2016-2017学年辽宁省实验中学、大连二十四中、鞍山一中、东北育才学校高三（上）期末数学试卷（理科）

2016-2017学年辽宁省实验中学、大连八中、大连二十四中、鞍山一中、东北育才学校高三（上）期末数学试卷（理科）

一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）

1．（5分）若集合A={y|y=2x}，B={x|x2﹣2x﹣3＞0，x∈R}，那么A∩B=（ ） A．（0，3] B．[﹣1，3]

C．（3，+∞） D．（﹣1，0）∪（3，+∞）

2．（5分）若是z的共轭复数，且满足?（1﹣i）2=4+2i，则z=（ ） A．﹣1+2i B．﹣1﹣2i C．1+2i D．1﹣2i

3．（5分）关于平面向量、、，下列判断中正确的是（ ） A．若?=?，则=

B．若=（1，k），=（﹣2，6），∥，则k= C．|+|=|﹣|，则?=0 D．若与是单位向量，则?=1

4．（5分）已知随机变量ξ服从正态分布N（2，?2），且“P（ξ＞a）=P（ξ＜a）”，则关于x的二项式（x2﹣）3的展开式的常数项为（ ） A．2

B．﹣2 C．12 D．﹣12

﹣α）+sinα=

，则sin（α+

）的值是（ ）

5．（5分）已知sin（

A．﹣ B．﹣ C．﹣ D．﹣

6．（5分）已知数列{an}的通项公式是an=n2﹣10n+22，其前n项和是Sn，对任意的m，n∈N*（m＜n），Sn﹣Sm的最小值是（ ） A．﹣7 B．7

C．﹣12

D．﹣2

7．（5分）已知流程图如图所示，该程序运行后，为使输出的b值为16，则循环体的判断框内①处应填（ ）

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A．a＞3？ B．a≥3？ C．a≤3？ D．a＜3？

8．（5分）已知△ABC的三内角A，B，C，所对三边分别为a，b，c，sin（A﹣=

，若△ABC的面积S=24，b=10，则a的值是（ ）

B．6

C．7

D．8

）

A．5

9．（5分）某几何体的三视图如图所示，该几何体四个面中，面积最大的面积是（ ）

A．8 B．10 C．6 D．8

10．（5分）已知矩形ABCD的周长为18，把它沿图中的虚线折成正六棱柱，当这个正六棱柱的体积最大时，它的外接球的表面积为（ ）

A．13π B．12π C．11π D．10π 11．（5分）已知F1、F2是双曲线

﹣

=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，点P

是该双曲线上的任意一点，若△PF1F2的内切圆半径为r，则r的取值范围是（ ）

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A．（0，a） B．（0，b） C．（0，） D．（0，）

12．（5分）函数f（x）满足：对?x∈R+都有f′（x）=f（x），且f（22016）≠0，则A．0.125

二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）

13．（5分）已知x，y∈R，满足x2+2xy+4y2=6，则z=x+y的取值范围为 ． 14．（5分）现有四个函数：①y=x?sinx，②y=x?cosx，③y=x?|cosx|，④y=x?2x 的部分图象如图，但顺序被打乱，则按照从左到右将图象对应的函数序号正确的排列是

