材力第8章习题解

第8章 杆类构件的强度和刚度设计

8-1 螺旋压紧装置如图所示。现已知工作所受的压紧力为F = 4kN，旋紧螺栓螺纹的内径d1 = 13.8mm，固定螺栓内径d2 = 17.3mm。两根螺栓材料相同，其许用应力[?]= 53.0MPa。试校核各螺栓之强度是否安全。 16080

AB

FAFB4kN 解：?MB?0，FA = 2kN ?Fy?0，FB = 6kN ?A?习题8-1图

(a)

FA20002000?4???13.8MPa?[?]，安全。 AAπ2π?13.82?10?6d14F6000?4 ?B?B??25.5MPa?[?]，安全。

ABπ2?6?17.3?104

8-2 现场施工中起重机吊环的每一侧臂AB和BC，均由两根矩形截面杆组成，连接处A、B、C均为铰链，如图所示。已知起重载荷FP = 1200kN，每根矩形杆截面尺寸比例为b/h = 0.3，材料的许用应力[?]= 78.5MPa。试设计矩形杆的截面尺寸b和h。

解：由对称性得受力图（a） ?Fy?0，4FNcos??FP FP FN??4cos?1200?1039609602?4202?3.275?10N

5

习题8-2图

FP B2FN??2FN4?FNFN ?? h?FNF?N2?[?] A0.3hFN?0.3[?]3.275?1050.3?78.5?106?0.118m

b?0.3h?0.3?0.118?0.0354m?35.4mm （a） ∴ h = 118mm，b = 35.4mm

8-3 图示结构中BC和AC都是圆截面直杆，直径均为d = 20mm，材料都是Q235钢，其许用应力[?]= 157 MPa。试求该结构的许可载荷。（有人说：根据垂直方面的平衡条件，有FNBCcos30??FNACcos45??FP，然后将FNBC?(πd2/4)[?]，FNAC?(πd2/4)[?]代入后即可得许可载荷，这种解法对吗？为什么？） 解：?Fx?0，FB?2FA ?Fy?0， ∴ FP?（1） （2） （3）

习题8-3图

23FA?FB?FP?0 221?3FB 2π FB?[?]?d2

4FP?1?3π2?d[?]24

FA 45?30?FB

1?3π??202?10?4?157?106` 24?67.4kN?（4）

CFP(a)

由（1）、（2）得：

— 46 —

2(1?3)2(1?3)πFA??[?]d2?90.28kN（5） 224 比较（4）、（5）式，得 [FP] = 67.4 kN

讨论：习题中所给“有人说”的解法不对，因为保持平衡时，两杆内应力并不是正好都同时达到许用应力。

8-4 图示的杆系结构中杆1、2为木制，杆3、4为钢制。已知各杆的横截面面积和许用应力如下：杆1、2为A1 = A2 = 4000mm2，[?w]= 20MPa，杆3、4为A3 = A4 = 800mm2，[?s]= 120MPa。试求许可载荷 FP?[FP]。

5FP 344 ?Fx?0，F1??F3??FP

5344 图（b）?Fx?0，F4?F3?FP

535 ?Fy?0，F2??F3??FP

3 |F1|?|F2|

解：图（a）?Fy?0，F3?

习题8-4图

F3F1|F| 1?[?w]

A14FP?A1[?w] 333 FP?A1[?w]??4000?10?6?20?106?60kN

44 F3?F4

?B

FP(a)

F4

C

F3?[?s] A3F2F3

5(b) FP?[?]A3 333 FP?[?]A3??120?106?800?10?6?57.6kN

55∴ [FP] = 57.6 kN

8-5 图示杠杆机构中B处为螺栓联接，螺栓材料的许用切应力[?]= 98.0MPa，且不考虑螺栓的挤压应力。试确定螺栓的直径。

50kND ?45A 40 80C B45? FRBFP

习题8-5图

(a)

50 解：?MC?0，FRB??35.36kN

2 FRB d?2?πd2?[?]（螺栓与杠杆两面接触）

44FRB?2π[?]4?35.36?103?0.01516m?15.2mm

2??98.0?106

8-6 图示的铆接件中，已知铆钉直径d = 19mm，钢板宽b = 127mm，厚度?= 12.7mm，铆钉的许用切应力[?]= 137 MPa，挤压许用应力[?c]= 314 MPa；钢板的拉伸许用应力[?]= 98.0 MPa，挤压许用应力[?c]= 196 MPa。假设4个铆钉所受剪力相等。试求此连接件的许可载荷。

