组成原理例题

[例1] 若浮点数ｘ的二进制存储格式为(41360000)16，求其32位浮点数的十进制值。 ①将十六进制数展开后，可得二进制数格式为

②指数e＝阶码－127＝10000010－01111111＝00000011=(3)10

③包括隐藏位1的尾数1.M＝1.011 0110 0000 0000 0000 0000＝1.011011 ④ 于是有ｘ＝(－1)s×1.M×2

e ＝＋(1.011011)×2＝＋1011.011 ＝(11.375)10

3[例2] 将十进制数数20.59375转换成位浮点数的二进制格式来存储 [解:] ①首先分别将整数和分数部分转换成二进制数： 20.59375＝10100.10011

②然后移动小数点，使其在第1，2位之间 10100.10011＝1.010010011×2 e＝4

S＝0 E＝4+127=131 M=010010011

③最后得到32位浮点数的二进制存储格式为： 0100 0001 1010 0100 1100 0000 0000 0000 ＝(41A4C000)16

定点数的运算

定点数的位移运算；原码定点数的加减运算；补码定点数的加减运算；定点数的乘除运算；溢出概念和判别方法。 定点数表示：带符号数 不带符号数

定点纯小数 符号 小数点固定于符号位之后，不需专门存放位置 量值 表示数的范围是 0≤|ｘ|≤1－2纯小数的表示范围 x=0.00...0 x=1.00...0 x=0.11...1 x=0.00...01 x=1.00...01 x=1.11...1 x=0 正0和负0都是0 -n4x=1－2－n x=2－n x=－2－n 最大 最接近0的正数 最接近0的负数 x=－（1－2－n ） 最小 定点纯整数 表示数的范围是 0≤|ｘ|≤2－1 五、浮点表示：小数点位置随阶码不同而浮动

n

1、格式:N=R.M

阶符 阶码 数符 尾数

IEEE754标准(规定了浮点数的表示格式,运算规则等)

? 规则规定了单精度(32)和双精度(64)的基本格式. ? 规则中,尾数用原码,指数用移码(便于对阶和比较)

IEEE754标准

? 基数R=2，基数固定，采用隐含方式来表示它。 ? 32位的浮点数：

? S数的符号位，1位，在最高位，“0”表示正数，“1”表示负数。 ? M是尾数， 23位，在低位部分，采用纯小数表示 ? E是阶码，8位，采用移码表示。移码比较大小方便。

? 规格化： 若不对浮点数的表示作出明确规定，同一个浮点数的表示就不是

惟一的。

? 尾数域最左位(最高有效位)总是1， 故这一位经常不予存储，而认为隐藏在

小数点的左边。 ? 采用这种方式时，将浮点数的指数真值e变成阶码E时，应将指数e加上一

个固定的偏移值127(01111111)，即E=e+127。

? 64位的浮点数中符号位1位，阶码域11位，尾数域52位，指数偏移值是1023。因

此规格化的64位浮点数x的真值为：

x=(-1)S×(1.M)×2E-1023 e=E-1023

? 一个规格化的32位浮点数x的真值表示为 x=(-1)S×(1.M)×2E-127 e=E-127

例1若浮点数x的754标准存储格式为(41360000)16，求其浮点数的十进制数值。 解：将16进制数展开后，可得二制数格式为

0 100 00010 011 0110 0000 0000 0000 0000

S 阶码(8位) 尾数(23位) 指数e=阶码-127=10000010-01111111=00000011=(3)10 包括隐藏位1的尾数

1.M=1.011 0110 0000 0000 0000 0000=1.011011 于是有

x=(-1)S×1.M×2e=+(1.011011)×23=+1011.011=(11.375)10

例2将数(20.59375)10转换成754标准的32位浮点数的二进制存储格式。 解:首先分别将整数和分数部分转换成二进制数： 20.59375=10100.10011

