数学模型答案

长方形椅子能否在不平的地面上放稳吗？

【问题提出】

日常生活中有这样的现象：把椅子往不平的地面上一放，通常只有三只脚着地，放不稳，然而只需稍微挪动几次，一般都可以使四只脚同时着地．试从数学的角度加以解释． 【模型假设】

为了明确问题，对上述现象中的有关因素在符合日常生活的前提下，作出如下假设： （1）椅子四条腿一样长，椅脚与地面接触处视为一点，四脚的连线呈长方形．

（2）地面高度是连续变化的，沿任何方向都不会出现间断 (没有像台阶那样的情况)，即从数学的角度看，地面是连续曲面．这个假设相当于给出了椅子能放稳的必要条件．

（3）椅子在任何位置至少有三只脚同时着地．为保证这一点，要求对于椅脚的间距和椅腿的长度而言，地面是相对平坦的．因为在地面上与椅脚间距和椅腿长度的尺寸大小相当的范围内，如果出现深沟或凸峰(即使是连续变化的)，此时三只脚是无法同时着地的． 【建立模型】

在上述假设下，解决问题的关键在于选择合适的变量，把椅子四只脚同时着地表示出来．

首先，引入合适的变量来表示椅子位置的挪动．生活经验告诉我们，要把椅子通过挪动放稳，通常有拖动或转动椅子两种办法，也就是数学上所说的平移与旋转变换．然而，平移椅子后问题的条件没有发生本质变化，所以用平移的办法是不能解决问题的．于是可尝试将椅子就地旋转，并试图在旋转过程中找到一种椅子能放稳的情形．

注意到椅脚连线呈长方形，长方形是中心对称图形，绕它的对称中心旋转180度后，椅子仍在原地．把长方形绕它的对称中心O旋转，这可以表示椅子位置的改变。于是，旋转角度θ这一变量就表示了椅子的位置．为此，在平面上建立直角坐标系来解决问题．

如下图所示，设椅脚连线为长方形ABCD，以对角线AC所在的直线为x轴，对称中心O为原点，建立平面直角坐标系．椅子绕O点沿逆时针方向旋转角度θ后，长方形ABCD转至A1B1C1D1 的位置，这样就可以用旋转角θ（0≤θ≤π）表示出椅子绕点O旋转θ后的位置．

其次，把椅脚是否着地用数学形式表示出来．

我们知道，当椅脚与地面的竖直距离为零时，椅脚就着地了，而当这个距离大于零时，椅脚不着地．由于椅子在不同的位置是θ的函数，因此，椅脚与地面的竖直距离也是θ的函数．

由于椅子有四只脚，因而椅脚与地面的竖直距离有四个，它们都是θ的函数．而由假设(3)可知，椅子在任何位置至少有三只脚同时着地，即这四个函数对于任意的θ，其函数值至少有三个同时为0．因此，只需引入两个距离函数即可．考虑到长方形ABCD是中心对称图形，绕其对称中心 O沿逆时针方向旋转180°后，长方形位置不变，但A,C和B,D对换了．因此，记

A、B两脚与地面竖直距离之和为f（θ），C、D两脚与地面竖直距离之和为g（θ），其中θ∈[0，π]，从而将原问题数学化。

数学模型：已知f（θ）和g（θ）是θ的非负连续函数，对任意θ，f（θ）?g(θ)＝0，证明：存在θ0∈[0，π]，使得f（θ0）＝g（θ0）＝0成立。 【求解模型】

如果f（0）＝g（0）＝0，那么结论成立。

如果f（0）与g（0）不同时为零，不妨设f（0）＞0，g（0）＝0。这时，将长方形ABCD绕点O逆时针旋转角度π后，点A，B分别与C，D互换，但长方形ABCD在地面上所处的位置不变，由此可知，f（π）＝g（0），g（π）＝f（0）.而由f（0）＞0，g（0）＝0，得g（π）＞0， f（π）＝0。

