2019-2020年高考数学大一轮复习第九章解析几何课时达标检测四十六双曲线理

2019-2020年高考数学大一轮复习第九章解析几何课时达标检测四十六双

曲线理

1．已知双曲线x 2a 2－y 23

＝1(a >0)的离心率为2，则a ＝( ) A ．2 B.62 C.52 D ．1

解析：选D 因为双曲线的方程为x 2a 2－y 23＝1，所以e 2＝1＋3a

2＝4，因此a 2＝1，a ＝1.选D.

2．若双曲线x 2a 2－y 2

b

2＝1的离心率为3，则其渐近线方程为( ) A ．y ＝±2x

B ．y ＝±2x

C ．y ＝±12x

D ．y ＝±22

x 解析：选B 在双曲线中离心率e ＝c a ＝

1＋? ????b a 2＝3，可得b a

＝2，故双曲线的渐近线方程是y ＝±2x . 3．双曲线x 2a 2－y 2

b

2＝1的两条渐近线互相垂直，那么它的离心率为( ) A ．2 B. 3 C. 2 D.32

解析：选C 由渐近线互相垂直可知? ????－b a

·b a ＝－1，即a 2＝b 2，即c 2＝2a 2

，即c ＝2a ，所以e ＝ 2. 4．(xx·天津高考)已知双曲线x 2a 2－y 2

b

2＝1(a ＞0，b ＞0)的焦距为25，且双曲线的一条渐近线与直线2x ＋y ＝0垂直，则双曲线的方程为( )

A.x 24

－y 2＝1 B ．x 2－y 2

4＝1 C.3x 220－3y 25＝1 D.3x 25－3y 220＝1 解析：选A 由焦距为25，得c ＝ 5.因为双曲线的一条渐近线与直线2x ＋y ＝0垂直，所以b a ＝12.又c 2＝a 2＋b 2，解得a ＝2，b ＝1，所以双曲线的方程为x 2

4－y 2＝1.

5．(xx·北京高考)双曲线x 2a 2－y 2

b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线为正方形OABC 的边OA ，OC 所在的直线，点B 为该双曲线的焦点．若正方形OABC 的边长为2，则a ＝________.

解析：不妨令B 为双曲线的右焦点，A 在第一象限，则双曲线如图所示．

∵四边形OABC 为正方形，|OA |＝2，

∴c ＝|OB |＝22，∠AOB ＝π4

. ∵直线OA 是渐近线，方程为y ＝b a x ，∴b a

＝tan ∠AOB ＝1，即a ＝b .

又∵a 2＋b 2＝c 2＝8，∴a ＝2.

答案：2

[练常考题点——检验高考能力]

一、选择题

1．若实数k 满足0＜k ＜9，则曲线x 225－y 29－k ＝1与曲线x 225－k －y 29

＝1的( ) A ．离心率相等

B ．虚半轴长相等

C ．实半轴长相等

D ．焦距相等 解析：选D 由0

2．已知双曲线C 的渐近线方程为y ＝±2x ，且经过点(2,2)，则C 的方程为( )

A.x 23－y 212

＝1 B.x 212－y 23＝1 C.y 23－x 212＝1 D.y 212－x 23＝1 解析：选A 由题意，设双曲线C 的方程为y 24

－x 2

＝λ(λ≠0)，因为双曲线C 过点(2,2)，则224－22＝λ，解得λ＝－3，所以双曲线C 的方程为y 24－x 2＝－3，即x 23－y 212＝1. 3．设F 1，F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2

b 2＝1的左、右焦点，若双曲线上存在点A ，使∠F 1AF 2＝90°且|AF 1|＝3|AF 2|，则双曲线的离心率为( ) A.

