北京交通大学信号与系统第四章典型例题

第四章 典型例题

【例4-1-1】写出下图所示周期矩形脉冲信号的Fourier级数。

~x(t)A????T0?????/2O?/2周期矩形信号

T0t

分析：

x(t)是实信号，其在一个周期[?T0/2，T0/2]内的定义为 周期矩形信号~?A t??/2~x(t)??

0 t??/2?满足Dirichlet条件，可分别用指数形式和三角形式Fourier级数表示。

解：

根据Fourier级数系数Cn的计算公式，有

1?/21T0/2~Cn?x(t)e?jn?0tdt?Ae?jn?0tdt?

T0?T0/2T0??/2??n??Asin(n?0?/2)A?A?jn?0tt??/2e???Sa(0)

t???/2T0(?jn?0)Tn?0?/2T02x(t)的指数形式Fourier级数表示式为 故周期矩形信号~??n??A?jn?0t~ x(t)??Cne??()Sa(0)ejn?0t

T02n???n???利用欧拉公式

ejn?0t?e?jn?0tcos(n?0t)?

2可由指数形式Fourier级数写出三角形式的Fourier级数，其为

?n??A?2A?~ x(t)??()Sa(0)cos?n?0t?

T0T02n?1?

结论：

x(t)中只含有余弦信号分量。 实偶对称的周期矩形信号~【例4-1-2】写出下图所示周期三角波信号的Fourier级数。

~x(t)????2?1A?0.50.5?A周期三角波信号

???12t

分析：

x(t)是实信号，其在一个周期 [?1/2，3/2]的表达式为 周期矩形信号~1?2At t??~2 x(t)??13?2A(1?t) ?t??22

满足Dirichlet条件，可分别用指数形式和三角形式Fourier级数表示。 解：

2π?π。 由于该三角波信号~所以?0?根据Fourier级数系数的计算公x(t)的周期T0=2，

T0式，有

1T0/2~11/213/2?jn?0t?jnπtCn?x(t)edt? 2Atedt?2A(1?t)e?jnπtdt

T0?T0/22?1/221/2计算上式积分可得三角波信号的频谱Cn为

nπ??4Aj?22sin(), n?0 Cn??nπ2?n?0?0,所以周期三角波信号的Fourier级数表示式为

???

利用欧拉公式

~x(t)??4Ajnπjnπtsin()e 222n???,n?0nπ??ejn?0t?e?jn?0t sin(n?0t)?2j可由指数形式Fourier级数写出三角形式的Fourier级数，其为

?8A?1118Anπ?~sinπt?sin3πt?sin5πt?sin7πt?? x(t)?sin()sinnπt??2?22925492π??n?1nπ?结论：

x(t)中只含有正弦信号分量。 (1) 实奇对称的周期三角波信号~ (2) 例4-1-1的周期矩形信号和例4-1-2的周期三角波信号均可用Fourier级数

~x(t)?n????Cen?jn?0t表示，所不同的是两者的Fourier系数不同。因此，研究Fourier系数也

可获得信号的某些特性。

【例4-1-3】判断下图所示周期矩形信号和周期三角波信号的Fourier系数的特性。

~x(t)A????T0?????/2O?/2(a)周期矩形信号

T0t

~x(t)????T0?T0/2AT0???T0/2t?A(b)周期三角波信号

分析：

首先判断信号时域的对称关系，再利用周期信号的对称特性和Fourier系数的关系，即可得出相应信号Fourier系数的特性。 解：

(a)信号为实偶对称，满足~x(t)?~x(?t)，故Fourier系数Cn实偶对称，其三角形式Fourier级数表示式中只含有直流项和余弦项。

x(t)??~x(?t)，又满足~x(t)?~x(t?T0/2)，为实奇对称半波镜像信号，其三(b) 信号既满足~角形式Fourier级数表示式中只含有奇次谐波的正弦信号分量。 结论：

利用周期信号的对称特性和Fourier系数的关系可以建立信号时频的对应关系，定性地判断信号的频谱成份。

x(t)的Fourier系数的特性。 【例4-1-4】判断下图所示周期信号~

~x(t)A0.8A????T0?T0/2T0/2T0???t?0.2A分析：

x(t)的波形来看，其不具有任何对称关系。在这种情况下可以去掉信号的直流分 从信号~量，再观察波形的对称性。 解：

信号的直流分量为

1T0~C0?x(t)dt?0.4A

T00~x(t)去掉直流分量后的波形如下图所示，是半波镜像信号，故只含有奇次谐波分量。

?~x(t)?C00.6A????T0?T0/2O?0.6AT0/2T0???t

~综合上面的分析，x(t)的三角形式Fourier级数表示式中含有直流项、奇次谐波（正弦和余

弦）分量。

结论：

某些信号波形经上下或左右平移后，才呈现出某种对称特性。

x(t)的Fourier【例4-1-5】利用连续时间Fourier级数的性质，写出下图所示周期矩形信号~级数表示式。

~x(t)2???1???1234?4?3?2?10t

分析：

x(t)可以看成直流分量与例4-1-1周期矩形信号之差， 周期信号~利用Fourier级数的线性

特性和例4-1-1周期矩形信号Fourier级数表示即可求解本题。 解：

x(t)可以看成下图所示直流分量~x1(t)和周期矩形信号~x2(t)之差，即 周期信号~~x(t)?~x(t)?~x(t)?2?~x(t)

x2(t)的Fourier级数表示式为 令例4-1-1中周期矩形信号的A=1，??2，T0?4，可得~?n??A?2A?~x2(t)??()Sa(0)cos?n?0t??0.5?T0n?1T02x(t)的Fourier级数表示式为 因此~122??Sa(2)cos(n?1?nπnπt) 2~x(t)?2?~x2(t)?1.5??n?1?Sa(nπnπt)cos() 22~x1(t)2?4?3?2?101234tA~x2(t)