令h（θ）＝f(θ)－g（θ），由f(θ)和g(θ)的连续性知h(θ)也是连续函数。

又h（0）＝f(0)－g（0）＞0，h（π）＝f(π)－g（π）＜0，,根据连续函数介值定理，必存在θ0

∈（0，π）使得h（θ0）＝0，即f（θ0）＝g（θ0） ；

又因为f（θ0）?g（θ0）＝0，所以f（θ0）＝g（θ0）＝0。于是，椅子的四只脚同时着地，放稳了。 【评注】

用函数的观点来解决问题，引入合适的函数是关键．本模型的巧妙之处就在于用变量θ表示椅子的位置，用θ的两个函数表示椅子四只脚与地面的竖直距离．运用这个模型，不但可以确信椅子能在不平的地面上放稳，而且可以指导我们如何通过旋转将地面上放不稳的椅子放稳．

商人，鸡，米过河

一 问题的提出

模仿“商人过河”模型，做下面游戏：人带着猫、鸡、米过河，船除需要人划之外，至多能载猫、鸡、米三者之一，而当人不在场时猫要吃鸡、鸡要吃米。设计一个过河方案，建立数学模型，并使渡河次数尽量地少。

二 问题的分析

因为这是个简单问题，研究对象少所以可以用穷举法，简单运算和图论 即可解题。从状态（1,1,1,1）经过奇数次运算变为状态（0,0,0,0）的状态转移过程为什么是奇数次？我们注意到过河有两种，奇数次的为从南岸到北岸，而偶数次的为北岸回到南岸，因此得到下述转移方程，所以最后应该是事件结束时状态转移数为奇数次。

三 基本假设

3,1假设船，划船的人外至多能载猫、鸡、米三者之一。 3,2当人不在场时，猫一定会吃鸡、鸡一定会吃米。

四 定义符号说明

我们将人，猫，鸡，米依次用四维向量中的分量表示，当一物在此岸时，相应分量记为1，在彼岸时记为0.如向量（1,0,1,0）表示人和鸡在此案，猫和米在彼岸，并将这些向量称为状态向量。

五 模型的建立

我们将人，猫，鸡，米依次用四维向量中的分量表示，即（人，猫, 鸡, 米）。 状态向量：各分量取1表示南岸的状态，例如

表示它们都在南岸，（0，1，1，0）表示狗，鸡在南岸，

人，米在北岸；由于问题中的限制条件，有些状态是允许的，有些状态是不允许的。凡问题可以允许存在的状态称为可取状态。对本问题来说，可取状态向量可以用穷举法列出来：

（1, 1, 1, 1），（1, 1, 1, 0），（1, 1, 0, 1），（1, 0, 1, 1），（1, 0, 1, 0）；（,0, 0, 0, 0），（0, 0, 0, 1），（0, 0, 1, 0），（0, 1, 0, 0）,（0,1,0,1）.

六 模型的求解

经过连线求解可以知道有以下图形：

人 猫 鸡 米

人 猫 鸡 米 上图又可以简化为：

即：

图6.1人 猫 鸡 米 过河示意图

七 结果分析

从图看出有二解，分别是经过（0,0,0,1）到（0,0,0,0）和经过（0,1,0,0）到（0,0,0,0）而它们是等优的。

实物交换

一问题描述：

用实物交换模型中介绍的无差别曲线的概念，讨论以下雇员与雇主之间的协议关系:

(1)以雇员一天的工作时间t和工资w分别为横坐标和纵坐标，画出雇员无差别曲线族的示意图.解释曲线问什么是你画的那种形状。

(2)如果雇主付计时工资，对不同的工资率（单位时间的工资）画出计时工资线族，根据雇员的无差别曲线族和雇主的计时工资线族，讨论双方将在怎样的一条曲线上达成协议。

(3)雇员和雇主已经达成了一个协议（工作时间t1和工资w1）。如果雇主想使雇员的工作时间增加到

t2，他有两种办法：一是提高计时工资率，在协议线的另一点（t2，w2）达成新的协议；而是实行超时工资制，即对工时t1仍付原计时工资，对工时t2?t1付给更高的超时工资。试用作图的方法分析哪种办

