20010年普通高等学校招生全国统一考试数学卷(广理)含详解

绝密★启用前 试卷类型：A

2010年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)

数学(理科)

本试卷共4页，21小题，满分150分。考试用时120分钟。

注意事项：

1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。

2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。

4．作答选做题时．请先用2B铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答。漏涂、错涂、多涂的．答案无效。

5．考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．若集合A x| 2 x 1 ，B x|0 x 2 ，则集合AIB

A． x| 1 x 1 B

C

D

2．若复数z1 1 i，z2 3 i，则z1 z2

A．4 B．2+ i C．2+2 i D．3

3．若函数f(x) 3 3与g(x) 3 3的定义域均为R，则

A．f(x)与g(x)均为偶函数 B．f(x)为奇函数，g(x)为偶函数

C．f(x)与g(x)均为奇函数 D．f(x)为偶函数．g(x)为奇函数

4．已知数列 an 为等比数列，Sn是是它的前n项和,若a2 a3 2a1，且a4与2a7的等差中项为x xx x5，则S5 4

A．35 B．33 C．3l D．29

5．“m 1”是“一元二次方程x2 x m 0有实数解”的 4

A．充分非必要条件 B．充分必要条件

C．必要非充分条件 D．非充分非必要条件

6．如图1，VABC为正三角形，AA'//BB'//CC'，CC 平面ABC，且3AA' '3BB' 2CC' AB，则多面体ABC A'B'C'的正视图（也称主视图）是

7． 已知随机变量X服从正态分布N(3,1)，且P(2 X 4) 0.6826，则P(X 4)

A．0.1588 B．0.1587 C．0.1586 D．0.1585

8．为了迎接2010年广州亚运会，某大楼安装5个彩灯，它们闪亮的顺序不固定。每个彩灯闪亮只能是红、橙、黄、绿、蓝中的一种颜色，且这5个彩灯闪亮的颜色各不相同，记这5个彩灯有序地闪亮一次为一个闪烁。在每个闪烁中，每秒钟有且只有一个彩灯闪亮，而相邻两个闪烁的时间间隔均为5秒。如果要实现所有不同的闪烁，那么需要的时间至少是

A．1205秒 B．1200秒 C．1195秒 D．1190秒

二、填空题：本大题共7小题．考生作答6小题．每小题5分，满分30分

（一）必做题(9～13题)

9． 函数，f(x) lg(x 2)的定义域是．

rrr10．若向量a (1,1,x)，b (1,2,1)，c (1,1,1)，

rrr满足条件(c a) (2b) 2，则x ．

11．已知a，b， c分别是△ABC的三个内角A，B，

C所对的边，若a=1，b

=

sinC

12．若圆心在x

轴上、半径为的圆O位于y轴

左侧，且与直线x y 0相切，则圆O的方程

是 ．

13．某城市缺水问题比较突出，为了制定节水管理

办法，对全市居民某年的月均用水量进行了抽样调查，其中n

位居民的月均用水量分别为，A+C=2B，则

x1,L,xn (单位：吨)．根据图2所示的程序框图，若n 2，且x1，x2分别为1，2，则输出的结果s为 ．

（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）

14．（几何证明选讲选做题）如图3，AB,CD是半径为a的 2a圆O的两条弦，他们相交于AB的中点P，PD ， 3

OAP 30 ，则CP＝_________．

15．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系（ρ，θ）

（0 ＜2 ）中，曲线 2sin 与 cos 1的交点 D图3 的极坐标为______________．

三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．

16．（本小题满分l4分）

已知函数f(x) Asin(3x )(A 0,x ( , ),0

)

值4。

（1）求的最小正周期；

（2

（ 3）若

17．（本小题满分12分）

某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情

况，随机抽取该流水线上的40件产品作为样本称出它

们的重量（单位：克），重量的分组区间为（490,495]，

（495,500]，……，（510,515]，由此得到样本的频率

分布直方图，如图4所示。

（1）根据频率分布直方图，求重量超过505

克的产品数量。

（2）在上述抽取的40件产品中任取2件，

设Y为重量超过505克的产品数量，

求Y的分布列。

（3）从流水线上任取5件产品，求恰有2

件产品合格的重量超过505克的概率。

18．(本小题满分14分)

AEC是半径为a的半圆，AC为直径，点E为»AC的中点，点B和点C为线如图5，¼

段AD的三等分点，平面AEC外一点F

满足FB FD

，EF

（1）证明：EB FD；

（2已知点Q,R为线段FE,FB上的点， 。

FQ 22FE，FR FB，求平面BED与平面RQD所成二面角的正弦值。 33

19.（本小题满分12分）

某营养师要为某个儿童预定午餐和晚餐。已知一个单位的午餐含12个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和6个单位的维生素C；一个单位的晚餐含8个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和10个单位的维生素C。另外，该儿童这两餐需要的营养中至少含64个单位的碳水化合物，42个单位的蛋白质和54个单位的维生素C。

如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是2.5元和4元，那么要满足上述的营养要求，并且花费最少，应当为该儿童分别预订多少个单位的午餐和晚餐?