52 B.102 C.152 D. 5

解析：选B 因为∠F 1AF 2＝90°，故|AF 1|2＋|AF 2|2＝|F 1F 2|2＝4c 2，又|AF 1|＝3|AF 2|，且

|AF 1|－|AF 2|＝2a ，所以|AF 1|＝3a ，|AF 2|＝a ，则10a 2＝4c 2

，即c 2a 2＝52，故e ＝c a ＝102(负值舍去)．

4．设双曲线x 2a 2－y 2

b

2＝1(a >0，b >0)的右焦点是F ，左、右顶点分别是A 1，A 2，过F 作A 1A 2的垂线与双曲线交于B, C 两点．若A 1B ⊥A 2C ，则该双曲线的渐近线的斜率为( )

A ．±12

B ．±22

C ．±1

D ．± 2

解析：选 C 由题设易知A 1(－a,0)，A 2(a,0)，Bc ，b 2a ，C ?

????c ，－b 2a .∵A 1B ⊥A 2C ，∴b 2a c ＋a ·－b 2

a c －a ＝－1，整理得a ＝

b .∵渐近线方程为y ＝±b a

x ，即y ＝±x ，∴渐近线的斜率为±1.

5．(xx·江南十校联考)已知l 是双曲线C ：x 22－y 2

4＝1的一条渐近线，P 是l 上的一点，F 1，F 2分别是C 的左、右焦点，若·＝0，则点P 到x 轴的距离为( ) A.233 B. 2

C ．2 D.263 解析：选C 由题意知F 1(－6，0)，F 2(6，0)，不妨设l 的方程为y ＝2x ，点P (x 0，2x 0)，由·＝(－6－x 0，－2x 0)·(6－x 0，－2x 0)＝3x 2

0－6＝0，得x 0＝±2，故点P 到x 轴的距离为2|x 0|＝2，故选C. 6．已知双曲线x 2a 2－y 2

b

2＝1与直线y ＝2x 有交点，则双曲线离心率的取值范围为( ) A ．(1，5)

B ．(1， 5 ]

C ．(5，＋∞)

D ．[5，＋∞)

解析：选 C ∵双曲线的一条渐近线方程为y ＝b a x ，则由题意得b a ＞2，∴e ＝c a ＝ 1＋? ??

??b a

2＞1＋4＝ 5.即双曲线离心率的取值范围为(5，＋∞)． 二、填空题 7．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)与椭圆x 29＋y 2

4

＝1有相同的焦点，且双曲线C 的渐近线方程为y ＝±2x ，则双曲线C 的方程为________________．

解析：易得椭圆的焦点为(－5，0)，(5，0)，∴????? a 2＋b 2＝5，b a

＝2，∴a 2＝1，b 2＝4，∴双曲线C 的方程为x 2－y 24

＝1. 答案：x 2－y 24＝1 8．过双曲线x 2a 2－y 2

b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左焦点F 1作斜率为1的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为A ，B ，若v ＝，则双曲线的渐近线方程为____________．

解析：由?

???? y ＝x ＋c ，y ＝－b a x 得x ＝－ac a ＋b ，由????? y ＝x ＋c ，y ＝b a x ， 解得x ＝ac b －a ，不妨设x A ＝－

ac a ＋b ，x B ＝ac b －a ， 由＝可得－ac a ＋b ＋c ＝ac b －a ＋ac a ＋b

， 整理得b ＝3a .

所以双曲线的渐近线方程为3x ±y ＝0.

答案：3x ±y ＝0

9．设F 1，F 2分别是双曲线x 2

－y 2

b 2＝1的左、右焦点，A 是双曲线上在第一象限内的点，若|AF 2|＝2且∠F 1AF 2＝45°，延长AF 2交双曲线右支于点B ，则△F 1AB 的面积等于______．

解析：由题意可得|AF 2|＝2，|AF 1|＝4，则|AB |＝|AF 2|＋|BF 2|＝2＋|BF 2|＝|BF 1|.又∠F 1AF 2＝45°，所以△ABF 1是以AF 1为斜边的等腰直角三角形，则|AB |＝|BF 1|＝22，所以其

面积为12×22×22＝4. 答案：4

10．(xx·山东高考)已知双曲线E ：x 2a 2－y 2

b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，若矩形ABCD 的四个顶点在E 上，AB ，CD 的中点为E 的两个焦点，且2|AB |＝3|BC |，则E 的离心率是________．

解析：如图，由题意知|AB |＝2b 2a

，|BC |＝2c .

