三自由度并联机器人动力学及仿真

第33卷　第1期　　　　　　　　　　　　三自由度并联机器人动力学及仿真　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　25文章编号:1004-2539(2009)01-0025-03

三自由度并联机器人动力学及仿真

(湖南农业大学工学院,　湖南长沙　410128)　陈文凯　莫亚武

摘要　利用雅可比矩阵建立了一种三自由度并联机器人(3-RSR)动平台的外力、外力矩、惯性力、惯性力矩和重力到驱动关节的映射关系,在合理的假设基础上,运用牛顿欧拉动力学方程得到了动力学数学模型。并且基于虚拟样机技术,利用ADAMS软件对三自由度并联机器人进行动力学仿真。结果表明,用动力学模型计算的驱动力矩值和仿真结果一致,动力学模型精度较高,将其作为驱动力矩控制设计的基础是可行的。

关键词　并联机器人　动力学模型　仿真

台的瞬时螺旋＄C可以表示为一个5个瞬时螺旋的线

性组合。

＄C=β1,i,i+β2,2iiβ4,i＄4,i+

＄5,i(i)

Tωωω,[,,,CxyzCx,Cy,Cz]。

用＄＄＄＄＄r,1,i表示＄1,i、2,i、3,i、4,i、5,i五螺旋

系的一个反螺旋。根据共面两线矢互为反螺旋[3],列

出过Pi矢量＄1,i和点Gi组成的平面方程以及过Qi的

矢量＄5,i的直线方程,求矢量S5,i和平面的交点Di

([xi,yi,zi]T),单位化矢量GiDi,则反螺旋＄r,1,i为(1)0　引言众所周知,并联机器人动力学研究常用的两种方法是拉格朗日法和牛顿欧拉法,大多数学者采用拉格朗日法。本文采用牛顿欧拉法求得3-RSR三自由度并联机器人的动力学数学模型,即驱动力矩τi(i=13)的显性表达式。,的动力学特征,虚。本文用ADAMS软件建立了3-RSR并联机器人的虚拟样机模型并进

行了动力学仿真分析,验证数学模型的正确性和精确

性。＄Unit(GiDi)]r,1,i=[Unit(GiDi);CGi×

(i=1～3)　　　　　(2)

1　外力、外力矩到驱动关节的映射

3-RSR并联机器人的典型机构如图1所示。3其中,＄r,1,i是一个线矢量,用＄r,1,i作方程式(1)两边的互易积＄r,1,i。＄C=0,并写成矩阵的形式

JC＄C=0(3)个驱动连杆(长为L)通过旋转副(轴线S1,i)连接到基

础平台,另外3个被动连杆

(长为l)通过3个旋转副

(轴线S5,i)连接到动平台,其中,JC是一个3×6的矩阵,称为约束雅可比矩阵。锁住每条支链的驱动关节Pi,求另一反螺旋＄r,2,i,让该螺旋通过点Gi和点Qi即可,即

＄Unit(GiQi)]r,2,i=[Unit(GiQi);CGi×

i=1～3　　　　　(4)每个驱动连杆通过球铰与相对应的被动连杆相连接。基

坐标系O-xyz、动坐标系C

-uvw的原点在两平台(等 用＄r,2,i作方程式(1)两边的互易积＄r,2,i。＄C=β1,i＄r,2,i。＄1,i,并写成矩阵的形式

图1　3-RSR三自由度

并联机器人 边三角形)几何中心,x轴、u轴分别与矢量OP1(长为β=Ja＄C

合并式(5)和式(3)得

β=J＄C

(5)βR)、CQ1(长为r)重合。1,i(i=1～3)表示输入角。通过运动学研究,驱动连杆、被动连杆和动平台的位置是已知量,运用螺旋理论可求3-RSR并联机器人的雅可比矩阵[1][2]40-63其中,Ja是一个3×6的矩阵,称为驱动雅可比矩阵。(6)。球铰Gi等同于3个相交T其中,β=[β6矩阵,称1,1,β1,2,β1,3,0,0,0];J是6×

的不共面的旋转副(轴线S2,i,S3,i,S4,i),如图1,动平为完全雅可比矩阵,由Ja,JC组成。

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　机械传动　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　2009年26

按6个变量Wx、Wy、Wz、Cx、Cy、Cz展开式(3)成3

个等式,重新排列得

ω=JdVC(7)2maL;τmc是动平台和被动连杆集中于Qi点的一半2

合并(7)和VC的同等变换VC=IVC(I为单位矩

阵)得[ω;VC]=JyVC,并代入式(6)

β0=JJyVC=JbVC

行,即为雅可比矩阵。

β=J3VC 质量的惯性力和惯性力矩以及施加在动平台上的外力和外力矩到驱动关节的映射;mb表示驱动连杆的质量;ma表示被动连杆的质量;mc表示动平台的质量;τ可设m=mamc。mc用式子表示如下2T-1Tτ[m(-ac)+JdIO(-εmc=(J3)C)-TTJdω×IOω+f+Jdn](8)其中,Jb是6×3的矩阵,让J3(3×3)表示Jb的1、2、3(9)(14)

