2004年普通高等学校招生全国统一考试北京卷理科数学试题及答案

2004

2004年普通高等学校招生北京卷理工农医类数学试题

本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分第I 卷1至2页第II 卷3至9页共150分考试时间120分钟

第I 卷（选择题 共40分）

注意事项：

1. 答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上

2. 每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试题卷上

3. 考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回

参考公式：

三角函数的积化和差公式

s i n

cos [sin()sin()]αβαβαβ=++-12

cos sin [sin()sin()]αβαβαβ=+--12

cos cos [cos()cos()]αβαβαβ=++-12

s i n s i n [c o s ()cos()]αβαβαβ=-+--12 正棱台、圆台的侧面积公式

S c c l 台侧=+12

(') 其中c’，c 分别表示上、下底面周长，l 表示斜高或母线长 球体的表面积公式S R 球=42π

其中R 表示球的半径

一. 选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分项是符合题目要求的

（1）设全集是实数集R ，M x x =-≤≤{|}22，N x x =<{|}1，则M N ?等于

A. {|}x x <-2

B. {|}x x -<<21

C. {|}x x <1

D. {|}x x -≤<21

（2）满足条件||||z i i -=+34的复数z 在复平面上对应点的轨迹是

A. 一条直线

B. 两条直线

C. 圆

D. 椭圆

（3）设m 、n 是两条不同的直线，αβγ,,是三个不同的平面，给出下列四个命题：

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①若m ⊥α，n //α，则m n ⊥

②若αβ//，βγ//，m ⊥α，则m ⊥γ

③若m //α，n //α，则m n //

④若αγ⊥，βγ⊥，则αβ//

其中正确命题的序号是

A. ①和②

B. ②和③

C. ③和④

D. ①和④

（4）如图，在正方体ABCD A B C D -1111中，P 是侧面BB C C 11内一动点，若P 到直线BC 与直线C D 11的距离相等，则动点P 的轨迹所在的曲线是

A

C A 1

C 1

A. 直线

B. 圆

C. 双曲线

D. 抛物线

（5）函数f x x ax ()=--223在区间［1，2］上存在反函数的充分必要条件是

A. a ∈-∞(,]1

B. a ∈+∞[,)2

C. a ∈[,]12

D. a ∈-∞?+∞(,][,)12

（6）已知a 、b 、c 满足c b a <<，且ac <0，那么下列选项中一定成立的是

A. ab ac >

B. c b a ()-<0

C. cb ab 22<

D. ac a c ()->0

（7）从长度分别为1，2，3，4，5的五条线段中，任取三条的不同取法共有n 种在这些取法中，以取出的三条线段为边可组成的钝角三角形的个数为m ，则

m n 等于 A. 110 B. 15 C. 310

D. 25 （8）函数f x x x P x x M (),,=∈-∈???

，其中P 、M 为实数集R 的两个非空子集，又规定f P y y f x x P (){|(),}==∈，f M y y f x x M (){|(),}==∈，给出下列四个判断： ①若P M ?=?，则f P f M ()()?=?

②若P M ?≠?，则f P f M ()()?≠?

③若P M R ?=，则f P f M R ()()?=

④若P M R ?≠，则f P f M R ()()?≠

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其中正确判断有

A. 1个

B. 2个

C. 3个

D. 4个

第II 卷（非选择题 共110分）

二. 填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分把答案填在题中横线上 （9）函数f x x x x ()cos sin cos =-223的最小正周期是___________

（10）方程lg()lg lg 4223x x +=+的解是___________________

（11）某地球仪上北纬30

纬线的长度为12πcm ，该地球仪的半径是__________cm ，表面积是______________cm 2 （12）曲线C ：x y ==-+???

cos sin θθ1（θ为参数）的普通方程是__________，如果曲线C 与直线x y a ++=0有公共点，那么实数a 的取值范围是_______________--

（13）在函数f x ax bx c ()=++2中，若a ，b ，c 成等比数列且f ()04=-，则f x ()有最______________值（填“大”或“小”），且该值为______________

（14）定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和 已知数列{}a n 是等和数列，且a 12=，公和为5，那么a 18的值为______________，这个数列的前n 项和S n 的计算公式为________________

三. 解答题：本大题共6小题，共80分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 （15）（本小题满分13分） 在?ABC 中，sin cos A A +=

22，AC =2，AB =3，求tgA 的值和?ABC 的面积

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（16）（本小题满分14分）

如图，在正三棱柱ABC A B C -111中，AB ＝3，AA 14=，M 为AA 1的中点，P 是BC 上一点，且由P 沿棱柱侧面经过棱CC 1到M 的最短路线长为29，设这条最短路线与CC 1的交点为N ，求：

