2017年秋八年级数学上册 15.3 等腰三角形教案（新版）沪科版

15．3 等腰三角形

第1课时 等腰三角形的性质及应用

1．使学生了解等腰三角形的有关概念，掌握等腰三角形的性质．

2．通过探索等腰三角形的性质，使学生进一步经历观察、实验、推理、交流等活动． 3．使学生熟练地运用等腰三角形的性质求等腰三角形内角的度数． 4．通过例题教学，帮助学生总结代数法求几何角度，线段长度的方法．

重点

等腰三角形的性质及应用． 难点

等腰三角形的性质及应用．

一、创设情境，导入新课 1．让学生在练习本上画一个等腰三角形，标出字母，问什么样的三角形是等腰三角形？ △ABC中，如果有两边AB＝AC，那么它是等腰三角形． 2．日常生活中，哪些物体具有等腰三角形的形象？ 二、合作交流，探究新知 (一)引导学生完成“探究”．

1.指出△ABC的腰、顶角、底角． 相等的两边AB、AC都叫做腰，另外一边BC叫做底边，两腰的夹角∠BAC叫做顶角，腰和底边的夹角∠ABC，∠ACB叫做底角．

2.实验．

现在请同学们做一张等腰三角形的半透明纸片，每个人的等腰三角形的大小和形状可以不一样，把纸片对折，让两腰AB，AC重叠在一起，折痕为AD，如图所示，你能发现什么现象吗？请你尽可能多地写出结论．

可让学生有充分的时间观察、思考、交流，可能得到的结论： (1)等腰三角形是轴对称图形． (2)∠B＝∠C.

(3)BD＝CD，AD为底边上的中线．

(4)∠ADB＝∠ADC＝90°，AD为底边上的高线． (5)∠BAD＝∠CAD，AD为顶角平分线．

结论(2)用文字如何表述？

等腰三角形的两个底角相等，简称“等边对等角”． 结论(3)、(4)、(5)用一句话可以归纳为什么？

等腰三角形的顶角平分线，底边上的高和底边上的中线互相重合，简称“三线合一”． (二)等边三角形

在等腰三角形中，有一种特殊的情况，就是底边与腰相等，这时，三角形三边都相等，我们把三条边都相等的三角形叫做等边三角形．

等边三角形具有什么性质呢？

1．请同学们画一个等边三角形，用量角器量出各个内角的度数，并提出猜想． 2．你能否用已知的知识，通过推理得到你的猜想是正确的？ 等边三角形是特殊的等腰三角形，由等腰三角形等边对等角的性质得到∠A＝∠B＝∠C，又由∠A＋∠B＋∠C＝180°，从而推出∠A＝∠B＝∠C＝60°.

3．上面的条件和结论如何叙述？

等边三角形的各角相等，并且每一个角都等于60°. 等边三角形是轴对称图形吗？如果是，有几条对称轴？ 等边三角形也称为正三角形． 三、运用新知，深化理解

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例1 如图，在△ABC中，AB＝AC＝10 cm，BC＝12 cm，S△ABC＝48 cm，点D为BC的中点，DE⊥AC于点E，则DE等于( )

A．5 cm B．4.8 cm C．2.4 cm D．2 cm

分析：利用等腰三角形“三线合一”的性质，连接AD，根据D为BC的中点可以得到CD112

＝BC＝6，AD⊥BC.又S△ABC＝·AD·BC＝48 cm，BC＝12 cm，可得AD＝8 cm.因为DE⊥AC，2211

因此S△ADC＝AD·CD＝AC·DE，即AD·CD＝AC·DE，从而可得DE＝4.8 cm.

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【归纳总结】本题主要考察等腰三角形的有关性质和三角形的面积计算公式；在等腰三

角形中，“三线合一”是常作的辅助线，作出辅助线后容易找出解决问题的突破口．

例2 如图，已知△ABC是等边三角形，点B，C，D，E在同一直线上，且CG＝CD，DF＝DE，求∠E的度数．

分析：根据等边三角形的性质得出∠ACB＝60°，根据CG＝CD可得出∠CDF的度数，再根据DF＝DE，最后即可得出∠E的度数．

解：∵△ABC为等边三角形，∴∠ACB＝60°， ∵CG＝CD，∴∠CDG＝30°，∵DE＝DF，

2

∴∠E＝15°.

【归纳总结】等边三角形的每一个内角都等于60°；等腰三角形的两个底角相等；三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．在本题中，这三个定理得到了很好的诠释．在等边三角形或等腰三角形中欲求角的度数，与等边三角形以及等腰三角形中角的特点是分不开的．

引导学生学习教材P133～135例1～3，牢记等腰三角形的性质，并能熟练运用等腰三角形的“三线合一”性质．

四、课堂练习，巩固提高

1．教材P133～134练习及P136练习．

2．请同学们完成《探究在线·高效课堂》“随堂演练”内容． 五、反思小结，梳理新知 这节课你有什么收获？

本节课，我们学习了等腰三角形的性质：等腰三角形的两底角相等(简称“等边对等角”)；等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合(简称“三线合一”)，它们对今后的学习十分重要，因此要牢记并能熟练应用．用数学语言表述如下：

(1)△ABC中，如果AB＝AC，那么∠B＝∠C.