又2|AB |＝3|BC |，

∴2×2b 2a

＝3×2c ， 即2b 2＝3ac ，

∴2(c 2－a 2)＝3ac ，两边同除以a 2并整理得2e 2－3e －2＝0，解得e ＝2(负值舍去)． 答案：2

三、解答题

11．已知双曲线的中心在原点，焦点F 1，F 2在坐标轴上，离心率为2，且过点(4， －10)．点M (3，m )在双曲线上．

(1)求双曲线的方程；

(2)求证：·＝0；

(3)求△F 1MF 2的面积．

解：(1)∵e ＝2，

∴双曲线的实轴、虚轴相等．

则可设双曲线方程为x 2－y 2＝λ.

∵双曲线过点(4，－10)，

∴16－10＝λ，即λ＝6.

∴双曲线方程为x 26－y 26

＝1. (2)证明：不妨设F 1，F 2分别为左、右焦点，

则＝(－23－3，－m )，

＝(23－3，－m )．

∴·＝(3＋23)×(3－23)＋m 2＝－3＋m 2，

∵M 点在双曲线上，

∴9－m 2＝6，即m 2－3＝0，

∴·＝0.

(3)△F 1MF 2的底|F 1F 2|＝4 3.

由(2)知m ＝± 3.

∴△F 1MF 2的高h ＝|m |＝3，

∴S △F 1MF 2＝12×43×3＝6. 12．中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆与双曲线有共同的焦点F 1，F 2，且|F 1F 2|＝213，椭圆的长半轴长与双曲线实半轴长之差为4，离心率之比为3∶7.

(1)求椭圆和双曲线的方程；

(2)若P 为这两曲线的一个交点，求cos ∠F 1PF 2的值． 解：(1)由题知c ＝13，设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1，双曲线方程为x 2m 2－y 2

n 2＝1，则

?????

a －m ＝4，7·13a ＝3·13m ， 解得a ＝7，m ＝3.则

b ＝6，n ＝2.

故椭圆方程为x 249＋y 236＝1，双曲线方程为x 29－y 24

＝1. (2)不妨设F 1，F 2分别为左、右焦点，P 是第一象限的一个交点，则|PF 1|＋|PF 2|＝14，|PF 1|－|PF 2|＝6，

所以|PF 1|＝10，|PF 2|＝4.

又|F 1F 2|＝213，

所以cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1||PF 2|

＝102＋42－1322×10×4

＝45

.

2019-2020年高考数学大一轮复习第九章解析几何课时达标检测四十四直

线与圆圆与圆的位置关系理

[练基础小题——强化运算能力]

1．直线y ＝ax ＋1与圆x 2＋y 2－2x －3＝0的位置关系是( )

A ．相切

B ．相交

C ．相离

D ．随a 的变化而变化

解析：选B 因为直线y ＝ax ＋1恒过定点(0,1)，又点(0,1)在圆(x －1)2＋y 2＝4的内部，

故直线与圆相交．

2．(xx·西安模拟)直线(a ＋1)x ＋(a －1)y ＋2a ＝0(a ∈R)与圆x 2＋y 2－2x ＋2y －7＝0的位置关系是( )

A ．相切

B ．相交

C ．相离

D ．不确定

解析：选B x 2＋y 2－2x ＋2y －7＝0化为圆的标准方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝9，故圆心坐标为(1，－1)，半径r ＝3，圆心到直线的距离d ＝

a ＋－a －＋2a |a ＋2＋a －2＝|2a ＋2|2a 2＋2 .则r 2－d 2＝9－4a 2＋8a ＋42a 2＋2＝7a 2

－4a ＋7a 2＋1，而7a 2－4a ＋7＝0的判别式Δ＝16－196＝－180<0，

即7a 2－4a ＋7>0恒成立，故有r 2>d 2，即d

3．平行于直线2x ＋y ＋1＝0且与圆x 2＋y 2＝5相切的直线的方程是( )

A ．2x ＋y ＋5＝0或2x ＋y －5＝0

B ．2x ＋y ＋5＝0或2x ＋y －5＝0

C ．2x －y ＋5＝0或2x －y －5＝0

D ．2x －y ＋5＝0或2x －y －5＝0

解析：选A ∵所求直线与直线2x ＋y ＋1＝0平行，∴设所求的直线方程为2x ＋y ＋m ＝0.∵所求直线与圆x 2＋y 2＝5相切，∴

|m |1＋4＝5，∴m ＝±5.即所求的直线方程为2x ＋y ＋5＝0或2x ＋y －5＝0.