运用虚功原理求动平台所受外力和外力矩到驱动

T关节的映射关系[2]64-90。让τ=[τ1,τ2,τ3]表示驱

Tβ=[Δβββ动力矩,Δ1,Δ2,Δ3]表示和驱动关节相联系

T

μ=[Δμx,Δμy,Δμ的虚位移,Δz]表示动平台瞬时旋其中,矢量ac表示动平台相对基坐标系的加速度;矢量εC表示动平台相对基坐标系的角加速度;IO表示动平台(包括被动连杆另一半质量)相对基坐标系的转T动惯量。如果旋转矩阵用ORC表示,则IO=ORCIOCRC,IC是一个3×3对角矩阵,对角元素为

mcr2+mar2;IYY=cr2+mar2;244

ZZ=mcr+a2

))IXX=μ=ωΔt,Δc=[Δ转轴的虚角位移,即Δcx,Δcy,Δcz]Δt。根据虚功表示动平台中心的虚位移,即Δc=VC原理可写成下式TTτΔβ-fTΔμ=0(10)c-nΔ

μ=JdΔc,Δβ=J3Δc,由式(9)和式(7)得Δ

式(11),约掉任意量Δc后,Tτ-f-JTJ3dn=0T1 Tτ2=IPβ2+(J3)-1ε[mac+JTd(IOC+(11)

(12)ω×IOω)-f-JTR(mb+dn]+2

cos1T-1ma)gcosβm0=02+(J3)

cos 则Tτ=(J3)-1(fTd2　用牛顿欧拉法建立动力学模型下面运用牛顿欧拉动力学方程和达朗贝尔原理求

动力学模型。

按照惯例,为了简化动力学模型,作以下假设[4]

(1)不考虑关节的摩擦;

(2)被动连杆的质量被平均分为两部分,集中盂(15)对vC=J3-1β和 ω=JdvC进行求导可得aC和εC(-1) (),ε(16)aC=vC=JdaC+dtdtC将式(16)代入式(15),合并同类项,驱动力矩的表-1J3β+球铰Gi点和动平台的Qi点。

由3条支链对于驱动关节点Pi的力矩平衡方程

6Mp,i=0可得下式

6Mp,11β1,1

达式还可写成τ=M(β)β+C(β,β)β+G(β) (17)3　虚拟样机及动力学仿真)+τR(mb+mc-2β6Mp,2=τ2+IP(-1,2

6Mp,β1,cosβ1,10

T-1(ma+mc)0=0(13)ma)gcosβ1,2-(J3)2cosβ1,其中,6Mp,i是施加在Pi的总力矩,i=1～3;τi是驱

动力矩,i=1～3;IP是驱动连杆和被动连杆集中于Gi

点的一半质量对驱动关节的转动惯量,IP=2mbL+3为了既反映并联机器人的动力学特征又能将问题尽量简化,本文采用ADAMS/View的主工具箱进行建模和动力学仿真[5-6]。首先用主工具箱的几何建模工具集建立了比较简单的3-RSR并联机器人的实体模型。实体模型的主要结构参数有4个:(如图1)上、下平台的尺寸R、r和驱动连杆、被动连杆的长度L、l,可将其进行参数化,因为结构参数的变化会引起工作空间的变化,可根据实际需要确定结构参数,也可进行优化设计。在这里只是为了验证动力学数学模型的正确性和精确性,设R=0.12m;L=0.12m;r=0.1m;l=0.1m。

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用MATLAB软件将运动学、动力学数学模型编为计算程序,在与仿真同样的已知条件下(1s时的情况),得到运动学和动力学的计算结果,先比较了动平台的位置、速度、角速度、加速度、角加速度等,两者结

Tττ果完全一致。驱动力矩的计算结果为[τ1　2　3]

=[-1.5440　-1.0150　-0.6867]T,负号表示驱动力矩的方向和运动相反。可见两者相差最大为千分之

图2　3-RSR并联机器人

虚拟样机模型图图3　3-RSR并联机器人虚拟样机1秒仿真位置图一,这说明动力学数学模型是正确的,被动连杆的质量被平均分为两部分且集中于连杆两端的假设对动力学

模型的精确性影响很小,动力学模型的精度较高。

建立几何模型后,用主工具箱的连接工具集在连杆和上、下平台之间加上转动副,在驱动连杆和被动连杆之间加上球副。用运动工具集在下面3个转动副分别加上转动运动,设驱动连杆1做恒角加速度运动

2(MOTION1)β3做恒1,1=0;β1,1=1.2r/s;驱动连杆2、

4　结束语本文建立了3-RSR三自由度并联机器人的动力学数学模型,并且用ADAMS软件建立了虚拟样机模型并进行了动力学仿真分析,:(1)(,动力学数学模型是正确的。

(3)被动连杆的质量被平均分为两部分且集中于连杆两端的假设对动力学模型的精确性影响很小,动力学模型的精度较高。

(4)用动力学数学模型作为驱动力矩控制设计的基础是可行的。

参考文献角速度运动(MOTION2、MOTION3)β1,2=0.3r/s;β1,3=0.15r/s。最后用力工具集在动平台中心加上外力,该力垂直于动平台向下且和动平台一起运动。设外力f=-20N,随动平台一起运动,面,由于在求驱动力矩时,力(12),故设外力矩n所示的3-RSR,(或外力矩)。接下来可用主工具箱的仿真工具进行动力学仿真。设仿真时间为1s,步长为0.005。图3是起始位置(图2)仿真1s时的位置图,由动力学数学模型可以看

出,运动学是动力学基础,限于篇幅,在这里只列出动力学的仿真结果———驱动力矩图

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[6]郭旭伟,王知行.基于ADAMS的并联机床运动学和动力学仿真[J].图4中,实线表示驱动关节1的驱动力矩的实时大

τ小,两条虚线分别表示驱动力矩τ2、3的实时大小,在

1s时,τm,τm,τm。1=1.543N 2=1.015N 3=0.6868N 中国制造业信息化,2003,32(7):119-122.收稿日期:20080416

作者简介:陈文凯(1968-),男,湖南省邵阳市人,讲师,硕士

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/9ag4.html