推荐学习K122018-2019学年高中数学人教B版必修二学案：2.4 空间直角坐标系

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2.4 空间直角坐标系

[学习目标] 1.了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标系刻画点的位置.2.掌握空间两点的距离公式.

[知识链接]

在平面直角坐标系中，点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的中点坐标为?为?x2－x1?2＋?y2－y1?2. [预习导引]

1.空间直角坐标系及相关概念

为了确定空间点的位置，我们在平面直角坐标系xOy的基础上，通过原点O，再作一条数轴z，使它与x轴，y轴都垂直，这样它们中的任意两条都互相垂直；轴的方向通常这样选择：从z轴的正方向看，x轴的正半轴沿逆时针方向转90°能与y轴的正半轴重合.这时，我们说在空间建立了一个空间直角坐标系Oxyz，O叫做坐标原点，每两条坐标轴分别确定的平面yOz、xOz、xOy叫做坐标平面. 2.空间中点的坐标

过点P作一个平面平行于yOz(垂直于x轴)，这个平面与x轴的交点记为Px，它在x轴上的坐标为x，这个数x叫做点P的x坐标.

过点P作一个平面平行于xOz(垂直于y轴)，这个平面与y轴的交点记为Py，它在y轴上的坐标为y，这个数y叫做点P的y坐标.

过点P作一个平面平行于坐标xOy(垂直于z轴)，这个平面与z轴的交点记为Pz，它在z轴上的坐标为z，这个数z就叫做点P的z坐标.

这样对空间的一点P，定义了三个实数的有序数组作为它的坐标，记作P(x，y，z)，其中x，y，z也可称为点P的坐标分量.

3.三个坐标平面把空间分为八部分，每一部分都称为一个卦限，在每个卦限内，点的坐标各分量的符号是不变的. 4.空间两点的距离公式

空间两点A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)的距离d(A，B)＝|AB|＝?x2－x1?2＋?y2－y1?2＋?z2－z1?2. 特别地，空间任意一点P(x，y，z)与原点的距离d(O，P)＝|OP|＝x2＋y2＋z2. x1＋x2y1＋y2??2，2?，两点的距离

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要点一 求空间中点的坐标

例1 建立适当的坐标系，写出底边长为2，高为3的正三棱柱的各顶点的坐标.

解 以BC的中点为原点，BC所在的直线为y轴，以射线OA所在的直线为x轴，建立空间直角坐标系，如图.

由题意知，AO＝

3

×2＝3，从而可知各顶点的坐标分别为A(3，0,0)，B(0,1,0)，C(0，2

－1,0)，A1(3，0,3)，B1(0,1,3)， C1(0，－1,3).

规律方法 (1)题目若未给出坐标系，建立空间直角坐标系时应遵循以下原则： ①让尽可能多的点落在坐标轴上或坐标平面内； ②充分利用几何图形的对称性.

(2)求某点的坐标时，一般先找这一点在某一坐标平面上的投影，确定其两个坐标，再找出它在另一轴上的投影(或者通过它到这个坐标平面的距离加上正负号)确定第三个坐标. 跟踪演练1 画一个正方体ABCDA1B1C1D1，以A为坐标原点，以棱AB，AD，AA1所在的直线为坐标轴，取正方体的棱长为单位长度，建立空间直角坐标系. (1)求各顶点的坐标； (2)求棱C1C中点的坐标； (3)求面AA1B1B对角线交点的坐标.

解 建立空间直角坐标系如图所示，且正方体的棱长为1.

(1)各顶点坐标分别是A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,1,0)，D(0,1,0)， 推荐学习K12资料

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A1(0,0,1)，B1(1,0,1)，C1(1,1,1)，D1(0,1,1). 11，1，?. (2)棱CC1的中点为M?2??11

，0，?. (3)面AA1B1B对角线交点为N?2??2要点二 求空间中对称点的坐标

例2 在空间直角坐标系中，点P(－2,1,4). (1)求点P关于x轴的对称点的坐标； (2)求点P关于xOy平面的对称点的坐标； (3)求点P关于点M(2，－1，－4)的对称点的坐标.

解 (1)由于点P关于x轴对称后，它在x轴的分量不变，在y轴、z轴的分量变为原来的相反数，所以对称点为P1(－2，－1，－4).

(2)由于点P关于xOy平面对称后，它在x轴、y轴的分量不变，在z轴的分量变为原来的相反数，所以对称点为P2(－2,1，－4).

(3)设对称点为P3(x，y，z)，则点M为线段PP3的中点，由中点坐标公式，可得x＝2×2－(－2)＝6，

y＝2×(－1)－1＝－3，z＝2×(－4)－4＝－12， 所以P3(6，－3，－12).

规律方法 任意一点P(x，y，z)，关于原点对称的点是

P1(－x，－y，－z)；关于x轴对称的点是P2(x，－y，－z)；关于y轴对称的点是P3(－x，y，－z)；关于z轴对称的点是P4(－x，－y，z)；关于xOy平面对称的点是P5(x，y，－z)；关于yOz平面对称的点是P6(－x，y，z)；关于xOz平面对称的点是P7(x，－y，z). 求对称点的问题可以用“关于谁对称，谁保持不变，其余坐标相反”的口诀来记忆. 跟踪演练2 求点A(1,2，－1)关于坐标平面xOy及x轴的对称点的坐标.

解 如图所示，过点A作AM⊥坐标平面xOy交平面于点M，并延长到点C，使AM＝CM，

则点A与点C关于坐标平面xOy对称，且点C(1,2,1). 推荐学习K12资料

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/9afh.html