4．过点(－2,3)的直线l 与圆x 2＋y 2＋2x －4y ＝0相交于A ，B 两点，则|AB |取得最小值时l 的方程为( )

A ．x －y ＋5＝0

B ．x ＋y －1＝0

C ．x －y －5＝0

D ．2x ＋y ＋1＝0

解析：选A 由题意得圆的标准方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝5，则圆心C (－1,2)．过圆心

与点(－2,3)的直线l 1的斜率为k ＝3－2－2－－＝－1.当直线l 与l 1垂直时，|AB |取得最

小值，故直线l 的斜率为1，所以直线l 的方程为y －3＝x －(－2)，即x －y ＋5＝0.

5．若圆x 2＋y 2＋mx －14

＝0与直线y ＝－1相切，其圆心在y 轴的左侧，则m ＝________. 解析：圆的标准方程为? ????x ＋m 22＋y 2＝? ??

??m 2＋122，圆心到直线y ＝－1的距离m 2＋12＝|0－(－1)|，解得m ＝±3，因为圆心在y 轴的左侧，所以m ＝ 3.

答案： 3

[练常考题点——检验高考能力]

一、选择题

1．直线y ＝x ＋4与圆(x －a )2＋(y －3)2＝8相切，则a 的值为( )

A ．3

B ．2 2

C ．3或－5

D ．－3或5 解析：选C 因为(x －a )2＋(y －3)2＝8的圆心为(a,3)，半径为22，所以由直线y ＝x

＋4与圆(x －a )2＋(y －3)2＝8相切，知圆心到直线的距离等于半径，所以

|a －3＋4|12＋－2＝22，即|a ＋1|＝4，解得a ＝3或－5.

2．直线l 与圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋a ＝0(a ＜3)相交于A ，B 两点，若弦AB 的中点为(－2,3)，

则直线l 的方程为( )

A ．x ＋y －3＝0

B ．x ＋y －1＝0

C ．x －y ＋5＝0

D ．x －y －5＝0

解析：选C 设直线的斜率为k ，又弦AB 的中点为(－2,3)，所以直线l 的方程为kx －

y ＋2k ＋3＝0，由x 2＋y 2＋2x －4y ＋a ＝0得圆的圆心坐标为(－1,2)，所以圆心到直线的距离为－1＋2＋－2＝2，所以|－k －2＋2k ＋3|k 2＋1

＝2，解得k ＝1，所以直线l 的方程为x －y ＋5＝0.

3．(xx·山东高考)已知圆M ：x 2＋y 2－2ay ＝0(a ＞0)截直线x ＋y ＝0所得线段的长度是22，则圆M 与圆N ：(x －1)2＋(y －1)2＝1的位置关系是( )

A ．内切

B ．相交

C ．外切

D ．相离

解析：选B 由题知圆M ：x 2＋(y －a )2＝a 2(a ＞0)，圆心(0，a )到直线x ＋y ＝0的距离d ＝a 2，所以2a 2－a 2

2＝22，解得a ＝2.圆M ，圆N 的圆心距|MN |＝2，两圆半径之差为1，两圆半径之和为3，故两圆相交．

4．圆心在直线x －y －4＝0上，且经过两圆x 2＋y 2＋6x －4＝0和x 2＋y 2＋6y －28＝0的交点的圆的方程为( )

A ．x 2＋y 2－x ＋7y －32＝0

B ．x 2＋y 2－x ＋7y －16＝0

C ．x 2＋y 2－4x ＋4y ＋9＝0

D ．x 2＋y 2－4x ＋4y －8＝0

解析：选A 设经过两圆的交点的圆的方程为x 2＋y 2＋6x －4＋λ(x 2＋y 2＋6y －28)＝0，即x 2＋y 2＋61＋λx ＋6λ1＋λy －4＋28λ1＋λ＝0，其圆心坐标为? ??

