2014届高考数学一轮复习教学案数列地综合应用（含解析汇报）

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数列的综合应用

[知识能否忆起]

1．数列在实际生活中有着广泛的应用，其解题的基本步骤，可用图表示如下：

2．数列应用题常见模型

(1)等差模型：如果增加(或减少)的量是一个固定量时，该模型是等差模型，增加(或减少)的量就是公差．

(2)等比模型：如果后一个量与前一个量的比是一个固定的数时，该模型是等比模型，这个固定的数就是公比．

(3)递推数列模型：如果题目中给出的前后两项之间的关系不固定，随项的变化而变化时，应考虑是an与an＋1的递推关系，还是前n项和Sn与Sn＋1之间的递推关系．

[小题能否全取]

1．某学校高一、高二、高三共计2 460名学生，三个年级的学生人数刚好成等差数列，则该校高二年级的人数是( )

A．800 B．820 C．840

D．860

解析：选B 由题意可设高一、高二、高三三个年级的人数分别为a－d，a，a＋d. 2 460

则a－d＋a＋a＋d＝2 460，解得a＝＝820.

3故高二年级共有820人．

2．(教材习题改编)有一种细菌和一种病毒，每个细菌在每秒钟杀死一个病毒的同时将自身分裂为2个，现在有一个这样的细菌和100个这样的病毒(假设病毒不繁殖)，问细菌将病毒全部杀死至少需要( )

A．6秒钟 C．8秒钟

B．7秒钟 D．9秒钟

－

解析：选B 设至少需n秒钟，则1＋21＋22＋…＋2n1≥100，

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1－2n即≥100，解得n≥7. 1－2

3．数列{an}是各项均为正数的等比数列，{bn}是等差数列，且a6＝b7，则有( ) A．a3＋a9≤b4＋b10 C．a3＋a9≠b4＋b10

B．a3＋a9≥b4＋b10

D．a3＋a9与b4＋b10的大小不确定

2解析：选B a3＋a9≥2a3a9＝2a6＝2a6＝2b7＝b4＋b10，当且仅当a3＝a9时，不等式

取等号．

2ππ

4．一个凸多边形的内角成等差数列，其中最小的内角为，公差为，则这个多边形336的边数为________．

解析：由于凸n边形的内角和为(n－2)π， 2πn?n－1?π

故n＋×＝(n－2)π. 3236

化简得n2－25n＋144＝0.解得n＝9或n＝16(舍去)． 答案：9

5．设曲线y＝xn1(n∈N*)在点(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为xn，xn＝________，

＋

令an＝lg xn，则a1＋a2＋…＋a99的值为________．

解析：∵y＝xn1，∴y′＝(n＋1)xn，

＋

它在点(1,1)处的切线方程为y－1＝(n＋1)(x－1)， 与x轴交点的横坐标为xn＝1－

1n

＝， n＋1n＋1

由an＝lg xn得an＝lg n－lg(n＋1)， 于是a1＋a2＋…＋a99

＝lg 1－lg 2＋lg 2－lg3＋…＋lg 99－lg 100＝lg 1－lg 100＝0－2＝－2. 答案：

n

－2 n＋1

1.对等差、等比数列的概念、性质要有深刻的理解，有些数列题目条件已指明是等差(或等比)数列，有的数列并没有指明，但可以通过分析构造，转化为等差数列或等比数列，然后应用等差、等比数列的相关知识解决问题．

2．数列是一种特殊的函数，故数列有着许多函数的性质．等差数列和等比数列是两种最基本、最常见的数列，它们是研究数列性质的基础，与函数、方程、不等式、三角等内容有着广泛的联系，在实际生活中也有着广泛的应用，随着高考对能力要求的进一步提高，这一部分内容也将受到越来越多的关注．

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典题导入

[例1] 在等比数列{an}(n∈N*)中，a1>1，公比q>0，设bn＝log2an，且b1＋b3＋b5＝6，b1b3b5＝0.

(1)求证：数列{bn}是等差数列； (2)求{bn}的前n项和Sn及{an}的通项an. [自主解答] (1)证明：∵bn＝log2an， an＋1

∴bn＋1－bn＝log2＝log2q为常数，

an∴数列{bn}为等差数列且公差d＝log2q. (2)∵b1＋b3＋b5＝6，∴b3＝2， ∵a1>1，∴b1＝log2a1>0. ∵b1b3b5＝0， ∴b5＝0.

???b1＋2d＝2，?b1＝4，∴?解得? ?b1＋4d＝0，???d＝－1，

等差数列与等比数列的综合问题

n?n－1?9n－n2∴Sn＝4n＋×(－1)＝. 22

??log2q＝－1，?q＝，?

