专题十计数原理第三十一讲二项式定理答案

专题十计数原理

第三十一讲二项式定理

答案部分

1.C【解析】T r 1 二C5(x2)5工(2)r=C52r x1°，r，由10-3r =4，得r =2，所以x4的系

x

数为C522 =40 .故选C.

1 1

2.C【解析】(1 ?飞)(1 ? x)6展开式中含x2的项为1 c2x2? — C；x4=30x2，故x2前系

x x

数为30,选C.

r 5 r r

3.C【解析】(2x-y)的展开式的通项公式为：「1 5(2X)一(-丫)，

二C

当r -3时，x(2x-y)5展开式中x3y3的系数为C；22(一1)3=-40 ,

当r=2时，y(2x—y)展开式中x y的系数为C5 2( -〔)=80 ,

所以x3y3的系数为80-40=40 ?选C.

4. A ［解析】通项T r d = C；x6_t i r(r = 0,1,2,…,6)，令r = 2 ,得含x4的项为C；x4i2 - -15x4,

故选A .

Q —J 5. D ［解析】因为(V x)n的展开式中的第4项与第8项的二项式系数相等，所以C n -C n ,

1 解得n =10,所以二项式(1 x)10的展开式中奇数项的二项式系数和为—210=29.

2

6. C ［解析】由(x 1)^(1 x)n =1 ? C；x2?…? C：x n，知Cn =15 ,

二—(—1) = 15，解得n = 6 或n = -5 (舍去)，故选C.

2

5

7. D ［解析】T r d =c5(-1)r a r x^，令r =1，可得-5a =30= a = -6，故选D.

&C［解析】由题意知f(3,0) =C；C0，f(2,1)=C：c4，f(1,2)=c6c：，f(0,3)=C：c4，

因此 f(3,0) f (2,1) f (1,2) f (0,3) =120 .

9. A ［解析】由二项展开式的通项可得，

第四项T 4 = C ；(1x)2(-2y)3 = -20x 2y 3，故 x 2y 3

的系数为一20，选A .

n ^r 5 2，常数项满足条件n r ，所以r = 2

2 r =C ；3n 'x 10. B ［解析】通项C n r (3x)n *

时n = 5最小.

C 【解析】T r .1 =c ；(x 2)5」(-—)r =(-2)r c ；x 10

助，令 10-5r = 0，解得 r = 2，所 x

以常数项为(―2)2C ； =40 .

D 【解析】第一个因式取 x 2，第二个因式取 丄得：1xC 5(—1)4=5，第一个因式取2 , x

第二个因式取(_1)5得：2 (一1)5=「2 展开式的常数项是 5?(-2)=3 . D 【解析】??? T r+1二C ；(2x 2)5-r (_x 」)r = 25-r (—1)r C ；x 10-3r , ???10-3r=1，即 r=3 , ??? x 的系数为-40 .

5 2 2 2 2

B 【解析】(1 2x)的展开式中含x 的系数等于

C 5 (2 x) =40x ,系数为40.答案选B . r x 、6 r x 、r r 2x(6 r) xr r 12x 3xr

C 【解析】T r1 二 C 6(4 ) -(2-) =C f5 2 (

2-二 C 6 2 -,

令 12x —3xr = 0，贝V r = 4，所以 T5 = C 6 =15，故选 C .

所以x 2的系数为际产5

1 1 — 8 — 4r

7【解析】「1心3 W c8(2)r X 3，令丁“，解得一2，所以所求

1

常数项为C 8 (寸)2=7 .

16,4【解析】将(x 1)3(x 2)2变换为(V x)3(2 x)2，则其通项为C ；13」x r C m 22』x m , 取 r = 0,m 二1 和 r =1,m 二 0可得，

0 1 1 0 2

a 4 = C 3C 2 2 + C 3C 2 2 4 12 -16，令 x=0 ,得 - 4 .

4【解析】T r +=C ；(3x j 3r 乂，令 r=2得：C ：32=54，解得 n = 4 . 2 5 1 5 10 芒 r

-2【解析】因为T 「=C ；(ax 2)2( )r =C 5r a 5"x 2，所以由

2 5 2

因此 C 5a 二…80= a ~ -2.

10【解析】由(2x 、匚)5得T r^C 5(2x)5"C^x)r =25^C 5x 11. 12. 13. 14.

15. 16. 17. 18.

19.

20.

21. 3r I 【解析】“宀21丿"(*，令5 一汁2，得「=2，

2.x

8/r

5^

此时系数为10.

22.40【解析】由通项公式，T r i =C5 2 - x，令r =3，得出x的系数为C§2 =40 .

23.3【解析】（1 + x）4展开式的通项为T r1 =C；x r，由题意可知，

a（c4 +C：） +C0 +C：+C：=32，解得a =3.

24.—20【解析】（x y）8中「1 二C；x8 -y r，令r = 7 ,再令r = 6,

得x y1的系数为C8 —C8 = -20 .

25.1【解析】二项展开式的通项公式为T r .1二C；0X10」a r，当10-r=7时，r =3 ,

3 3 7 3 3 1

T4 = C10a x，贝U C10a 15，故a .

2

26.2【解析】人1=C6（ax2）2（b）、C；a2b r x12J3r，令12-3r=0,得r=3,

x

故c6a'b‘ = 20 ,.?? ab = 1,a2 b2》2ab = 2，当且仅当a=b=1 或a=b = -1 时等号成立.

27.-【解析】通项C8x8」（2）「=C；a「x8T n 8—4 r =4二r =3,C83a3 =7n a=」

2 8/ 8

3 2

1

所以丄.

2

2 1 6

28.20【解析】（X -）的展开式中第k 1项为

x

丁…虫黒上严⑹乂:严办=0,1,2,||（,6）

令12 -3k =3= k=3得：x3的系数为C： = 20 .

29.10【解析】法一：由等式两边对应项系数相等.

j a5 — 1

即：C4a5为=0 =■ a3 =10 .

3 1

C5 a5 C4a4 a3 — 0

2 5

法二：对等式：fx=x=比飞1* a2 1 ■ x a s 1 ■ x两边连续对x求导三

次得：60x2 =6a3 24a4（1 - x） 60a5（1 ' x）2，再运用赋值法，令x =-1 得：60=6a3，即33 =10 .

5 5 3 2

法三：f （x） =x = （T 1 x），则a3 =C5（ T）10。

A - - a C6,

B - - a C6,又T B = 4A,

-a C； = 4 - a C^，解之得a? =4，又a> 0 , - a = 2 .

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