????4?3?2?11234???t

结论：

利用常用周期信号的Fourier系数和Fourier级数的性质，可计算其它周期信号的Fourier系数。

~(t)的Fourier【例4-1-6】利用连续时间Fourier级数的性质，写出下图所示周期矩形信号g级数表示式。

~(t)gAt?2?10123

周期信号g(t)

分析：

~(t)可以看成例4-1-1周期矩形信号右移0.5，利用Fourier级数的时移特性和 周期信号g例4-1-1周期矩形信号Fourier级数表示即可求解本题。 解：

~(t)可以表示为g~(t)?~x(t?0.5)。 周期信号g令例4-1-1中周期矩形信号的??1，T0?2，

x(t)的Fourier系数为 ??0=2?? T0??，可得~n??A?AnπCn?Sa(0)?Sa()

T0222~(t)的Fourier系数为D，利用Fourier级数的时移特性可得 令gn

Dn?e?jn0.5?0Cn?~(t)的Fourier级数表示式为 因此，周期信号gAnπSa()e?jnπ/2 22~(t)?gn????Cen?jn?0t?n?????(A/2)Sa(nπ/2)e?jnπ/2ejnπt

?A/2?2A?11?sinπt?sin3πt?sin5πt??? π?35??~x(t)A????2?1?0.50.512???t结论：

~(t)与~~(t)?~gx(t)具有gx(t?0.5)的关系，两者Fourier级数的模相等，即Cn?Dn，

但相位不同。这充分体现了周期信号Fourier级数时移特性的物理含义，即信号在时域的时

移对应其在频域的相移。

x(t)的频谱。 【例4-1-7】画出例4-1-1以原点为中心对称的周期矩形信号~~x(t)A????T0?????/2O?/2周期矩形信号

T0t

分析：

周期信号的Fourier系数就是该信号的频谱。

解：

x(t)的频谱为 由例4-1-1的计算结果，以原点为中心对称的周期矩形信号~n??A?Cn?Sa(0)，n?0,?1,?2?

T02由于Cn为实数，因而各谐波分量的相位或为零(Cn为正)或为??(Cn为负)，因此不需分别画

出幅度频谱| Cn |与相位频谱??n。可以直接画出Fourier系数Cn的分布图。根据抽样函数Sa( t )

~的曲线便可得信号x(t)的频谱图。

CnA??/ T0?2?/ ?2?/ ???0=2?/ T0周期矩形信号的频谱

结论：

周期矩形脉冲的频谱具有以下特性：

(1)离散频谱特性：频谱是以基频?0为间隔分布的离散频谱。由于谱线的间隔?0=2?/T0，故信号的周期T0越大，其基频?0就越小，谱线越密。

频谱都是由间隔为?0的谱线组成的离散谱。不同的周期信号其频谱分布的形状不同，但都 (2)幅度衰减特性：随着谐波n?0增大，幅度频谱|Cn|不断衰减，并最终趋于零。 不同的周期信号对应的频谱不同，但上述特性是周期信号频谱的普遍性质。

x(t)=1+cos(?0t??/2)+0.5 cos(2?0t+?/3)的频谱。 【例4-1-8】画出周期信号~分析：

x(t)表示为虚指数信号ejn?0t的线性组合（指数形式根据周期信号的频谱基本概念，将~Fourier级数），虚指数信号ejn?0t的系数就是该信号的频谱。

解：

x(t)可表示为 由Euler公式，周期信号~ 与~x(t)??11~x(t)?1?(e?jπ/2ej?0t?ejπ/2e?j?0t)?(ejπ/3ej2?0t?e?jπ/3e?j2?0t) 24n????Cenjn?0t比较，可得

x(t)的频谱Cn如下图所示。 所以周期信号~1111C0?1,C1?e?jπ/2,C?1?ejπ/2,C2?ejπ/3,C?2?e?jπ/3

2244 |Cn|1/21/4?3???2???1/21/42??3?????????

????n????2???3????????????2??3???周期信号~x(t)的幅度频谱和相位频谱

????

结论：

根据周期信号~可以清楚看到周期信号中各谐波分量分布情x(t)的幅度频谱和相位频谱，况。如果已知周期信号的频谱Cn，则可由式~x(t)?n?????x(t)。信号的时域Cnejn?0t重建信号~描述和频域描述是深入分析和研究信号的理论基础。

【例4-2-1】试求图(a)所示非周期矩形脉冲信号x(t)的频谱函数X(j?)。

X(j??x(t)AA?????0???t?????0????? (a) 非周期矩形脉冲信号 (b) 信号频谱函数

分析：

非周期矩形脉冲信号x(t)满足Dirichlet条件，其Fourier变换X(j?)存在。 解：

非周期矩形脉冲信号x(t)的时域表示式为

??A， |t|??2 x(t)????0， |t|?2?由连续信号Fourier变换定义可得

X(j?)?????x(t)e?j ?tdt???τ2τ?2A?e?j ?tdt sin(

A?j ?tej??/2??/22A??2?)?A?Sa(??2)

结论：

(1) 连续非周期信号的频谱是连续谱，其形状与周期矩形信号离散频谱的包络线相似。 (2) 信号在时域中持续时间有限，则在频域中其频谱将延续到无限。

(3) 信号的频谱分量主要集中在零频到第一个过零点之间，工程中往往将此宽度作为信号的有效带宽。非周期矩形信号的有效带宽为2?/? (rad/s)或1/????Hz)，在时域的宽度为??。即

【例4-2-2】试求单位冲激信号x(t)=?(t)的频谱。 分析：

非周期矩形脉冲信号x(t)满足Dirichlet条件，由Fourier变换的定义直接求得其频谱。 解：

利用冲激信号的抽样特性，可由Fourier变换的定义直接求得其频谱

X(j?)?F[?(t)]?????x(t)e?j?tdt??????(t)e?j?tdt?1

X( j???

