江西省临川一中2012届高三4月模拟考试 数学理

江西省临川一中2012届高三4月模拟考试

数学（理）试题

第Ⅰ卷（选择题 共50分）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的．

1．设A、B为非空集合,定义集合A*B为如图非阴影部分表示的集合，若

A?{x|y?2x?x2},B?{y|y?3x,x?0},则A*B=

A．（0，2） C．（1,2]

B．[0,1]∪[2，+∞） D．[0,1]∪（2，+∞）

2.设复数z1?1?i,z2?2?bi，若

z2为纯虚数，则实数b? z1

A．2 B.1 C．?1 D． ?2 3、下列有关命题的说法正确的是 A．命题“若x2 =1，则x=1”的否命题为：“若x2 =1，则x≠1” B．命题“若x=y，则sinx=siny”的逆否命题为真命题 C．命题“存在x∈R，使得x2+x+1<0”的否定是：“对任意 x∈R，均有x2+x+1<0 ” D．“x=―1”是“x2―5x―6=0”的必要不充分条件

4、从一个棱长为1的正方体中切去一部分，得到一个几何体，其三

视图如右图，则该几何体的体积为

7 85C.

6A．5 83D.

4B．

5．阅读右面程序框图，任意输入一次x(0?x?1)与y(0?y?1)，

则能输出数对(x,y)的概率为

·1·

1 41C．

3A．2 33D．

4B．

6．已知函数f(x)?ax?x?b的零点x0?(n,n?1)(n?Z)，其中常数a，b满足2a?3，3b?2，则

n等于 A．1

B．-2

C． -1

2D．2

7．设函数f(x)?xsinx(x?R)在x?x0处取得极值，则(1?x0)(1?cos2x0)的值为

A． 2

B．

1 2C．

1 4D．4

OB=6， △OAB的重心是G，则|OG| 的8.设∠POQ=60°在OP、OQ上分别有动点A，B，若OA·

最小值是

A.1

B．2

C．3

D．4

x2y29.设点P是椭圆2?2?1(a?b?0)上一点，F1,F2分别是椭圆的左、右焦点，I为?PF1F2的

ab内心，若S?IPF1?S?IPF2?2S?IF1F2，则该椭圆的离心率是

A．

1 2B．

2 2C．

3 2D．

1 410．已知函数f(x)???2x?1(x?0)，把函数g(x)=f(x)-x+1的零点按从小到大的顺序排列成一

f(x?1)?1(x?0)?个数列，则该数列的前n项的和Sn,则S10＝

A．210?1 B．29?1 C．45 D．55

第Ⅱ卷（非选择题 共100分）

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把正确答案填写答题卡中的横线上 11．公差为d，各项均为正整数的等差数列中，若a1?1，an?51，则n?d的最小值等于 ． 12．已知曲线f(x)?alnx?bx?1在点（1,f(1)）处的切线斜率为-2，且x?值点，则a-b= .

13．已知(1?x)?(1?x)?(1?x)???(1?x)?a0?a1x?a2x???anx，且

23n2n2是y?f(x)的极3a0?a1?a2???an?126，那么(3x?1n)的展开式中的常数项x·2·

为 .

x2y214．如图，已知F1、F2是椭圆C:2?2?1（a?b?0）的左、右焦点，点P在椭圆C上，线段

abPF2与圆x2?y2?b2相切于点Q，且点Q为线段PF2的中点，则椭圆C的离心率为________． 三、选做题：请考生在下列两题中任选一题作答，若两题都做，则按所做的第一题评阅计分，本题

