。

作简单图形的轴对称图形的方法，可以放手让学生设计，再进行交流。在设计图案的过程中，要让学生在动手实践中进一步理解图形成轴对称的性质，体会轴对称变换的特点。

第2题，教科书呈现了几个剪好的图案，让学生判断分别是由哪种方法剪出来的，进一步培养学生的空间想像力和思维能力。

学生要根据图案的特征，不断在头脑中对这个图案进行“折叠”“重合”，再将最后的结果与下面的剪法对应起来，而且还让学生思考“还有什么剪法”。这个活动比“判断两个图形是不是成轴对称”所要求的想象、猜测和推理等思维活动更多，在这个活动中学生的空间想像力和思维能力能够得以锻炼，空间观念会得到发展。

如果学生有困难，教师可以调整题目的设计，反过来，让学生根据剪法，选择剪出的结果。学生根据每一种剪法，在头脑中将彩纸展开，对“半棵小芽”这个图案连续做轴对称变换，得出结果，再与上面剪出的图案对照。如果学生还有困难，教师可以让学生按书上的方法实际剪一剪，再帮助学生进行想象。 第3题，是让学生综合运用所学的有关对称、平移和旋转变换的知识进行判断。注意让学生感受数学的美，体会图形变换在现实生活中的应用。

第4题，可仿照第6页“做一做”第2题进行教学。但有一点不同，在本题中没有给出各个图形的旋转中心，教师可以提示学生根据所设计图案的需要自己确定。 第5题，可仿照第4页的做一做和第2题进行教学。

o o o

第6题，让学生通过实验发现另一类图形“旋转对称图形”的特点。这些图形绕它们的中心旋转一定的角度，还与原来图形重合。这里不必让学生了解“旋转对称图形”这个概念，只要学生能用自己的语言描述出图形的这一特征就可以了。 设计镶嵌图案 编写意图:

o 在四年级学习了图形的密铺（镶嵌）基础上，拓展镶嵌图形的范围，让学生进一步

体会图形变换在生活中的应用，利用图形变换进行设计图案带来的美感，数学的价值。

利用图形变换设计镶嵌图案。

教学建议:

o

o 引导学生分析交流丰富多彩的镶嵌图案，不管运用了什么变换，其本质都可归结为

把镶嵌图案内的基本几何图形进行再分割。

可放手让学生独立设计，再进行交流。 体现开放性和弹性。

教师小结时对科学性问题要纠正，同时以表扬为主。

五、教学建议

1．注意让学生真正地、充分地进行活动和探究。

由于本单元知识是在学生已有的关于对称和旋转的知识基础上，并结合学生熟悉的生活情境进行安排的，学生完全可以通过观察、想像、分析和推理等过程，独立探究出来。因此，教师要切实组织好学生的课堂活动，为学生创造进行探究的时间和空间。不要让教师的演示或少数学生的活动和回答代替每一位学生的亲自动手、亲自体验和独立思考。这样学生的空间想像力和思维能力才能得以锻炼，空间观念才能得到发展。

2．恰当把握教学目标。

这一部分内容教学需要特殊注意的是，我们不要求学生说出准确的数学语言，只要学生能用自己的语言描述出他发现的特征和性质就可以了。

例如，两个图形成轴对称的数学概念是“如果平面到其自身的一一变换的每对对应点A 、A′，都垂直于同一直线l,且被直线l 平分，则这种变换叫做关于直线l 的轴对称。直线l 叫做对称轴，对应点A 和A′叫做关于轴l的对称点，在直线反射下的对应图形A 、A′叫做关于轴l 的对称图形。”在初中数学中，概括成“把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点。”在小学阶段，我们不要求学生说得这么准确，只要学生能用自己的语言把“折叠”“重合”这些基本特征概括出来就可以。