法对雇主有利，指出这个结果的条件。

问题假设：

1．雇员能够在工作时间内完成劳动； 2．雇主能够及时发放工资；

3．雇员若能超量完成工作，则雇主要加薪；若不能按时完成工作，则雇主可以减薪。 符号说明：

t：雇员一天的工作时间 w：雇员一天的工资

t1：雇员和雇主达成协议的工作时间 w1：雇员和雇主达成协议的工资

t2：雇主想使雇员增加到的新的工作时间 w2：雇主使雇员增加到的新的工作时间的工资 P1、P2 双方确定的协议点 问题分析： 1.问题（1）的分析：

分析雇员一天的工作时间与工资的变化关系，确定增减性，斜率的变化等，由此画出雇员的无差别曲线族示意图。 2.问题（2）的分析：

分析雇主要求的一天的工作时间与工资的变化关系，确定增减性，变化率等，对不同的工资率画出计时工作线族，并找出达成协议的曲线。 3.问题（3）的分析：

在达成协议的曲线上分析雇主的两种方法，总结出对雇主更有利的方案。 模型建立与求解： 1.问题（1）的求解：

以雇员一天的工作时间t和工资w分别为横坐标和纵坐标，画出雇员无差别曲线族（如图1）

说明：工作时间越长，则雇员的工资应该越高，故曲线是递增的；而雇员总是希望工资的增长率大于工作时间的增长率。 2.问题（2）的求解：

雇主付计时工资，以雇员一天的工作时间t和工资w分别为横坐标和纵坐标，对不同的工资率（单位时间的工资）画出计时工资线族（如图2）

说明：当雇员工作时间为0即雇员不工作时，雇主不为其付工资，所以曲线过零点；在同样的时间内，工资率越大，其纵坐标也越大，所以是如图的曲线。 将两族曲线画在一张坐标纸上（如图3），

用平滑的曲线连接两族曲线的切点，次曲线即为双方达成协议的曲线。于是双方确定的协议为P1(或P2)点。

3.问题（3）的求解：

雇主想使雇员的工作时间增加到t2的两种办法在图中表示为（如图4）：

说明：雇员和雇主已经达成了协议（工作时间t1和工资w1），新的协议为（工作时间t2和工资w2），则从图中可以看出(w2-w1)/w1远大于(t2-t1)/t1,即若实行提高计时工资率的方法，需要支付w2的工资，而实行超时工作制，只需支付w2’的工资，显然，只要超时部分（t2－t1）的曲线斜率（即工资）率小于PQ的在此处的斜率，那么实行超时工作制就能够节省w2-w2’的工资，显然对雇主是有利的。

导弹问题

在2.7节核武器竞赛模型中，讨论以下因素引起的平衡点的变化： （1）甲方提高导弹导航系统的性能。 （2）甲方增加导弹爆破的威力。 （3）甲方发展电子干扰系统。 （4）双方建立反导系统。 解：列表如下 情形1 情形2 情形3 情形4 分别作图： 甲的残存率 不变 不变 变大 变大 乙的残存率 变小 不变 不变 变大 甲的威慑值 不变 变小 不变 变大 乙的威慑值 不变 不变 变大 变大 （1） 甲方提高导弹导航系统的性能。

（2）甲方增加导弹爆破的威力。

（3）甲方发展电子干扰系统。 （4）双方建立反导系统。

由于威慑值和残存率均变大，前者使平衡向右上方移动，后者使平衡向左下方移动，综合情况无法确定。下图两种虚线都是可能的结果：

不允许缺货的贮存模型

摘要：本文通过建立两个模型，解决在及时满足市场需求的前提下如何设置贮存周期和贮存量使一次性订购费最少问题. 第一个模型是建立在一边生产一边销售的条件下. 第二个模型在建立只销售不生产条件下. 通过模型的建立及微分法求解可知，当生产周期满足T?2C1r(k?r)rC2时，一次性订购费最少.

关键词：微分法 不允许缺货 总费用

正文

1 问题的复述

建立不允许缺货的生产销售贮存模型.设生产速率为常数k，销售速率为常数r，k>r.在每个生产周期T内，开始的一段时间（0>r和k?t?T）只销售

不生产，画出贮存量的q(t)图形，设每次生产准备费为C1,单位时间 每件产品贮存费为C2，以

?r的情况.

