极限的性质和运算法则

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专业： 科目：《经济数学基础》 第 周第 学时教案 授课教师：贾其鑫

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1.4 极限的性质与运算法则

教学目标: 1.掌握极限的性质及四则运算法则。

2.会应用极限的性质及运算法则求解极限

教学重点：极限的性质及四则运算法则；

教学难点：几种极限的种类及求解方法的归纳

教学课时：2学时

教学方法：讲授法、归纳法、练习法

教学过程：

1.4.1 极限的性质

性质1.5（唯一性） 若极限)(lim x f 存在，则极限值唯一． 性质1.6（有界性） 若极限)(lim 0

x f x x →存在，则函数)(x f 在0x 的某个空心邻域内有界．

性质1.7（保号性） 若A x f x x =→)(lim 0

，且0>A （或0<A ），

则在0x 的某空心领域内恒有0)(>x f （或0)(<x f ）．

若A x f x x =→)(lim 0

，且在0x 的某空心邻域内恒有0)(≥x f （或

0)(≤x f ）,则0≥A （或0≤A ）． 1.4.2 极限的四则运算法则

定理1.3 若A x u =)(lim ，B x v =)(lim ，则

(1) [])()(lim x v x u ±B A x v x u ±=±=)(lim )(lim ；

(2) [])(lim )(lim )()(lim x v x u x v x u ?=?B A ?=；

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(3)当0)(lim ≠=B x v 时，B

A x v x u x v x u ==)(lim )(lim )()(lim

证 我们只证(1)． 因为A x u =)(lim ，B x v =)(lim ，由定理1.2有α+=A x u )(，β+=B x v )(，其中α，β是同一极限过程的无穷小量，于是

)()()()(βα+±+=±B A x v x u )()(βα±+±=B A ．

根据无穷小量的性质，βα±仍是无穷小量，再由定理1.2的充分性可

得．[]B A x v x u x v x u ±=±=±)(lim )(lim )()(lim ．

上述运算法则，不难推广到有限多个函数的代数和及乘法的情况． 推论 设)(lim x u 存在，c 为常数，n 为正整数，则有

(1) [])(lim )(lim x u c x u c ?=?；

(2) []n n

x u x u )]([lim )(lim =． 在使用这些法则时，必须注意两点：

(1)法则要求每个参与运算的函数的极限存在．

(2)商的极限的运算法则有个重要前提，即分母的极限不能为零． 例1 求)522(lim 1

+--→x x x ． （初等函数定义域内某点的极限）

解 )522(lim 1+--→x x x

5lim 1

)2(lim 1)2(lim 1-→+-→--→=x x x x x

5lim 1

)2(lim 1)2(lim 1-→+-→--→=x x x x x

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85)1(2)1(2=+-?--=．

例2 求

)1110(lim 0n

a x n a n x a n x a x +-++-+→ ．

解

)1110(lim 0

n

a x n a n x a n x a x x +-++-+→

n a x x x n a x x n x a x x n x a x x lim 0

1lim 011lim 00lim 0→+

-→+-→+→=

n n n n a x a x a x a ++++=--011

0100 ．

可见多项式)(x p 当0x x →时的极限值就是多项式)(x p 在0x 处的函数值，即)0()(lim 0

x p x p x x =→．（1.4.1

）

例3 求

21322lim 0++-→x x x x ．

解 先求分母极限．

因为0220)2(lim 0

≠=+=+→x x ， 所以

)

2(lim 0

)

13

22(lim 0

21322lim 0+→+-→=++-→x x x x x x x x x

21

20103022=++?-?=．

一般地，当0)(lim 0≠→x q

x x 时，有)

0()

0()()(lim 0x q x

p x q x p x x =→． （1.4.2）

例4 求23234lim 1+--→x x x

x ．

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解 先求分母的极限．

021321)232(lim 1

=+?-=+-→x x x ,

先考虑原来函数倒数的极限.

0340)34(lim 1

)232(lim 134232lim 1=-=-→+-→=-+-→x x x x x x x x x 即3

4232-+-x x x 是1→x 时的无穷小．由无穷小量与无穷大量的倒数关系，得到∞=+--→2

3234lim 1x x x x ． 例5 求9

2342lim 3-+-→x x x x ．

解 先求分母极限．

0923)92(lim 3

=-=-→x x ,再求分子极限．

033423)342(lim 3

=+?-=+-→x x x ．

消去公因子，再求极限．

)3)(3()1)(3(lim 392342lim 3-+--→=-+-→x x x x x x x x x 3

131lim 3=+-→=x x x 注意：因为0)92(lim 3

=-→x x ，所以不能写成

)

92(lim 3

)342(lim 392342lim 3-→+-→=-+-→x x x x x x x x x ．

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例6 求

22322lim +++-∞→x x x x x ．

解222

123

12lim 222322lim x x x x x x x x x x +++

-∞→=

+++-∞→2

)

2221(lim )

23

12(lim

=++∞→+-∞→=x

x x x x x ．

例7 求2

2353lim ++-∞→x x x x ．

解

因为03

52112

3

lim 532

23lim =+-+∞→=

+-+∞→x x x x x x x x x ，

所以∞

=++-∞→2

2353lim x x

x x ． 一般地，当∞→x 时，有理分式)0,0(00≠≠b a 的极限有以下结果：

???????>∞=<++-+++-+∞→.

,,,0

0,

,0110110lim m n m n b

a

m n m b m x b m x b n a n x a n x a

x ＝ （1.4.3）

例8 求下列极限：

（1）

8

323524lim +-+∞→x x x x ；

（2）3

2572243lim +--∞→x x x x ；

（3）372)122)(3(lim x x x x -+-

∞→．

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解 （1）因为m >n ，所以08

323524lim =+-+∞→x x x x ． （2）因为 n >m ，所以∞=+--∞→3

2572243lim x x x x ． （3）因为n =m ，所以极限值应为分子、分母最高次项系数之比．即

72372)122)(3(lim -=-+-∞

→x x x x ．

方法归纳：

1.初等函数定义域内某点处的极限值00

()()lim f x f x x x =→ 2.0

c “型”：先求倒数的极限为0，再应用无穷小量和无穷大量的关系，得无穷大 3.00

“型”：A.分子分母为多项式的先分解因式约分再求极限 4.∞∞

“型”：A 分子分母同除以分母的最高次幂

课堂练习：P46 12（2、4、6、8、10、12、14、16）

课后作业：P46 12（1、3、5、7、9、11、13、15）

课后反思：

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/9b44.html