高中数学北师大选修1-2练习：第一章 2.1 条件概率与独立事件

[A 组 基础巩固]

1．某人一周晚上值班2次，在已知他星期日一定值班的前提下，其余晚上值班所占的概率为

( )

A.13

B.14

C.15

D.16

解析：本题为条件概率，在星期日一定值班的前提下，只需再从其余6天中选一天值班即可，

概率为16

. 答案：D

2．甲、乙两人独立解答某道题，解不出来的概率分别是a 和b ，那么甲、乙两人都解出这道题的概率是( )

A ．1－ab

B ．(1－a )(1－b )

C ．1－(1－a )(1－b )

D ．a (1－b )＋b (1－a )

解析：设甲解出该题为事件A ，乙解出该题为事件B ，则P (A )＝a ，P (B )＝b ，

∴P (AB )＝P (A )·P (B )＝(1－a )(1－b )．

答案：B

3．打靶时，甲每打10次可中靶8次，乙每打10次可中靶7次，若两人同时射一个目标，则他们都中靶的概率是( )

A.1425

B.1225

C.34

D.35 解析：P ＝810×710＝56100＝1425

. 答案：A

4．某大街在甲、乙、丙三处设有红绿灯，汽车在这三处因遇绿灯而通行的概率分别是为13、12

、23

，则汽车在这三处因遇红灯而停车一次的概率为( ) A.19

B.16

C.13

D.718

解析：设汽车分别在甲、乙、丙三处通行为事件A 、B 、C ，则P (A )＝13，P (B )＝12，P (C )＝23. 停车一次即为事件A BC ＋A B C ＋AB C ， 故概率为P ＝????1－13×12×23＋13×????1－12×23＋13×12×????1－23＝718

. 答案：D

5.同时转动如图所示的两个转盘，记转盘甲得到的数为x ，转盘乙得到的数为y ，

x ，y 构成数对(x ，y )，则所有数对(x ，y )中满足xy ＝4的概率为( )

A.116

B.18

C.316

D.14 解析：满足xy ＝4的所有可能如下：

x ＝1，y ＝4；x ＝2，y ＝2；x ＝4，y ＝1.

所以，所求事件的概率

P ＝P (x ＝1，y ＝4)＋P (x ＝2，y ＝2)＋P (x ＝4，y ＝1)

＝14×14＋14×14＋14×14＝316

. 答案：C

6．在一次三人象棋对抗赛中，甲胜乙的概率为0.4，乙胜丙的概率为0.5，丙胜甲的概率为0.6，比赛顺序如下：第一局，甲对乙；第二局，第一局胜者对丙；第三局，第二局胜者对第一局败者；第四局，第三局胜者对第二局败者，则乙连胜四局的概率为________．

解析：乙连胜四局，即乙先胜甲，然后胜丙，接着再胜甲，最后再胜丙，∴概率P ＝(1－0.4)×0.5×(1－0.4)×0.5＝0.09.

答案：0.09

7．由长期统计资料可知，某一地区在4月份下雨(记作事件A )的概率为415

，刮风(用B 表示)的概率为715，既刮风又下雨的概率为110

，则P (A |B )＝________，P (B |A )＝________. 解析：P (A |B )＝P (AB )P (B )

＝1

10715

＝314， P (B |A )＝P (AB )P (A )

＝1

10415

＝38. 答案：314 38

8．若A ，B 为相互独立事件，则下列式子成立的是__________．(把你认为正确的序号都填上)

①P (AB )＝P (A )P (B )；②P (A B )＝P (A )P (B )；

③P (A B )＝P (A )－P (A )P (B )；④P (A B )＝1－P (A )－P (B )＋P (A )P (B )．

解析：①②正确．

③P (A B )＝P (A )P (B )＝P (A )[1－P (B ))]

＝P (A )－P (A )P (B )．

④P (A B )＝P (A )P (B )＝[1－P (A )][1－P (B )]

＝1－P (A )－P (B )＋P (A )P (B )．

答案：①②③④

9．甲、乙同时向一敌机炮击，已知甲击中敌机的概率为0.6，乙击中敌机的概率为0.5.

(1)求甲、乙都未击中敌机的概率；

(2)求敌机被击中的概率．

解析：设“甲击中敌机”为事件A ，“乙击中敌机”为事件B ，“甲、乙都未击中敌机”为事件C ，“敌机被击中”为事件D .由题意可知A ，B 相互独立，则A 与B 也相互独立．

(1)P (C )＝P (A B )＝P (A )·P (B )

＝(1－0.6)×(1－0.5)＝0.2.

(2)P (D )＝1－P (A B )＝1－0.2＝0.8.

