钢结构稳定理论CHAPTER3

钢结构稳定理论

3.1弹性压弯构件的基本微分方程

第三章 压弯构件的弯曲屈曲3.1弹性压弯构件的基本微分方程dQx 由剪力平衡： q x dx dM dy 由弯矩平衡： x Qx P 0 dx dx EIyIV Py q x P k ,y IV k 2 y q x / EI EI 非齐次四阶微分方 程：2

y A sin kx B cos kx Cx D f ( x) 其中f ( x)为满足微分方程的特解压弯构件的弯曲屈曲1

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3.1弹性压弯构件的基本微分方程

例1 q qx2 解：此时f ( x ) x2 2 EIk2 2P 利用边界条件： 0时y0 0,y0 0 x l时yl 0,yl 0 x q 可求得：B D 2 k P q 1 coskl A 2 k P sin klql C 2P q kl k2x y 2 tg sin kx coskx 1 ( l x ) k P 2 2 压弯构件的弯曲屈曲2

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3.1弹性压弯构件的基本微分方程

ql4 1 cosu u 2 ymax 4 cosu 2 16u EI kl l P 式中u 2 2 EI 24

P PE2

5ql 12(2 sec u u 2) 4 384EI 5u 1 2 5 4 61 6 sec u 1 u u u 2 24 720 2 P P 2 考虑到：u 2.4674 4 PE PE压弯构件的弯曲屈曲3

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3.1弹性压弯构件的基本微分方程

ymax

P P 2 0 (1 1.0034 1.0038 ) ) ( PE PE P P 1 ( ) 2 ) 0 P PE PE 1 PE

0 (1

ql2 max M P 8 P 2 2 1.028 P ql 5Pl E 1 M 0 1 P P 8 48EI (1 ) 1 PE PE 1 M0( ) 考虑轴 力的P 效应 P 1 PE压弯构件的弯曲屈曲4

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3.1弹性压弯构件的基本微分方程

例2 kl e(sec 1) e(sec u 1) 2 u 2 5 4 61 6 277 8 e( u u u ) 2 24 720 8064 P P 2 P 3 P 4 e 1.234 1.268( ) 1.273( ) 1.273( ) PE P4 P4 P4 P e 1.234 PE压弯构件的弯曲屈曲

P P 2 P 3 1 1.028 P 1.032( P ) 1.032( P ) E 4 4 5

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3.1弹性压弯构件的基本微分方程

1.234Pe Pel2 Ml 2 0 PE 8EI 8EI P P P2 0 1 1.028 (1 1.004 1.004 2 ) PE PE PE P 0 1 1.028 PE 1 P 1 P E P 1 0.028 PE 0 P 1 P E

P 1 0.234 1 PE 0 M max P( e ) M sec u M ( ) P P 1 1 PE PE压弯构件的弯曲屈曲6

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3.1弹性压弯构件的基本微分方程

例3均匀横向荷载的固端构 件 qx2 qx2 该情况的特解为 ( x ) f 2 2 EIk 2P 边界条件y0 0,y

0,yl 0,yl 0

ql ql ql ql A ,B ,C ,D 3 2 kl kl 2 EIk 2 EIk 3 3 2 EIk tg 2 EIk tg 2 2 2 ql coskx 1 kx y sin kx kx 3 kl kl 2 EIk l tg tg 2 2 压弯构件的弯曲屈曲7

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3.1弹性压弯构件的基本微分方程

M max EI y x 0 EI y x l kl 2 2 P PE 2

ql2 3(tgu u ) 12 u 2tgu P Pcr PE Pcr 2 P Pcr

式中：u

2 EI ( l ) 2

2 EIl2

2

P P 2 , 0.5, u 9.8696 Pcr Pcr2 3 4

P P P P 3(tgu u ) 1 0.658 0.618 0.610 0.608 2 P P P P u tgu cr cr cr cr 2 3 P P P P 1 0.6 1.097 1.030 1.017 1.013 P P P Pcr cr cr cr