的值为（ ） B．0.8 C．1

D．8

15．（5分）圆x2+y2=1的切线与椭圆

+=1交于两点A，B，分别以A，B为

切点的+=1的切线交于点P，则点P的轨迹方程为 ．

），若（﹣

，，0））

16．（5分）已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|≤为f（x）的图象的对称中心，x=

为f（x）的极值点，且f（x）在（

单调，则ω的最大值为 ．

三、解答题

17．（12分）已知各项为正数的数列{an}的前n项和Sn满足：Sn＞1，6Sn=（an+1）（an+2）（n∈N*）

（1）求数列{an}的通项公式；

第3页（共24页）

（2）求证：++…+＜．

18．（12分）空气污染，又称为大气污染，是指由于人类活动或自然过程引起某些物质进入大气中，呈现处足够的浓度，达到足够的时间，并因此危害了人体的舒适、健康和福利或环境的现象．全世界也越来越关注环境保护问题．当空气污染指数（单位：μg/m3）为0～50时，空气质量级别为一级，空气质量状况属于优；当空气污染指数为50～100时，空气质量级别为二级，空气质量状况属于良；当空气污染指数为100～150时，空气质量级别为三级，空气质量状况属于轻度污染；当空气污染指数为150～200时，空气质量级别为四级，空气质量状况属于中度污染；当空气污染指数为200～300时，空气质量级别为五级，空气质量状况属于重度污染；当空气污染指数为300以上时，空气质量级别为六级，空气质量状况属于严重污染．2016年8月某日某省x个监测点数据统计如下： 空气污染指数 （单位：μg/m3） 监测点个数 15 40 y 10 [0，50] （50，100] （100，150] （150，200] （Ⅰ）根据所给统计表和频率分布直方图中的信息求出x，y的值，并完成频率分布直方图；

（Ⅱ）在空气污染指数分别为50～100和150～200的监测点中，用分层抽样的方法抽取10个监测点，从中任意选取4个监测点，求这4个监测点中空气质量为良的个数ξ的期望．

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19．（12分）如图，已知四棱锥P﹣ABCD，地面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，∠ABC=60°，E是BC的中点． （I）证明：AE⊥PD；

（II）若AB=2，AP=2，在线段PC上是否存在点F使二面角E﹣AF﹣C的余弦值为

？若存在，请确定点F的位置，若不存在，说明理由．

20．（12分）已知过点P（，0）的直线l与抛物线x2=y交于不同的两点A，B，点Q（0，﹣1），连接AQ、BQ的直线与抛物线的另一交点分别为N，M，如图所示． （1）若

=2

，求直线l的斜率．

（2）试判断直线MN的斜率是否为定值，如果是请求出此定值，如果不是说明理由．

21．（12分）已知函数f（x）=xlnx+x2﹣ax+2（a∈R）有两个不同的零点x1，x2． （1）求实数a的取值范围． （2）求证：x1+x2＞2． （3）求证：x1?x2＞1．

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[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]

22．（10分）在直角坐标系xOy中，直线C1的参数方程为

（t为参数），

以该直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系下，圆C2的方程为ρ=﹣2cosθ+2

sinθ．

（Ⅰ）求直线C1的普通方程和圆C2的圆心的极坐标； （Ⅱ）设直线C1和圆C2的交点为A，B，求弦AB的长．

[选修4-5：不等式选讲]

23．已知函数f（x）=|x﹣a|﹣|x+3|，a∈R． （Ⅰ）当a=﹣1时，解不等式f（x）≤1；

（Ⅱ）若当x∈[0，3]时，f（x）≤4，求a的取值范围．

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2016-2017学年辽宁省实验中学、大连八中、大连二十四中、鞍山一中、东北育才学校高三（上）期末数学试卷

（理科）

参考答案与试题解析

一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）

1．（5分）若集合A={y|y=2x}，B={x|x2﹣2x﹣3＞0，x∈R}，那么A∩B=（A．（0，3] B．[﹣1，3]

C．（3，+∞） D．（﹣1，0）∪（3，+∞）

【解答】解：∵集合A={y|y=2x}={y|y＞0}， B={x|x2﹣2x﹣3＞0，x∈R}={x|x＜﹣1或x＞3}， ∴A∩B={x|x＞3}=（3，+∞）． 故选：C．

2．（5分）若是z的共轭复数，且满足?（1﹣i）2=4+2i，则z=（ ）A．﹣1+2i B．﹣1﹣2i C．1+2i D．1﹣2i 【解答】解：?（1﹣i）2=4+2i， 可得?（﹣2i）=4+2i， 可得=（2+i）i=﹣1+2i． z=﹣1﹣2i． 故选：B．