下图画出了冲激信号?(t)及其频谱。

?(t)????t

??单位冲激信号及其频谱

结论：

(1) 冲激信号的频谱为一常数。

(2) 信号在时域中持续时间有限，则在频域中其频谱将延续到无限。 【例4-2-3】试求直流信号x(t)=1 ( ?? ? t??? )的频谱。

分析：

直流信号不满足绝对可积，但其Fourier变换X(j?)存在，可借助?(t)的Fourier反变换计算。 解：

利用?(t)的频谱及Fourier反变换公式可得

?(t)?1?j? t1?ed? ???2π1??j?ted? ???2π(1)

由于?(t)是t的偶函数，所以(1)式可等价写为

?(t)?X(j?)?F[1]?(2)

由连续信号Fourier变换定义及(2)式可得

????1?e?j?tdt?2π?(?)

下图为直流信号x(t)=1(?? ? t??)及其频谱。

x(t)=1?X( j??(2?)?t??直流信号及其频谱

结论：

(1) 直流信号的频谱只在?=0处有一冲激。

(2) 信号在时域中持续时间无限，则在频域中其频谱有限。

【例4-2-4】试求符号函数sgn(t)的频谱。 分析： sgn(t)的定义为

??1 t?0?sgn(t)??0 t?0

?1 t?0?虽然符号函数不满足绝对可积，但其Fourier变换存在。借助双边指数衰减信号然后取极限

的方法可以求解符号函数的频谱。 解： 因为 而

??t0sgn(t)?limsgn(t)e??0??t

F[sgn(t)e]??0??(?1)e?te?j?tdt????0e??te?j?tdt?

e(??j?)t???j?所以 幅度频谱 相位频谱

t???e?(??j?)t???j???0?t?0?11?

??j???j???tF[sgn(t)]?lim F[sgn(t)e?]??2 j?

X(j?)?2??2sgn(?)?

??0?π/2, π?(?)????sgn(?)

??02??π/2, |X( j?)|符号函数的幅度谱和相位谱如下图所示。

???????????????符号函数的幅度频谱和相位频谱

【例4-2-5】试求单位阶跃信号x(t)=u(t)的频谱。 分析：

单位阶跃信号不满足绝对可积，但其Fourier变换存在。可以利用符号函数和直流信号的频谱来求单位阶跃信号的频谱。 解：

将单位阶跃信号表示为符号函数和直流信号的线性组合，即

所以单位阶跃信号u(t)的频谱为

u(t)?11?sgn(t) 221 j?

X(j?)?F[u(t)]?π?(?)?单位阶跃信号u(t)的幅度谱和相位谱如下图所示。

|X( j?)|???????(?)????????阶跃信号的幅度频谱和相位频谱

【例4-2-6】试求单边指数信号x(t) = e??tu(t), (????0)的频谱。 分析：

单边指数信号满足Dirichlet条件，由Fourier变换的定义直接求得其频谱。 解：

由连续信号Fourier变换定义，可得

幅度频谱为

X(j?)??x(t)e?j?tdt??e??te?j?tdt???0??1

a?j?

相位频谱为

单边指数信号的幅度频谱和相位频谱如下图所示。

|X( j?)|a???(?)??arctan(?/?)

X(j?)?122

?(?)??????0?0?????

单边指数信号的幅度频谱和相位频谱

【例4-2-7】试求虚指数信号x(t) =ej?0t (??

分析：

虚指数信号在整个信号区间（?∞，+∞）上不满足绝对可积，但其Fourier变换存在，可借助?(t)的Fourier反变换计算。 解：

利用?(t)的频谱及Fourier反变换公式可得

1??(t)?1?ej? td? ?2π??1??j?t?(t)?ed?

2π???X(j?)?F[ej?0t(1)

由于?(t)是t的偶函数，所以(1)式可等价写为

(2)

由连续信号Fourier变换定义及(2)式可得虚指数信号的频谱函数为

]?????e?j(???0)tdt?2π?(???0)

虚指数信号的频谱如下图所示。

X(j?)(2????0?

虚指数信号的频谱

结论：

虚指数信号的频谱只在?=?0处有一冲激，因此也称虚指数信号为单频信号。

【例4-2-8】试求正弦型信号cos(?0t)和sin(?0t)的频谱X(j?)。 分析：

正弦型信号在整个信号区间（?∞，+∞）上不满足绝对可积，但其Fourier变换存在，可利用虚指数信号的频谱计算。 解：

利用Euler欧拉公式，将正弦型信号用虚指数信号表示为

11cos(?0t)?(ej?0t?e?j?0t)，sin(?0t)?(ej?0t?e?j?0t)

2j2利用虚指数信号的频谱，可得正、余弦信号的频谱函数为

1Fcos(?0t)?(ej?0t?e?j?0t)???π[?(???0)??(???0)]

21Fsin(?0t)?(ej?0t?e?j?0t)????jπ[?(???0)??(???0)]

2jcos(??t)

其时域波形和频谱分别如下图所示。

X(j?)??????0t??????(a)余弦信号 (b)余弦信号的频谱

sin(??t)X(j?)?j??t?????0??j???(c)正弦信号 (d)正弦信号的频谱

结论：

正弦型信号的频谱在????0处各有一冲激。

x(t)的频谱X(j?)。 【例4-2-9】试求任意周期信号~ 分析：

周期信号在整个信号区间（?∞，+∞）上不满足绝对可积，但其Fourier变换存在。在求其Fourier变换时，应先写出其Fourier级数表示式，再利用虚指数信号的Fourier变换计算。 解：

周期信号的Fourier级数表示式为

?~x(t)?n????Cnejn?0t， ?0???2π T0[ejn?0t]

利用虚指数信号的Fourier变换，对上式两边进行Fourier变换，可得

X(j?)?F[~x(t)]?F[?Cnejn?0t]?n???n????CFn???2πn????C?(??n?n??0)

结论：

连续周期信号的频谱密度函数X(j?)是冲激串函数，冲激串前的系数为2?Cn。因此，连续周期信号的Fourier系数Cn与其频谱密度函数X(j?)是一致的。

【例4-2-10】试求周期冲激串?T0(t)?n?????(t?nT)的频谱X(j?)。

0?? 分析：

x(t)的Fourier变换即可求出。 利用任意周期信号~解：

周期信号?T0(t)的Fourier系数Cn为

Cn?x(t)的Fourier变换，可得 利用任意周期信号~1T0?T0/2?T0/2?T(t)ejn?tdt?001T0?T0/2?T0/2?(t)ejn?tdt?01 T00)

1X(j?)?F[?T0(t)]?2πCn?(??n?0)?T0n??????n????2π?(??n?2π T0X(j?)??0)??

