高中数学3.1不等关系与不等式教案(一)新人教A版必修5

3.1不等关系与不等式

3.1.1不等关系与不等式（一）

教学过程

推进新课

师同学们所举的这些例子联系了现实生活，又考虑到数学上常见的数量关系,非常好.而且大家已经考虑到本节课的标题不等关系与不等式,所举的实例都是反映不等量关系,这将暗示我们这节课的效果将非常好.

(此时，老师用投影仪给出课本上的两个实例)

实例6:限时40 km/h 的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v不超过40 km/h.

实例7:某品牌酸奶的质量检查规定,酸奶中脂肪的含量f应不少于2.5%,蛋白质的含量p 应不少于2.3%.

［过程引导］

师能够发现身边的数学当然很好,这说明同学们已经走进了数学这门学科，但作为我们研究数学的人来说,能用数学的眼光、数学的观点、进行观察、归纳、抽象，完成这些量与量的比较过程,这是我们每个研究数学的人来说必须要做的,那么,我们可以用我们所研究过的什么知识来表示这些不等关系呢?

生可以用不等式或不等式组来表示.

师什么是不等式呢?

生用不等号将两个解析式连结起来所成的式子叫不等式.

（老师给出一组不等式-7＜-5；3+4＞1+4；2x≤6；a+2≥0;3≠4.目的是让同学们回忆不等式的一些基本形式，并说明不等号“≤，≥”的含义，是或的关系.回忆了不等式的概念，不等式组学生自然而然就清楚了）

师能用不等式及不等式组把这些不等关系表示出来，也就是建立不等式数学模型的过程，通过对不等式数学模型的研究，反过来作用于我们的现实生活，这才是我们学习数学的最终目的.

（此时，同学们已经迫不及待地想说出自己的观点.）

［合作探究］

生我们应该先像实例2那样用不等式或不等式组把上述实例中的不等量关系表示出来. 师说得非常好，下面我们就把上述实例中的不等量关系用不等式或不等式组一一表示出来.那应该怎么样来表示呢?

（学生轮流回答，老师将答案相应地写在实例后面）

生上述实例中的不等量关系用不等式表示应该为32℃≤t≤26℃.

生可以表示为x≥0.

（此时，学生有疑问，老师及时点拨，可以画出图形.让学生板演）

（老师顺便画出三角形草画）

生|AC|+|BC|＞|AB|

(只需结合上述三角形草图).

生|AB|+|BC|＞|AC|、|AC|+|BC|＞|AB|、|AB|+|AC|＞|BC|.

生 |AB |-|BC |＜|AC |、|AC |-|BC |＜|AB |、|AB |-|AC |＜|BC |.交换被减数与减数的位置也可以. 生 如果用v 表示速度，则v≤40 km/h.

生 f≥2.5%或p≥2.3%.

(此时,一片安静,同学们在积极思考)

生 这样表达是错误的,因为两个不等量关系要同时满足，所以应该用不等式组来表示此实际

问题中的不等量关系，即可以表示为?

??≥≥%.3.2%,5.2p f 生 也可表示为f≥2.5%且p≥2.3%.

师 同学们看这两位同学的观点是否正确?

生 (齐答)大家齐声说，都可以.

师 同学们的思考很严密,很好!应该用不等式组来表示此实际问题中的不等量关系，也可以用“且”的形式来表达.

课堂练习

教科书第83页练习1、2.

(老师让学生轮流回答，学生回答很好.此时，同学们已真正进入了本节课的学习状态,老师再用投影仪给出课本上的三个问题.问题是数学研究的核心，以问题展示的形式来培养学生的问题意识与探究意识）

【问题1】 设点A 与平面α的距离为d,B 为平面α上的任意一点.

［活动与探究］

师 请同学们用不等式或不等式组来表示出此问题中的不等量关系.

(此时,教室一片安静,同学们在积极思考,时间较长,老师应该及时点拨)

［方法引导］

师 前面我们借助图形来表示不等量关系,这个问题是否可以?

(可以让学生板演，结合三角形草图来表达)过点A 作AC ⊥平面α于点C ，则d=|AC |≤|AB |. 师 这位同学做得很好,我们在解决问题时应该贯穿数形结合的思想,以形助数,以数解形. 师 请同学们继续来处理问题2.

［合作探究］

【问题2】 某种杂志原以每本2.5元的价格销售,可以售出8万本.据市场调查,若单价每提高0.1元,销售量就可能相应减少2 000本.若把提价后杂志的定价设为x 元,怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元呢?

