平面向量数量积的几何解释

平面向量数量积的几何解释

2 0 1 4年第 5 3卷第 9期

数学通报

4 1

平面向量数量积的几何解释朱胜强(南京外国语学校 2 1 0 0 0 8 )

所以 c ( n+ 6 )一C a+ c b,

所以 (口+ 6 ) c— a c+ b C .

现行其它版本的课标教材，有关向量数量积的几何意义及分配律的证明，也基本上采用类似

的方法 .但教学中发现，数量积的几何意义其“几何味”不是很浓 .

名义上为几何意义，但指的却是两个数的乘积.虽然向量 a的长度 I a I与 b在 a的方向上的投影都可以从图上看出来，但它们的积并未通过几

何直观呈现 .而“长度”与“投影”积的大小如何，与两个向量的模及两个向量的方向有何关系，更是

无从知晓.因此，它对于学生认识向量的数量积并没能起到明显作用.图 1

此外，解释向量数量积的几何意义需要涉及有向线段的数量等概念 .向量、有向线段、有向线段的数量、向量的投影等概念集中在一起，学生很容易混淆 .虽然前面曾用单位圆中的三角函数线

由此可知 a 的几何意义是：数量积 a 等于 a的长度 f a f与 b在 a的方向上的投影 f b[ . c o s 0

的乘积. 运用数量积的几何意义，数量积对向量加法运算分配律可有如下说明： 如图 2,任取一点 O,作一 C-

表示数量，但教学中只是一带而过，学生对其与向量等概念之间的区别与联系并不十分清楚.向量的数量积有没有较直观的几何解释呢？ 笔者在教学中曾对此进行了探索，下面谈一谈自

一a,

一b,

A

己的一点想法，供大家参考 .1 向量数量积的几何解释设有非零向量 a, 8 .在平面内任取一点 0,作

一n, 一 8 .将线段 O A绕点 O按逆时针方

向旋转 9 0。,得线段 O A .则且互相垂直.

与的模相等，

设向量 a, 6的夹角为 .当 0。 < 9 0。时， B o A一 9 0。一；或BOA一9 0。+ .

总有 c o s 0一s i n ( 9 0。一 )一s i n ( 9 0。+ )所以一s i n￣B O A .

【 C

『『 n+6 I C O S 0￣1 C l l a 1 c o s 0 1+l c l l b l c o s 0 2,

故口 b— l a I 1 b l c o s 0

平面向量数量积的几何解释

4 2一

数学通报I O B1 .} O A J s i n B 一S n (粥 B .

2 0 1 4年第 5 3卷第 9期

O BB A“‘ 0到 B的面积”为负数，其绝对值等于平行四边形 O B B A 的面积.

此时， n b表示平行四边形 O BB A 的面积 (如图 3 ( 1 ) ( 2 ) ) .

若萌与成 9 0。角，平行四边形 O B B A 变一

当 0— 9 0。时，/B O A一 9 0。一 0=:= 0。,或B0A一9 0。+一 1 8 0。,

成了线段，记“ 0到 B的面积”为0 .因此， n b就是平行四边形 O BB A 的“ 0到 B的面积” .

总有 c o s 9 0。一0一s i n B0 A .

故

g b— J a I f b f c o s 9 0。一

观察发现，若( 为向上方向，则当< 9 0。 时，平行四边形 O BB A 在O A 的右侧，为所指的一侧；当> 9 0。时，平行四边形 O BB A 在

J OBI .J O A f s i n B O A .

此时，平行四边形 OB B A 好像被“压扁”成一条线段，面积变为 0 . 当 9 O。<< 1 8 0。时， B 0 A 一 0— 9 0。或B0A一 27 0。~ 0,

O A的左侧，非0所指的一侧 .因此，“ 0到 B的面积”的正负可由其在线段 O A 的哪一侧直观地看出.

总有 c o s 0一一s i n ( 一9 0。 )一一s i n ( 2 7 0。一 )=:=一 s i n BOA .

其实，上述几何解释与教材介绍的方法本质上是一致的.如图 4,过 B向直线 O A引垂线，垂足记为 B .线段 OB 为平行四边形 OB B A 的高.又1 0 1一} a},所以曰

故 n b— l a『 J b l C O S 0===一

{ O B1 f O A 1 s i n B ( ) A 一一S口 B

此时，口 b表示平行四边形 O B B A 面积的相反数 .(如图 3 ( 3 ) (

4 ) ) .