（I ）该三棱柱的侧面展开图的对角线长

（II ）PC 和NC 的长

（III ）平面NMP 与平面ABC 所成二面角（锐角）的大小（用反三角函数表示）

A

C A 1N M

（17）（本小题满分14分） 如图，过抛物线y px p 220=>()上一定点P （x y 00,）（y 00>），作两条直线分别交抛物线于A （x y 11,），B （x y 22,）

（I ）求该抛物线上纵坐标为p 2

的点到其焦点F 的距离 （II ）当PA 与PB 的斜率存在且倾斜角互补时，求

y y y 120

+的值，并证明直线AB 的斜率是非零常数 y

P

O x

A

B

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（18）（本小题满分14分）

函数f x ()是定义在［0，1］上的增函数，满足f x f x ()()=22且f ()11=，在每个区间(,]1212

1i i -（i =1，2……）上，y f x =()的图象都是斜率为同一常数k 的直线的一部分

（I ）求f ()0及f ()12，f ()14的值，并归纳出f i i

(

)(,,)1212= 的表达式 （II ）设直线x i =12，x i =-121，x 轴及y f x =()的图象围成的矩形的面积为a i （i =1，2……），记S k a a a n n ()lim()=+++→∞

12 ，求S k ()的表达式，并写出其定义域和最小值

（19）（本小题满分12分）

某段城铁线路上依次有A 、B 、C 三站，AB=15km ，BC=3km ，在列车运行时刻表上，规定列车8时整从A 站发车，8时07分到达B 站并停车1分钟，8时12分到达C 站，在实际运行中，假设列车从A 站正点发车，在B 站停留1分钟，并在行驶时以同一速度vkm h /匀速行驶，列车从A 站到达某站的时间与时刻表上相应时间之差的绝对值称为列车在该站的运行误差

（I ）分别写出列车在B 、C 两站的运行误差

（II ）若要求列车在B ，C 两站的运行误差之和不超过2分钟，求v 的取值范围

（20）（本小题满分13分）

给定有限个正数满足条件T ：每个数都不大于50且总和L ＝1275现将这些数按下列要求进行分组，每组数之和不大于150且分组的步骤是：

首先，从这些数中选择这样一些数构成第一组，使得150与这组数之和的差r 1与所有可能的其他选择相比是最小的，r 1称为第一组余差；

然后，在去掉已选入第一组的数后，对余下的数按第一组的选择方式构成第二组，这时的余差为r 2；如此继续构成第三组（余差为r 3）、第四组（余差为r 4）、……，直至第N 组（余差为r N ）把这些数全部分完为止

（I ）判断r r r N 12,,, 的大小关系，并指出除第N 组外的每组至少含有几个数 （II ）当构成第n （n<N ）组后，指出余下的每个数与r n 的大小关系，并证明r n L n n ->--11501

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（III）对任何满足条件T的有限个正数，证明：N 11

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2004年普通高等学校招生北京卷理工农医类数学试题

参考答案

一. 选择题：本大题主要考查基本知识和基本运算每小题5分，满分40分 （1）A （2）C （3）A （4）D

（5）D （6）C （7）B （8）B

二. 填空题：本大题主要考查基本知识和基本运算每小题5分，满分30分 （9）π （10）x x 1201==,

（11）43 192π

（12）x y 2211++=() 1212-≤≤+a

（13）大 -3

（14）3 当n 为偶数时，S n n =52；当n 为奇数时，S n n =-5212 三. 解答题：本大题共6小题，共80分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 （15）本小题主要考查三角恒等变形、三角形面积公式等基本知识，考查运算能力分13分

解法一：

s i n c o s c o s ()c o s ()A A A A +=-=

∴-=

245224512

又0180 <<A ∴-==∴=+=+-=--A A t g A tg 45601054560131323

,() s i n s i n s i n ()s i n cos cos sin A ==+=+=+105456045604560264

S AC AB A ABC ?=?=???+=+12122326434

26sin () 解法二：

s i n cos A A +=22 （1）

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∴+=

∴=-<<∴><(sin cos )sin cos ,sin ,cos A A A A A A A 212212

018000

(s i n

cos )sin cos A A A A -=-=21232 ∴-=s i n cos A A 62

（2） （1）+（2）得：sin A =+264

（1）－（2）得：cos A =

-264 ∴==+?-=--t g A A A s i n c o s 264426

23 （以下同解法一）

（16）本小题主要考查直线与平面的位置关系、棱柱等基本知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力满分14分

