§2.4指数与指数函数

§2.4指数与指数函数

基础自测

1. 已知a＜，则化简的结果是 . 答案

2.设指数函数f(x)=ax(a＞0且a≠1)，则下列等式正确的有 （填序号）. ①f(x+y)=f(x)·f(y) ②f(xy)n=f n(x)·f n(y)

③f(x-y)= ④f(nx)=f n(x) 答案 ①③④

3.函数f(x)=ax-b的图象如图所示，其中a、b为常数，则下列结论不正确的有 （填序号）.

①a＞1,b＜0 ②a＞1,b＞0 ③0＜a＜1,b＞0 ④0＜a＜1,b＜0 答案 ①②③

4.关于函数f(x)=2x-2-x(x∈R)，有下列三个结论： ①f(x)的值域为R；

②f(x)是R上的增函数；

③对任意x∈R,有f(-x)+f(x)=0成立.

其中正确结论的序号是 . 答案 ①②③

5.已知集合M=，则MN= . 答案

例1已知a=,b=9.求： （1） （2）.

解 （1）原式=.÷［a·］ = =a.

∵a=，∴原式=3.

（2）方法一 化去负指数后解. ∵a=∴a+b=

方法二 利用运算性质解.

∵a=∴a+b=

例2函数f(x)=x2-bx+c满足f(1+x)=f(1-x)且f(0)=3,则f(bx) f(cx).(用“≤”，“≥”，“＜”，“＞”填空) 答案≤

例3求下列函数的定义域、值域及其单调区间： （1）f(x)=3; (2)g(x)=-(.

解 （1）依题意x2-5x+4≥0,

解得x≥4或x≤1,

∴f（x）的定义域是（-∞，1］∪［4，+∞）. 令u=∵x∈（-∞，1］∪［4，+∞）， ∴u≥0，即≥0，而f(x)=3≥30=1, ∴函数f(x)的值域是［1，+∞）.

∵u=,∴当x∈（-∞，1］时，u是减函数，

当x∈［4，+∞）时，u是增函数.而3＞1,∴由复合函数的单调性可知， f（x）=3在（-∞，1］上是减函数，在［4，+∞）上是增函数. 故f（x）的增区间是［4，+∞），减区间是（-∞，1］. （2）由g(x)=-(

∴函数的定义域为R，令t=(x (t＞0),∴g(t)=-t2+4t+5=-(t-2)2+9,

∵t＞0,∴g(t)=-(t-2)2+9≤9,等号成立条件是t=2,

即g(x)≤9,等号成立条件是(=2，即x=-1，∴g（x）的值域是（-∞，9］.

由g(t)=-(t-2)2+9 (t＞0),而t=(是减函数，∴要求g(x)的增区间实际上是求g(t)的减区间，

求g(x)的减区间实际上是求g(t)的增区间.

∵g（t）在（0，2］上递增，在［2，+∞）上递减，

由0＜t=(≤2,可得x≥-1,由t=(≥2,可得x≤-1.

∴g（x）在［-1，+∞）上递减，在（-∞，-1］上递增， 故g(x)的单调递增区间是（-∞，-1］，单调递减区间是［-1，+∞）. 例4（14分）设a＞0,f(x)=是R上的偶函数. （1）求a的值；

（2）求证：f(x)在（0，+∞）上是增函数.

（1）解 ∵f（x）是R上的偶函数，∴f（-x）=f（x）， 2分 ∴

∴（a-=0对一切x均成立， 4分 ∴a-=0，而a＞0,∴a=1. 6分

（2）证明 在（0，+∞)上任取x1、x2，且x1＜x2, 8分

则f(x1)-f(x2)= +--

= ( 10分 ∵x1＜x2,∴有 ∵x1＞0,x2＞0,∴x1+x2＞0,∴＞1, 12分

-1＜0.∴f(x1)-f(x2)＜0,即f(x1)＜f(x2), 故f(x)在（0,+∞）上是增函数. 14分

1.化简下列各式（其中各字母均为正数）: （1） （2）

解 （1）原式= （2）原式=-

2.已知实数a、b满足等式，下列五个关系式：

①0＜b＜a;②a＜b＜0;③0＜a＜b;④b＜a＜0;⑤a=b.

其中不可能成立的有 （填序号）. 答案③④

3.求下列函数的单调递增区间： （1）y=(;(2)y=2.

解 （1）函数的定义域为R. 令u=6+x-2x2,则y=(.

∵二次函数u=6+x-2x2的对称轴为x=,

在区间［，+∞）上，u=6+x-2x2是减函数， 又函数y=(u是减函数，

∴函数y=(在［，+∞）上是增函数. 故y=(的单调递增区间为［，+∞）. （2）令u=x2-x-6,则y=2u,

∵二次函数u=x2-x-6的对称轴是x=,

在区间［，+∞）上u=x2-x-6是增函数. 又函数y=2u为增函数，

∴函数y=2在区间［，+∞）上是增函数. 故函数y=2的单调递增区间是［，+∞）.

4.已知定义在R上的奇函数f(x)有最小正周期2，且当x∈(0,1)时，f(x)=. （1）求f（x)在［-1，1］上的解析式； （2）证明：f(x)在（0，1）上是减函数.