解：钢板轴力图（a）

— 47 —

?I?FP

?(b?d) FP??I?(b?d)?98?106?12.7?108?10?6?134.4kN ?II3FP4? ?(b?2d) FP?44?(b?2d)?II??12.7?89?98?147.7kN 33习题8-6图

πd2π [F?]?[?]??137??192?38.84kN

44F P?[F?]，FP?4?38.04?155.4kN

4 [Fc]?[?c]?d??314?19?12.7?75.8kN FP?4[Fc]?303.2kN 比较上述结果得： [FP] = 134 kN

1FP41FP41FP41FP4FP

8-7 两块钢板的搭接焊缝如图所示，两钢板的厚度?相同，?= 12.7mm，左端钢板宽度b = 127mm，轴向加载。焊缝的许用切应力[?]= 93.2MPa；钢板的许用应力[?]= 137MPa。试求钢板与焊缝等强度时（同时失效称为等强度），每边所需的焊缝长度。 解：[FP] =b?[?]

FPb?[?]b[?] ?????[?]

2?lcos45?2?lcos45?2l l?FNx3FP4FPx(a)

?132mm

2[?]2?93.2根据设计规范，应在强度计算结果上加2?，所以取 l = 158mm。

习题8-7图

8-8 木接头结构受力如图所示。已知木材的许用切应力[?]= 6.5MPa。试校核木接头剪切强度是否安全。

FQ7?103 解：????6.14MPa?[?]，安全。

A76?15?10?6

习题8-8图 习题8-9图

8-9 直径为12.7mm的钢杆AB，固定在木构件的端部圆孔内，受力如图所示。试： 1．若木构件端C虚线所示的剪切面上最大切应力不得超过0.62MPa，确定b值； 2．计算木构件中的挤压应力。

FQ 解：1．???[?]

A?

b[?]127?1374.5?1032?196?10?6?0.62?106，b?0.191m?191mm

— 48 —

2． ?c?FPc4500??18.65MPa A19?12.7?10?6

8-10 木梁由柱支承如图所示，测得柱中的轴向压力为FP = 75 kN。已知木梁所能承受的许用挤压应力

[?c]= 3.0 MPa。试确定柱与木梁之间垫板的尺寸。 解：?c?

FP?[?c] A75?103b?140?10?6?3.0?106，b?178.6mm

习题8-11图

习题8-10图

8-11 图示承受轴向压力FP = 40 kN的木柱由混凝土底座支承，底座静置在平整的土壤上。已知土壤的挤压许用应力[?c]= 145 kPa。试： 1．确定混凝土底座中的平均挤压应力； 2．确定底座的尺寸。 解：1．?c? 2．

FP120?100?10?6?40?103120?100?10?6FP[?c]??3.33MPa

?0.525m?525mm

FPb2?[?c] b?40?103145?103，

8-12 等截面木杆受轴向载荷FP作用如图所示，杆由A、B两部分用斜面胶接而成。已知胶接缝的许用切应力[?]= 517 kPa，许用拉伸应力[?]= 850kPa。试确定木杆的许可载荷。

F 解：?x?P

A ??70??

?x2??x2cos[2?(?70?)]?[?]

FP1()[1?cos140?]?850?10?3 214?8.9 FP?905.4N

|??70?|?|

?x2习题8-12图

sin[2?(?70?)]|?[?]

FP1?sin140??517?10?3 214?8.9 FP?200.4N ，∴ [FP] = 200 N

8-13 塑料板条A和B由两块厚3mm、形状如图所示的板用胶粘接成一体。结合面胶层的剪切强度 F

(a) 习题8-13图

极限?b= 900 kPa，所加的轴向载荷FP = 1.5 kN。试求工作安全因数。

— 49 —

解：

3F1.5?10P ????0.5MPa= 500 kPa ?6A2?(15?60?20?30)?10 nb??b900??1.8 ?500

8-14 木构件A和B由两片层合板用胶粘接在一起，承受轴向载荷作用，如图所示。已知A和B的空隙为8mm；板宽b = 100mm；胶层的许用切应力[?]= 800 kPa。试确定层合板的长度l。

F 解：?[?]

A

24?103?800?103

b(l?8)?2?10?62 l?8?习题8-14图 ?300

100?800?10?3∴ l?308mm

8-15埋入混凝土中的钢筋，承受轴向载荷作用，如图所示。已知钢筋直径d，钢筋的拉伸许用应力[?]，钢筋与混凝土之间的许用切应力[?]。若不计二者之间的正压力，试求使外加载荷达到最大值时钢筋需埋入混凝土的长度l（用d、[?]和[?]表示）。

24?103

解：[FP]?[?]A1?[?]