3．（5分）关于平面向量、、，下列判断中正确的是（ ） A．若?=?，则=

B．若=（1，k），=（﹣2，6），∥，则k= C．|+|=|﹣|，则?=0 D．若与是单位向量，则?=1

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）

【解答】解：对于A，当?=?时，=不一定成立，A错误； 对于B，=（1，k），=（﹣2，6），当∥时， 则1×6﹣（﹣2）?k=0，解得k=﹣，B错误； 对于C，|+|=|﹣|，得即

+2?+

=

﹣2?+

=

，

，∴?=0，C正确；

对于D，与是单位向量，则

?=1×1×cos＜，＞=cos＜，＞≤1，D错误． 故选：C．

4．（5分）已知随机变量ξ服从正态分布N（2，?2），且“P（ξ＞a）=P（ξ＜a）”，则关于x的二项式（x2﹣）3的展开式的常数项为（ ） A．2

B．﹣2 C．12 D．﹣12

【解答】解：由题意，a=2，关于x的二项式（x2﹣）3的展开式的通项为

．

令6﹣3r=0，则r=2，∴展开式的常数项为故选C．

5．（5分）已知sin（

﹣α）+sinα=

，则sin（α+

）的值是（ ）

=12，

A．﹣ B．﹣ C．﹣ D．﹣ 【解答】解：∵sin（∴

cosα+sinα+sinα=

）=﹣sin（α+

﹣α）+sinα=

，

）=，

，整理可得：sin（α+）=﹣．

∴sin（α+故选：A．

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6．（5分）已知数列{an}的通项公式是an=n2﹣10n+22，其前n项和是Sn，对任意的m，n∈N*（m＜n），Sn﹣Sm的最小值是（ ） A．﹣7 B．7

C．﹣12

D．﹣2

【解答】解：根据题意，数列{an}的通项公式是an=n2﹣10n+22，其前n项和是Sn，有Sn﹣Sm=am+1+am+2+…an，

即当am+1+am+2+…an最小时，Sn﹣Sm取得最小值； 若an=n2﹣10n+22≤0，且n∈N+， 解可得：4≤n≤6，

即当4≤n≤6时，an的值为负．

即当n=6，m=3时，S6﹣S3=a4+a5+a6=（﹣2）+（﹣3）+（﹣2）=﹣7， 此时Sn﹣Sm取得最小值﹣7； 故选：A．

7．（5分）已知流程图如图所示，该程序运行后，为使输出的b值为16，则循环体的判断框内①处应填（ ）

A．a＞3？ B．a≥3？ C．a≤3？ D．a＜3？ 【解答】解：a=1时进入循环，此时b=21=2，a=2时， 再进入循环此时b=22=4，a=3， 再进入循环此时b=24=16， ∴a=4时应跳出循环， ∴循环满足的条件为a≤3？

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∴故选：C．

8．（5分）已知△ABC的三内角A，B，C，所对三边分别为a，b，c，sin（A﹣=

，若△ABC的面积S=24，b=10，则a的值是（ ）

B．6

C．7

D．8

）=

得，

（sinA﹣cosA）=

，

）

A．5

【解答】解：由sin（A﹣

则sinA﹣cosA=，联立sin2A+cos2A=1，

解得或（舍去），

又0＜A＜π，即sinA=， 因为△ABC的面积S=24，b=10， 所以

，解得c=6，

由余弦定理得，a2=b2+c2﹣2bccosA =100+36﹣则a=8， 故选D．

9．（5分）某几何体的三视图如图所示，该几何体四个面中，面积最大的面积是（ ）

=64，

A．8 B．10 C．6 D．8

【解答】解：三视图复原的几何体是一个三棱锥，如图，

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（2）设AQ：y+1=

由得，?