??0n???????(??n?0), ?0?

周期冲激串信号?T0(t)及其频谱如下图所示。

?T(t)0(1)-T00T0t(a) 周期冲激串信号 (b) 周期冲激串的频谱

-?00?0?

结论：

(1)周期冲激串信号?T0(t)的频谱也是一个周期冲激串，并且它的周期?0和?T0(t)的周期T0成反比。

(2) 周期信号的频谱Cn是计算周期信号频谱密度X(j?)的关键。

(3) 周期冲激串信号在信号分析中具有重要作用。

【例4-2-11】已知信号x(t)的波形如下图所示，试求信号x(t)的频谱。 分析：

用基本信号的线性组合表示x(t)。 解：

x(t)可以表示为直流信号与宽度为1矩形信号的相减，即 x(t) = 2 – p1(t) 由连续时间Fourier变换的线性特性可得 X(j?)=4??(?)?Sa(?/2)

x(t)21?0.500.5t

结论：

(1)复杂信号可以表示为基本信号，根据基本信号的Fourier变换以及信号Fourier变换的性质就可以得到复杂的信号的Fourier变换。

(2)当信号x(t)中存在直流分量时，其频谱X(j?)中一般含有冲激函数。 【例4-2-12】试求双边指数信号x(t)?e分析：

可以看成是单边指数信号e??tu(t)的偶分量，利用e??tu(t)的频谱和Fourierx(t)?e变换的对称特性即可求出。 解：

单边指数信号e??tu(t)的频谱为

Fe??tu(t)?????t(???t??)的频谱。

??tj?1??2?

??j????2?2??2因为e??tu(t)的偶分量为

11??txe(t)?[e??tu(t)?e?tu(?t)]?eu(t)

22利用实信号偶分量xe(t)的频谱为 X(j?)的实部，可得

?1?1??tF?? e???Re?????j???2??2 2?? 故

e??tF???2? 22???结论：

当x(t)为实偶对称信号时，其频谱函数X(j?)也为实偶对称函数。 【例4-2-13】试求信号x(t)?分析：

1的频谱函数X(j?)。 πt 利用符号函数的频谱和Foruier变换的互易对称特性计算。 解：

符号函数的频谱为

2Fsgn(t)???

j?根据Foruier变换的互易对称特性可得

2F???2πsgn(??)??2πsgn(?)

jt再根据Fourier变换的线性特性得 结论：

在信号Hilbert变换和信号单边带幅度调制中，信号x(t)?1及其Fourier变换πt1F????jsgn(?) πt

X(j?)??jsgn?()得到广泛应用。

【例4-2-14】求连续时间信号Sa(t)的频谱函数X(j?)。 分析：

利用非周期矩形脉冲信号的频谱和Foruier变换的互易对称特性计算。 解：

由常见信号的频谱可知，幅度为1宽度为2的矩形脉冲p2 (t)的频谱为

F p2(t)???2Sa(?) 分别如下图(a)(b)所示。由Fourier变换的互易对称特性可得

F 2Sa(t)???2πp2(??)?2πp2(?)

其时、频谱波形分别如下图(c)(d)所示。由Fourier变换的线性特性可得 FSa(t)???πp2(?)

式中p2(?)表示幅度为1宽度为2的矩形脉冲。

X(j??x(t)1??101t??0??

(a) 矩形脉冲信号 (b) 矩形脉冲信号的频谱

X(jt??x(?)2???0?t?1

01?

(c) 抽样信号Sa(t) (d) 抽样信号Sa(t)的频谱

结论：

(1)时域的矩形信号对应的频谱为抽样函数，而时域的抽样信号对应的频谱为矩形函数。

(2)从系统来看，若p2(?)是理想低通滤波器的频率响应，则其单位冲激响应h(t)是抽样函数

【例4-2-15】试求抽样信号x(t)?Sa(?0t)的频谱函数X(j?)。 分析：

利用抽样信号Sa(t)的频谱和Fourier变换的展缩特性计算。 解：

抽样信号Sa(t)的频谱为

F Sa(t)???πp2(?) 根据连续信号Fourier变换的展缩特性可得

π?πFSa(?0t)???p2()?p2?0(?)

1Sa(t)。 π?0?0?0p2?0(?)表示幅度为1宽度为2?0的矩形脉冲。

结论：

(1)Sa(t)的频谱是宽度为2的矩形脉冲，而Sa(?0t)的频谱是宽度为2?0的矩形脉冲。这充分表明信号时域压缩，其对应的频谱函数扩展；信号时域扩展，其对应的频谱函数压缩。

(2)从系统来看，若p2?0(?)是理想低通滤波器的频率响应，则其单位冲激响应h(t)是抽样函数

?0πSa(?0t)。

【例4-2-16】试求信号x(t)=u(t+1)?u(t?3)的频谱函数X(j?)。 分析：

u(t+1)?u(t?3)是矩形脉冲信号，利用矩形脉冲信号的频谱和Foruier变换的时移特性计算。 解： 因为 x(t)=u(t+1)?u(t?3)=p4(t?1) p4(t)表示宽度为4，幅度为1的矩形信号。 由于 F{p4(t)}?4Sa(2?)

利用Fourier变换的时移特性可得

X(j?)?F{p4(t?1)}?4e?j?Sa(2?)

