最新人教版高中数学选修1-2《综合法和分析法》示范教案1

2．2.1 综合法与分析法

教材分析 《直接证明与间接证明》是在学习了推理方法的基础上学习的，研究的是如何正确利用演绎推理来证明问题．本节课是《直接证明与间接证明》的第一节，主要介绍了两种证明方法的定义和逻辑特点，并引导学生比较两种证明方法的优点，进而灵活选择证明方法，规范证明步骤．本节课的学习需要学生具有一定的认知基础，应尽量选择学生熟悉的例子．

教学目标 1．知识与技能目标

(1)了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法． (2)了解分析法和综合法的思维过程和特点． 2．过程与方法目标

(1)通过对实例的分析、归纳与总结，增强学生的理性思维能力．

(2)通过实际演练，使学生体会证明的必要性，并增强他们分析问题、解决问题的能力． 3．情感、态度及价值观 通过本节课的学习，了解直接证明的两种基本方法，感受逻辑证明在数学及日常生活中的作用，养成言之有理、论之有据的好习惯，提高学生的思维能力．

重点难点

重点：分析法和综合法的思维过程及特点． 难点：分析法和综合法的应用．

教学过程

创设情境、引入新课

提出问题1：前面我们学习了两种重要的推理方法，请同学们回忆，我们学习了什么推理方法，它们各自的特点和作用各是什么？

活动设计：学生思考并举手回答，教师提问． 活动成果：前面已经学习了合情推理和演绎推理．

合情推理是提出新问题、获得新知识的主要推理方式，特点是结论不一定可靠；演绎推理是证明结论的主要推理方式，特点是只要大前提正确，推理形式正确，结论一定正确．

提出问题2：使用演绎推理证明，怎样才能保证推理形式正确？ 活动设计：设问引出将要学习的内容是证明方法．

提出问题3：我们先来看看我们已经证明过的两个问题，试找出证明过程的差异． 1．在正方体ABCD—A′B′C′D′中，求证：A′C⊥BD. 证明：连接AC.

∵ABCD—A′B′C′D′是正方体，∴AA′⊥平面ABCD. 又∵BD?平面ABCD，∴AA′⊥BD.

又∵AC⊥BD，AA′∩AC＝A，∴BD⊥平面A′AC. 又∵A′C?平面A′AC，∴A′C⊥BD.

2．已知直线a，和直线外一点A，求证：过点A有且只有一条直线平行于a. 证明：假设过点A有两条不同的直线AB、AC都平行于直线a，

即AB∥a，AC∥a，由平行公理可得AB∥AC，这与AB∩AC＝A矛盾， ∴过点A有且只有一条直线平行于a.

活动设计：学生先独立思考，后合作交流，然后请学生回答．

活动成果：第一个是直接证明结论，第二个是先假设结论不成立，得出矛盾．从而引出单元标题《直接证明与间接证明》．

探究新知

提出问题1：再来看第一个小题，试总结证明过程的特点． 活动设计：先独立思考，再小组交流，然后请学生回答． 活动成果：证明过程是从原因推导到结果．

提出问题2：我们把这种证明方法叫做综合法，请同学们试给综合法下个较为准确的定义．

活动设计：请几个同学总结补充，最后教师总结给出定义．

活动成果：从原因推导到结果的思维方法叫综合法(又叫顺推法)．

提出问题3：如果条件用P来表示，结论用Q来表示，请同学们试把综合法的证明过程用符号语言表示出来．

活动设计：先独立思考，再小组交流，然后请学生回答．

活动成果：用P表示已知条件、已有的定义、公理、定理等，Q表示所要证明的结论，则综合法可用框图表示为：

提出问题4：你能用更简练的语言概括综合法的特点吗？ 活动设计：请几个同学总结补充，最后教师总结给出特点． 活动成果：综合法的特点：由因导果． 理解新知

1已知a>0，b>0，求证：a(b2＋c2)＋b(a2＋c2)≥4abc. 活动设计：学生到黑板板演． 活动成果：

证明：∵b2＋c2≥2bc，a>0，∴a(b2＋c2)≥2abc.