/l

p

B a A

图 4

( 1 )

( 2 )

当< 9 O。时， n =I n l ({ b l c o s 0 ) I o - X" l l O B {一5口 ( ) B B, ,;一

当0>9 0。时， a 6一J口 1. (} b l c o s 0 ) J O - a *} f O B J一一：一

SD∞口，^, .

2帮学生直观感知向量的数量积( 3 )图 3

( 4 )

教学中，借助向量数量积的几何解释，可让学生直观地感知向量 a, b的变化对 n b的影响. 若』 a J, l b I固定不变，仅改变 a, b的夹角，则可发现对平行四边形的面积及其所处的位置的影响.

为了让平行四边形 O B B A 也能表示负数， 此处引入平行四边形“ 0到 B的面积”这一说法.

将平行四边形 O B B A 及其内部看成是由线段O A 按向量 0百方向平移至 BB 所形成的平面图形 .

当 0由 O。开始逐渐增大时，平行四边形的面积逐渐减小；当一9 0。时，面积变为 0,当0继续增大，平行四边形的面积虽然增大，但因其位于 O A 的左侧，此时“ O到 B的面积”为负数，表明数量积为负且在减小 .而当=== 1 8 0。时，数量积达到最

若碡与

的夹角小于 9 0。,平行四边形

OB B A“‘ 0到 B的面积”为正数，大小等于平行四边形 O B B A 的面积；

若与o - 7;的夹角大于 9 0。,平行四边形

小值(如图 5 ) .

平面向量数量积的几何解释

2 0 1 4年第 5 3卷第 9期6 B

数学通报配律 .

4 3

A 4●

曰

如图，作一a,商=== b, 一C .将线段 O A’

’

l’’ p A I、‘,

,/ . , 圈最/

’

绕点 O按逆时针方向旋转 9 O。得线段 O A .以、

/

.

\

O A , O B为邻边作平行四边形 O BB A .作商一A’

’’ l p、

A

’

O B 2: ’ -,,/

a,则 BB 可以看成线段 B D绕点 B按逆时针方向 旋转 9 O。而得.以B B , BC为邻边作

平行四边形BCC B .

、

/

: 2: _,

、 2: -, /

圈 g

若固定与 1 a},变化 l b l,则可发现 l b l的变化对数量积的影响 .

当1 b 1增大时，平行四边形 O B B A的各个内 角大小均未变化， O A 及其对边 B B 也未改变.而边O B与其对边 A B 随着 I b I的变化而同步变化

(如图 6 ) .这表明，当I b l变化时，数量积的符号不变，绝对值的大小发生变化.圈 8

由图可知，平行四边形 OC C A 的“ O到 C的_

A 4,2●

面积”等于平行四边形 O BB A 的“ 0到 B的面积”与平行四边形 BC C B 的“ B到 C的面积”的和 .

。

又平行四边形 BC C B 的“ B到 C的面积”为a C:

图 6

平行四边形 OB B A的“ O到 B的面积”为n b:

若固定 0与1 b l,仅变化 l a I,则可发现 I a l的变化对数量积的影响 (如图 7 ),情况与仅变化 I b 1 类似.

平行四边形 O C C A的“ 0到 C的面积”为a ( b+ c ) .

所以 n b+ a c— n ( 6+ c ) .

通过平行四边形来观察“面积和”,比在一条直线上观察有向线段的数量和显得更清晰.如果

在几何画板中改变 B, c的位置，引导学生观察比较，可让学生更易于在图形变化中发现一般规律 .图 7

如果将三个平行四边形投影到直线 O A上， 也就得到了教材中的说法 . 4计算坐标平面中平行四边形或三角形的面积换一个角度看，平行四边形的面积也可以转化为向量的数量积 . 侈 0 已知△ O AB中， A( z , y。 ), B( , 2 ),试求△ 0 AB的面积 .

如果考虑此时向量 b在 a的方向上的投影， 则可以发现，当I a1变化时，平行四边形在水平方向上的宽度并没有改变，因此，在直线 O A上的投影也不变.

通过这种展示，可让学生头脑中建立起一种直观印象 .特别是的变化对数量积的影响，过去学生会觉得难以把握，且容易忽视.通

过图形，许多问题可一目了然.