结论：

信号在时域的时移将导致其频域的相移。若信号在时域的时移为常数，则在频域产生线性相移。

【例4-2-17】已知F{x(t)}?X(j?)，g(t)=x(2t+4), 求信号g(t)的频谱。 分析：

信号x(2t+4)是x(t)经过压缩、平移两种基本运算而产生的信号，需要分别利用Fourier变换的展缩特性和时移特性求其频谱。可以将x(t) 先进行压缩再平移，也可以将x(t) 先进行平移再压缩，两种方法的计算过程稍有不同，但结果一致。 解：

??2t，利用Fourier变换的展缩特性得 方法一：先对x(t)进行压缩 t?1?Fx(2t)???X(j)

22

??t?2，并利用Fourier变换的时移特性得 再对x(2t)进行左移 t?1?Fx[2(t?2)]?x(2t?4)???X(j)ej2?

22

??t?4，利用Fourier变换的时移特性得 方法二：先对x(t)进行左移 t?Fx(t?4)????X(j?)ej4?

结论：

??2t，并利用Fourier变换的展缩特性得 再对x(t+4)进行压缩 t?1?Fx(2t?4)????X(j)ej2?

22j?若信号g(t)=x(at+b)，(a≠0)，则存在G(j?)?1X(j?)ea。因为信号g(t)相对于信号

|a|abx(t)，存在a倍的展缩和b/a的时移。

【例4-2-18】已知信号x(t)的频谱函数X(j?)如图(a)所示，试求信号x(t)与余弦信号cos(?0t)相乘后信号a(t)的频谱函数。(?0>?m) 分析：

将cos(?0t)用虚指数信号表示为cos(?0t)?1j?0t再利用频移特性即可计算。 (e?e?j?0t)，

2解： 由于

A(j?)?F[a(t)]?F[x(t)cos(?0t)]?故根据Fourier变换的频移特性可得

11F[x(t)ej?0t]?F[x(t)e?j?0t ] 2211 X[j(???0)]?X[j(???0)]

22上式表明，信号x(t)与余弦信号cos(?0t)相乘后，信号x(t) cos(?0t)的频谱是原来信号x(t)的频谱经左、右搬移?0后相加，然后幅度减半。

Fx(t) cos(?0t)????X(j?)A(j?)?1??m?m?

0??0??m??0??0+?m(a) 信号x(t)的频谱 (b) 信号x(t) cos(?0t)的频谱

0?0??m?0?0+?m?

结论：

信号x(t)与余弦信号cos(?0t)相乘后的频谱函数为

Fx(t)cos(?0t)???1?X?j(???0)??X?j(???0)?? 2j?X?j(???0)??X?j(???0)?? 2

信号x(t)与正弦信号sin(?0t)相乘后的频谱函数为

Fx(t)sin(?0t)?????这是连续时间信号幅度调制与解调的理论基础。

【例4-2-19】求下图(a)所示宽度为?、幅度为A的三角波信号的频谱。 分析：

等腰三角形可以看成是两个等宽矩形脉冲信号的卷积，利用卷积特性即可计算。 解：

设x1(t)是一宽度为2、幅度为1的三角波信号。由于x1(t)可由两个幅度为1、宽度为1的矩形信号p1(t)卷积构成，即 p1(t) ? p1(t) = x1(t)

F{p1(t)}?Sa(?/2) 因为

所以，利用Fourier变换的卷积特性可得

F{x1(t)}?Sa2(?/2)

利用Fourier变换的线性特性和展缩特性，即可求出宽度为??、幅度为A的三角波x(t)的频谱

函数为

tA?2?? Sa() F[x(t)]?F[Ax1()]?24?/2x(t)Ax1(t)1??/20?/2t?101t(a) 宽度为??的三角波信号 (b) 宽度为2的三角波信号

结论：

由于任意等腰三角波信号都可以表示为两个等宽的矩形信号的卷积，而矩形信号的的频谱为抽样函数，因此，任意等腰三角波信号的的频谱必然为抽样函数的平方。

【例4-2-20】 已知信号x(t)的频谱函数X(j?)如图(a)所示，试求a(t)?x(t)cos(?0t)的频谱函数。(?0>?m) 分析：

利用cos(?0t)的Fourier变换，和乘积特性即可计算。 解：

cos(?0t)的Fourier变换为

Fcos(?0t)???π?(???0)?π?(???0)

根据Fourier变换的乘积特性，可得

1X(j?)*π?(???0)?π?(???0) 2π11 ?X[j(???0)]?X[j(???0)]

22上式表明，信号x(t)与余弦信号cos(?0t)相乘后，信号x(t) cos(?0t)的频谱是原来信号x(t)的频谱经左、右搬移?0后相加，然后幅度减半。

F[x(t)cos(?0t)]?X(j?)A(j?)?1??m?m?

0??0??m??0??0+?m(a) 信号x(t)的频谱 (b) 信号x(t) cos(?0t)的频谱

0?0??m?0?0+?m?

结论：

信号x(t)乘以正弦型信号后的频谱，即可利用Fourier变换的频移特性计算，也可利用Fourier变换的乘积特性计算。

【例4-2-21】试求下图(a)所示三角波信号x(t)的频谱函数X (j?)。 分析：

三角波信号x(t)的导数x1(t)如下图(b)所示，从图中可以看出x1(t)的面积为零，即

X1(0)?????x1(t)dt=0。因此利用时域微分特性或时域积分特性均可计算其频谱。

解：

三角波信号x(t)的导数x1(t)可以用矩形脉冲表示为

x'(t)?x1(t)?p1(t?)?p1(t?)

X1(j?)?F[x'(t)]?Sa(?/2)ej?/2?Sa(?/2)e?j?/2?2jSa(?/2)sin(?/2)

1212利用矩形脉冲p1(t)的频谱，以及Fourier变换的线性特性和时移特性，得

方法一：利用Fourier变换的时域微分特性，有

X1(j?)?j?X(j?)