共5分 4

15．(A)若不等式|x+1|-|x―4|≥a+，对任意的x∈R恒成立，则实数a的取值范围是

a

π?x=a+2t

(B)已知直线l∶? （t为参数），圆C∶?=22 cos(?―)（极轴与x轴的非负半轴重

?y=―1―t 4

合，且单位长度相同），若直线l被圆C截得弦长为2，则a=

四、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤

????????16．（本小题满分12分）△ABC中，角A、B、C对边分别是a、b、c，满足2AB?AC?a2?(b?c)2．

（Ⅰ）求角A的大小； （Ⅱ）求23cos2C4??sin(?B)的最大值，并求取得最大值时角B、C的大小． 23

17. （本小题满分12分）第七届城市运动会2011年10月16日在江西南昌举行 ，为了搞好接待工

作，运动会组委会在某大学招募了12名男志愿者和18名女志愿者。将这30名志愿者的身高编成如右所示的茎叶图（单位：cm）：若身高在175cm以上（包括175cm）定义为“高个子”， 身高在175cm以下（不包括175cm）定义为“ 非高个子 ”，且只有“女高个子”才担任“礼仪小姐”。（I）如果用分层抽样的方法从“高个子”中和“非高个子”中提取5人，再从这5人中选2人，那么至少有一人是“高个子”的概率是多少？（II）若从所有“高个子”中选3名志愿者，用X表示所选志愿者中能担任“礼仪小姐”的人数，试写出X的分布列，并求X的数学期望。 18．（本小题满分12分）已知某几何体的直观图和三视图如下图所示, 其正视图为矩形,左视图为等

腰直角三角形,俯视图为直角梯形.

（Ⅰ）证明：BN⊥平面C1NB1；

（Ⅱ）求平面CNB1与平面C1NB1所成角的余弦值；

C4正视图48左视图C1·3· BMAB1

19．（本小题满分12分）已知等差数列

（Ⅰ）求数列

?an?（n?N+）中,an?1?an,a2a9?232,a4?a7?37.

?an?的通项公式；

?an?的项重新组合，得到新数列?bn?，具体方法如下: b1?a1，b2?a2?a3，

，

（Ⅱ）若将数列

b3?a4?a5?a6?a7b4?a8?a9?a10???a15，…,依此类推，

第n项

bn由相应的

?an?中2n?1项的和组成，求数列

{bn?1n?2}T4的前n项和n.

x2y220．（本小题满分13分） 已知双曲线W：2?2?`1(a?0,b?0)的左、右焦点分别为F1、F2，点

ab??????????N(0,b)，右顶点是M，且MN?MF2??1，?NMF2?120?．

（Ⅰ）求双曲线的方程；

（Ⅱ）过点Q(0,?2)的直线l交双曲线W的右支于A、B两个不同的点（B在A、Q之间），若点H(7,0)在以线段AB为直径的圆的外部，试求△AQH与△BQH面积之比λ的取值范围．

21．（本小题满分14分） 设函数f(x)?1?e?x，函数g(x)?x（其中a?R，e是自然对数的底ax?1

数）．

（Ⅰ）当a?0时，求函数h(x)?f?(x)?g(x)的极值；

（Ⅱ）若f(x)?g(x)在[0,??)上恒成立，求实数a的取值范围； （Ⅲ）设n?N，求证：e*2n??k?1k?1n4?n!?en(n?1)2（其中e是自然对数的底数）．

·4·

参考答案

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）

题号 答案 1 D 2 D 3 B 4 C 5 C 6 C 7 A 8 B 9 A 10 C 二、填空题（本大题共7小题，每小题４分，共28分）

5 3三、选做题：（请考生在下列两题中任选一题作答，若两题都做，则按所做的第一题评阅计分，本

题共5分 ）

11．16 12．10 13． ?540 14．15．(A)a≤-4或-1≤a<0 (B)a=5±5

四、解答题（本大题共6小题，共75分）

16．解 （Ⅰ）由已知2bccosA?a2?b2?c2?2bc，

由余弦定理a2?b2?c2?2bccosA得4bccosA??2bc，∴cosA??∵0?A??，∴A?（Ⅱ）∵A?23cos22?． 32分

1， ·················· 4分 26分

2???，∴B??C，0?C?. 333C4?1?cosC??··········· 8分 ?sin(?B)?23??sin(?B)?3?2sin(C?)． ·32323∵0?C?∴当C??3，∴

