高三数学-常州市2015届高三上学期期末调研测试数学（理）试题

一、填空题：

1.设集合A???1,0,1?，B??0,1,2,3?，则A?B= ▲ ． 【答案】?0,1?

考点：集合的运算 2.设复数z?m?3i（m?0，i为虚数单位），若z?z，则m的值为 ▲ ． 1?mi【答案】3

考点：复数概念

3.已知双曲线ax2?4y2?1的离心率为3，则实数a的值为 ▲ ． 【答案】8

考点：双曲线离心率

4.函数f(x)?log2x2?6的定义域为 ▲ ． 【答案】??,?6?【解析】

试题分析：由题意得：x2?6?0?x?6或x??6，定义域为??,?6?

1

?????6,??

????6,??

?

考点：函数定义域

x?xx?5.函数f(x)?cos?sin?3cos?的最小正周期为 ▲ ．

2?22?【答案】2p

考点：三角函数周期

6.右图是一个算法流程图，则输出的a的值是 ▲ ．

开始a ←1a ←2a +1a > 64YN输出a结束（第6题）

【答案】127

考点：循环结构流程图

7.现有5道试题，其中甲类试题2道，乙类试题3道，现从中随机取2道试题，则至少有1道试题是乙类试题的概率为 ▲ ． 【答案】

9 10【解析】

试题分析：从5道试题中随机取2道试题，共有10种基本事件，其中皆不是乙类试题的包含1中基本事件，因此至少有1道试题是乙类试题的概率为1?考点：古典概型概率

19? 1010 2

?2x?y≤2,?8.若实数x,y满足约束条件?x?y≥?1,则目标函数z?2x?y的最小值为 ▲ ．

?x?y≥1,?【答案】1

考点：线性规划求最值

?pp?9.曲线y?x?cosx在点?，?处的切线方程为 ▲ ．

?22?【答案】2x?y?【解析】

p?0 2试题分析：因为y??1+sinx，所以k?1+sin考点：导数几何意义

pppp?2，切线方程为y??2(x?),2x?y??0 222210.已知函数f(x)?2x?2?x???1,2??，则函数y?f(x?1)的值域为 ▲ ． 【答案】?0,2?

考点：函数值域

11.已知向量a??1,1?，b???1,1?，设向量c满足?2a?c???3b?c??0，则c的最大值为 ▲ ． 【答案】26 【解析】

试题分析：设c?(x,y)，则由题意得?2?x????3?x???2?y???3?y??0，即

1513(x?)2?(y?)2?，所以c的最大值为直径26 222考点：向量坐标表示

312.设等比数列?an?的公比为q（0?q?1），前n项和为Sn，若a1?4a3a4，且a6与a4的

4

3

等差中项为a5，则S6? ▲ ． 【答案】

63 4考点：等比数列求和

13.若不等式x2?2y2≤cx(y?x)对任意满足x?y?0的实数x,y恒成立，则实数c的最大值为 ▲ ． 【答案】22?4

考点：利用导数求函数最值，不等式恒成立

14.在平面直角坐标系xOy中，已知圆O1，圆O2均与x轴相切且圆心O1，O2与原点O共线，O1，O2两点的横坐标之积为6，设圆O1与圆O2相交于P，Q两点，直线l：2x?y?8?0，

则点P与直线l上任意一点M之间的距离的最小值为 ▲ ． 【答案】85?6 5 4

考点：直线与圆位置关系 二、解答题

15.（本小题满分14分）

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知

b23?，A?3C?p． c3（1）求cosC的值；（2）求sinB的值；（3）若b?33，求△ABC的面积． 【答案】（1）cosC?32292（2）sinB?（3）S? 334 5

考点：正弦定理，二倍角公式 16.（本小题满分14分）

如图，四棱锥P?ABCD的底面ABCD 是平行四边形，平面PBD⊥平面 ABCD， PB=PD，PA⊥PC，CD⊥PC，O，M分别是BD，PC的中点，连结OM．求证：