同理x；

直线MN的斜率kMN==

=

…③

把①代入③得kMN=2（定值） ∴直线MN的斜率是为定值2．

21．（12分）已知函数f（x）=xlnx+x2﹣ax+2（a∈R）有两个不同的零点x1，x2． （1）求实数a的取值范围． （2）求证：x1+x2＞2． （3）求证：x1?x2＞1．

【解答】解：（1）∵f（x）=xlnx+x2﹣ax+2（a∈R）， ∴f′（x）=lnx+1+2x﹣a=lnx﹣（﹣2x+a﹣1）， 当x=t时，f′（t）=0，如右上图，

由图知：x∈（0，t）时，f′（x）＜0，f（x）是减函数， x∈（t，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）是增函数，

∵函数f（x）=xlnx+x2﹣ax+2（a∈R）有两个不同的零点x1，x2． ∴f（t）＜0，

∵f′（t）=lnt﹣（﹣2t+a﹣1）=0，即lnt=﹣2t+a﹣1， ∴f（t）=t（﹣2t+a﹣1）+t2﹣at+2=﹣t2﹣t+2＜0， 即t2+t﹣2＞0，

∴t＞1或t＜﹣2（舍），

当t=1时，ln1=﹣2+a﹣1，解得a=3，

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∵t＞1，∴a＞3．

证明：（2）由（1）知 f′（t）=0，t＞1，

∵函数f（x）=xlnx+x2﹣ax+2（a∈R）有两个不同的零点x1，x2． f（x）的定义域为（0，+∞）， ∴由x1，x2∈（0，+∞），令x1＜x2． ∴f（x）的大致图象如右下图： ∴

∴x1+x2＞2．

（3）由（2）知，x1，x2∈（0，+∞），x1+x2＞2，

∵函数f（x）=xlnx+x2﹣ax+2（a∈R）有两个不同的零点x1，x2，a＞3， ∴f（x2）=f（

）=

+

﹣ax

+2=0，∴a=lnx2+x2+

，

，

﹣x2lnx2﹣x22， ﹣

=（k+）lnk+k2﹣+2k+

＞0，

，

设h（k）=klnk+k2﹣h′（k）=（1﹣

）lnk+1+

∴h（k）是（0，+∞）上的增函数， ∴当k＞1时，h（k）＞h（1）=0， ∵x2＞1，∴

＜1，∴h（

）＜h（1）=0，

又由零点性质得h（x1）=0， ∴h（x1）＞h（∴x1?x2＞1．

），∴x1＞

，

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[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]

22．（10分）在直角坐标系xOy中，直线C1的参数方程为

（t为参数），

以该直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系下，圆C2的方程为ρ=﹣2cosθ+2

sinθ．

（Ⅰ）求直线C1的普通方程和圆C2的圆心的极坐标； （Ⅱ）设直线C1和圆C2的交点为A，B，求弦AB的长．

【解答】解：（Ⅰ）由C1的参数方程消去参数t得普通方程为 x﹣y+1=0， 圆C2的直角坐标方程（x+1）2+所以圆心的直角坐标为（﹣1，所以圆心的一个极坐标为（2，（Ⅱ）由（Ⅰ）知（﹣1，

）， ）．

=

，

=4，

）到直线x﹣y+1=0 的距离 d=

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所以AB=2

=．

[选修4-5：不等式选讲]

23．已知函数f（x）=|x﹣a|﹣|x+3|，a∈R． （Ⅰ）当a=﹣1时，解不等式f（x）≤1；

（Ⅱ）若当x∈[0，3]时，f（x）≤4，求a的取值范围． 【解答】解：

（Ⅰ）当a=﹣1时，不等式为|x+1|﹣|x+3|≤1．

当x≤﹣3时，不等式化为﹣（x+1）+（x+3）≤1，不等式不成立；

当﹣3＜x＜﹣1时，不等式化为﹣（x+1）﹣（x+3）≤1，解得﹣≤x＜﹣1； 当x≥﹣1时，不等式化为（x+1）﹣（x+3）≤1，不等式必成立． 综上，不等式的解集为[﹣，+∞）．…（5分） （Ⅱ）当x∈[0，3]时，f（x）≤4即|x﹣a|≤x+7， 由此得a≥﹣7且a≤2x+7．

当x∈[0，3]时，2x+7的最小值为7， 所以a的取值范围是[﹣7，7]．…（10分）

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