又∵c2＋a2≥2ac，b>0，∴b(c2＋a2)≥2abc.因此a(b2＋c2)＋b(c2＋a2)≥4abc. 提出问题：这是用的什么证明方法？ 活动设计：提问．

活动成果：综合法．加深学生对综合法的理解． 探究新知

2求证：3＋7<25.

活动设计：找两个学生到黑板板演． 活动成果：

证明：因为3＋7和25都是正数，所以要证3＋7<25， 只需证(3＋7)2<(25)2， 只需证10＋221<20， 只需证21<5， 只需证21<25，

而21<25显然成立，所以3＋7<25.

提出问题1：这种证明方法是综合法吗？你能总结出这种证明方法的证明过程的特点吗？

活动设计：先独立思考，再小组交流，然后请学生回答．

活动成果：不是综合法．是从结论入手逐步寻找到一个明显成立的条件的证明过程，我们把它称为分析法．

提出问题2：请试着给分析法下个准确的定义．

活动设计：请几个同学总结补充，最后教师总结给出定义．

活动成果：一般地，从待证结论出发，一步一步寻求结论成立的充分条件，最后达到题设的已知条件或已被证明的事实．

提出问题3：如果条件用P来表示，结论用Q来表示，请同学们试把分析法的证明过程用符号语言表示出来．

活动设计：先独立思考，再小组交流，然后请学生回答．

活动成果：用Q表示要证明的结论，则分析法可用框图表示为：

提出问题4：你能用更简练的语言概括分析法的特点吗？ 活动设计：请几个同学总结补充，最后教师总结给出特点． 活动成果：分析法的特点：执果索因． 理解新知

提出问题：请对综合法与分析法进行比较，说出它们各自的特点． 活动设计：请几个同学总结补充，最后教师总结给出特点．

活动成果：综合法“由因导果”，宜于表达；分析法“执果索因”，利于思考． 应用新知

1．已知函数f(x)＝x3，x∈(1，＋∞)，求证：f(x)在(1，＋∞)上是增函数． 证明：∵f′(x)＝3x2，x∈(1，＋∞)，∴f′(x)>0. ∴f(x)在x∈(1，＋∞)上是增函数．

提出问题1：这是使用的什么证明方法？ 活动设计：集体回答． 活动成果：综合法．

2．求证：a－a－1

只需证2a－3＋2a2－3a<2a－3＋2a2－3a＋2， 只需证a2－3a

而0<2显然成立，所以a－a－1

证明：∵a＋a－1>a－2＋a－3，

11

∴<，

a＋a－1a－2＋a－3

∴a－a－1

活动设计：请几个同学总结，教师补充．

活动成果：1.证明时，既可以使用综合法也可以使用分析法． 2．将分析法的过程倒过来就是综合法． 拓展提高

1－tanα已知＝1，求证：cosα－sinα＝3(cosα＋sinα)．

2＋tanα活动设计：先独立思考，后小组讨论． 活动成果：

cosα－sinα

证明：要证cosα－sinα＝3(cosα＋sinα)，只需证＝3，

cosα＋sinα1－tanα只需证＝3，

1＋tanα

1

只需证1－tanα＝3(1＋tanα)，只需证tanα＝－，

2∵

1－tanα

＝1，∴1－tanα＝2＋tanα，即2tanα＝－1.

2＋tanα

1

∴tanα＝－显然成立，∴结论得证．

2

提出问题：从证明过程中，你得到什么启示？ 活动设计：请几个同学总结，教师补充．

活动成果：在证明过程中，分析法和综合法可以综合使用． 课堂小结

提出问题：在本节课的学习中，你有什么收获？ 活动设计：请几个同学总结，教师补充． 活动成果：

1．本节课所学的知识结构：

2．我的收获：证明的严谨性，团队合作的精神． 布置作业

1．必做题：教材习题2.2 A组2、3题． 2．选做题：教材习题2.2 B组2、3题． 教师寄语

把简单的事情做彻底； 把平凡的事情做经典； 把每一件小事都做精彩．

(设计者：殷贺，本教学设计获山东省优秀课评选一等奖)

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/9au6.html