（1）OM∥平面PAD；

（2）OM⊥平面PCD．

PMAOBCD（第16题）

【答案】（1）详见解析（2）详见解析

因为PA⊥PC，OM∥PA，所以OM⊥PC．从而可证OM⊥平面PCD．

6

考点：线面平行判定定理，线面垂直判定定理 17.（本小题满分14分）

某学校为了支持生物课程基地研究植物生长，计划利用学校空地建造一间室内面积为900m

2

的矩形温室，在温室内划出三块全等的矩形区域，分别种植三种植物，相邻矩形区域之间间隔1m，三块矩形区域的前、后与内墙各保留 1m 宽的通道，左、右两块矩形区域分别与相邻的左右内墙保留3m 宽的通道，如图．设矩形温室的室内长为x（m），三块种植植物的矩形区域的总面积为S（m）． ．．．（1）求S关于x的函数关系式； （2）求S的最大值．

2

7

131113x(?第17题?)

7200?900??2???2x??916，x??8,450?．【答案】（1）S??x?8??（2）当矩形温室的室内

x?x?长为60 m时，三块种植植物的矩形区域的总面积最大，最大为676m ．

2

考点：函数解析式，基本不等式求最值 18.（本小题满分16分）

1x2y2在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：2?2?1(a?b?0)的离心率e?，直线

2abl:x?my?1?0(m?R)过椭圆C的右焦点F，且交椭圆C于A，B两点．

（1）求椭圆C的标准方程；

5（2）已知点D(,0)，连结BD，过点A作垂直于y轴的直线l1，设直线l1与直线BD交于

2点P，试探索当m变化时，是否存在一条定直线l2，使得点P恒在直线l2上？若存在，请求出直线l2的方程；若不存在，请说明理由．

8

x2y2【答案】（1）??1（2）点P恒在直线x?4上

43?D?144(1?m2)?0，

9

考点：直线与椭圆位置关系 19.（本小题满分16分）

??d,1≤n≤15,?已知数列{an}（n?N*，1≤n≤46）满足a1?a， an?1?an??1,16≤n≤30,其中d?0，

?1?,31≤n≤45,?dn?N*．

（1）当a?1时，求a46关于d的表达式，并求a46的取值范围； （2）设集合M?{b|b?ai?aj?ak,i,j,k?N?,1≤i?j?k≤16}．

11

①若a?，d?，求证：2?M；

34

531②是否存在实数a，d，使，1，都属于M？若存在，请求出实数a，d；若不存在，

408请说明理由．

1【答案】（1）a46?16?15(d?)，a46?(??,?14]?[46,??)（2）①详见解析，②不存在

d 10

531因为，1，同时属于M，所以存在三个不同的整数x,y,z（x,y,z??3,42?），

4081?3a?xd?,7??(y?x)d?,8???8使得?3a?yd?1, 从而?

6??(z?x)d?,53??3a?zd?,5?40?则

y?x35?． ………………………13分 z?x48因为35与48互质，且y?x与z?x为整数， 所以|y?x|≥35,|z?x|≥48，但|z?x|≤39，矛盾．

531所以不存在实数a，d，使，1，都属于M． ………………………16分

408考点：数列综合 20.（本小题满分16分）

11

已知a，b为实数，函数f(x)?1?b，函数g(x)?lnx． x?a （1）当a?b?0时，令F(x)?f(x)?g(x)，求函数F(x)的极值；

（2）当a??1时，令G(x)?f(x)?g(x)，是否存在实数b，使得对于函数y?G(x)定义域中的任意实数x1，均存在实数x2?[1,??)，有G(x1)?x2?0成立，若存在，求出实数b的取值集合；若不存在，请说明理由．

1【答案】（1）F(x)的极小值为F(1)?1，无极大值．（2）{}

2

12

11①b≥时，b(x?1)?1?2b?1≥?2?1?0，

22故Q?(x)?0，所以函数y?Q(x)在x?(1,??)时单调递增，Q(x)?Q(1)?0，

即H?(x)?0，从而函数y?H(x)在x?(1,??)时单调递增，所以H(x)?H(1)?0，此时（**）成立；11分 ②当b?1时， 2ⅰ）若b≤0，必有Q?(x)?0，故函数y?Q(x)在x?(1,??)上单调递减，所以Q(x)?Q(1)?0，即H?(x)?0，

13

考点：利用导数求极值，利用导数研究函数单调性

附加题

21.A选修4—1：几何证明选讲

已知AB是圆O的直径，P是上半圆上的任意一点，PC是?APB的平分线，E是下半圆的中点.