然后移动小数点，使其在第1，2位之间 10100.10011=1.010010011×24 e=4于是得到：

S=0, E=4+127=131, M=010010011

最后得到32位浮点数的二进制存储格式为： 01000001101001001100000000000000=(41A4C000)16

E

数的机器码表示

机器码:机器中表示的数, 要解决在计算机内部数的正、负符号和小数点运算问题。 原码反码补码移码 1、原码表示法

定点小数x0.x1x2…xn 有正0和负0之分 范围2-1~1-2

x=+0.11001110

[x]原=0.11001110 [-x]原=1.11001110

定点整数X0X1X2…Xn

x 2n>x≥0 0，正数 [x]原= 符号

2-x 0≥x >-2n 1，负数 说明：

有正0和负0之分 范围 1 -2 ~ 2 – 1

例：x=+11001110 [x]原=011001110 [-x]原=111001110 原码特点：

表示简单，易于同真值之间进行转换，实现乘除运算规则简单。 进行加减运算十分麻烦。 2、 补码表示法

定点小数x0.x1x2…xn

x 1>x≥0 0，正数 [x]补= 符号

2+x 0≥x≥ -1 1，负数 例: x= -0.1011

[x]补=10+x=10.0000-0.1011=1.0101 y=-0.01111

[y]补=10+y=10.00000-0.01111=1,10001 定点整数x0x1x2…xn

x 2>x≥0 0，正数,0 [x]补= 符号 2

n?1

nnnn-n-n+x 0≥x ≥ -2 1，负数

n最大的优点就是将减法运算转换成加法运算。 [X]补-[Y]补= [X]补+[-Y]补

例如 X=(11)10=(1011)2 Y=(5)10=(0101)2 已知字长n=5位

[X]补-[Y]补 =[X]补+[-Y]补

=01011+11011=100110=00110=(6)10 注： 最高1位已经超过字长故应丢掉

? 无正零和负零之分

（2）由原码求补码除符号位以外，其余各位求反，末位加1 例：X=- 0.0101011

解:[X]原= 1 0 1 0 1 0 1 1 [X]补= 1 1 0 1 0 1 0 1

（3）由[X]补求[-X]补:连符号位一起各位求反，末位加1。

(4). 由[X]补求[X/2]补:将[X]补的符号位和数值位一起向右移动一次.符号位移走后保持原来的值不变.移码表示法

[x ]补=[x ]反+2 反码表示有正0和负0之分 移码表示法（用在阶码中）

定点整数定义 [x]移=2+x 2>x≥-2

00000000~11111111(-2n~2n-1) 例+1011111 原码为01011111

补码为01011111 反码为01011111 移码为 11011111

例-1011111 原码为11011111

补码为10100001 反码为10100000 移码为00100001

特点：移码和补码尾数相同，符号位相反 范围:-2n~2n-1

补码加减法 补码加法

公式：[x+y]补=[x]补+[y]补 补码减法

为了将减法转变为加法，需证明公式： [x-y]补=[x]补+[-y]补

? 假设︱ｘ︱﹤1, ︱ｙ︱﹤1, ︱ｘ＋ｙ︱﹤1 ? 现分四种情况来证明 (1)ｘ﹥0,ｙ﹥0,则ｘ＋ｙ﹥0

[ｘ]补=x, [ｙ]补=y, [ｘ＋ｙ]补=x+y 所以等式成立.

(2)ｘ﹥0,ｙ﹤0,则ｘ＋ｙ>0或ｘ＋ｙ<0 [ｘ]补=x, [ｙ]补=2+y, [ｘ]补＋[ｙ]补=x+ 2+y

当ｘ＋ｙ>0时,2 ＋ (ｘ＋ｙ) > 2,进位2必丢失,又因(ｘ＋ｙ)>0， 故 [ｘ]补＋[ｙ]补＝ｘ＋ｙ＝[ｘ＋ｙ]补 当ｘ＋ｙ<0时,2 ＋ (ｘ＋ｙ) < 2,又因(ｘ＋ｙ)<0，

nnn-n

故 [ｘ]补＋[ｙ]补＝2＋(ｘ＋ｙ)＝[ｘ＋ｙ]补 所以上式成立

(3)ｘ<0,ｙ>0,则ｘ＋ｙ>0或 ｘ＋ｙ<0

这种情况和第2种情况一样,把ｘ和ｙ的位置对调即得证。 (4)ｘ<0,ｙ<0,则ｘ＋ｙ<0

相加两数都是负数,则其和也一定是负数。 ∵[ｘ]补＝2＋ｘ, [ｙ]补＝2＋ｙ

∴[ｘ]补＋[ｙ]补＝2＋ｘ＋2＋ｙ＝2＋(2＋ｘ＋ｙ)

上式右边分为”2”和(2＋ｘ＋ｙ)两部分.既然(ｘ＋ｙ)是负数,而其绝对值又小于1,那么(2＋ｘ＋ｙ)就一定是小于2而大于1的数,进位”2”必丢失.又因(ｘ＋ｙ)<0, 所以[ｘ]补＋[ｙ]补＝2＋(ｘ＋ｙ)＝[ｘ＋ｙ]补 溢出的检测

2.３ 定点乘法运算 2.3.1 定点原码乘法 2.3.2 定点补码乘法 1、定点原码乘法原理

? [x]原=xf.xn-1…x1x0 [y]原=yf.yn-1…y1y0 ? [x.y]原=(xf ⊕ yf)+(0. xn-1…x1x0).(0. yn-1…y1y0) ? 尾数乘法如下： 设ｘ＝0.1101,ｙ＝0.1011

0.1 1 0 1 (ｘ) × 0.1 0 1 1 (ｙ) 1 1 0 1 1 1 0 1 0 0 0 0

＋ 1 1 0 1 0. 1 0 0 0 1 1 1 1 (ｚ)

方法一：硬件实现方法(串行的“加法和移位”),硬件结构简单,速度太慢(时间延迟太长). 方法二：不带符号位的阵列乘法器 2、不带符号位的阵列乘法器 3、带符号位的阵列乘法器

? 求补电路

原理：算前求补－乘法器－算后求补

2.6 浮点运算方法和浮点运算器

2.6.1、浮点加减运算 设有两个浮点数ｘ和ｙ,它们分别为

ｘ＝2

Ex·MX

ｙ＝2

Ey·MY

其中Eｘ和Eｙ分别为数ｘ和ｙ的阶码,Mｘ和Mｙ为数ｘ和ｙ的尾数。两浮点数进行加法和减法的运算规则是

ｘ±ｙ＝(Mｘ2Eｘ－Eｙ±Mｙ) 2

Ey， 设Eｘ<＝Eｙ

2、浮点运算步骤如下：

1. 0 操作数的检查,看有无简化操作的可能；

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