线性代数 概率论与数理统计 作业册 (参考答案)青岛理工大学

~ 1 ~

第一章 行列式

第一节二阶与三阶行列式 第二节全排列及其逆序数

第三节n 阶行列式的定义第四节对换

1.求下列各排列的逆序数：

(1) 134785692 (2) 139782645 (3) 13…(2n-1)24…(2n) (4) 13…(2n-1)(2n)(2n-2)…2 （11;17; 2)

1(-n n ;)1(-n n ）

2. 已知排列9561274j i 为偶排列，则=),(j i (8,3) .

3.计算下列各阶行列式：

(1) 600300301395200199204100103 (2)0d 0c 0b 0a 0 (3)ef

cf bf de cd bd ae

ac ab --- [2000; 0; 4abcdef]

4. 设x

x x x x D 1111231

112

12-=，则D 的展开式中3x 的系数为 -1 .

5 求二次多项式()x f ，使得

()61=-f ，()21=f ，()32=f

解 设()c bx ax x f ++=2，于是由()61=-f ，()21=f ，()32=f 得

?????=++=++=+-3

2426

c b a c b a c b a 求c b a ,,如下：

06124111111≠-=-=D ，61231121161-=-=D ，12

1

341211

612==D ，183

242116

113-=-=D

所以 11

==D D a ，22-==D D b ，33

==D D

c

~ 2 ~

故()322

+-=x x x f 为所求。

第五节 行列式的性质 第六节 行列式按行（列）展开 第七节克拉默法则

1.n 阶行列式ij a D =，则展开式中项11342312n n n a a a a a - 的符号为( D ).

（A ）- （B ）+ （C ）n )1(- （D ）1)1(--n

2.如果1a a a a a a a a a D 333231232221131211==，求33

3231312322212113

121111a a 3a 2a 4a a 3a 2a 4a a 3a 2a 4---

[-12] 3. 已知4

52101113

0112

101--=D ，计算44434241A A A A +++ [-1]

4. 计算行列式 3

83326229

0432

231---- [-50]

5.计算下列各行列式（D k 为k 阶行列式）

(1) a

11

a ,其中对角线上元素都是a ，未写出的元素都是0;

[2--n n a a ] (2) a

a a a

x a a

a x ;

[1)(--n a x a ] (3) n

1n 321a x x x x x

a x x x x

x a x x x

x x a x x

x x x a - [利用递推公式来求]

递推公式为1121)()())((---+---=n n n n D x a x a x a x a x D

~ 3 ~

n D =)1)(())((2121x

a x

x a x x a x x a x a x a n n -++-+-+

--- (4) n

22222322

2

222

2221

[)!2(-n ]

(5)

β

+ααββ

+αβ+ααββ+ααββ+ααββ+α1

0000001000010

00010000

[n n n n βαββα

α++++--11

]

6.问λ，μ取何值时，齐次方程组???

??=+μ+=+μ+=++λ0

x x 2x 0x x x 0x x x 321

321321有非零解？ [0;1==μλ]

求每类商品的销售利润率。（去掉）

第二章 矩阵及其运算

第一节 矩阵 第二节 矩阵的运算

1. 以下结论正确的是（ C ）

（A ） 若方阵A 的行列式0=A ，则0=A 。 （B ） 若02

=A ，则0=A 。

（C ） 若A 为对称矩阵，则2

A 也是对称矩阵。

~ 4 ~

（D ） 对任意的同阶方阵A,B 有22))((B A B A B A -=-+

2. 设A=???? ??-310121，B=???? ??-121013，C=???

? ??-213112，计算(1) 2A-3B+2C ． [???

? ??--729037] 3．设A=????? ??321212113，B=????? ??-101012111，求AB-BA ． [????? ??---044402220] 4．设A=???? ??--143125，B=???

? ??--102023，计算AB T ，B T A ，A T A ，BB T +AB T ． [???? ??----71919; ????? ??-----14324101221; ????? ??--26262022234; ???? ??56613; ???? ??---2536] 5．若???? ??=4321A ，???

? ??=0110P ，那么=20042005AP P ???? ??2143 ． 6．B A ,为三阶矩阵，1-=A ，2=B ，则()=-21

2B A T 2 ． 7．已知53)(2+-=x x x f ，???