图形成轴对称的基本性质，在初中数学中概括成“如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。”我们不要求学生概括出这样的结论，只要学生能像书上的学生那样直观描述就可以了，使学生知道“对应点到对称轴的距离相等”。

o o o

再如，旋转的概念是“如果平面到其自身的一一变换，使任意一对对应点A 、A′与平面上一个定点 距离相等，∠AOA′等于指定的有向角α，而 点

和自身对应，则这样的变换叫做关于点O的旋转。定

叫做旋转中心，定角α叫做旋转角，相同的指定方向叫做旋转方向。”在初中数学中概括成“把

转动一个角度的图形变换叫做旋转。点

叫做旋转中心，转动的角叫做旋

一个图形绕着某一点

转角，如果图形上的点P 经过旋转变为点P′ ，那么这两个点叫做这个旋转的对应点。”在小学阶段，我们不要求学生这样说，只要学生能概括出“绕一个点旋转”“向什么方向旋转”“转动多少度”这几点就可以了。像“旋转中心”“旋转角”这些名词也不必要求学生掌握。 3.注意知识的科学性。

这部分知识虽然不要求用精确的语言描述变换的特征，但也要注意知识的科学性，避免学生在操作和画图时出现不规范的情况。

第二单元 因数和倍数

一、教学内容 1．因数和倍数

2. 2、5、3的倍数的特征 3．质数和合数

二、教学目标

1．使学生掌握因数、倍数、质数、合数等概念，知道有关概念之间的联系和区别。 2．使学生通过自主探索，掌握2、5、3的倍数的特征。 3．逐步培养学生的数学抽象能力。

三、编排特点

1．精简概念，减轻学生记忆负担。 三方面的调整：

? 不再出现“整除”概念，直接从乘法算式引出因数和倍数的概念。

? ?

不再正式教学“分解质因数”，只作为阅读性材料进行介绍。

公因数、最大公因数、公倍数、最小公倍数移至“分数的意义和性质”单元，作为

约分和通分的知识基础，更突出其应用性。

2．注意体现数学的抽象性。

数论知识本身具有抽象性。学生到了高年级也应注意培养其抽象思维。

四、具体编排 1．因数和倍数 因数和倍数的概念

过去：用 被

÷ ＝ 表示 能被 整除， ÷ ＝ 表示 能

整除。

现在：用 ＝ 直接引出因数和倍数的概念。

（1）用2×6＝12给出因数和倍数的概念。 （2）用3×4＝12进一步巩固上述概念。

（3）让学生利用因数和倍数的概念自主发现12的其他因数。

（4）可引导学生利用一般的乘法算式 （5）说明本单元的研究范围。 注意以下几点：

× = 归纳出因数和倍数的概念。

（1）虽然不出现“整除”一词，但本质上仍是以整除为基础，因此，乘法算式中的乘数和积都必须是整数。 （2）因数和倍数是一对相互依存的概念，不能单独存在。

（3）注意区分乘法各部分名称中的“因数”和本单元中的“因数”的联系和区别。 （4）注意区分“倍数”与前面学过的“倍”的联系与区别。

例1（一个数的因数的求法）

（1）可用不同的方法求出18的因数（列出积是18的乘法算式或列出被除数是18的除法算式），但应引导学生有序思考。

（2）用集合圈表示因数，为后面求两个数的公因数作铺垫。

一个数的因数的特点

（1）最大因数是其自身，最小因数是1。 （2）因数个数有限。

（3）此结论通过例1和“做一做”中的特例通过不完全归纳法得出，体现了从具体到一般的思路。

例2（一个数的倍数的求法）

（1）求法：用该数乘任一非0自然数所得的积都是该数的倍数。 （2）用集合圈表示倍数，为后面求两个数的公倍数作铺垫。 做一做

与例1结合起来，提供了2、3、5的倍数，为后面探讨2、3、5倍数的特征作准备。

一个数的倍数的特点

（1）最小倍数是其自身，没有最大的倍数。 （2）因数个数无限。

（3）此结论通过例1和“做一做”中的特例通过不完全归纳法得出，体现了从具体到一般的思路。

2．2、5、3的倍数的特征

因为2、5的倍数的特征在个位数上就体现出来了，而3的倍数涉及到各数位上的数字之和，较为复杂，因此后安排3的倍数的特征。本部分内容对于熟练掌握约分、通分、分数的四则运算有很重要的作用。 2的倍数的特征

（1）从生活情境“双号”引入。

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