解：（I ）正三棱柱ABC A B C -111的侧面展开图是一个长为9，宽为4的矩形，其对角线长为949722+=

（II ）如图1，将侧面BB C C 11绕棱CC 1旋转120 使其与侧成AA C C 11在同一平面上，

点P 运动到点P 1的位置，连接MP 1，则MP 1就是由点P 沿棱柱侧面经过棱CC 1到点M 的最短路线

A

A M

设PC x =，则P C x 1=，在Rt MAP ?1中，由勾股定理得()322922++=x

求得x =2

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∴====∴=

PC P C NC MA P C P A NC 1112

25

4

5 （III ）如图2，连结PP 1，则PP 1就是平面NMP 与平面ABC 的交线，作NH PP ⊥1于H ，又CC 1⊥平面ABC ，连结CH ，由三垂线定理得，CH PP ⊥1

A

A M 1

∴∠NHC 就是平面NMP 与平面ABC 所成二面角的平面角（锐角）

在Rt PHC ?中， ∠=

∠=PCH PCP 12601 ∴==CH PC 2

1 在Rt NCH ?中，tg NHC NC CH ∠===4

5145 故平面NMP 与平面ABC 所成二面角（锐角）的大小为arctg 45

（17）本小题主要考查直线、抛物线等基本知识，考查运用解析几何的方法分析问题和解决问题的能力满分14分

解：（I ）当y p =2时，x p =8

又抛物线y px 22=的准线方程为x p =-

2 由抛物线定义得，所求距离为p p p 8258

--=() y

P

O

A

B

（2）设直线PA 的斜率为k PA ，直线PB 的斜率为k PB

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由y px 1212=，y px 0202=

相减得()()()y y y y p x x 1010102-+=-

故k y y x x p y y x x PA =--=+≠101010

102() 同理可得k p y y x x PB =

+≠22020() 由PA ，PB 倾斜角互补知k k PA PB =-

即221020

p y y p y y +=-+ 所以y y y 1202+=-

故y y y 120

2+=- 设直线AB 的斜率为k AB

由y px 2222=，y px 1212=

相减得()()()y y y y p x x 2121212-+=-

所以k y y x x p y y x x AB =--=+≠212112

122() 将y y y y 120020+=->()代入得

k p y y p y AB =+=-2120

，所以k AB 是非零常数 （18）本小题主要考查函数、数列等基本知识，考查分析问题和解决问题的能力满分14分

解：（I ）由f f ()()020=，得f ()00=

由f f ()()1212=及f ()11=，得f f ()()1

2

12112== 同理，f f ()()1412124

==1 归纳得f i i i ()(,,)121212==

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（II ）当

12121

i i x <≤-时 f x k x i i ()()=+---1212

11 a k i i i i i i i =++------12121212121212

1111[()]() =-1=-()(,,)142

1221k i i 所以{}a n 是首项为1214

()-k ，公比为14的等比数列 所以S k a a a k k n n ()lim()()()=+++=--=-→∞1212

14114

2314 S k ()的定义域为0<≤k 1，当k =1时取得最小值12 （19）本小题主要考查解不等式等基本知识，考查应用数学知识分析问题和解决问题的能力满分12分

解：（I ）列车在B ，C 两站的运行误差（单位：分钟）分别是

||3007v -和||48011v

- （II ）由于列车在B ，C 两站的运行误差之和不超过2分钟，所以

|

|||3007480112v v

-+-≤ （*） 当03007<≤v 时，（*）式变形为3007480112v v

-+-≤ 解得393007

≤≤v 当300748011<≤v 时，（*）式变形为7300480112-+-≤v v

解得300748011

<≤v 当v >48011时，（*）式变形为700114802-3+-≤v v

解得480111954

<≤v 综上所述，v 的取值范围是[39，1954] （20）本小题主要考查不等式的证明等基本知识，考查逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力满分13分

解：（I ）r r r N 12≤≤≤ 除第N 组外的每组至少含有15050

3=个数 （II ）当第n 组形成后，因为n N <，所以还有数没分完，这时余下的每个数必大于余差r n ，余下数之和也大于第n 组的余差r n ，即

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L r r r r n n --+-++->[()()()]150********

由此可得r r r n L n 121150+++>--

因为()n r r r r n n -≥+++--11121 ，所以r n L n n ->--11501

（III ）用反证法证明结论，假设N >11，即第11组形成后，还有数没分完，由（I ）和（II ）可知，余下的每个数都大于第11组的余差r 11，且r r 1110≥

故余下的每个数>≥>?-=r r 111015*********

375. （*） 因为第11组数中至少含有3个数，所以第11组数之和大于37531125..?= 此时第11组的余差r 11150150112537511=-<-=第组数之和..

这与（*）式中r 11375>.矛盾，所以N ≤11

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