生 可设杂志的定价为x 元，则销售量就减少

2.01

.05.2?-x 万本. 师 那么销售量变为多少呢？如何表示？ 生 可以表示为)2.01.05.28(?--

x 万本，则总收入为x x )2.01

.05.28(?--万元. 〔老师板书，即销售的总收入为不低于20万元的不等式表示为)2.01.05.28(?--x x≥20〕 师 是否有同学还有其他的解题思路？

生 可设杂志的单价提高了0.1n 元，(n ∈N *)，

（下面有讨论的声音，有的同学存在疑问，此时老师应密切关注学生的思维状况） 师 为什么可以这样设？

生 我只考虑单价的增量.

师 很好，请继续讲.

生 那么销售量减少了0.2n 万本，单价为(2.5+0.1n)元，则也可得销售的总收入为不低于20万元的不等式，表示为(2.5+0.1n)(8-0.2n)≥20.

师 这位同学回答得很好，表述得很准确.请同学们对两种解法作比较.

（留下让学生思考的时间）

师 请同学们继续思考第三个问题. ［合作探究］

【问题3】 某钢铁厂要把长度为4 000 mm 的钢管截成500 mm 和600 mm 两种,按照生产的要求,600 mm 钢管的数量不能超过500 mm 钢管的3倍.怎样写出满足上述所有不等关系的不等式?

师 假设截得500 mm 的钢管x 根，截得600 mm 的钢管y 根.根据题意，应当有什么样的不等量关系呢？

生 截得两种钢管的总长度不能超过4 000 mm.

生 截得600 mm 钢管的数量不能超过500 mm 钢管的3倍.

生 截得两种钢管的数量都不能为负.

师 上述的三个不等关系是“或”还是“且”的关系呢？

生 它们要同时满足条件，应该是且的关系.

生 由实际问题的意义，还应有x,y ∈N.

师 这位同学回答得很好，思维很严密.那么我们该用怎样的不等式组来表示此问题中的不等关系呢？

生 要同时满足上述三个不等关系，可以用下面的不等式组来表示：

?????????∈≥≥≥≤+.

,,0,

0,3,40000600500N y x y x y x y x 师 这位同学回答很准确.通过上述三个问题的探究，同学们对如何用不等式或不等组把实际问题中所隐含的不等量关系表示出来，这一点掌握得很好.请同学们再完成下面这个练习.

课堂练习

练习：若需在长为4 000 mm 的圆钢上，截出长为698 mm 和518 mm 两种毛坯，问怎样写出满足上述所有不等关系的不等式组?

分析：设截出长为698 mm 的毛坯x 个和截出长为518 mm 的毛坯y 个，把截取条件数学化地表示出来就是：

???????∈≥≥≤+.

,,0,0,4000518698N y x y x y x （练习可让学生板演，老师结合学生具体完成情况作评析，特别应注意x≥0,y≥0,x,y ∈N ）

课堂小结

师 通过今天的学习，你学到了什么知识，有何体会？

生 我感到学习数学可以帮助我们解决生活中的实际问题.

生 数学就在我们的身边，与我们的生活联系非常紧密，我更加喜爱数学了.

生 本节课我们还进一步巩固了初中所学的二元一次不等式及二元一次不等式组，并且用它来解决现实生活中存在的大量不等量关系的实际问题.

师 我来补充一下，在用二元一次不等式及二元一次不等式组表示实际问题中的不等关系时，思维要严密、规范，并且要注意数形结合等思想方法的综合应用.

（慢慢培养学生学会自己来归纳总结，将所学的知识，结合获取知识的过程与方法，进行回顾与反思，从而达到三维目标的整合.进而培养学生的概括能力和语言表达能力） 布置作业

第84页习题3.1A 组4、5.

板书设计

不等关系与不等式（一）

实例 方法引导 方法归纳 如何用不等式或不等式组表示 实例剖析（知识方法应用） 小结 实际问题中不等量关系？ 示范解题 3.1.2 不等关系与不等式（二）

教学过程

推进新课

师 我们已学习过等式、不等式，同学们还记得等式的性质吗？

生 等式有这样的性质：等式两边都加上，或都减去，或都乘以，或都除以（除数不为零）同一个数，所得到的仍是等式.

师 很好！当我们开始研究不等式的时候，自然会联想到，是否有与等式相类似的性质，也就是说，如果在不等式的两边都加上，或都减去，或都乘以，或都除以（除数不为零）同一个数，结果将会如何呢？

（此时很快能让学生进入对初中所学过的不等式三条基本性质的回忆与复习） 师 一般地说，不等式的基本性质有三条：

性质1：不等式的两边都加上（或都减去）同一个数，不等号的方向_________.（让同学回答）

性质2：不等式的两边都乘以（或都除以）同一个正数，不等号的方向________.（让同学回答）

性质3：不等式的两边都乘以（或都除以）同一个负数，不等号的方向________.（让同学回答）

［过程引导］

师 不等式的这三条基本性质，都可以用数学的符号语言表达出来.（让三位同学板演） 性质1：a ＜b a +c ＜b +c （或a -c ＜b -c ）；a ＞b a +c ＞b +c （或a -c ＞b -c ）.