求证：直线PC经过点E.

PAOBEC（第21-A题）

【答案】详见解析

14

考点：等弧对应等角 21.B选修4—2：矩阵与变换

?0a? 已知矩阵M???满足：Mαi?liαi，其中li(i?1,2)是互不相等的实常数，αi(i?1,2) b0???1? 是非零的平面列向量，l1?1，α2???，求矩阵M.

?1??0?1?【答案】M???

??10?考点：矩阵运算

21.C选修4—4：坐标系与参数方程

已知两个动点P，Q分别在两条直线l1:y?x和l2:y??x上运动，且它们的横坐标分别为角

15

?????????????q的正弦，余弦，q?[0,π].记OM?OP?OQ，求动点M的轨迹的普通方程. ?． 【答案】x2?y2?2（x,y????1,2?）

考点：消参法求轨迹方程 21.D选修4—5：不等式选讲

已知a?0,b?0，证明：(a2?b2?ab)(ab2?a2b?1)≥9a2b2. 【答案】详见解析

所以a2?b2?ab≥33a2?b2?ab?3ab?0， ………………………4分 ab2?a2b?1≥33ab2?a2b?1?3ab?0， ………………………8分 所以(a2?b2?ab)(ab2?a2b?1)≥9a2b2. ………………………10分 考点：基本不等式证不等式 22.(本小题满分10分)

一位网民在网上光顾某淘宝小店，经过一番浏览后，对该店铺中的A,B,C,D,E五种商品有

16

购买意向.已知该网民购买A,B两种商品的概率均为购买E种商品的概率为

32，购买C,D两种商品的概率均为，431.假设该网民是否购买这五种商品相互独立. 2（1）求该网民至少购买4种商品的概率；

（2）用随机变量h表示该网民购买商品的种数，求h的概率分布和数学期望. 【答案】（1）

11（2）随机变量h的概率分布为： 241 2 3 4 5 h P Eh?10. 30 1 28811 28847 28897 2881 31 8 17

所以：随机变量h的概率分布为：

h P

故Eh?0?0 1 2 3 4 5 1 28811 28847 28897 2881 31 811147971110?1??2??3??4??5??.………………………10分 288288288288383考点：概率分布，数学期望

23.（本小题满分10分）

设n个正数a1,a2,?,an满足a1≤a2≤?≤an（n?N*且n≥3）． （1）当n?3时，证明：（2）当n?4时，不等式

a1a2a2a3a3a1??≥a1?a2?a3； a3a1a2a1a2a2a3a3a4a4a1???≥a1?a2?a3?a4也成立，请你将其推广到a3a4a1a2 n（n?N*且n≥3）个正数a1,a2,?,an的情形，归纳出一般性的结论并用数学归纳法证明．aaaaaaa1a2a2a3????n?2n?1?n?1n+n1≥a1?a2???an（n?N*【答案】（1）详见解析，（2）a3a4ana1a2且n≥3）．

18

【解析】

则当n?k?1时， Fa1a2?a2a3???k?2k?1?ak?1ak?akak?1aak?1?aaa+k?11??a1?a2???ak?ak?1? 3a4akak?1a1a2=Fak?1akakak?1ak?a?+k?1a1?ak?1ak?aka1a?ak?1 …………………………7分 k?1a1a2a12=F?11?a?ak?ak?1ak????a??akk?1??1?+1?ak?1?ak? k?1a1??a1?a2 19

考点：数学归纳法

20

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