压弯构件的弯曲屈曲

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3.1弹性压弯构件的基本微分方程

P 1 0.6 Pcr P 1 0.6 Pcr

P P 2 P 3 1 Pcr Pcr Pcr P 1 0.4 1 Pcr 1 P / P P cr 1 Pcr

P 1 0.4 Pcr M max M 0 1 P Pcr P 1 m Pcr 弯矩放大系数Am P P 1 1 Pcr Pcr压弯构件的弯曲屈曲9

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3.2端弯矩作用下弹性杆件的变形和内力

3.2端弯矩作用下弹性杆件的变形和内力 IV EIy Py 0 y A sin kx B coskx Cx D MA x 0 y 0 y EI MB x l yl 0 yl EIM A coskl M B MA 可求得A ,B 2 EIk sin kl EIk2 MA MB MA C ,D 2 EIk l EIk2压弯构件的弯曲屈曲10

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3.2端弯矩作用下弹性杆件的变形和内力

x coskl sin kl sin kx coskx l 1 M A 1 1 x 2 sin kx M B EIk sin kl l dM M A coskl M B 取 0,y 0得tgkx dx M A sin kl 1 y EIk2

压弯构件的弯曲屈曲

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3.2端弯矩作用下弹性杆件的变形和内力

由上图知sin kx kx cos

M A coskl M B2 2 M A 2 M A M B coskl M B

M A sin kl2 2 M A 2 M A M B coskl M B

P kl 故0 kx PE kx 0, kx 0 sin cos M max M x EIy x M B 压弯构件的弯曲屈曲

( M A / M B ) 2 2( M A / M B ) coskl 1 2 sin kl12

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3.2端弯矩作用下弹性杆件的变形和内力

受同向曲率弯矩作用时M B M A ( M A / M B ) 2 2( M A / M B ) coskl 1 M max M B sin 2 kl

M A coskl M B tgkx M A sin kl M max M B ( M A / M B )2 2( M A / M B ) coskl 1 sin 2 kl

MA 1.0 反向曲率时 A / M B取正，同向曲率取负。 M MB M B 取绝对值的原因是只需 M值，方向可直观判定。 求压弯构件的弯曲屈曲13

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3.3等效弯矩系数

3.3等效弯矩系数

M max M 1 M eq

( M 2 / M 1 )2 2( M 2 / M 1 ) coskl 1 sin 2 kl

2(1 coskl ) kl M eq sec sin 2 kl 2 P 1 0.234 PE M eq P 1 PE压弯构件的弯曲屈曲14

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3.3等效弯矩系数

M eq M 1

( M 2 / M 1 ) 2 2( M 2 / M 1 ) coskl 1 m M1 2(1 coskl )

m 等效弯矩系数杆中最大弯矩： M max M eq 2(1 coskl ) 2(1 coskl ) m M1 2 sin kl sin 2 kl

B1M 1 P 1 PE B1

m M1

mP 1 PE

~ 放大系数

压弯构件的弯曲屈曲

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3.3等效弯矩系数

2、 m的近似表达式 如：Massonet 1959 年

m 0.3( M 2 / M 1 )2 0.4( M 2 / M 1 ) 0.3Austin 年 1961

m 0.6 0.4 M 2 / M 1 0.4 美国规范M2 M 1 M 2 同向为负，双向为正 M1 M2 中国薄钢规范： m 0.6 0.4 0.4 M1 M2 中国普钢： m 0.65 0.35 0.4 M1 同向曲率为正，反向曲 率为负压弯构件的弯曲屈曲16

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3.3等效弯矩系数

1989 Duan sohal chen公式： 年 P P M2 m 1 0.25 0.6 P P M 1 E E 1 该 式吻合较好压弯构件的弯曲屈曲17

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3.4压弯构件的转角位移方程

3.4压弯构件的转角位移方程外弯矩M ext M A Q A x Py 内弯矩M int EIy M A M B P M 0得QA l 则平衡微分方程为：

x x x EIy M A (1 ) M B P( y ) l l l 1 x x P x 2 y k y M A (1 l ) M B l l EI 压弯构件的弯曲屈曲18

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3.4压弯构件的转角位移方程

通解为： MA x M B x x y A sin kx B coskx (1 ) P l P l l 由边界条件： MA y0 0 B P M B M A coskl yl A P sin kl 代入通解得： M A coskl y sin kx coskx x / l 1 P sin kl M B sin kx x x P sin kl l l压弯构件的弯曲屈曲19

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