4 [FP]?[?]A2?[?]?πd?l

πd2 ∴ πdl[?]?[?]

4d[?] l?

4l

习题8-15图

8-16 图示结构中BCDE为刚性梁，连杆AB为钢制，其强度极限?b= 450 MPa，工作安全因数nb = 3.5；A、B、D三处销钉的许用切应力[?]= 50MPa。已知AB角度、载荷和尺寸如图所示。试： 1．计算连杆AB所需的横截面面积； 2．设计A、B、D三处销钉的直径。 解：?MB?0

?20?0.4?8?1.2?0.6?FRD?0.8?0 FRD = 17.2 kN

?Fy?0，FABsin35??FRD?20?8?1.2?0 FAB?29.6?17.2?21.6kN

sin35??d2FAB450?106 ?A3.5 A?3.5?21.6?103450?106习题8-16图

?0.000168m2 = 168 mm2

FAB FAB = A[?]? d1?πd124[?]

38kN/m35?4FAB?π[?]4?21.6?10π?50?106?0.02345m?23.5mm

2?d2BCDE ∴ dA = dB = 23.5 mm；FRD?A2[?]? d2?4FRD?π[?]4?17.2?103π?50?1064[?]

20kNFRD(a)

?0.02093m?20.9mm

— 50 —

3FQc3?2?103 （c）：?cmax???3MPa

2A2?20?50?10?62kNM ?cmax?c?72MPa BWM aFG2kN3FQd （d）：?dmax??3MPa

2A(a-1)

Md ?dmax??168MPa

W

2kN FFQCAM M cBMdGF bFQ D2kNF2kN2kN

(b-1) (c-1) (d-1)

8-43 图示正方形截面上受弯矩Mz、扭矩Mx和剪力FQy作用，进行强度计算时，其截面上可能的危险点是：

（A）点a和点b； （B）点b和点c； （C）a、b、d三点；

（D）b、c、d三点。 正确答案是 A 。

3FQyMx 解：?a?0,?a?； ?2h20.208h3Mx6M ?b?3z,?b?； h

h0.208h3 3FQyMx ?c?0,?c?； 习题8-43图 ?2h20.208h36M ?d?3z,?d?0。

h比较后知：a比c点危险，b比d点危险，故选：A。 ?a?b?da?ccb d b?b d (a) (c) (b) (b)

8-44 图示矩形截面上受弯矩My、Mz（且Mz＞My）、扭矩Mx和剪力FQz作用，其截面上可能危险点是： （A）点a和点c；

（B）点a、点b和点d； （C）点a、点d和点c； （D）a、b、c、d四点。 正确答案是 D 。

MhM6Mzh???z???z3??? 解：?a

Iz2b1h2b1h212

Myb1Myb16My习题8-44图 ?????????? ?a 32Iy2hb12hb112??6Mz6My??a?????bh2hb2 ∴?1?1????a?0??? ?a

?a

?bb?b

(b)

— 61 —

(a)

6Mz????b?b1h2? ?

3F?cMQz????1x?b2b1hchb211?6My???c?hb12? ?

M???x?cchb211?c?c?d

?c(c)

d(d)

?6Mz6My???d? ?b1h2hb12

???0?d比较后，a，b，c，d四点都可能是危险点。

8-45 图示圆截面轴的危险面上，受弯矩My、Mz（My＝Mz）和扭矩Mx作用，其危险点是： （A）点a、b、c、d；

My （B）点c； （C）点f、g； bef（D）点e、f、g。 正确答案是 C 。

acMz 解：∵My?Mz

bc?ar3??r3??r3

??dr3??22Mz?Mx

d d

(a)

g

W222Mz?Mx

习题8-45图

W ∴点f，g为危险点。

8-46 图示圆截面轴的危险面上受弯矩My、扭矩Mx和轴力FNx作用，关于危险点的应力状态有下列四种，试判断哪一种是正确的。

正确答案是 B 。

MyFNx 解：?a?（沿x正向） ?WAMyFNx? ?b?? WAM ?a??b?x

Wp ?a沿y负向，?b沿y正向。

∴危险点在a点（图a） 正确答案选：B。

?rf3??rg3??ra3yz?a?w??w?bb ??N??Nb b (b)