? ??=b a A 00，

则=)(A f ???? ??+-+-53005322b b a a . 8．A 为2005阶矩阵，且满足A A T -=，则=A 0 ．

9． 计算n

???? ??1011 解： 设 ???

? ??=1011A ， 则 ???

? ??=???? ?????? ??==1021101110112AA A ， ???? ??=???? ?????? ??==1031101110212

3A A A 假设???? ??-=-10111n A n ， 则 ???? ??=???? ?????? ??-==-101101110

111n n A A A n n ，

~ 5 ~

于是由归纳法知，对于任意正整数n ，有 ???

? ??=???? ??1011011n n

10．证明：若A 和B 都是n 阶对称矩阵，则AB 是对称矩阵的充分必要条件是A 与B 可交换．(略)

11．证明：若A 和B 都是n 阶对称矩阵，则A+B ，A-2B 也是对称矩阵．（略） 12．已知A=P ΛQ 其中P=???? ??2132，Λ=???? ??-1001，Q=???

? ??--2132．QP=E ，计算A 2n ，A 2n+1 （n 为正整数）．

[????

??1001； ???

? ??--74127]

第三节 逆矩阵 第四节 分块矩阵

13．设A 、B 都是n 阶矩阵，问：下列命题是否成立？若成立给出证明；若不成立举反例说明．

(1) 若A 、B 皆不可逆，则A+B 也不可逆；(2) 若AB 不可逆，则A ，B 都可逆；

(3) 若AB 不可逆，则A ，B 都不可逆；(4) 若A 可逆，则kA 可逆（k 是常数）． （略） 14．设P -1

AP=Λ，其中P=???? ??--1141，Λ=???? ??-2001，求A n ． （略） 15．设A 为3阶矩阵，且21=

A ，求*12)3(A A --. [2716-] 16．（1）若方阵A 满足0422=--E A A ，试证A+E 可逆，并求()1-+E A . （略）

（2）设A 是n 阶矩阵，且1-=A ，又1

-=A A T ，试证A+E 不可逆 （证明行列式等于零） 17．解矩阵方程 B AX =，其中????? ??=100210321A ，????? ??--=3152

41B 。 [????

? ??---3111094] 18．求下列矩阵的逆矩阵：

(1) ???? ??θθ-θθcos sin sin cos ； (2) ??????

? ?

?1000110001100011． [???? ??-θθθθcos sin sin cos ； ??????? ??----10001100111

01111] 19．利用逆矩阵解下列方程：

~ 6 ~

(1) ???

?

? ??-=????? ??---130112X 221021132． [???????

? ??----653611

311

] 20．设A k =0 (k 为正整数),证明：(E-A)-1=E+A+A 2+…+A k-1．

21．设方阵A 满足方程A 2-2A+4E=0．证明A+E 和A-3E 都是可逆的，并求它们的逆矩阵． 22．设方阵A 满足A 2-A-2E=0证明：

(1) A 和E-A 都可逆，并求它们的逆矩阵；(2) (A+E)和(A-2E)不同时可逆． 23．设幂零矩阵A 满足A k =0（k 为正整数），试证明E-A 可逆，并求其逆矩阵． 24．设A 是实对称矩阵，且A 2=0，证明A=0．

25．设A=???

? ??0C B 0，其中B 是n 阶可逆阵，C 是m 阶可逆阵．证明A 可逆，并求A -1

．

26．用矩阵分块的方法，证明下列矩阵可逆，并求其逆矩阵．

⑴ ???

??

?

??

??1000001000003000005200021； ⑵

???

???

?

?

??1000001000001003102020102

．

[??

???

?

?

??

?

?--100

100000000310

00001200025； ???

?

?

????

?

?

??

?

?----

1000001000

00100

23210210102

1021]

第三章 矩阵的初等变换与线性方程组

第一节 初等矩阵 第二节矩阵的秩

1．求矩阵???

??

??

?

?---=0230108523570

3273

812A 的秩，并求一个最高阶非零子式。[3； 0

1023532---]

~ 7 ~

2．设???

?