20.（本小题满分14分） 已知双曲线x y2 1的左、右顶点分别为A1,A2，点P(x1,y1)，Q(x1, y1)是双曲2

线上不同的两个动点。

（1）求直线A1P与A2Q交点的轨迹E的方程；

（2若过点H(0,h)(h 1)的两条直线l1和l2与轨迹E都只有一个交点，且l1 l2，求h的值。

21.(本小题满分14分)

设A(x1,y1)，B(x2,y2)是平面直角坐标系xOy上的两点，现定义由点A到点B的一种折线距离 (A,B)为

(A,B) |x2 x1| |y2 y1|

对于平面xOy上给定的不同的两点A(x1,y1)，B(x2,y2),

（1）若点C(x,y)是平面xOy上的点，试证明 (A,C) (C,B) (A,B);

（2）在平面xOy上是否存在点C(x,y)，同时满足

① (A,C) (C,B) (A,B) ② (A,C) (C,B)

若存在，请求出所有符合条件的点，请予以证明。

2010年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)

数学(理科)参考答案

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．

1．D．【解析】AIB {x| 2 x 1}I{x|0 x 2} {x|0 x 1}．

2．A．【解析】z1 z2 (1 i) (3 i) 1 3 1 1 (3 1)i 4 2i

3．B．【解析】f( x) 3 x 3x f(x),g( x) 3 x 3x g(x)．

4．C．【解析】设{an}的公比为q，则由等比数列的性质知，a2 a3 a1 a4 2a1，即a4 2。 由a4与2a7的等差中项为55151知，a4 2a7 2 ， a7 (2 a4) ． 44244

∴q3 a7111 ，即q ．a4 a1q3 a1 2， a1 16，S5 a482816(1 1)5 31. 1 2

1 4m1 0 m ． 44

111（或由 0得1 4m 0， m 。）m m ， 反之不成立，故选A。 4445．A．【解析】由x2 x m 0知，(x )2

6．D．

7．B．【解析】P(X 4) 1211[1 P(2 X 4)] (1 0.6826) 0.1587. 22

8．C．【解析】共有5！=120个不同的闪烁，每个闪烁时间为5秒，共5×120=600秒；每两个闪烁之间的间隔为5秒，共5×（120—1）=595秒。那么需要的时间至少是600＋595=1195秒。

二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．

9． (2, )．【解析】由x 2 0，得x 2，所以函数的定义域为(2, )．

vvvvv10．2．【解析】c a (0,0,1 x)，(c a) (2b) 2(0,0,1 x) (1,2,1) 2(1 x) 2，

解得x 2．

11．【解析】由A+C=2B及A+ B+ C=180°知，B =60°．

1．

即．由a b知，，则，C 180o A B 90o

于是sinC sin90 1．

13．19． 14．a．【解析】因为点P是AB的中点，由垂径定理知， OP AB. 48

. 在Rt

OPA中，BP AP acos30

由相交弦定理知，BP AP CP DP，

D29即a a CP a，所以CP a． 2238

15

． x 1,3 22【解法1】两条曲线的普通方程分别为x y 2y,x 1．解得 )．y 1.4

x cos ,3 由 得点(

1,1)的极坐标为)． y sin 4

【解法2】由 2sin cos 1

Q0 ＜2 0 2 ＜4 ，

2

3

2（舍）

。三、解答题：本大题共6小题，满分80分。解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．

3331． sin(2 ) ，cos2 ，1 2sin2 ，sin2

，sin 525555

17．（1）重量超过505克的产品数量是

40 (0.05 5 0.01 5) 12件；

（2）Y的所有可能取值为0，1，2；

2112C28C12C28C12635611P(Y 0) 2 P(Y 1) ，P(Y 1) ，， 22C40130C40130C40130

Y的分布列为

（3）从流水线上任取5件产品，恰有2件产品合格的重量超过505克的概率为

12 1128 27 26 CC 21 11 231。 537 19703C40

5 4 3 2 1212328

AEC是半径为a的半圆，AC为直径，点E为»AC的中18．（1）证明： 连结CF，因为¼

点，所以EB AC。

在RT

BCE中，EC 。

在

BDF中，BF DF ， BDF为等腰三角形，且点C是底边BD的中点，故CF BD。

在

CEF中，CE2 CF2 )2 (2a)2 6a2 EF2，所以 CEF为Rt ，且 CF EC。

因为CF BD，CF EC，且CEIBD C，所以CF 平面BED，

而EB 平面BED， CF EB。

因为EB AC，EB CF，且ACICF C，所以EB 平面 ，

而 EMBED EQUATION.DSMT4 平面

EMBED EQUATION.DSMT4 A ， EMBED

EQUATMOO.DS艍TT 。-（ ）设平面 EMBGD

E ATION S T< 与平面BQD的交线为

0E]BEL E u`tio 耮臄QMT4 .