（1）解 当x∈(-1,0)时，-x∈(0,1).

∵f（x）是奇函数，∴f（x）=-f（-x）=-.由f(0)=f(-0)=-f(0)，且f(1)=-f(-1)=-f(-1+2) =-f(1),

得f(0)=f(1)=f(-1)=0.∴在区间［-1，1］上，有f（x）=

(2)证明 当x∈(0,1)时，f(x)= 设0＜x1＜x2＜1, 则f(x1)-f(x2)=

∵0＜x1＜x2＜1,∴2-＞0， -1＞0,∴f(x1)-f(x2)＞0,即f(x1)＞f(x2), 故f(x)在（0，1）上单调递减.

一、填空题

1.2的大小顺序为 . 答案 2

2.若a＜0,则2a,(0.2)a的大小顺序为 . 答案 (0.2)a＞＞2a

3.若函数y=4x-3·2x+3的定义域为集合A，值域为［1，7］，集合B=（-∞，0］∪［1，2］，则集合A与集合B的关系为 . 答案 A=B

4.若f(x)=-x2+2ax与g(x)=(a+1)1-x在区间［1，2］上都是减函数，则a的取值范围

是 . 答案 （0，1］

5.(2009·常州二中期中)当函数f(x)=2-|x-1|-m的图象与x轴有公共点时，实数m的取值范围是 . 答案 （0，1］

6.当x＞0时，函数f(x)=(a2-1)x的值总大于1，则实数a的取值范围是 . 答案 a＞或a＜- 7.若函数f(x)=ax-1 (a＞0,a≠1)的定义域和值域都是［0，2］，则实数a等于 . 答案 

8.函数y=ax（a＞0,且a≠1）在［1，2］上的最大值比最小值大，则a的值是 . 答案 或 二、解答题

9.要使函数y=1+2x+4xa在x∈（-∞，1］上y＞0恒成立，求a的取值范围. 解 由题意得1+2x+4xa＞0在x∈（-∞,1］上恒成立，即a＞-在x∈（-∞，1］上恒成立. 又∵-=-(

∵x∴(.令t=(

则f(t)在［,+∞）上为减函数，

f(t)≤f(=-( 即f(t)∈.

∵a＞f(t),∴a∈（-，+∞）. 10.已知函数f(x)=(

（1）求f(x)的定义域； （2）讨论f(x)的奇偶性； （3）证明：f(x)＞0.

（1）解 由2x-1≠0x≠0,∴定义域为（-∞,0）∪(0,+∞). （2）解 f(x)=( 可化为f(x)= 则f(-x)=

∴f(x)=（x3是偶函数.

（3）证明 当x＞0时，2x＞1,x3＞0. ∴（x3＞0.

∵f(x)为偶函数，∴当x＜0时，f(x)=f(-x)＞0. 综上可得f(x)＞0.

11.已知函数f(x)=（ax-a-x） (a＞0，且a≠1). (1)判断f(x)的单调性；

（2）验证性质f(-x)=-f(x),当x∈(-1,1)时，并应用该性质求满足f(1-m)+f(1-m2)＜0的实数m的范围.

解 （1）设x1＜x2,x1-x2＜0,1+＞0. 若a＞1,则, ＞0,

所以f(x1)-f(x2)=＜0，

即f(x1)＜f(x2),f(x)在（-∞,+∞）上为增函数； 同理，若0＜a＜1，则,＜0, f(x1)-f(x2)=(1+)＜0,

即f(x1)＜f(x2),f(x)在（-∞,+∞）上为增函数.

综上，f(x)在R上为增函数. （2）f(x)=则f(-x)=,

显然f(-x)=-f(x).f(1-m)+f(1-m2)＜0, 即f(1-m)＜-f(1-m2)f(1-m)＜f(m2-1),

函数为增函数，且x∈(-1,1)，故解-1＜1-m＜m2-1＜1,可得1＜m＜. 12.已知f（x）=.

（1）判断函数的奇偶性；

（2）证明：f（x）是定义域内的增函数； （3）求f（x）的值域.

（1）解 ∵f（x）的定义域为R， 且f（-x）==-f（x）， ∴f（x）是奇函数.

（2）证明 方法一 f（x）=. 令x2＞x1，则f（x2）-f（x1） =(1-

当x2＞x1时，10-10＞0.又∵10+1＞0,10+1＞0，

故当x2＞x1时，f（x2）-f（x1）＞0，即f（x2）＞f（x1）.所以f（x）是增函数. 方法二 考虑复合函数的增减性. 由f（x）=∵y1=10x为增函数，

∴y2=102x+1为增函数，y3=为减函数， y4=-为增函数，f(x)=1-为增函数. ∴f（x）=在定义域内是增函数. （3）解 方法一 令y=f（x），由y=解得102x=. ∵102x＞0，∴-1＜y＜1.

即f（x）的值域为（-1，1）.

方法二 ∵f（x）=1-,∵102x＞0,∴102x+1＞1. ∴0＜＜2,∴-1＜1-＜1,即值域为(-1,1).

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