由此可得x(t)的频谱为

X(j?)?X1(j?)2jSa(?/2)sin(?/2)?Sa2(?/2) ?j??方法二：利用Fourier变换的时域积分特性，有 X(j?)X(j?)X1(j?)?1?πX1(0)?(?)?1?Sa2(?/2)

j?j?1x(t)1x1(t)?1?101t0?11t(a)三角波信号 (b)三角波信号的导数

结论：

等腰三角波信号的Fourier变换可以通过两个等宽的矩形信号的卷积来求解，也可以通过Fourier变换的微分特性或积分特性来求解，该方法特别适合不等腰三角波信号的频谱分析。因此也可以推出，不等腰三角波信号的Fourier变换不可能表示为抽样函数的平方。

【例4-2-22】试求下图(a)所示信号x(t)的频谱函数X (j?)。 分析：

信号x(t)的导数x1(t)如下图(b)所示，从图中可以看出x1(t)的面积为1，即

X1(0)?????x1(t)dt=1。因此不能利用时域微分特性，只能利用时域积分特性或修正的微分

特性计算其频谱。 解：

信号x(t)的导数x1(t)可以用矩形脉冲表示为

x'(t)?x1(t)?p1(t?)

12利用矩形脉冲p1(t)的频谱，以及Fourier变换的时移特性，得

X1(j?)?e?j?/2Sa()

2?方法一：利用连续信号Fourier变换的积分特性，可得

11?X(j?)?X1(j?)?πX1(0)?(?)?Sa()e?j?/2?π?(?)

j?j?2方法二：利用修正的微分特性，由图(a)可知x(?)?1,x(??)?0，故可得

X(j?)1?X(j?)?π[x(?)?x(??)]?(?)?1?Sa()e?j?/2?π?(?)

j?j?2x(t)1t1101tx1(t)0 结论：

(a)信号x(t)波形 (b) x(t)导数的波形

设X1(j?)是信号x(t)的导数x1(t)的频谱，若X1(0)?0，则不能利用微分特性计算，只能利用时域积分特性或修正的微分特性计算其频谱。

【例4-2-23】试求下图(a)所示信号x(t)的频谱函数X (j?)。 分析：

信号x(t)的导数x1(t)如下图(b)所示，从图中可以看出x1(t)的面积为1，即

X1(0)?????x1(t)dt=1，因此不能利用时域微分特性。若利用时域积分特性，则计算出的频

谱与例5-3-12相同，即得出的是例5-3-12信号的频谱，忽略了本题信号中的直流分量1，

因此本题只能利用修正的微分特性计算频谱。 解：

信号x(t)的导数x1(t)可以用矩形脉冲表示为

x'(t)?x1(t)?p1(t?)

12利用矩形脉冲p1(t)的频谱，以及Fourier变换的时移特性，得

X1(j?)?e?j?/2Sa()

2?由图(a)可知x(?)?2,x(??)?1，利用修正的微分特性可得

X(j?)?π[x(??)?x(??)]?(?)?x(t)2101tX1(j?)1??3π?(?)?Sa()e?j?/2 j?j?2x1(t)101t(a) 信号x(t)波形 (b) x(t)导数的波形

结论：

(1)若信号含有直流分量，则只能利用修正的微分特性计算其频谱。

(2)综合例5-3-11、例5-3-12和例5-3-13可以看出，若信号x(t)的频谱需要借助其导数x1(t)的频谱计算，则直接利用修正的微分特性计算其频谱较为简便。因为这样可以不必进行信号中是否含有直流，以及X1(0)是否为零的判断。

【例4-2-24】分别求信号x(t)?t,x(t)?t,x(t)?tu(t),x(t)?te??tu(t)的频谱。

分析：

分别利用直流信号、符号函数、阶跃信号及单边指数信号的频谱和频域微分特性计算。 解：

利用常见信号的频谱函数，以及Fourier变换的频域微分特性，可得其频谱。

F由于 1????2π?(?)

2F(???由于 sgnt)

j?F?π?(?)?由于u(t)???F因此有 t???2πj?'(?) F?j因此有 t?tsgn(t)???d22()??2 d?j??1d11F?j{π?(?)?}?jπ?'(?)?2 因此有 tu(t)???j?d?j??F?j 因此有 te??tu(t)???F?由于e??tu(t)??1

??j?d11()? d???j?(??j?)2结论：

这些信号是常用信号，其与基本信号之间存在密切关系，应理解和掌握这些常用信号的Fourier变换及其求解方法。

【例4-2-25】已知能量信号x(t)=e?3?tu(t)，若以

????BBG(j?)d?E?95%

制特性求出X(j?)所对应的时域表示式，再考虑相位谱，利用Fourier变换的时移特性即可计算。 解：

频谱X(j?)可表示为

X(j?)?X(j?)ej?(?)??p2(??5)?p2(??5)?e?j2?

1FSa(t)???p2(?) 由抽样信号的频谱，有

π

利用Fourier变换的频移特性(调制定理)，可得

112F?p2(??5)?p2(??5)????Sa(t)e?j5t?Sa(t)ej5t?Sa(t)cos(5t)

πππ在利用Fourier变换的时移特性，即得

x(t)?2Sa(t?2)cos[5(t?2)] π结论：

若信号的相位谱是过原点的一条直线，则称为线性相位。由Fourier变换的时移特性可知，频域的线性相位对应时域信号的时移。

【例4-2-31】试求频谱函数X(j?)?分析：

将

2sin(?)所对应的信号x(t)。

?(j??1)1j?(j??1)展开成

11与之和的形式，两者分别对应符号函数和单边指数信号j?j??1的频谱，再将sin(?)用虚指数表示，即2jsin(?)?(ej??e?j?)，利用Fourier变换的时移特性即可求解。

解：

将频谱X(j?)表示为 由于

2sin(?)1?11??1j??j?????2jsin(?)???(e?e)??j?j??1??j?j??1?? ?(j??1)????Fsgn(t)???21F?，e?tu(t)??

j?j??1故利用Fourier变换的线性特性，可得

11F????0.5sgn(t)?e?tu(t)

j?j??1再利用Fourier变换的时移特性，即得

x(t)?0.5sgn(t?1)?e?(t?1)u(t?1)?0.5sgn(t?1)?e?(t?1)u(t?1)

