数学分析课本（华师大三版）-习题及答案02

第二章 数列极限

习题

§1数列极限概念

1?(?1)n1、设an=，n=1，2，…，a=0。

n（1）对下列ε分别求出极限定义中相应的N： ?1=0.1，?2=0.01，?3=0.001；

（2）对?1，?2，?3可找到相应的N，这是否证明了an趋于0？应该怎样做才对； （3）对给定的ε是否只能找到一个N？ 2、按ε—N定义证明：

nn!3n2?n3lim?（1）lim=1；（2）lim；（3）；

n??n?1n??2n2?1n??nn2（4）limsin

n???n=0；（5）limn=0（a>0）。

n??nan3、根据例2，例4和例5的结果求出下列极限，并指出哪些是无穷小数列： （1）lim1nn??；（2）limn??（3）lim3；

n??11lim；（4）； 3nn??n3（5）lim12nn??；（6）limnn??（7）lim10；

12n??n。

4、证明：若liman= a，则对任一正整数k，有liman?k= a。

n??n??5、试用定义1?证明： （1）数列{

n1}不以1为极限；（2）数列{n(?1)}发散。 n(?1)n6、证明定理2.1，并应用它证明数列{1?}的极限是1。

n7、证明：若liman= a，则lim|an|= |a|。当且仅当a为何值时反之也成立？

n??n??8、按ε—N定义证明： （1）lim(n?1?n)=0；

n??（2）limn??1?2?3???n=0；

n3

1

（3）liman=1，其中

n??n?1,n为偶数， nan=

n2?n，n为奇数。 n

§2收敛数列的性质

1、求下列极限：

1?2nn3?3n2?1(?2)n?3n（1）lim；（2）lim；（3）lim；

n??4n3?2n?3n??n??(?2)n?1?3n?1n2（4）lim(n2?n?n)；（5）lim(n1?n2???n10)；

n??n??111?2???n2。 （6）lim22n??111?2???n3332、设liman= a，limbn= b，且aN时有an

n??n??3、设{an}为无穷小数列，{bn}为有界数列，证明：{anbn}为无穷小数列。 4、求下列极限： （1）lim(n??111????)； 1?22?3n(n?1)（2）lim(24282?2n2)；

n??（3）lim(?n??1232n?1???)； 2n22（4）limnn??1?1； n（5）lim(n??111????)； 222n(n?1)(2n)（6）lim(n??1n?12?1n?22???1n?n2)。

5、设{an}与{bn}中一个是收敛数列，另一个是发散数列。证明{an±bn}是发散数列，又问{anbn}和{

an}（bn≠0）是否必为发散数列？ bn2

6、证明以下数列发散：

n（1）{(?1)nn?(?1)n}；（2）{n}；（3）{cos}。 n?147、判断以下结论是否成立（若成立，说明理由；若不成立，举出反例）： （1）若{a2k?1}和{a2k}都收敛，则{an}收敛；

（2）若{a3k?2}，{a3k?1}和{a3k}都收敛，且有相同极限，则{an}收敛 8、求下列极限： （1）limn??132n?1?； 242n?p!（2）limp?1n??nn!；

（3）lim[(n?1)??n?],0???1；

n??（4）lim(1??)(1??2)?(1??2),|?|?1。

n??n9、设a1,a2,?,am为m个正数，证明： limnnna1n?a2??am=max{a1,a2,?,am}。

n??10、设liman= a 。证明：

n??（1）limn??[nan]= a ； nn（2）若a>0，an>0，则lim

n??an=1。

§3数列极限存在的条件

1、利用lim(1?n??1n)= e求下列极限： nn1n?1)；

n??n??n1n1)； （4）lim(1?)n； （3）lim(1?n??n??n?12n1n（5）lim(1?2)。

n??n（1）lim(1?)； （2）lim(1?2、试问下面的解题方法是否正确： 求lim2。

n??1nn解：设an=2及liman= a。由于an= 2an?1，两边取极限（n→∞）得a = 2 a，所以

n??n 3

a = 0。

3、证明下列数列极限存在并求其值：

（1）设a1=2，an?1=2an，n=1，2，…； （2）设a1=c（c>0），an?1=c?an，n=1，2，…；

cn（3）an=（c>0），n=1，2，…。

n!4、利用{(1?1n1n)}为递增数列的结论，证明{(1?)}为递增数列。 nn?15、应用柯西收敛准则，证明以下数列{an}收敛：

sin1sin2sinn?2???n； 222111（2）an=1?2?2???2。

23n（1）an=

6、证明：若单调数列{an}含有一个收敛子列，则{an}收敛： 7、证明：若an>0，且limn??an=l>1，则liman=0。

n??an?18、证明：若{an}为递增（递减）有界数列，则 liman=sup{an}（inf{an}）。

n??又问逆命题成立否？

9、利用不等式b证明：{(1?n?1-an?1>（n+1）an（b-a），b>a>0

1n?11)}为递减数列，并由此推出{(1?)n}为有界数列。 nn1n310、证明：|e-(1?)|<。

nn1n?11n?131n提示：利用上题可知e<(1?)；又易证(1?)<+(1?)。

nnnn11、给定两正数a1与b1（a1>b1），作出其等差中项a2=

a1?b1与等比中项2b2?a1b1，一般地令

an?1?an?bn，bn?1?anbn，n=1，2，…。 2证明：liman与limbn皆存在且相等。

n??n?? 4

12、设{an}为有界数列，记

an=sup{an，an?1，…}，an=inf{an，an?1，…}。

???证明：（1）对任何正整数n，an≥an；

???（2）{an}为递减有界数列，{an}为递增有界数列，且对任何正整数n，m有an≥am；

?????（3）设an和an分别是{an}和{an}的极限，则a≥a；

???（4）{an}收敛的充要条件是a=a。

??