（ ）设平面 EMBGD E ATION S T< 与平面BQD的交线为0E]BEL E u`tio 耮臄QMT4 .

由 MBEい Eyu téon&ÄSō 4 ， MM ED E} a i息 .DSMT4 ，知 (

而EB 鍢EMBEÄ õatioЮD 聍T4 12，QR// 平面 EMBED Equation. SET4 耔BDE，

而噳面BD?? 面S DMBÕD D e tion. SMT4 RQD??=( ??，

∴.

由（1）知，上午 UэBEDРE uation.D MT4 BE08 EM Eń E uation&LSMT4 平面BDF??，∴DG 平面12，

而 平面BDF， 上午 EMBEф E uation.DSMT4 10，?? EMBED Equation.DSMT4 DG DQ，

∴ RDB是平面BED与平面RQD所成二面角的平面角．

在Rt

BCF中，CF 2a，

sin RBD FCcos RBD ．

BF12，

FB知，BR FB 333在 BDR中，由FR

由余弦定理得，RD

3 aBRRD 由正弦定理得，，即 sin RDBsin RDBsin

RBD，

sin RDB

故平面A x| 2 x 1与平

面

??．解：设为该儿童分别预订x,y个单位的午餐和晚餐，共花费z元，则z 2.5x 4y，且满足以下条件 12x 8y 64 3x 2y 16 6x 6y 42 6x 10y 54 即 x y 7

3x 5y 27

x,y 0 x,y 0作直线l:2.5x 4y 0，平移直线l至l0，

当l0 经过C点时，可使z达到最小值。 27由 3x 5y

x y 7 x 4

y 3 即C(4,3)，

此时z 2.5 4 4 3 22，

答: 午餐和晚餐分别预定4个单位和3个单位，花费最少z=22元。

20．（1）解：由A1

,A

2为双曲线的左右顶点知，A1(

A2

P:y x，A2 y2A121

2Q:y x ，两式相乘y 2(x

x1 2 2)， 因为点P(xx2y2

11,y1)在双曲线上，所以2 y21

1 1，即x2 1，故y2 1(x2 2)，

1 222

所以x2x2

2 y2 1，即直线A1P与A2Q交点的轨迹E的方程为2 y2 1.

（2）解法1：设l1:y kx h，则由l1 l2知，l2:y 1

kx h。

将lx2

1:y kx h代入2 y2 1得 x

E

理

由EquationDSMT????A x| 2 x 1 与E只有一个交点知，

， 1

2，消去h得1 kk22A x 2 x 1，即 从而[来h，又h，h。

EMBED??EquationDSMT????h。

解法??：由题意知直线222A x| 2 x 1 和l2都是椭圆E的切线，由对称性知，两直

x2

线的倾斜角分别为45 和135 ，设其方程为y x h，代入椭圆E的方程 y2 1得 2

x2

( x h)2 1，即3x2 4hx 2h2 2 0 2

由 0得16h 4 3 (2h 2) 0，即h2 3， 22

Q

h 1， h

21．（1）证明：由绝对值不等式知，

(A,C) (C,B) |x x1| |x2 x| |y y1| |y2 y

|(x x1) (x2 x)| |(y y1) (y2 y)|

=|x2 x1| |y2 y1|

= (A,B)

当且仅当(x x1) (x2 x) 0且(y y1) (y2 y) 0时等号成立。

（2）解：由 (A,C) (C,B) (A,B)得

(x x1) (x2 x) 0且(y y1) (y2 y) 0 （Ⅰ）

由 (A,C) (C,B)得 |x x1| |y y1| |x2 x| |y2 y| （Ⅱ）

因为A(x1,y1)，B(x2,y2)是不同的两点，则：

若x1 x2且 EMBED

由（Ⅰ）得????x x1 x2且y1 y y2，

由（Ⅱ）得 y y1 y2， 2

x1 x2y1 y2,)满足条件； 22

x xy y2)满足条件； 2 若x1 x2且y1 y2，同理可得：只有AB的中点C(12,1

22此时，点C是线段AB的中点，即只有点C(

3 若x1 x2且y1 y2，不妨设x1 x2且y1 y2，

由（Ⅰ）得x1 x x2且y1 y y2， x1 x2y1 y2， 22

此时，所有符合条件的点C的轨迹是一条线段，即：过AB的中点

x xy y2x xy y2夹在矩形AA1BB1之间(12,1)，斜率为 1的直线x y 12 1

2222由（Ⅱ）得x y

的部分，其中A(x1,y1)，A1(x2,y1)，B(x2,y

2)

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