? ??----=32321321k k k A ，问k 为何值，可使（1）;1)(=A R （2）;2)(=A R （3）;3)(=A R

[

;

1=k 2-=k ；

2,1-≠≠k k ]

3．用初等矩阵判断方阵

??????

?

??----=211441*********

1A 是否可逆。若可逆，求1-A 解：()??

?

??

?

?

?

?----------→

???????

?

?----=---10040102

0011

0001233023302330111

110000100

0010

0001211441521221111

11

3

12

14

24 r r r r r r E A 因为02

3302

33023301

1

1

1

=-------，所以0=A ，故A 不可逆，即1

-A 不存在。

4． 用初等矩阵解矩阵方程B AX =，其中??

??

? ??--=523012101A ，?

???? ??-----=141254121B . 解：

()??

?

?

?

??--=100010001523012101 E A ???

????

??

----

→211

27115211

25100010001

???

???? ?

?----=∴-211

27115

211

2

51A ????? ??-----???????

??----==-14125412121127115

211

25

1

B A X ????? ??----=640892521

~ 8 ~

5． 用初等矩阵求()A R 其中 ???????

??---=140113*********

12

211A 解：??????? ?

?---→??????? ??------→+--22200000001512012211222001512015120122112313142r r r r r r A ??????? ??---→?00000222001512012

21143r r （上阶梯形），有此可看出 ()3=A R 25．设n 阶方阵A 的伴随矩阵为A*，证明：

(1) 若|A|=0，则|A*|=0；(2) |A*|=|A|n-1．（略）

第三节 线性方程组的解

一. 判断题；选择；题空题

1. 若54321,,,,ααααα都是b Ax =的解，则543218634ααααα-+-+是0=Ax 的一个解.( )

2. 方程组0=?x A n m 基础解系的个数等于)(n m A R n ?-. ( )

3. 若方程组0=Ax 有非零解，则方程组b Ax =必有无穷多解.( 错 )

4. 0=Ax 与0=Ax A T

为同解方程组. ( )

5. 方程组b Ax =有无穷多个解的充分必要条件是b Ax =有两个不同的解. ( )

6. 当( D )时，齐次线性方程组0=?x A n m 一定有非零解.

（A ）n m ≠；（B ）n m =；（C ）n m >；（D ）n m <.

7. 方程组?????=++=++=++00032

13213221x x x x x x x x x λλλλ的系数矩阵记为A ，若存在三阶方阵O B ≠，使得O AB =，

则 ( A ) .

（A ）1=λ且0=B ； （B ）1≠λ且0≠B ；（C ）1≠λ且0=B ；（D ）1=λ且0≠B .

8. 设方程组b x A n n =?+)1(有解，则其增广矩阵的行列式b A = 0 .

~ 9 ~

9. 若???????=+-=+=+-=+4

143

43232121a x x a x x a x x a x x 有解，则常数4321,,,a a a a 应满足条件 和等于零 . 10. 已知方程组????

? ??=????? ??????? ??-+03121232121321x x x a a 无解，则=a -1 .

11. 求方程组?????=+++=+++=++-5

43265421432143214321x x x x x x x x x x x x 的通解. [ 通解为???????

? ??+??????? ??--+???????? ??--=??????? ??0034371012013235214321c c x x x x ] 12．设?????-=+-=++-=++4

243212321321x x x k x kx x kx x x ，问方程组什么时候有唯一解？什么时候无解？什么时候有无穷多解，并在有无穷多解时求解.

解：有唯一解4,1≠-≠k k ；

无解1-=k ；

无穷多解4=k ，解为????

? ??+????? ??--040113c 。

第四章 向量组的线性相关性

第一节 n 维向量

1．设T T T v v v )0,4,3(,)1,1,0(,)0,1,1(321===,求32123v v v -+.