?3?C??3?2?， 3?3??2，23cos2C4??······ 12分 ?sin(?B)取最大值3?2，解得B?C?．

23617.解：（1）根据茎叶图，有“高个子”12人，“非高个子”18人，……1分

51?， ……2分 30611所以选中的“高个子”有12??2人，“非高个子”有18??3人．3分

66用分层抽样的方法，每个人被抽中的概率是

用事件A表示“至少有一名“高个子”被选中”，则它的对立事件A表示

2C337“没有一名“高个子”被选中”，则P(A)?1?2 ?1??．…5分

C51010·5·

因此，至少有一人是“高个子”的概率是

7． 6分 10分

3C814P(??0)?3?，

C1255（２）依题意，X的取值为0,1,2,3． 7

12C2C12812C314C84C84P(??1)?3??P(??3)?? P(??2)?， ． …9分 33C1255C1255C1255因此，?的分布列如下：

? p ……10分 0 14 551 28 552 12 553 1 55?E??0?1428121?1??2??3??1． ……12分 5555555518．解：（Ⅰ）证明:∵该几何体的正视图为矩形,左视图为等腰直角三角形,俯视图为直角梯形, ∴

BA,BC,BB1两两垂直.

以BA,BB1,BC分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系如图．--------------2分 则B?0,0,0?,N?4,4,0?,B1?0,8,0?,C1?0,8,4?,C?0,0,4?．

?????????∴BN?NB1??4,4,0????4,4,0???16?16?0， ?????????BN?B1C1??4,4,0???0,0,4??0．------------4分 zCC1BB1Ny∴NB?NB1,BN?B1C1. 又NB1与B1C1相交于B1，

∴BN⊥平面C1NB1. -------------------6分 （Ⅱ）∵BN⊥平面C1NB1,

MAx∴BN是平面C1B1N的一个法向量n1??4,4,0?, ------------8分 设n2??x,y,z?为平面NCB1的一个法向量, Ks5u

??????????·6·

??????????n2?CN?0??x,y,z???4,4,?4??0?x?y?z?0??????????则???,

x?y?0x,y,z?4,?4,0?0????n?NB?0???2??1所以可取n2??1,1,2?． ------------10分 ????????????n1?n24?413???????则cos?n1,n2????．

3|n1|?|n2|16?16?1?1?43???∴所求二面角C－NB1－C1的余弦值为3． ------------12分 319．解：（Ⅰ）由a2a9?232与a4?a7?a2?a9?37 解得:??a2?8?a2?29或?（由于an?1?an，舍去）

a?29a?8?9?9?a2?a1?d?8?a1?5设公差为d，则? ,解得?

a?a?8d?29d?3?1?9所以数列?an?的通项公式为an?3n?2(n?N?)……………………………………4分 （Ⅱ）由题意得:

bn?a2n?1?a2n?1?1?a2n?1?2???a2n?1?2n?1?1

?(3?2n?1?2)?(3?2n?1?5)?(3?2n?1?8)???[3?2n?1?(3?2n?1?1)]

?2n?1?3?2n?1?[2?5?8???(3?2n?1?4)?(3?2n?1?1)]…………………………6分

而2?5?8???(3?2n?1?4)?(3?2n?1?1)是首项为2,公差为3的等差数列的前2n?1项的和,

n?1所以2?5?8???(3?2n?1?4)?(3?2n?1?1)

?22n?1(2n?1?1)1?2??3?3?22n?3??2n

24所以b?3?22n?2?3?22n?3?1?2n?9?22n?1?2n………………………………10分

n484所以b?1?2n?9?22n

n48所以T?9(4?16?64???22n)?9?4(1?4)?3(4n?1)……………………12分

nn881?42·7·

??????????20．解（Ⅰ）由已知M(a,0)，N(0,b)， F2(c,0)，MN?MF2?(?a,b)?(c?a,0)?a2?ac??1，

∵?NMF2?120?，则?NMF1?60?，∴b?3a，∴c?a2?c2?2a， y2解得a?1，b?3，∴双曲线的方程为x??`1．

324分

（Ⅱ）直线l的斜率存在且不为0，设直线l:y?kx?2，设A(x1,y1)、B(x2,y2)， ?3?k2?0,?22???16k?28(3?k)?0,?y?kx?2,??由?2y2得(3?k2)x2?4kx?7?0，则?x?x?4k?0,