2 模型假设

2.1 生产能力有限大，当贮存量降为零时，立即再生产 2.2 产品的市场需求量不变 2.3 产品每天需求量为常数r

2.4 每次生产准备费为C1，每天每件产品贮存费为C2 2.4 一周期的总费用为C,每天的平均费为C 3 模型的建立

3.1 在开始的一段时间（0

?t?T）只销售不生产，则q(t)?kT0?rt

则q(t)与t的关系图，如图1

由图1知q(T)

r?0?T0?Tk

一周期的贮存费是C2?T0(k?r)T0T(k?r)T2q(t)dt??22k

C2(k?r)rT2 得到一周期的总费用为C?C1?2k 于是每天的平均费用是C(T)4 模型求解

?CC1C2(k?r)rT??TT2k(1)

由（1）式得：当T?2C1r(k?r)rC2 （2） 时，C最小，此时C?2C1C2(k?r)rk

结果解释：当k>>r时，T?2C1C2r即不考虑生产的情况

当k5 模型检验

?r时，T??此时产量与销售互相抵消，无法形成周期

敏感性分析：讨论参数C1,C2,k,r有微小变化对生产周期T的影响

T对C1的敏感度记作S(T,C1),S(T,C1)?T?dT?C1 C1dCTC1T 由（2）式得S(T,C1)?1 2 类似的可得S(T,C2)??1 2 S(T,k)1r???

2k?r1k?2r???2k?r

S(T,r)即C1增加1%，T增加5%，C2增加1%，T减少5% 当k>>r时，K对T没有影响，与结果一致 r增加1%，T减少5% 当k?r时，k或r增加对周期T无影响，因为已经无法形成周期了

大学生售书

一、问题重述

一家出版社准备在某市建立两个销售代理点，每个区学生人数（单位：千人）已经表示在图上，每个销售代理点只能向本区和一个相邻区的大学生售书，这两个销售代理点应该建在何处，才能使所供应的大学生数量最大？ 二、模型的假设

1、所设的销售代理点只能向本区和一个相邻区的大学生售书； 2、学生人数保持如图一所给数据，即人数固定不流动。 三、符号说明

Xi:销售代理点（i=0,1,2??6） 四、问题的分析

此题可以通过用枚举法，根据题意可知每个销售点只能在本区或与之相邻的一个区售书，由此若假定在x0处设立销售点，则与之相邻的区域中，x6的人数为最多，则此销售点必然是在x0与x6这两个区域售

?qqpqqp??1?3??()2?()3?3??()2?()3223223??qq2p3qq2p3?2用卡丹公式：??2?w3??()?()?w3??()?()223223??qq2p3qq2p32??3?w3??()?()?w3??()?()223223???1?i3其中w?,

2求出?1,?2,?3，从而得到?1,?2,?3，于是得到所有特征根??1的条件.

席位分配

将所得商数从大到小取前10个（10为席位数），在数字下标以横线，表中A、B、C行有横线的数分别为2，3，5，这就是3个宿舍分配的席位.你能解释这种方法的道理吗？

如果委员会从10个人增至15人，用以上3种方法再分配名额，将3种方法两次分配的结果列表比较.

解：先考虑N=10的分配方案，

p1?235, p2?333, p3?432, ?pi?1000.

i?13 方法一（按比例分配） q1?p1N?pi?13?2.35, q2?p2Ni?pi?13?3.33, q3?p3Ni?pi?13?4.32

i分配结果为： n1?3, n2?3, n3?4

方法二（Q值方法）

9个席位的分配结果（可用按比例分配）为：

n1?2, n2?3, n3?4

第10个席位：计算Q值为

235233324322Q1??9204.17, Q2??9240.75, Q3??9331.2

2?33?44?5Q3最大，第10个席位应给C.分配结果为 n1?2, n2?3, n3?5

方法三（d’Hondt方法） 此方法的分配结果为：n1此方法的道理是：记

?2, n2?3, n3?5

pi和ni为各宿舍的人数和席位（i=1,2,3代表A、B、C宿舍）.

pini是每席位代表

的人数，取ni?1,2,?,从而得到的

pini中选较大者，可使对所有的i,pini尽量接近.

再考虑N?15的分配方案，类似地可得名额分配结果.现将3种方法两次分配的结果列表如下：

宿舍 （1） （2） （3） （1） （2） （3） 3 2 2 4 4 3 A 3 3 3 5 5 5 B 4 5 5 6 6 7 C 总计 10 10 10 15 15 15

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