解：321

23v v v -+T T T )0,4,3()1,1,0(2)0,1,1(3-+= T )01203,41213,30213(-?+?-?+?-?+?=

~ 10 ~

T )2,1,0(=

2．设)(5)(2)(3321a a a a a a +=++-其中T a )3,1,5,2(1=, T a )10,5,1,10(2=, T a )1,1,1,4(3-=,求a

解 由)(5)(2)(3321a a a a a a +=++-整理得

)523(61321a a a a -+=])1,1,1,4(5)10,5,1,10(2)3,1,5,2(3[6

1T T T --+= T )4,3,2,1(=

3．已知α+β=(2,1,5,2,0)，α-β=(3,0,1,-1,4)，求α，β．

解： 11

511[()()][(2,1,5,2,0)(3,0,1,1,4)](,,3,,2)2222211113[()()][(2,1,5,2,0)(3,0,1,1,4)](,,2,,22222ααβαββαβαβ=++-=+-==+--=--=--

第二节 向量组的线性相关性

1．设144433322211,,,a a b a a b a a b a a b +=+=+=+=,证明向量组4321,,,b b b b 线性相关.

证明 设有4321,,,x x x x 使得，044332211=+++b x b x b x b x 则 0)()()()(144433322211=+++++++a a x a a x a a x a a x 0)()()()(443332221141=+++++++a x x a x x a x x a x x

(1) 若4321,,,a a a a 线性相关,则存在不全为零的数4321,,,k k k k , 411x x k +=;212x x k +=;323x x k +=;434x x k +=; 由4321,,,k k k k 不全为零,知4321,,,x x x x 不全为零,即4321,,,b b b b 线性相关.

(2) 若4321,,,a a a a 线性无关,则???????=+=+

=+=+000043322141x x x x x x x x 011000110001110014321=??????

? ????????? ???x x x x

~ 11 ~

由0

1

10001100

0111

001=知此齐次方程存在非零解，则4321,,,b b b b 线性相关. 综合得证.

2．设r r a a a b a a b a b +++=+== 2121211

,,,,且向量组r a a a ,,,21 线

性无关,证明向量组r b b b ,,,21 线性无关. 证明 设0221

1=+++r r b k b k b k 则

+

+++++++++p r p r r a k k a k k a k k )()()(2211 0=+r r a k

因向量组r a a a ,,,21 线性无关,故

121220110001

1000

100r r r r k k k k k k k k k +++=???????

? ? ? ?++=?

? ? ??=?

? ? ??

? ? ??=????

???

，

因为0

11

011

01

1≠=

故方程组只有

零解，则021

====r k k k 所以r b b b ,,,21 线性无关

3．利用初等行变换求下列矩阵的列向量组的一个最大无关组:??

?

??

?

? ?

?---140113*********

12

2

11

. 解： ??

??

???

?

?---140113130215

1

20122111

4132~r r r r --??????

? ??------22200151201512

01221

1

4

32

3~r r r r ?+??

?

??

?

?

?

?---0000022200151

2

0122

11，所以第1、2、3列构成一个最大无关组．

第三节 向量组的秩

1．求下列向量组的秩,并求一个最大无关组:)3,1,2,1(1

=T

a , )6,5,1,4(2---=T

a ,

)7,4,3,1(3---=T a .

~ 12 ~

解： ????? ??------=????? ??743165143121321T T T a a a ????? ??------10550189903121~????

? ??---0000189903121~ 秩为2,最大线性无关组为T T a a 2

1,. 2．设向量组α1，α2，…，αt (t>2)线性无关，令β1=α2+α3+…+αt ,，β2=α1+α3+…+αt ，…，βt =α1+α2+…+αt-1．

证明：β1，β2，…，βt 线性无关．

3．设n a a a ,,,21 是一组n 维向量,证明它们线性无关的充分必要条件是：任一n 维向量都可由它们线性表示.

4．设向量组A :s a a a ,,,21 的秩为1r ,向量组B :t b b b ,,,21 的秩2r 向量组C :

r s b b b a a a ,,,,,,,2121 的秩3r ,证明 21321},max{r r r r r +≤≤

证明 设C B A ,,的最大线性无关组分别为C B A ''',,，含有的向量个数(秩)分别为221,,r r r ,则C B A ,,分别与C B A ''',,等价，易知B A ,均可由C 线性表示，则秩(C )≥秩(A ),秩(C )≥秩(B )，即321},max{r r r ≤

设A '与B '中的向量共同构成向量组D ，则B A ,均可由D 线性表示，即C 可由D 线性表示，从而C '可由D 线性表示，所以秩(C ')≥秩(D ),

D 为21r r +阶矩阵，所以秩(D )21r r +≤即213r r r +≤.