（图中微元上平行于纸平面的面对应着轴的横截面）

习题8-46图

8-47 圆截面轴的危险面上，受弯矩My、Mz、扭矩Mx和轴力FNx作用，其最大切应力设计准则为

222My?Mz?MxFNx??[?]； （A）AW

（B）(My?Mz2FNx2M)?()?4(x)2?[?]； AWWP — 62 —

（C）

My2FNxMM?()?(z)2?4(x)2?[?]； AWWWP22My?MzFNxM （D）(?)2?4(x)2?[?]。

AWWP正确答案是 D 。

8-48 钢制正方形截面轴，其危险截面上受弯矩My、扭矩Mx作用。若弯曲截面系数为W，则强度设计准则有以下四种，试判断哪一种是正确的。

MyM （A）??（?，?为危险点的正应力和切应力）； ?[?]，??x?[?]，

2WW （B）

22My?MxW?[?]；

（C）?2?4?2?[?]，（?，?为危险点的正应力和切应力）； （D）(MyW)2?4(Mx2)?[?]。 2W正确答案是 C 。

8-49 图示电动机功率P = 9kW，转速n = 715r/min，皮带轮直径D = 250mm。电动机轴外伸长度l = 120mm，轴的直径d = 40mm，已知[?]= 60MPa。试用最大切应力准则校核轴的强度。 解：电机产生力矩：

P Mx?9549?120.2N·m

nD Mx?(2FP?FP)

22Mx FP??961.58N

D1 危险面：W?πd3

32 M?3FP?l?346.168N·m Mx = 120.2 N·m ?r3?M?MW22x习题8-49图

?58.3MPa?[?]，安全。

8-50 传动轴受力如图示。若已知材料的[?]= 120MPa，试设计该轴的直径。 解：T = FPr

yT FP??5000N FPrTT 受力图（a）横放 CA1DB FAy?FCy?FP?2500N

2zFCyFAy 危险面B： Mx = 500N·m (a) Mz?FCy?0.15?375N·m 不计剪力影响 ?r3?

22Mz?Mx

习题8-50图

Wπd3?[?]

MxA323752?5002?120?106

d?0.037575m

取 d = 37.6mm

— 63 —

BA500N?m375N?mDMzCBA

8-51 直杆AB与直径d = 40mm的圆柱焊成一体，结构受力如图所示。试确定点a和点b的应力状态，并计算?r4。 解：1．FNx??5kN，FQy??400N Mx?(1000?600)?0.150?60N·m Mz??(1000?600)?0.275??110N·m 2． ?a?FNx?Mz?AWz?5?103π?40?10?642?110π?40?10?9323?13.53MPa

?a?Mx?4.7746MPa WP22 ?r4??a?3?a?13.532?3?4.77462?15.86MPa

a点应力状态如图（a）。

FNx5?103????3.979MPa 3． ?b?Aπ?402?6?104 ?b?Mx3FQy603400?????5.252MPa WP2A2π?402π?403?9?6?10?10164

习题8-51图

?a?a?b?b22 ?r4??b?3?b?9.93MPa

b点应力状态如图（b）。

8-52 折杆受力与尺寸如图所示。若已知折杆直径d = (a) (b) 63.5mm，试确定点a和点b的应力状态，并计算?r4。

解：1．点a和点b所在横截面上内力：（令FP = 12 kN）

125 tan??，??22.62?，cos??0.9231，sin??0.3846

300 FNx??FPcos?，FQy??FPsin?

Mx?FPsin??0.150，My??FPcos??0.150， Mz??FPsin??0.210

FNxMz?FPcos?0.21FPsin?? 2． ?a?A?W? 2πdπd3z432 ??4?12?10cos?π?63.5?102?63

习题8-52图

?0.21?32?12?10sin?π?63.53?10?93?35.1MPa

Mx10.15?16?12?103sin??0.15FPsin????13.77MPa ?a?WPπd3π?63.53?10?91622?3?a?35.12?3?13.772?42.5MPa ?r4(a)??a?a?a a点应力状态如图（a）。 MyFFcos?0.15FPcos???P2? 3． ?b?Nx?

AWyπdπd3432 (a)

0.15?84?12?103cos?0.15?8)?(1?)??69.60MPa dπd2π?63.52?10?663.5?10?3Mx3FQy?3FPsin6?12?103sin???13.77??13.77??15.96MPa ?b?22?6WP2A2πdπ?63.5?104 ??4FPcos?(1??b?b22 ?r4(a)??b?3?b?69.602?3?15.962?74.89MPa

b点应力状态如图（b）。

(b)