???? ?p2(t)?e?(t?1)u(t?1)?e?(t?1)u(t?1)

结论：

若信号x(t)的频域表示式X(j?)比较复杂，可以将其分解为基本信号频谱的线性组合，利用基本信号的频谱和Fourier变换的性质获得信号的时域表示式x(t)。

~x[k]的频谱X[m]。 【例4-3-1】求下图所示周期为N的矩形序列~1x[k]?N+M?M0MN?MNN?Mk周期矩形序列

分析：

直接DFS公式计算即可。DFS公式为

~X[m]?k??N??Mmk~ x[k]WN(1)

解：

由图可知，该周期矩形序列的宽度为2M+1。根据式(1)可得

~X[m]?k??M?e?j2πkmN

利用等比级数的求和公式可得周期矩形序列的频谱为

e~X[m]?j2πmMN?e?j2πm(M?1)N1?e?j2?mN?πm?2M?1??sin??N?? ??πm?sin??N??下图分别画出了N=30，M=2、12时，周期矩形序列的频谱。

543F[m]210-1-30-20-100m102030F[m]2520151050-5-30-20-100m102030

(a) N=30，M=2 (b) N=30，M=12

周期矩形序列的频谱

小结：

~x[k]，其频谱X[m]也是一个周期为N的序列。 (1) 周期为N的周期序列~(2) 周期矩形序列在N固定时，M越小，信号中的高频率分量就越多。

~x[k]=cos(?k/6)的频谱X[m]。 【例4-3-2】求周期序列~分析：

本题信号可以利用Euler公式展开为虚指数信号的线性组合。根据IDFS公式的物理含义，周期序列可用有限项虚指数信号{e

j2πkNm;m?0,1,?,N?1}的线性组合，即

2π虚指数信号的加权系数X[m]就是周期序列的频谱。 解：

x[k]的周期N=12。由Euler公式 该周期序列~~?jmk1~~N x[k]?X[m]e?Nm??N?(2)

x[k]在区间-5?m?6上的频谱为 根据式(2)，可得该周期序列~11~x[k]?ej2?k/12?e?j2πk/12

22

?6m??1~ X[m]??0?5?m?6,m??1?~x[k]在区间0?m?11上的频谱为 由于X[m]的周期N=12，~

?6m?1,11~ X[m]??02?m?10,m?0?~x[k]的频谱X[m]。 下画出了该周期序列~

X[m]6?11?1011123m周期余弦序列的频谱

小结：

在求解周期序列的频谱时，可以根据实际情况，灵活运用DFS和IDFS。对一般的周期序列，可用DFS计算其频谱。当信号可以直接分解为虚指数信号的线性组合时，利用IDFS更为便利。