性质2：a ＜b 且c ＞0?ac ＜bc (或c

b c a ＜)；a ＞b 且c ＞0 ac ＞bc (或c b c a ＞

). 性质3：a ＜b 且c ＜0?ac ＞bc (或c b c a ＞)；a ＞b 且c ＜0 ac ＜bc (或c b c a ＜). （用数学符号表达不等式的性质，目的是为下面用符号进行不等式性质与证明打基础，给学生也有一适应过程.老师对学生的板演作点评）

师 性质2、性质3两条性质中，对a 、b 、c 有什么要求？

生 对a 、b 没什么要求，特别要注意c 是正数还是负数.

师 很好，c 可以为零吗？

生 c 不能为零.因为c 为零时，任何不等式两边都乘以零就变成等式了.若是“≤”或“≥”则可以.

师 这位同学回答的非常好，思维既严谨又周到.

师 对于不等式的这三条基本性质，我们不仅要理解这三条性质，还要能灵活运用.在初中，我们对这三条性质只是作了感性的归纳，现在我们应对它给出严格的证明，只有这样应用这些性质才能有理有据.

（学生已迫不及待）

生（齐声）那我们来给出严格的证明吧.

（此处，说明老师点拨很到位.真正体现了课堂上教师的主导地位与学生的主体地位） 师 为了对不等式的基本性质给出严格证明，我们还有必要回忆实数的基本性质. （此时学生对这一名词肯定感到生疏，老师在黑板上应很快给出数轴）

［教师精讲］

师 若点Ａ对应的实数为a ，点Ｂ对应的实数为b ，因为点Ａ在点Ｂ的左边，所以可得a ＞b .a ＞b 表示a 减去b 所得的差是一个大于０的数即正数，即a ＞b ?a -b ＞0.它的逆命题是否正确？

生 显然正确.

师 类似地，如果a ＜b ，则a 减去b 是负数，如果a =b ，则a 减去b 等于０，它们的逆命题也正确.一般地,

a ＞

b ?a -b ＞0;a =b ?a -b =0;a ＜b ?a -b ＜0.

师 这就是实数的基本性质的一部分，还有任意两个正数的和与积都是正数等.等价符号左边不等式反映的是实数的大小顺序，右边不等式反映的则是实数的运算性质，合起来就成为实数的运算性质与大小顺序之间的关系，它是不等式这一章的理论基础，是证明不等式以及解不等式的主要依据.

师 由实数的基本性质可知，我们如何比较两个实数的大小呢？

生 只要考察它们的差就可以了.

师 很好.请同学们思考下面这个问题.

(此时，老师用投影仪给出问题)

［合作探究］

【问题1】 已知x≠0，比较(x 2+1)2与x 4+x 2+1的大小.

（问题是数学研究的核心，此处以问题展示的形式来培养学生的问题意识与探究意识) （让学生板演，老师根据学生的完成情况作点评）

解：(x 2+1)2－x 4-x 2-1=x 4+2x 2+1-x 4-x 2-1=x 2，

由x≠0，得x 2＞0，从而(x 2+1)2＞x 4+x 2+1.

（学生对x≠0，得x 2＞0在说理过程中往往会忽略）

师 下面我们来看一组比较复杂的问题，请大家都来开动脑筋，认真审题，仔细分析. （让学生板演，老师根据学生的完成情况作点评）

【例1】 比较下列各组数的大小（a ≠b ）. (1)2b a +与b

a 112+ (a ＞0,

b ＞0); （2）a 4－b 4与4a 3（a －b ）.

师 比较两个实数的大小，常根据实数的运算性质与大小顺序的关系，归结为判断它们的差的符号来确定.

解：（1）)(2)()(24)(2211222

2b a b a b a ab b a b a ab b a b

a b a +-=+-+=+-+=+-+， ∵a ＞0,b ＞0且a ≠b ,∴a +b ＞0,(a -b )2＞0. ∴b

a b a b a b a 11220,)(2)(2+++-＞即＞. （2）a 4-b 4-4a 3(a -b )

=(a -b )(a +b )(a 2+b 2)-4a 3(a -b )

=(a -b )(a 3+a 2b +ab 2+b 3-4a 3)

=(a -b )［(a 2b -a 3)+(ab 2-a 3)+(b 3-a 3)］

=-(a -b )2(3a 2+2ab +b 2)

=-(a -b )2［2a 2+(a +b )2］,

∵2a 2+(a +b )2≥0(当且仅当a =b =0时取等号),

又a ≠b ,∴(a -b )2＞0,2a 2+(a +b )2＞0.