解

将向量按顺时针方向旋转角 9 0。,得

向量

,其坐标为 ( ,一 ) .以O A, O B为邻边(下转第 5 7页)

3解释向量数量积对向量加法的分配律用几何解释也可说明数量积对向量加法的分

作平行四边形 O AC B,则其“ 0到 A的面积”即为 .

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数学通报

5 7

的思维和单一的模式，想当然地认为函数图象是对称的.表 1选项 E例分布表选项比例 A O . 2 8 B 0 . 2 5 C O . 2 5 D O . 2 2

想服务的.这就回答了关于调研中老师们比较困

惑的“是否超前学习有利于中考”这一问题.

类似地，对于例 2的疑惑也就迎刃而解，试题是站位于“平行四边形”,利用平行四边形的性质等逐步发展到了四边形 AB E D,并提出了相关的问题；而不是直接站在了“所谓的梯形”上设置相关问题 .G7一

表 2 G 4一G 7人数分布表G4 AB

G5 2 8392 66 8

G6 48 6321 03

结束语笔者写此文的目的之一是想与广大

线教师交流一下命题人员思考问题的角度，使

1 86 33 231

86 7 41 O91

教学一线与命题实现良性的互动，互相补充；另外，通过对试题的分析，打破一些在教学过程当中 出现的一些问题，例如过于注重技能化训练，让大家不再是“只低头拉车，不抬头看路” .这就是笔者写此文的初衷，不妥之处请指正！

CD

3 56 O3 41 2

3 9372 62 6

33 3417 69

1 6 5765 5

另外，有2 5 的考生选择了 c选项 .通过表 2 可以发现，中间分数段的考生选 C者居多，这说, 、 , 、

参考文献

明在描述、分析点(、 1, )和(、 √ , )的位置时出现错误或者位置分析正确，但在把所描出的点用平滑曲线连接起来时出现错误 . 通过对例 1进行立体化地剖析不难发现，试

1 中华人民共和国教育部 .义务教育数学课程标准 ( 2 O

l 1年版 ) E M3 .北京：北京师范大学出版社， 2 O 1 2 2中华人民共和国教育部 .义务教育数学课程标准 (实验稿) E M] .北京：北京师范大学出版社， 2 0 O l 3教育部基础教育课程教材专家工作委员会 .义务教育数学课程标准 ( 2 O l 1年版 )解读[ M] .北京：北京师范大学出版社， 2 0 1 2

题的命制并不是以“知识”为主，而是以“能力”为核心，站位于学生全面发展的角度进行考查，素材

4北京教育考试院.北京市高级中等学校招生考试考试说明[ M] .北京：北京理工大学出版社， 2 0 1 2

的选择、背景的设置和考查内容都是为能力与思(上接第 4 3页 ) - C

参考文献

1单鳟.苏教版普通高中数学课程标准实验教科书 数学 4 (必修) E M] .南京：江苏教育出版社， 2 0 1 2, 6A

2人民教育出版社，课程教材研究所，中学数学课程教材研究开发中心 .普通高中课程标准实验教科书 数学 4 (必修 ) A版[ M] .北京：人民教育出版社， 2 0 0 4, 1 0

D\

,

圉 9

3人民教育出版社，课程材研究所，中学数学教材实验研究组 . 普通高中课程标准实验教科书 数学 4 (必修 ) B版[ M] .北

又

一z

~ z。 ,

京：人民教育出版社， 2 0 0 4, l O 4严士健，王尚志 .普通高中课程标准实验教科书 (必修)数学 4

故有 2 l s△ l一 11

I—l z 一z I .

[ M] .北京：北京师范大学出版社， 2 0 0 4, 7 5张景中，黄楚芳 .普通高中课程标准实验教科书 (必修 )数学

所以 S△ B一寺 f z 1 Y 2一x 2 y l f .教师不仅是课程的实施者，而且也是课程的研究、建设和资源开发的重要力量 .在教材面前， 教师并非始终是被动的接受者 .需要在准确把握

第二册 E M] .长沙：湖南教育出版社， 2 O l O, 86国家数学课程标准研制工作组 .普通高中数学课程标准(实

验) E s 3 .北京：人民教育出版社， 2 0 0 3, 4

数学内容本质的情况下，

创造性地使用教材，让内容的呈现方式更符合学生的认知特点，便于学生参与到知识的形成过程中来 .

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