122?`1k?3?x??3??7?x1x2?2?0,k?3?解得3?k?7． ① 6分

????????∵点H(7,0)在以线段AB为直径的圆的外部，则HA?HB?0，

????????HA?HB?(x1?7,y1)?(x2?7,y2)?(x1?7)?(x2?7)?y1y2?(1?k2)x1x2?(7?2k)(x1?x2)?53

74k7k2?7?8k2?28k?53k2?159?(1?k)?2?(7?2k)?2?53??0，解得k?2． ②

k2?3k?3k?32由①、②得实数k的范围是2?k?7， 由已知??S?AQHS?BQH8分

????????|AQ|?，∵B在A、Q之间，则QA??QB，且??1， |BQ|4k?(1??)x?,22??k?3∴(x1,y1?2)??(x2,y2?2)，则x1??x2，∴? ??x2?7,?2k2?3?则

(1??)2?16k2163??2?(1?2)， 7k?37k?3(1??)2?10分

∵2?k?7，∴4??故λ的取值范围是(1,7)．

641，解得???7，又??1，∴1???7． 7713分

21．解 （ Ⅰ）f?(x)??e?x?(?x)??e?x，函数h(x)?f?(x)?g(x)?xe?x，h?(x)?(1?x)?e?x，当x?1时，h?(x)?0；当x?1时，h?(x)?0，故该函数在(??,1)上单调递增，在(1,??)上单调递减．∴函数h(x)在x?1处取得极大值h(1)?1． e4分

·8·

（Ⅱ）由题1?e?x?xx在[0,??)上恒成立，∵x?0，1?e?x?[0,1)，∴?0， ax?1ax?11若x?0，则a?R，若x?0，则a??恒成立，则a?0．

x不等式1?e?x?x恒成立等价于(ax?1)(1?e?x)?x?0在[0,??)上恒成立， ······ 6分 ax?1令u(x)?(ax?1)(1?e?x)?x，则u?(x)?a(1?e?x)?(ax?1)e?x?1，

又令?(x)?a(1?e?x)?(ax?1)e?x?1，则??(x)?e?x(2a?ax?1)，∵x?0，a?0． ①当a?0时，??(x)??e?x?0，则?(x)在[0,??)上单调递减，∴?(x)?u?(x)??(0)?0， ∴u(x)在[0,??)上单减，∴u(x)?u(0)?0，即f(x)?g(x)在[0,??)上恒成立； ·· 7分 ②当a?0时，??(x)??a?e?x(x?ⅰ）若2a?1，即0?a??02a?1)． a1时，??(x)?0，则?(x)在[0,??)上单调递减，∴2∴u(x)在[0,??)上单调递减，∴u(x)?u(0)?0，此时f(x)?g(x)在?(x)?u?(x)??(0)?0，

8分 [0,??)上恒成立；

12a?12a?1时，若0?x?时，??(x)?0，则?(x)在(0,)上单调递增，2aaⅱ）若2a?1?0，即a?2a?1)上也单调递增， a∴u(x)?u(0)?0，即f(x)?g(x)，不满足条件． 9分

∴?(x)?u?(x)??(0)?0，∴u(x)在(0,1综上，不等式f(x)?g(x)在[0,??)上恒成立时，实数a的取值范围是[0,]． ·· 10分

2（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当a?x2?x1时，则1?e?x?， ?e?x?12?x2x?122?x2?x2?x2n?24，令， ?x?ln?n，则x??2?2?x2?x2?xn?1n?1nnn444*∴lnn?2?，∴ln(n!)?2n??， ··· 12分 (n?N)，∴?lnk?2n??k?1k?1n?1k?1k?1k?1当x?[0,2)时，e?x?又由（Ⅰ）得h(x)?h(1)，即xe?x?11，当x＞0时，ln(xe?x)?ln??1，∴lnx?x?1， eeln(n!)?ln2?ln3???lnn?1?2???(n?1)?4n?n?ln(n!)?综上得2n??，即ek?12k?1n2nn(n?1)， 22n??k?1k?14?n!?en(n?1)2． 14分

·9·

·10·

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