??－31＋λ，－3λ1＋λ，又圆心在直线x －y －4＝0上，所以－

31＋λ＋3λ1＋λ

－4＝0，解得λ＝－7，故所求圆的方程为x 2＋y 2－x ＋7y －32＝0. 5．已知直线l ：x ＋ay －1＝0(a ∈R)是圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＋1＝0的对称轴．过点A (－4，a )作圆C 的一条切线，切点为B ，则|AB |＝( )

A ．2

B ．4 2

C ．6

D ．210

解析：选C 由于直线x ＋ay －1＝0是圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＋1＝0的对称轴，∴圆心

C (2,1)在直线x ＋ay －1＝0上，∴2＋a －1＝0，∴a ＝－1，∴A (－4，－1)．

∴|AC |2＝36＋4＝40.又r ＝2，∴|AB |2＝40－4＝36.

∴|AB |＝6.

6．已知圆C 1：x 2＋y 2＋4ax ＋4a 2－4＝0和圆C 2：x 2＋y 2－2by ＋b 2－1＝0只有一条公切

线，若a ，b ∈R 且ab ≠0，则1a 2＋1b 2的最小值为( ) A ．2 B ．4 C ．8

D ．9 解析：选D 圆C 1的标准方程为(x ＋2a )2＋y 2＝4，其圆心为(－2a,0)，半径为2；圆C 2

的标准方程为x 2＋(y －b )2＝1，其圆心为(0，b )，半径为1.因为圆C 1和圆C 2只有一条公切线，所以圆C 1与圆C 2相内切，所以

－2a －2＋－b 2＝2－1，得4a 2＋b 2＝1，所以1a 2＋1b 2＝? ????1

a 2＋1

b 2(4a 2＋b 2)＝5＋b 2a 2＋4a 2b 2≥5＋2b 2a 2·4a 2b 2＝9，当且仅当b 2a 2＝4a 2b

2，且4a 2＋b 2＝1，即a 2＝16，b 2＝13时等号成立．所以1a 2＋1b

2的最小值为9. 二、填空题

7．已知圆C 的圆心是直线x －y ＋1＝0与 x 轴的交点，且圆C 与圆(x －2)2＋(y －3)2＝8相外切，则圆C 的方程为________．

解析：由题意知圆心C (－1,0)，其到已知圆圆心(2,3)的距离 d ＝32，由两圆相外切可得R ＋22＝d ＝32，即圆C 的半径R ＝2，故圆C 的标准方程为(x ＋1)2＋y 2＝2.

答案：(x ＋1)2＋y 2＝2

8．圆x 2＋y 2＋2y －3＝0被直线x ＋y －k ＝0分成两段圆弧，且较短弧长与较长弧长之比为1∶3，则k ＝________.

解析：由题意知，圆的标准方程为x 2＋(y ＋1)2＝4.较短弧所对圆心角是90°，所以圆心(0，－1)到直线x ＋y －k ＝0的距离为

22r ＝ 2.即|1＋k |2＝2，解得k ＝1或－3. 答案：1或－3

9．已知圆C ：(x ＋1)2＋(y －1)2＝1与x 轴切于A 点，与y 轴切于B 点，设劣弧AB 的中点为M ，则过点M 的圆C 的切线方程是________．

解析：因为圆C 与两轴相切，且M 是劣弧AB 的中点，所以直线CM 是第二、四象限的角平分线，所以斜率为－1，所以过M 的切线的斜率为1.因为圆心到原点的距离为2，所以|OM |＝2－1，所以M ?

????22－1，1－22，所以切线方程为y －1＋22＝x －22＋1，整理得x －y ＋2－2＝0.