5. 设A 是n ?m 矩阵，B 是m ?n 矩阵，n

6．设向量组:B r b b ,,1 能由向量组:A s a a ,,1 线性表示为

K a a b b s r ),,(),,(11 =，

其中K 为r s ?矩阵，且A 组线性无关。证明B 组线性无关的充分必要条件是矩阵K 的秩r K R =)

(. 证明

?若B 组线性无关 令),,(),,(11s r a a A b b B ==则有AK B =，由定理知，

()()min{(),R B R AK R A =≤()}()R K R K ≤，由B 组:r b b b ,,,21 线性无关知r B R =)(，故r K R ≥)(，又知K 为s r ?阶矩阵则},min{)(s r K R ≤。由于向

~ 13 ~

量组B :r b b b ,,,21 能由向量组A :s a a a ,,,21 线性表示,则s r ≤， r s r =∴},min{

综上所述知r K R r ≤≤)(即r K R =)(．

?若r k R =)(

令02211=+++r r b x b x b x ,其中i x 为实数r i ,,2,1 =，则有

0),,,(121=????

? ??r r x x b b b ，又K a a b b s r ),,(),,(11 =,则0),,(11=????? ??r s x x K a a 由于s a a a ,,,21 线性无关,所以021=?????

?

? ???r x x x K 即 ?????????=+++=+++=+++=+++0

002211221122221

121221111r rs s s r rr r r r r r r x k x k x k x k x k x k x k x k x k x k x k x k （1） 由于r K R =)(则(1)式等价于下列方程组:

???????=+++=+++=+++0

00221122221121221111r rr r r r r r r x k x k x k x k x k x k x k x k x k ，由于021222121

2111≠rr r r r r k k k k k k k k k

所以方程组只有零解021

====r x x x .所以r b b b ,,,21 线性无关，证毕.

第四节 向量空间

1． 试证:由T T T a a a )0,1,1(,)1,0,1(,)1,1,0(321===所生成的向量空间就是3R .

2． 证明 设),,(321a a a A =

~ 14 ~ 011101110,,321a a a A =0

21101010

11)1(1≠-=-=- 于是3)(=A R 故线性无关.由于321,,a a a 均为三维,且秩为3,

所以321,,a a a 为此三维空间的一组基,故由321,,a a a 所生成的向量空间就是3R .

2．验证T T T a a a )2,1,3(,)3,1,2(,)0,1,1(321==-=为3R 的一个基,并把T T v v )13,8,9(,)7,0,5(21---==用这个基线性表示. 解 由于06230

111321

,,321≠-=-=a a a ，即矩阵),,(321a a a 的秩为3，故321,,a a a 线性无关，则为3R 的一个基.

设3322111a k a k a k v ++=，则，?????=+=++-=++723053232321321k k k k k k k k ?????-===?132321k k k 故3211

32a a a v -+= 设3322112a a a v λλλ++=，则，?????-=+-=++--=++1323893232321321λλλλλλλλ?????-=-==?233321k k k 故线性表示为，3212233a a a v --=

第五节 线性方程组的解的结构 1．求齐次线性方程组?????=-++=-++=+--03678024530

2324321

43214321x x x x x x x x x x x x 的基础解系. 解：

???????? ??--????? ??----=000019719141019119201~36782453

1232初等行变换A

~ 15 ~

所以原方程组等价于???

???

?+-=+-=4324311971914191192x x x x x x 取2,143

==x x 得0,021==x x ；取19,043==x x 得7,121==x x

因此基础解系为???

???

? ??=??????? ??=19071,210021ξξ 2．设???

? ??--=

82593122A ,求一个24?矩阵B ,使0=AB ,且

2)(=B R . 解 由

于

2

)(=B R ,所以可设

??????

?

??

=43211001x x x x B 则由

????

??=?????

?

?

?????? ??--=00001001

825931224321

x x x x

AB

可得???

??

?

?

??--=

??????? ????????? ??5922802008023010

0301

4321x x x x ,

解此非齐次线性方程组可得唯一解?

????

?

????

? ??-=??????? ??21

252121143

21x x x x ， 故所求矩阵???????

?