(2)△ABC中，如果AB＝AC，D在BC上，那么由条件①∠BAD＝∠CAD，②AD⊥BC，③BD＝CD中的任意一个都可以推出另外两个．

由等腰三角形的性质可以推出等边三角形的各角相等，且都为60°.“三线合一”性质在实际应用中，只要推出其中一个结论成立，其他两个结论一样成立，所以关键是寻找其中一个结论成立的条件．

六、布置作业

1．请同学们完成《探究在线·高效课堂》“课时作业”内容． 2．教材P139～140习题15.3第1，7，10，11，12题．

第2课时 等腰三角形的判定及含30°角的直角三角形的性质

1．通过探索一个三角形是等腰三角形的条件，培养学生的探索能力．

2．能利用一个三角形是等腰三角形的条件，正确判断某个三角形是否为等腰三角形． 3．理解掌握有一个角为30°的直角三角形的性质． 4．有一个角为30°的直角三角形的性质的简单应用．

重点

1．让学生掌握一个三角形是等腰三角形的条件和正确应用． 2．含30°角的直角三角形的性质的发现与应用． 难点

1．一个三角形是等腰三角形的条件的正确文字叙述． 2．含30°角的直角三角形性质的探索与证明．

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一、创设情境，导入新课 [活动1] 问题

(1)我们学习过直角三角形，直角三角形的角之间都有什么数量关系？今天，我们先来看一个特殊的直角三角形，看它的边具有什么性质．

(2)用你的30°角的直角三角尺，把斜边和30°角所对的直角边量一量，你有什么发现？

二、合作交流，探究新知 [活动2]

对于一个三角形，怎样识别它是不是等腰三角形呢？我们已经知道的方法是看它是否有两条边相等．这一节，我们再学习另一种识别方法．

我们已学过，等腰三角形的两个底角相等，反过来，在一个三角形中，如果有两个角相等，那么它是等腰三角形吗？

为了回答这个问题，请同学们分别拿出一张半透明纸，做一个实验，按以下方法进行操作：

1．在半透明纸上画一个线段BC.

2．以BC为始边，分别以点B和点C为顶点，用量角器画两个相等的角，两角终边的交点为A.

3．用刻度尺找出BC的中点D，连接AD，然后沿AD对折． 问题1：AB与AC是否重合？

问题2：本实验的条件与结论如何用文字语言加以叙述？

有两个角相等的三角形是等腰三角形，简称“等角对等边”．

也就是说，如果一个三角形中有两个角相等，那么它就是等腰三角形．一个三角形是等腰三角形的条件，可以用来判定一个三角形是否为等腰三角形．

例1 在△ABC中，已知∠A＝40°，∠B＝70°，判断△ABC是什么三角形，为什么？ 问题3：三个角都是60°的三角形是等边三角形吗？你能说明理由吗？ 三个角都是60°的三角形是等边三角形． 有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．

例2 已知：如图，△ABC是等边三角形，点D，E分别在BA，CA的延长线上，且AD＝AE.

求证：△ADE是等边三角形． 证明：∵△ABC是等边三角形， ∴∠BAC＝∠B＝∠C＝60°. ∵∠EAD＝∠BAC＝60°， 又AD＝AE，

∴△ADE是等边三角形(有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形)． [活动3] 问题

(1)请同学们准备好两个全等的含30°角的直角三角形，把相等的边拼在一起组成平面

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图形，有几种拼法？

(2)探究：在这些图形中，轴对称图形有______个，其中三角形有______个，各是一个怎样的三角形？说说你的理由

(若学生不能单独回答，可以先与同伴交流结论成立的理由，教师可提示：求得∠B＝∠D＝∠BAD＝60°或证∠ABD＝60°，有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．)

(3)在等边△ABD中，AB______BD(填“＞”“＜”或“＝”)，在Rt△ABC中，______＝30°，30°角所对的直角边是______，BC＝______AB(为什么)．

[活动4] 问题

我们仅凭实际操作得出的结论还需证明吗？

(1)在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．其条件和结论分别是什么？如何用数学符号来表达？如何证明？

(2)总结：

该性质适用范围是什么？(直角三角形) 运用该性质可求什么？

(计算和证明线段的倍分，揭示了30°角直角三角形中边的数量关系的特殊性．) 逆命题成立吗？

在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30°，(请同学们课后验证)

[活动5] 问题

(1)△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，CD⊥AB，AB＝4，则BC＝________，∠BCD＝________，BD＝________．

(2)如图，∠ABC＝30°，AC⊥BC，AB＝4 cm，

①求AC的长；

②如图，若D是AB的中点，求DC的长；

③如图，若D是AB的中点，DE⊥BC，求DE的长． (3)如图是屋架设计图的一部分， 点D是斜梁AB的中点，立柱BC，DE垂直于横梁AC, AB＝7.4 m，∠A＝30°，立柱BC，DE要多长？

追问：①若D变成AB上使CD⊥AB于D的点，其他条件不变，你能分解出30°角的直角三角形吗？求出那些线段的长．

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