10．甲、乙两地都位于长江下游，根据一百多年的气象记录，知道甲、乙两地一年中雨天占的比例分别为20%和18%，两地同时下雨的比例为12%.问：

(1)乙地为雨天时，甲地为雨天的概率为多少？

(2)甲地为雨天时，乙地也为雨天的概率为多少？

解析：设A ＝“甲地为雨天”，B ＝“乙地为雨天”，

则根据题意有P (A )＝0.20，P (B )＝0.18，P (AB )＝0.12，

所以(1)P (A |B )＝P (AB )P (B )＝0.120.18

≈0.67， (2)P (B |A )＝P (AB )P (A )＝0.120.20

＝0.60. [B 组 能力提升]

1．据统计，大熊猫的平均寿命是12～20岁，一只大熊猫从出生起，活到10岁的概率为0.8，活到20岁的概率是0.4，北京动物园的大熊猫“妞妞”今年已经10岁了，它能活到20岁的概率为( )

A ．0.32

B ．0.5

C ．0.4

D ．0.8

解析：设A ＝“能活到10岁”，B ＝“能活到20岁”．即P (A )＝0.8，P (B )＝0.4，所求概率为P (B |A )，由于B ?A ，故AB ＝B ，

∴P (B |A )＝P (AB )P (A )＝P (B )P (A )＝0.40.8＝0.5. 答案：B 2.在如图所示的电路图中，开关a ，b ，c 闭合与断开的概率都是12，且是相互独立的，则灯亮的概率是( ) A.18 B.38 C.14 D.78

解析：设开关a ，b ，c 闭合的事件分别为A ，B ，C ，

则灯亮这一事件E ＝ABC ∪AB C ∪A B C ，且A ，B ，C 相互独立，ABC ，AB C ，A B C 互斥， 所以P (E )＝P (ABC )∪P (AB C )∪P (A B C )

＝P (ABC )＋P (AB C )＋P (A B C )

＝P (A )P (B )P (C )＋P (A )P (B )P (C )＋P (A )P (B )P (C )

＝12×12×12＋12×12×????1－12＋12×?

???1－12×12＝38. 答案：B

3．甲、乙、丙3人投篮，投进的概率分别是25，12，35

，现3人各投篮1次，则3人中恰有2人投进的概率为________．

解析：甲、乙、丙投进分别记作事件A 、B 、C ，它们相互独立，则3人中恰有2人投进的概率为

P ＝P (AB C ＋A B C ＋A BC )

＝P (AB C )＋P (A B C )＋P (A BC )＝P (A )P (B )P (C )＋P (A )P (B )P (C )＋P (A )P (B )P (C ) ＝25×12×(1－35)＋25×(1－12)×35＋(1－25)×12×35＝1950

. 答案：1950

4．(2016·高考四川卷)同时抛掷两枚质地均匀的硬币，当至少有一枚硬币正面向上时，就说这次试验成功，则在2次试验中成功次数X 的均值是________．

解析：解法一 先求出成功次数X 的分布列，再求均值．

由题意可知每次试验不成功的概率为14，成功的概率为34，在2次试验中成功次数X 的可能取

值为0,1,2，则P (X ＝0)＝116，P (X ＝1)＝C 12×14×34＝38， P (X ＝2)＝????342＝916.

所以在2次试验中成功次数X 的分布列为

X

0 1 2 P

116 38 916 则在2次试验中成功次数X E (X )＝0×116＋1×38＋2×916＝32

. 解法二 此试验满足二项分布，其中p ＝34

，所以在2次试验中成功次数X 的均值为E (X )＝np ＝2×34＝32

. 答案：32

5．某种元件用满6 000小时未坏的概率是34，用满10 000小时未坏的概率是12

，现有一个此种元件，已经用满6 000小时未坏，求它能用满10 000小时的概率．

解析：设A ＝“用满10 000小时未坏”，

B ＝“用满6 000小时未坏”，

则P (A )＝12，P (B )＝34

， 由于A ?B ，

故P (AB )＝P (A )．

∴P (A |B )＝P (AB )P (B )＝P (A )P (B )＝1

234

＝23

. ∴这个元件能用满10 000小时的概率为23

. 6.如图所示，用A 、B 、C 三类不同元件连接成两个系统N 1、N 2.

当元件A 、B 、C 都正常工作时，系统N 1正常工作；当元件A 正

常工作且元件B ，C 至少有一个正常工作时，系统N 2正常工作．已

知元件A 、B 、C 正常工作的概率依次为0.80、0.90、0.90，分别求系统N 1、N 2正常工作的概率P 1、P 2.

解析：由题图可知

P 1＝P (A ∩B ∩C )＝P (A )P (B )P (C )

＝0.80×0.90×0.90＝0.648

P2＝P(A∩(B∪C))＝P(A)·[1－P(B C)] ＝0.8×[1－P(B)·P(C)]

＝0.8×[1－(1－0.9)(1－0.9)]

＝0.8×(1－0.01)

＝0.8×0.99＝0.792.

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