北京市东城区示范校2015届高三上学期综合能力测试数学(文)试题

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北京市东城区普通高中示范校2015届上学期高三年级综合能力测试

数学试卷（文科）

本试卷分第I卷和第II卷两部分，共150分。考试时长120分钟。

第I卷（选择题 共40分）

一、选择题。（本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）

1. 已知集合A x R| 2 x 2 ，B x R|x 4x 3 0，则A B （ ）

2

A. ( 2,1]

B. 2,1 C. 2,2

D. ,2 [3, )

2. 已知复数z1 a 2i，z2 1 2i，若

A. 2

B. 1

C. 2

z1

是纯虚数，则实数a的值为（ ） z2

D. 4

3. “x

3

”是“cosx

1

”成立的（ ） 2

B. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件

A. 充分不必要条件 C. 充要条件

4. 下图是一算法的程序框图，若此程序运行结果为s 55，则在判断框中应填入关于k的判断条件是（ ）

A. k 11

B. k 10

C. k 9

D. k 8

5. 已知一个棱锥的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个棱锥的侧

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面积是（ ）

A. 4cm2

|x|

B. 12cm2

2

C. 8 42cm

2

D. 4 42 23cm

2

6. 已知f x 2 x a有唯一的零点，则实数a的值为（ ）

A. -3

B. -2

2

2

C. -1 D. 0

2

7. 如图，直线y x 2与圆x y 4x 3 0及抛物线y 8x依次交于A、B、C、D四点，则|AB| |CD| （ ）

A. 13

B. 14

C. 15

D. 16

2 x 4x 3,x 0,

8. 已知f x 不等式f x a f 2a x 在 a,a 1 上恒成

2

x 2x 3,x 0,

立，则实数a的取值范围是（ ）

第II卷（非选择题 共110分）

二、填空题。（本大题共6小题，每小题5分，共30分）

A. , 2

B. ,0

C. 0,2

D. 2,0

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x y 1 0,

9. 不等式组 x y 1,表示的平面区域的面积为__________。

x 1

10. 设平面向量a 1,2 ，b 2,y ，若a b，则|2a b|=__________。 11. 在等差数列 an 中，a1 3,a4 2，则a4 a7 ... a3n 1 __________。 12. 直线x 3y 4 0被圆 x 2 y2 4截得的弦长为__________。

2

13. 已知0 x ，且sin2x

7

，则sin x 的值为__________。 25 4

14. 已知数集A {a1,a2,a3,a4,a5} 0 a1 a2 a3 a4 a5 具有性质P：对任意

i,j Z，其中1 i j 5，均有aj ai属于A，若a5 60，则a3 __________。

三、解答题。（本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程） 15. （本小题共13分）

设数列 an 的前n项和为Sn，且Sn 2an 1 n 1,2,... 。 （I）求数列 an 的通项公式；

（II）若数列 bn 满足bn 1 an bn n 1,2,... ,b1 2，求数列 bn 的通项公式。

16. （本小题共13分）

在△ABC中，a,b,c分别是角A,B,C的对边，满足c 1，且

cosBsinC a sinB cosC 0。

（I）求C的大小；

（II）求a2 b2的最大值，并求取得最大值时角A，B的值。

17. （本小题共14分）

如图，将矩形ABCD沿对角线BD把△ABD折起，使A点移到A1点，且A1在平面BCD

上的射影O恰好在CD上。

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（I）求证：BC⊥A1D；

（II）求证：平面A1CD⊥平面A1BC；

（III）若AB=10，BC=6，求三棱锥A1 BCD的体积。

18. （本小题共13分）

设a R，已知函数f x ax 3x。

3

2

（I）当a 1时，求函数f x 的单调区间；

（II）若对任意的x 1,3 ，有f x f x 0恒成立，求实数a的取值范围。

19. （本小题共13分）

x2y2

已知椭圆W: 1的左焦点为F m,0 ，过点M（-3，0）作一条斜

2m 10m2 2

率大于0的直线l与W交于不同的两点A、B，延长BF交W于点C。

（I）求椭圆W的离心率；

（II）求证：点A与点C关于x轴对称。

20. （本小题共14分）

已知定义在 1， 上的函数f x x lnx 2,g x xlnx x （I）求证：f x 存在唯一的零点，且零点属于（3，4）；

（II）若k Z，且g x k x 1 对任意的x 1恒成立，求k的最大值。

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参考答案：

一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 1. A

二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分） 9. 1

三、解答题（本大题共6小题，共80分） 15. （共13分）

解：（I）因为Sn 2an 1 n 1,2,... ， 则Sn 1 2an 1 1 n 2,3,... ，

所以当n 2时，an Sn Sn 1 2an 2an 1， 整理得an 2an 1，

由Sn 2an 1，令n 1，得a1 2a1 1，解得a1 1。

所以 an 是首项为1，公比为2的等比数列，可得an 2n 1（6分） （II）因为an 2n 1，

由bn 1 an bn n 1,2,... ，得bn 1 bn 2n 1， 由累加得bn b1 b2 b1 b3 b2 ... bn bn 1

10. 5

11.