??-=2125212

111001B ． 3．求一个齐次线性方程组,使它的基础解系为T T )0,1,2,3(,)3,2,1,0(11==ξξ.

解 显然原方程组的通解为 ????

??? ??+??????? ??=?

?????

? ??01233210214321k k x x x x ,(R k

k ∈21,) 即?????

?

?

=+=+==1

42132122

1

3223k x k k x k k x k x

~ 16 ~

消去21,k k 得 ???=+-=+-0

23032431421x x x x x x 此即所求的齐次线性方程组. 4．设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3，已知321,,ηηη是它的三个解向量．且

??????? ??=54321η，??????

? ??=+432132ηη求该方程组的通解． 解 由于矩阵的秩为3，134=-=-r n ，一维．故其对应的齐次线性方程组的基础解系含有一个向量，且由于321,,ηηη均为方程组的解，由非齐次线性方程组解的结构性质得

齐次解齐次解齐次解=??????

? ??=-+-=+-6543)()()()()(22121321ηηηηηηη 为其基础解系向量，故此方程组的通解：??????? ??+??????? ??=54326543k x ，)(R k ∈

5．设B A ,都是n 阶方阵，且0=AB ，证明n B R A R ≤+)()(．

证明 设A 的秩为1r ，B 的秩为2r ，则由0=AB

知，B 的每一列向量都是以A 为系数矩阵的齐次线性方程组的解向量．

(1) 当n r =1时,该齐次线性方程组只有零解,故此时0=B ,n r =1，02=r ，

n r r =+21结论成立．

(2) 当n r <1

时,该齐次方程组的基础解系中含有1r n -个向量,从而B 的列向量组的秩1r n -≤,即12r n r -≤,此时12r n r -≤,结论成立。

综上,n B R A R ≤+

)()( 6．求非齐次方程组?????-=+++-=-++=-+-.6242,1635,

113254321

43214321x x x x x x x x x x x x 的一个解及对应的齐次线性方程组的基础解系.

~ 17 ~

(2) ???????

? ??---????? ??-----=00000221711012179016124211635113251~初等行变换B ??????

? ??-=??????? ??-=??????? ??-=∴2011,0719,002121ξξη

7．设*η是非齐次线性方程组b Ax

=的一个解,r n -ξξ,,1 是对应的齐次线性方程组的一个基础解系,证明: r n -*ξξη

,,,1 线性无关. 证明 反证法,假设r n -*ξξη

,,,1 线性相关,则存在着不全为0的数r n C C C -,,,10 使得下式成立:0110=+++--*r n r n C C C ξξη

(1) 其中,00

≠C 否则,r n -ξξ,,1 线性相关,而与基础解系不是线性相关的，产生矛盾。 由于*η为特解，r n -ξξ,,1 为基础解系，故得

b C A C C C C A r n r n 00110)(==+++*--*ηξξη 而由(1)式可得0)(110=+++--*r n r n C C C A ξξη

故0=b ，而题中,该方程组为非齐次线性方程组,得0≠b 产生矛盾,假设不成立, 故r n -*ξξη

,,,1 线性无关. 8.设s ηη,,1 是非齐次线性方程组b Ax =的s 个解，s k k ,,1 为实数，满足121=+++s k k k .证明s s k k k x ηηη+++= 2211也是它的解. 证明 由于s ηη,,1 是非齐次线性方程组b Ax

=的s 个解. 故有 ),,1(s i b A i

==η 而s s s s A k A k A k k k k A ηηηηηη+++=+++ 22112211)( b k k b s =++=)(1

~ 18 ~

即 b Ax

= （s s k k k x ηηη+++= 2211）

从而x 也是方程的解．

第五章 相似矩阵及二次型

第一节 预备知识：向量的内积

1．试用施密特法把下列向量组正交化：

(1) ????

? ??=931421111),,(3

21a a a ；(2) ????

??

?

??---=011101110111

),,(321a a a 解 (1) 根据施密特正交化方法: 令

??

?

?

?

??==11111a b ，

[][]?

?

??

? ??-=-=101,,1112122b b b a b a b ，

[][][][]?

??

?

?

??-=--=12131,,,,222321113133b b b a b b b b a b a b ，

故正交化后得: ???????

?

?

?