总练习题

1、求下列数列的极限： （1）limnn??n5（2）limn；（3）lim(n?2?2n?1?n)。 n?3；

n??en??3n2、证明：

（1）limn2qn=0（|q|<1）；（2）limn??n??lgn1lim=0（a≥1）；（3）=0。 n??nnan!3、设liman= a，证明：

n??（1）limn??a1?a2???an= a（又问由此等式能否反过来推出liman= a）；

n??nnn??（2）若an>0（n=1，2，…），则lim4、应用上题的结论证明下列各题：

a1a2?an= a。

1?（1）lim（3）limn??111????23n=0；（2）limn??nn； a=1（a>0）

nn??n=1； （4）limnn!1n!n??n=0；

（5）limn??n= e； （6）limn??1?2?3???n=1；

n 5

（7）若limn??bn?1= a（bn>0），则limnbn= a；

n??bnan= d。 nn??（8）若lim（an-an?1）= d，则limn??n??5、证明：若{an}为递增数列，{bn}为递减数列，且lim（an-bn）=0， 则liman与limbn都存在且相等。

n??n??6、设数列{an}满足：存在正数M，对一切n有

An?|a2?a1|?|a3?a2|???|an?an?1|≤M。 证明：数列{an}与{An}都收敛。

7、设a>0，σ>0，a1=

1?1?(a?)，an?1?(an?)，n=1，2，…。 2a2an证明：数列{an}收敛，且其极限为

8、设a1>b1>0，记 an=

?。

an?1?bn?12an?1bn?1，bn=，n=2，3，…。 2an?1?bn?1证明：数列{an}与{bn}的极限都存在且等于a1b1。

9、按柯西收敛准则叙述数列{an}发散的充要条件，并用它证明下列数列{an}是发散的：

（1）an=(?1)n；（2）an=sinn??n??nn?11；（3）an=1????。 22n10、设liman= a，limbn= b。记

Sn= max{an，bn}，Tn= min{an，bn}，n=1，2，…。 证明：（1）limSn= max{ a ，b }；（2）limTn= min{ a ，b }。

n??n??提示：参考第一章总练习题1。

习题答案

§1数列极限概念

3、（1）0，无穷小数列；（2）1；（3）0，无穷小数列；

6

（4）0，无穷小数列；（5）0，无穷小数列；（6）1；（7）1。

§2收敛数列的性质 1、（1）

111；（2）0；（3）；（4）；（5）10；（6）2。 432132n?11?<）； 242n2n?14、（1）1；（2）2；（3）3；（4）1；（5）0；（6）1。 8、（1）0（提示：先证明

（2）1（提示：n!?； ?p!?(n?2)(n?2)!?(n?1)!?n!?2(n?1)!?n!）

p?1n（3）0（提示：先证明0<(n?1)??n??n??1）；

122n2n?1（4）（提示：记pn?(1??)(1??)?(1??)，则(1??)pn?1??）。

1??

§3数列极限存在的条件

1；（2）e；（3）e；（4）e；1。 e13、（1）2；（2）(1?1?4c)；（3）0。

21、（1）

总练习题

1、（1）3；（2）0；（3）0。

典型习题解答

1、（§1第2（1）题）按ε—N定义证明：lim证明：由于|

n??n=1 n?1n111-1|=<，所以对于任给的??0，取N=[]+1，则当n>N时，n?1n?1n?nn||

n??n?1n?12、（§1第4题）证明：若liman= a，则对任一正整数k，有liman?k= a。

n??n??证明：若liman= a，则由定义知：任给??0，存在N，当n>N时，|an- a|

n??是当n>N时，n+k>n>N，所以|an?k-a|

n??3、（§2第1（4）题）lim(n2?n?n)。

n??解：lim(n2?n?n)=limn??nn2?n?nn??=

11?1?1n=

1。 2 7

4、（§2第2题）设liman= a，limbn= b，且aN

n??n??时有an

1（b-a）> 0，根据两个已知极限分别存在的N1、N2， 21当n>N1时，|an- a|

21当n>N2时，|bn- b| b -?0=（a + b）。

21取N = max{N1，N2}，当n>N时，必有an<（a + b）

2证明：取?0=

因此当n>N时有an2时，

11<1-<1，且limn??2nn1=limn1=1。 2n??故由迫敛性定理知，limn??1?1=1。 n6、（§3第3（1）题）证明下列数列

设a1=2，an?1=2an，n=1，2，…；

极限存在并求其值。

证明：已知a1=2<2，设an<2，则an?1=2an<2，所以{an}有上界2； 而

an?12=>1（an<2），于是{an}是递增且有上界的数列。

aann由单调有界定理知{an}极限存在。设其为a ，对等式an?1=2an两边取极限有

a2=2a，解之得a1=0（舍去），a2=2，故liman=2。

n?? 8

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