2. D

3. A

4. B

5. D

6. C

7. B

8. A

n 5 n 2

12. 23

13.

4 5

14. 30

1 2n 1

2 2n 1 1, n 2 ，

1 2

当n 1时也满足，所以bn 2n 1 1。（13分）

16. （共13分）

解：（I）由cosBsinC a sinB cosC 0，得

sinA acosC，

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又c 1，所以csinA acosC 由正弦定理得sinCsinA sinAcosC。

因为0 A ，所以sinA 0，从而sinC cosC，即C

2

2

4

。（6分）

（II）由余弦定理a2 b2 2abcosC c2，得a b 2ab 1，

a2 b22 2

a b2 1，于是a2 b2 2 2。 又ab ，所以 1 22

当A B

3

时，a2 b2取得最大值2 2（13分） 8

17. （共14分）

解：（I）因为A1在平面BCD上的射影O在CD上， 所以A1O⊥平面BCD。 又BC 平面BCD， 所以BC⊥A1O。

又BC⊥CO，CO A1O O，

CO 平面A1CD，A1O 平面A1CD，

所以BC⊥平面A1CD。 又A1D 平面A1CD， 所以BC A1D。（5分） （II）因为矩形ABCD， 所以A1D⊥A1B。 由（I）知BC⊥A1D。

又BC A1B B,BC 平面A1BC,A1B 平面A1BC， 所以A1D 平面A1BC。 又A1D 平面A1CD，

所以平面A1BC 平面A1CD。（10分）

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（III）因为A1D 平面A1BC， 所以A1D A1C。

因为CD=10，A1D 6，所以A1C 8。 所以VA1 BCD VD A1BC

11

6 8 6 48。（14分） 32

18. （共13分）

解：（I）当a 1时，f x x 3x，

3

2

则f x 3x 6x，

2

由f x 0，得x 0，或x 2， 由f x 0，得0 x 2，

所以f x 的单调递增区间为 ,0 , 2, ，单调递减区间为（0，2）。（6分） （II）依题意，对 x 1,3 ，ax3 3x2 3ax2 6x 0，

3x2 6x3x 6这等价于，不等式a 3对x 1,3 恒成立。

x 3x2x2 3x

令h x

3x 6

x 1,3 ，

x2 3x

则h x x

3x2 4x 6

2

2

3 x 2 2 0，

x 3x 3x22

2

所以h x 在区间 1,3 上是减函数， 所以h x 的最小值为h 3 所以a

5。 6

55

，即实数a的取值范围为( ,]。（13分） 66

19. （共13分）

解：（I）由题意 2m 10 m 2 m m 0 ，

2

2

解得m 2。

x2y2

1。 所以椭圆W:62

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（II）设直线l的方程为y k x 3 。

y k x 3 , 联立 x2 y2

1 2 6

得1 3k

2

x

2

18k2x 27k2 6 0。

由直线l与椭圆W交于A、B两点，可知 △ 18k

22

41 3k227k2 6 0，解得k2

2

。 3

设点A，B的坐标分别为（x1,y1）， x2,y2 ，

18k227k2 6

则x1 x2 ，x1x2 ， 22

1 3k1 3k

y1 k x1 3 ,y2 k x2 3 。

因为F（-2，0），设点A关于x轴的对称点为C′，则C′（x1, y1）， 所以FC x1 2, y1 ，FB x2 2,y2 。 又因为 x1 2 y2 x2 2 y1

x1 2 k x2 3 x2 2 k x1 3 k 2x1x2 5 x1 x2 12 54k2 12 90k2

k 12 22

1 3k1 3k

k54k2 12 90k2 12 36k2

0，

1 3k2

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所以B，F，C′共线，从而C与C′重合，故点A与点C关于x轴对称。（13分）

20. （共14分）

解：（I）由f x x lnx 2，可得f x 1 故f x 在 1, 上单调递增，

而f 3 1 ln3 0，f 4 2 ln4 0， 所以f x 存在唯一的零点x0 3，4 。（7分）

（II）由（I）f x 存在唯一的零点x0显然满足：x0 lnx0 2 0，且当x 1,x0

1x 1 0， xx

时，

f x f x0 0；当x x0, 时，f x f x0 0。

当x 1时，g x k x 1 等价于设h x 则h x

xlnx x

k。

x 1

xlnx x

，

x 1

x lnx 2

x 12

f x

x 12

，故h x 与f x 同号，

因此当x 1,x0 时，h x 0；当x x0, 时，h x 0。 所以h x 在 1,x0 上单调递减，在 x0, 上单调递增， 故h x min h x0

x0 lnx0 1 x0 x0 1

x0。

x0 1x0 1

由题意有k h x min x0，又k Z，而x0 3,4 ，故k的最大值是3。（14分）

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/9bwj.html