∴-(a -b )2［2a 2+(a +b )2］＜0.

∴a 4-b 4＜4a 3(a -b ).

师 同学们完成得很好，证明不等式时，应注意有理有据、严谨细致，还应条理清晰.比较大小常用作差法，一般步骤是作差——变形——判断符号.变形常用的手段是分解因式和配方，前者将“差”变为“积”，后者将“差”化为一个或几个完全平方式的“和”，也可两者并用. (此时，老师用投影仪给出下列问题)

［合作探究］

【问题2】 求证：（1）a ＞b 且c ＞0?ac ＞bc ；

（2）a ＞b a +c ＞b +c .

师 请同学们思考第一小问该如何证明？

生 可用实数的基本性质，∵a ＞b ,∴a -b ＞0.又∵c ＞0，由任意两个正数的积都是正数可得(a -b )c ＞0，即ac ＞bc .

师 这位同学证明的思路很好，很严密.同学们还有其他的证明思路吗？

生 ac -bc =(a -b )c ，∵a ＞b ，∴a -b ＞0.又∵c ＞0，由任意两个正数的积都是正数可得(a -b )c ＞0，所以得证.

师 这位同学证明得是否正确？

生 正确.

师 这两位同学的证明都正确，请同学们认真地审视一下，比较这两位同学证题思路的区别与联系.

生 第一位同学的证明是由条件到结论，第二位同学的证明是由结论到条件，即寻找结论成立的条件.

师 回答得非常好，这位同学看出了两种证明方法的本质.由条件到结论，由结论到条件，这是我们证明问题经常采用的思路. （按照教材对不等式的证明要求，此处对不等式证明的分析法与综合法没有点明，只是让学生通过具体的问题了解不等式证明的分析法与综合法的证题思路）

师 请同学继续思考第二小问该如何证明？

生 可由结论到条件，a +c -(b +c )=a -b ，∵a ＞b ，∴a -b ＞0，∴a +c ＞b +c .

师 这位位同学回答得很好，有理有据，严谨细致，也很有条理清晰.别的同学有问题吗？ 生（齐声）没问题.

师 这说明同学们对不等式的证明思路掌握得很好.

师 下面我们再来看一个比较复杂的问题，请大家继续开动脑筋，认真审题，仔细分析. （此处，老师再一次这样说的目的是能够激发起同学们克服难题的欲望，进而增强学习的积极性与主动性）

(此时，老师用投影仪给出本课时的例2)

［例题剖析］

已知a ＞b ＞0,c ＜0，求证：b c a c ＞.

师 前面我们已经利用不等式及实数的基本性质证明了一些简单的不等式.请同学思考此该如何证明？

生 可由条件到结论.∵a ＞b ＞0，两边同乘以正数

ab 1，得b 1＞a 1，即a 1＜b 1b .又∵c ＜0，∴b c a c ＞.

师 这位同学回答得很好.通过此例的解答可以看出，本课时，同学们对简单不等式的证明掌握得非常好.希望同学们课后进一步探究，对不等式的基本性质和实数的性质应用既要严密、规范，又要灵活，才能达到要求.

课堂小结

常用的不等式的基本性质及证明：

（1）a ＞b ,b ＞c ?a ＞c ;

a ＞

b ,b ＞

c ?a -b ＞0,b -c ＞0? (a -b )+(b -c )＞0?a -c ＞0 a ＞c .

（2）a ＞b a +c ＞b +c ;

a ＞

b ?a -b ＞0? (a -b )+(

c -c )＞0? (a +c )-(b +c )＞0?a +c ＞b +c .

（3）a ＞b ,c ＞0?ac ＞bc ;

a ＞

b ,

c ＞0?a -b ＞0,c ＞0? (a -b )c ＞0?ac -bc ＞0?ac ＞bc .

（4）a ＞b ,c ＜0?ac ＜bc .

a ＞

b ,

c ＜0?a -b ＞0,c ＜0? (a -b )c ＜0?ac -bc ＜0?ac ＜bc .

布置作业

课本第84页习题3.1 A 组3, Ｂ组1.（3）（4）、2.

板书设计

不等关系与不等式（二）

引入 方法引导 方法归纳

不等式和实数的基本性质 实例剖析（知识方法应用） 小结

示范解题

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