--=311

13201

3111

),,(321b b b ． (2) 根据施密特正交化方法令 ?

????

?

? ??-==11

0111a b ，[][]??????? ??-=-=123131,,1

112122b b b a b a b

[][][][]???

??

?

?

??-=--=43

3151,,,,222321113133b b b a b b b b a b a b

故正交化后得

??????????

?

?

?---=543

1153321531051311),,(321b b b

~ 19 ~

2．下列矩阵是不是正交阵:(1) ??????

?

? ??

---121

31211

2131211; (2) ???????

? ??------

97949

4949198949891

． 解 (1) 第一个行向量非单位向量,故不是正交阵．

(2) 该方阵每一个行向量均是单位向量，且两两正交，故为正交阵． 3．设A 与B 都是n 阶正交阵，证明AB 也是正交阵． 证明 因为B A ,是n 阶正交阵，故A A

T =-1

，B B T =-1

E AB A B AB A B AB AB T T T

===--11)()(

故AB 也是正交阵．

第二节 方阵的特征值与特征向量

求下列矩阵的特征值和特征向量:(1)????

??-4211; (2)?

???

? ??633312321;并问它们的特征向量是

否两两正交? 解 (1) ①

)3)(2(421

1--=---=

-λλλ

λ

λE A ，故A 的特征值为

3,221==λλ．

② 当21

=λ时,解方程0)2(=-x E A ,由

???? ?????? ??--=-00112211)2(~E A 得基础解系???

?

??-=111P 所以)0(111≠k P k 是对应于21=λ的全部特征值向量．

当32

=λ时,解方程0)3(=-x E A ,由

???? ?????? ??--=-00121212)3(~E A 得基础解系???

? ??-=1212P 所以)0(2

22≠k P k 是对应于33=λ的全部特征向量．

~ 20 ~

③ 023121)1,1(],[2121≠=???

? ??--==P P P P T ，故21,P P 不正交． (2) ① )9)(1(633312

321-+-=---=-λλλλλλ

λE A ，故A 的特征值为

9,1,0321=-==λλλ．

② 当01=λ时，解方程0=Ax ，由

????? ??????

? ??=000110321633312321~A 得基础解系????? ??--=1111P 故)0(1

11≠k P k 是对应于01=λ的全部特征值向量. 当12-=λ时,解方程0)(=+x E A ，由

????? ??????

? ??=+000100322733322322~E A 得基础解系????? ??-=0112P 故)0(2

22≠k P k 是对应于12-=λ的全部特征值向量 当93=λ时，解方程0)9(=-x E A ，由

????? ??--????? ??---=-00021101113333823289~E A 得基础解系????????

? ??=121213P 故)0(333≠k P k 是对应于93=λ的全部特征值向量．

③ 0011)1,1,1(],[2121=????

?

??---==P P P P T ，

~ 21 ~

012121)0,1,1(],[3232=????????

? ??-==P P P P T ， 012121)1,1,1(],[3131=???

??

??? ??--==P P P P T ， 所以321,,P P P 两两正交．

第三节 相似矩阵 第四节 对称矩阵的相似矩阵

1．设方阵?

???

?

??------=12422421x A 与????

?

??-=Λ4000000

5y 相似，求y x ,.

解 方阵A 与Λ相似，则A 与Λ的特征多项式相同，即

E E A λλ-Λ=-λ

λλ---------?12

4

22

421x λ

λλ----=40

00005y ??

?==?5

4

y x ． 2．设B A ,都是n 阶方阵，且0≠A ，证明AB 与BA 相似．

证明

0≠A 则A 可逆

BA BA A A A AB A ==--))(()(11 则AB 与BA 相似．

3．设3阶方阵A 的特征值为1,0,1321

-===λλλ；对应的特征向量依次为

????? ??=2211P ，????

? ??-=1222P ，???

?? ??--=2123P , 求A .

解 根据特征向量的性质知),,(321P P P 可逆,

得:

????

?

??=-32

1

3211321),,(),,(λλλP P P A P P P 可得

132132

1321)

,,(),,(-????

?

?

?=P P P P P P A λλλ，得?????

??-=022********A

4．试求一个正交的相似变换矩阵,将下列对称矩阵化为对角矩阵:

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