答案：x －y ＋2－2＝0

10．过点M (1,2)的直线l 与圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝25交于A ，B 两点，C 为圆心，当∠ACB 最小时，直线l 的方程是________．

解析：由题意知，当∠ACB 最小时，圆心C (3,4)到直线l 的距离达到最大，此时直线l

与直线CM 垂直，又直线CM 的斜率为4－23－1＝1，所以直线l 的斜率为－11

＝－1，因此所求的直线l 的方程是y －2＝－(x －1)，即x ＋y －3＝0.

答案：x ＋y －3＝0

三、解答题

11．(xx·河南中原名校第三次联考)已知圆C 的方程为x 2＋(y －4)2＝1，直线l 的方程为2x －y ＝0，点P 在直线l 上，过点P 作圆C 的切线PA ，PB ，切点为A ，B .

(1)若∠APB ＝60°，求点P 的坐标；

(2)求证：经过A ，P ，C (其中点C 为圆C 的圆心)三点的圆必经过定点，并求出所有定点的坐标．

解：(1)由条件可得圆C 的圆心坐标为(0,4)，PC ＝2，设P (a ，2a )，则a 2＋

a －2

＝2，解得a ＝2或a ＝65，所以点P 的坐标为(2,4)或? ??

??65，125. (2)证明：设P (b,2b )，过点A ，P ，C 的圆即是以PC 为直径的圆，其方程为x (x －b )＋(y －4)(y －2b )＝0，整理得x 2＋y 2－bx －4y －2by ＋8b ＝0，

即(x 2＋y 2－4y )－b (x ＋2y －8)＝0. 由????? x 2＋y 2－4y ＝0，x ＋2y －8＝0得????? x ＝0，y ＝4或????? x ＝85，y ＝165，

∴该圆必经过定点(0,4)和? ??

??85，165. 12．(xx·江苏高考)如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知以M 为圆

心的圆M ：x 2＋y 2

－12x －14y ＋60＝0及其上一点A (2,4)．

(1)设圆N 与x 轴相切，与圆M 外切，且圆心N 在直线x ＝6上，求圆N 的标准方程；

(2)设平行于OA 的直线l 与圆M 相交于B ，C 两点，且BC ＝OA ，求直线l 的方程；

(3)设点T (t,0)满足：存在圆M 上的两点P 和Q ，使得＋＝，求实数t 的取值范围． 解：圆M 的标准方程为(x －6)2＋(y －7)2＝25，

所以圆心M (6,7)，半径为5.

(1)由圆心N 在直线x ＝6上，可设N (6，y 0)．

因为圆N 与x 轴相切，与圆M 外切，

所以0＜y 0＜7，圆N 的半径为y 0，从而7－y 0＝5＋y 0，解得y 0＝1.因此，圆N 的标准方程为(x －6)2＋(y －1)2＝1.

(2)因为直线l ∥OA ，

所以直线l 的斜率为4－02－0

＝2. 设直线l 的方程为y ＝2x ＋m ，

即2x －y ＋m ＝0，

则圆心M 到直线l 的距离

d ＝|2×6－7＋m |5＝|m ＋5|5

. 因为BC ＝OA ＝22＋42＝25，而MC 2＝d 2＋? ??

??BC 22， 所以25＝m ＋

25＋5，解得m ＝5或m ＝－15.

故直线l 的方程为2x －y ＋5＝0或2x －y －15＝0.

(3)设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)．

因为A (2,4)，T (t,0)，＋＝，

所以????? x 2＝x 1＋2－t ，y 2＝y 1＋4. ①

因为点Q 在圆M 上，所以(x 2－6)2＋(y 2－7)2＝25.②

将①代入②，得(x 1－t －4)2＋(y 1－3)2＝25.

于是点P (x 1，y 1)既在圆M 上，又在圆[x －(t ＋4)]2＋(y －3)2＝25上，从而圆(x －6)2＋(y －7)2＝25与圆[x －(t ＋4)]2＋(y －3)2＝25有公共点，

所以5－5≤t ＋－6]2＋－2≤5＋5， 解得2－221≤t ≤2＋221.

因此，实数t 的取值范围是[2－221，2＋221 ]．

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