— 64 —

8-53 图示传动轴，H处为止推轴承，K处为滚动轴承，轴传递功率P = 35kW，

转速n = 270r/min，皮带轮直径D1 = 630mm，皮带拉力F1 = 2F2，圆锥齿轮平均节圆直径D2 = 166mm，压力角?= 20°，轴的直径d = 85mm，材料为45号钢，其[?]= 70 MPa。试按形状改变比能准则校核该轴的强度。 解：P = 35kW，n = 270r/min

P Mx?9549??1238kN·m

n 因此该题已知条件同原书例题2－4，由例解知：危险截面为A，危险截面上： 56° FNx??2887N

9·m Mz?262N

My?3298N·m 8·m Mx??123N

22Mz?MyF??Nx?A

习题8-53图

W26292?32982πd3?10?932

2887??π2d4

??70.46MPa

π?853?9?1032M12381238??10.27MPa ??x?πWp3?9πd3?85?101616π?852?10?64?288726292?32982 ?r4??2?3?2?72.67MPa

?r4?[?]2.67??100%?3.8%，安全。 [?]70

8-54 图示传动轴、轴上的斜齿轮A上受有三个互相垂直的啮合力FPa= 650N，FPτ= 650N，FPr= 1730N，方向如图所示。图中D = 50mm，l = 100mm。若已知轴的许用应力[?]= 90MPa，试按形状改变比能准则设计轴的直径。 解：由本书2-11题解的内力图知，危险截面上 FNx??650N Mx??16.25N·m My?32.5N·m

FPaFPrFPrFPrMz?94.6N·m

先不计轴力影响

习题8-54图

?r4? W?222My?Mz?0.75MxW222My?Mz?0.75Mx?[?]

[?]

— 65 —

πd332.52?94.62?0.75?16.252 ?3290?106 d?0.02253m，取d = 23mm（考虑轴力影响）

2 MPa My?Mz2FNx65032.52?94.62??????83.8πAWπd32?63?9?23?10?23?10432Mx16.25 MPa

??Wp?π?233?10?916?6.80 ?r4??2?3?2?83.82?3?6.802?84.6MPa?[?]，安全。 ∴ d = 23mm

8-55 一端固定的半圆形曲杆，尺寸及受力如图所示。曲杆横截面为正方形，边长为a = 30mm，载荷FP = 1.2kN，材料的许用应力[?]= 165MPa。试用最大切应力准则校核曲杆强度是否安全（剪力忽略不计）。 解：1．截面几何：

A?30?30?10?6?900?10?6m2

a3303?10?9 W???4.5?10?6m3

66 WP?c1a3?0.208?303?10?9?5.62?10?6m3

2．B截面内力和应力 FQ = 1200 N

M?FP?R?1200?0.2?240N·m Mx?FPR?240N·m

习题8-55图

M240??53.33MPa W4.5?10?63FQ31200 ?1????2MPa

2A2900?10?6M240 ?2?x??42.70MPa

Wp5.62?10?6 ?? ?3??1??2?44.70MPa

?r3??2?4?2?53.332?4?44.782?104.1MPa?[?]

3．C截面内力和应力 FQ = 1200 N

M = 0，Mx?FP?2R?480N·m

最大剪应力（内侧中点）：

3FPMx31200480?max??????62AWp2900?10 5.62?10?6

?2?2?42.70?87.4MPa ?r3??2?4?2?2?max?174.8MPa?[?] 不计剪力时 ?max?85.4MPa

?r3?170.8 MPa?[?]

8-56 矩形截面杆两端固定，受力及尺寸如图所示。已知FP = 8.5kN，l = 5m，b = 60mm，h = 90mm，材料的许用应力[?]= 80MPa。试用形状改变比能准则校核杆的强度是否安全。 F ABMMMx FPFPMx ll222（a）

2 — 66 —

Mx（b）

习题8-56图

解：原题为弯扭组合静不定问题，由对称性得：

1bF?b图（b）：Mx?FP??P

224 图（a）：由迭加法wA??( M?1FPl8MFlMlMl?)?P?0 3EI6EI16EI21FPl8(c)

1FPl8

1FPl 81Fl3FPlM8P3?8.5?103?5????65.6MPa ??Wbh24bh24?60?902?10?96FPbMx8.5?1034???1.7MPa ?t1?Wp1c1hb24?0.231?90?60?10?6FQFP2FP2(d)

?t2M?xWp2FPb8.5?1034???0.44MPa

c2hb24?0.895?90?60?10?6FP3FP3FQ323?8.5?103 ?Q??????1.18MPa

2A2bh4bh4?60?90?10?6 ?max??t1??Q?1.7?1.8?2.88MPa

?r4??2?3?t22?65.62?3?0.442?65.6MPa?[?]，安全。

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