~x[k]的频谱为X[m]，试确定序列【例4-3-3】已知周期N为偶数的周期序列~x[k],k为偶?~~的频谱。 y[k]??0,k为奇?分析：

1y[k]可用~x[k]表示为~周期序列~y[k]?{~x[k]?(?1)k~x[k]}，利用DFS的线性特性和频

2y[k]的频谱。 移特性即可求出~解：

1~由于 y[k]?{~x[k]?(?1)k~x[k]} 2(N/2)k根据虚指数信号的性质，有(?1)k?WN，故利用DFS的频移特性，可得

DFS{(?1)k~x[k]}?X[m?N/2] 再利用DFS的线性特性，即得

~~~X[m]?X[m?N/2]~ Y[m]?DFS{y[k]}?2小结：

(1)信号分析的基本方法是将复杂信号用基本信号的线性组合表示，因此DFS的线性特性是离散周期序列频域分析的重要性质之一。

(2)序列时域乘以虚指数，对应频域为该序列频谱的频移。该性质是离散序列调制的基础。

【例4-4-1】试求单位脉冲序列x[k]=?[k]的频谱。 分析：

~ 单位脉冲序列?[k]是基本离散序列，满足绝对可和，其DTFT存在，可以直接根据DTFT定义计算。 解：

由离散序列DTFT的定义可得?[k]的频谱为

X(ej?)?k?????[k]e??jk??1

下图画出了单位脉冲序列及其频谱。

?[k]1X(ej?)??2?1012k?????0???? (a) 单位脉冲序列 (b) 单位脉冲序列的频谱

结论：

【例4-4-2】试求序列x[k]??ku[k]的频谱。 分析：

指数序列?ku[k]是基本离散序列，当|?|<1时才满足绝对可和， DTFT存在。否则， DTFT不存在。 解：

由离散序列DTFT的定义，有

单位脉冲序列的频谱X(ej??)在整个定义域(???Ω??)上为常数。

X(ej?)???k?0?ke?jk?????e???jk?0?k

当|?|>1时，求和不收敛。即序列x[k]??ku[k]在??1时不存在DTFT。 当|?|<1时，由等比级数的求和公式得

1X(ej?)???1

1??e?j?当|?|<1，且?是实数时，序列x[k]的幅度谱和相位谱分别为

11? X(ej?)?2221???2?cos?(1??cosΩ)?(?sinΩ)

??sinΩ??

1??cosΩ??k

下图分别画出了实序列x[k]=(0.7)u[k]的幅度谱和相位谱。

【例4-4-3】已知序列x[k]的频谱如下图(a)所示，试求序列y[k]=x[k]cos(?k)的频谱。 分析：

利用DTFT的频移特性(调制定理)。 解：

由Euler公式 y[k]?x[k](ejπk?e?jπk)/2 根据DTFT的频移特性和线性特性，可得

?(Ω)??arctan?

Y(ej?)?X(ej(??π))?X(ej(??π))/2

??

图(b) 为x[k]ejπk的频谱，图(c) 为x[k]e?jπk的频谱，图(d)为Y(ej?)在一个周期内的波形。

X(ej?)??????????0???????(a) x[k]的频谱

X(ej(????)?

?????0?jπk???

的频谱

(b) x[k]eX(ej(????)??????0????(c) x[k]e?jπk

的频谱

Y(ej?)??π0 (d) y[k]的频谱

π?

结论：

序列x[k]乘以cos(?ck)后其频谱是将x[k]的频谱在频域向左右搬移?c，这是离散时间

信号幅度调制的理论基础。

【例4-4-4】试求实偶对称序列 y[k]?(0.5)的频谱。 分析：

序列y[k]?(0.5)可表示为y[k]?0.5ku[k]?0.5?ku[?k]??[k]，(y[k]??[k])/2可以看

kk成0.5ku[k]的偶分量，利用0.5ku[k]的频谱和DTFT的对称特性即可计算频谱。 解：

由指数序列的频谱，有

j?

TFTx[k]?(0.5)ku[k]?D???X(ejΩ)?11?0.5e?jΩ

将X(e)表示为实部和虚部的形式为

由于

XR(ejΩ)?jXI(ejΩ)?1?0.5ejΩ(1?0.5e?jΩ)(1?0.5ejΩ)k?1?0.5cosΩ?0.5jsinΩ1?cosΩ?0.52

xe[k]?(x[k]?x[?k])/2?(???[k])/2?(y[k]??[k])/2

利用DTFT的对称特性 所以有

DTFTxe[k]????XR(ejΩ)

Y(ejΩ)?DTFT{2xe[k]??[k]}?2XR(ej?)?1?0.75

1?cos??0.25结论：

(1) 实序列x[k]的频谱X(ej?)的实部是?的偶函数，虚部是?的奇函数。 (2) 实偶对称序列y[k]的频谱Y(ej?)也是实偶对称函数。

|X(ej??|3?(?)?/4?2??2???0?2?????/40?2???

(a) 指数序列(0.7)u[k]的幅度谱 (b) 指数序列(0.7)u[k]的相位谱

k

k

结论：

序列的频谱是周期为2?的连续函数。实序列的幅度谱关于?偶对称，相位谱关于?奇对称。

【例4-4-5】试求下图(a)所示宽度为2M+1的矩形序列x[k]的频谱。 分析：

矩形序列满足绝对可和， 其DTFT存在，可以直接根据DTFT定义计算。 解：

由离散序列DTFT的定义，有

X(ej?)?k?????x[k]e?jk??k??M??e?M?j?kejM?(1?e?j(2M?1)?)sin[(M?1/2)?? ??j?sin(?/2)1?e图(b) 画出M=4时矩形序列的频谱。由于X(ej?)为实函数，因此没有分别绘制幅度谱和相

位谱。

x[k]?M0Mk(a) 矩形序列

X(ej??9?????0????(b) M=4时矩形序列的频谱

结论： 与连续信号的频谱类似，由于该矩形序列x[k]为实偶对称序列，故其频谱X(ej?)也为实偶对称函数。

【例4-5-1】已知实信号x(t)的最高频率为fm (Hz)，试分别计算对下列信号抽样时，不混叠的最小抽样频率fsam。

(1) x(2t) (2) x(t)*x(2t) (3) x(t)?x(2t) (4) x(t)+x(2t) 分析： 先分别利用Fourier的展缩特性、卷积特性、乘积特性和线性特性确定出待抽样信号的最高频率，再利用抽样定理即可得到信号抽样时，不混叠的最小抽样频率fsam。 解：

根据Fourier的展缩特性，信号在时域的压缩对应其频谱在频域的扩展, 故信号x(2t)的最高频率为2fm(Hz)。

(1) 根据抽样定理，对信号x(2t)抽样时，最小抽样频率fsam=4fm(Hz)。

(2) 根据Fourier的卷积特性，信号在时域的卷积对应其频谱的乘积，故信号x(t)*x(2t)的最高频率为fm(Hz)，对信号 x(t)*x(2t)抽样时，最小抽样频率fsam=2fm(Hz)。

(3) 根据Fourier的乘积特性，信号在时域的乘积对应其频谱的卷积，故信号x(t)?x(2t)的最高频率为3fm(Hz)，对x(t)?x(2t)抽样时，最小抽样频率fsam=6fm(Hz)

(4) 根据Fourier的线性特性，信号在时域的相加对应其频谱的相加，故信号x(t)+x(2t)的最高频率为2fm(Hz)，对x(t)+x(2t)抽样时，最小抽样频率fsam=4fm(Hz)。

结论：

确定待抽样信号的最高频率，是计算抽样时频谱不混叠的最小抽样频率fsam或最大抽样间隔的关键。而确定待抽样信号的最高频率往往需要利用基本信号的频谱及Fourier的性质。 【例4-5-2】下图(a)所示系统中信号x(t)先经过理想低通滤波器进行限带，然后再经过A/D转换器转换为离散序列y[k]，试写出y[k]的频谱表达式，并画出其频谱。

x(t)H(j?)y(t)A/Dy[k]T(a)信号x(t)的抽样

X(j?)11

H(j?)0???m0?m?(b) 信号x(t)的频谱 (c)低通滤波器的频率响应

分析：

先利用非周期信号通过系统响应的频域分析，得到y(t)的频谱，再利用抽样信号频谱的特点即可写出y[k]的频谱表达式，并由此画出其频谱。 解： 由图可知

?X(j?) ???m Y(j?)?H(j?)X(j?)??0 其他?利用抽样信号频谱的特点，有

1Y(e)?TjΩn?????Y[j(??n?X[j(T?sam)],???T

1 ?Tn??????2πn)]H[j(??2πnT)]

若抽样频率满足?sam?2?m，则在[??,?]范围内，上式可表示为

??1?X(j) ???mT Y(e)??TT? 其他?0 j?y[k]的频谱如图(d)所示。

Y(ej?)1/T?????(d) y[k]的频谱

结论：

待抽样信号x(t)经过截止频率为?m的理想低通滤波器（抗混叠滤波器）后，其最高频率为?m，当抽样角频率满足抽样定理，即?sam?2?m时，则抽样后所得序列的频谱将不产生频谱混叠。

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/9clw.html