∵?∴?2??log2a1＝4，?

1

?a1＝16，

∴an＝25n(n∈N*)．

－

试比较(2)求出的Sn与an的大小． 解：∵an＝25n>0，

－

n?9－n?当n≥9时，Sn＝≤0，

2∴n≥9时，an>Sn.

∵a1＝16，a2＝8，a3＝4，a4＝2，a5＝1， 111a6＝，a7＝，a8＝，

248

S1＝4，S2＝7，S3＝9，S4＝10，S5＝10， S6＝9，S7＝7，S8＝4， ∴当n＝3,4,5,6,7,8时，an

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当n＝1,2或n≥9时，an>Sn.

由题悟法

解决等差数列与等比数列的综合问题，关键是理清两个数列的关系．如果同一数列中部分项成等差数列，部分项成等比数列，要把成等差数列或等比数列的项抽出来单独研究；如果两个数列通过运算综合在一起，要从分析运算入手，把两个数列分割开，弄清两个数列各自的特征，再进行求解．

以题试法

1．(2012·河南调研)已知{an}是一个公差大于0的等差数列，且满足a3a6＝55，a2＋a7

＝16.

(1)求数列{an}的通项公式；

b1b2b3bn(2)若数列{an}和数列{bn}满足等式an＝＋2＋3＋…＋n(n为正整数)，求数列{bn}的

2222前n项和Sn.

解：(1)设等差数列{an}的公差为d，则依题意知d>0， 由a2＋a7＝16，得2a1＋7d＝16，① 由a3a6＝55，得(a1＋2d)(a1＋5d)＝55，②

由①得2a1＝16－7d，将其代入②得(16－3d)(16＋3d)＝220，即256－9d2＝220.∴d2＝4，又d>0，

∴d＝2，代入①得a1＝1， ∴an＝1＋(n－1)·2＝2n－1. b1(2)∵当n＝1时，a1＝，∴b1＝2.

2

bn－1bnb1b2b3当n≥2时，an＝＋2＋3＋…＋n－1＋n，

22222bn－1b1b2b3an－1＝＋2＋3＋…＋n－1，

2222

bn＋

两式相减得an－an－1＝n，∴bn＝2n1，

2

??2，n＝1，∴bn＝?n＋1

?2，n≥2.?

当n＝1时，S1＝b1＝2；

b2?1－2n1?n＋2

当n≥2时，Sn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn＝2＋＝2－6，

1－2

－

当n＝1时上式也成立．

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综上，当n为正整数时，Sn＝2n2－6.

＋

等差数列与等比数列的实际应用 典题导入

[例2] (2011·湖南高考改编)某企业在第1年初购买一台价值为120万元的设备M，M的价值在使用过程中逐年减少．从第2年到第6年，每年初M的价值比上年初减少10万元；从第7年开始，每年初M的价值为上年初的75%.则第n年初M的价值an＝________.

[自主解答] 当n≤6时，数列{an}是首项为120，公差为－10的等差数列，an＝120－10(n－1)＝130－10n；

3

当n≥7时，数列{an}是以a6为首项，为公比的等比数列，

43?n－6

又a6＝70，所以an＝70×??4?. 130－10n，n≤6，??[答案] an＝? 3?n－6

???70×?4?，n≥7.

由题悟法

1．数列实际应用题的解题策略

解等差、等比数列应用题时，首先要认真审题，深刻理解问题的实际背景，理清蕴含在语言中的数学关系，把应用问题抽象为数学中的等差、等比数列问题，然后求解．

2．处理分期付款问题的注意事项

(1)准确计算出在贷款全部付清时，各期所付款额及利息(注：最后一次付款没有利息)． (2)明确各期所付的款以及各期所付款到最后一次付款时所生的利息之和等于商品售价及从购买到最后一次付款时的利息之和，只有掌握了这一点，才可以顺利建立等量关系．

以题试法

2．从经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业．根据规1

划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上年减少，本年度当地旅游业估计收入400

51

万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年增加.

4

(1)设n年内(本年度为第一年)总投入为an万元，旅游业总收入为bn万元，写出表达式； (2)至少经过几年旅游业的总收入才能超过总投入？

1

1－?万元， 解：(1)第一年投入为800万元，第二年投入为800??5?1

1－?n－1万元， 第n年内的总投入为800??5?所以，n年的投入为：

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111－?＋…＋800?1－?n－1 an＝800＋800??5??5?4?n

＝4 000－4 000??5?.

第一年旅游业收入为400万元，第二年旅游业收入为 1

1＋?万元． 400??4?1

1＋?n－1万元， 第n年旅游业收入为400??4?所以，n年内的旅游业总收入为 11

1＋?＋…＋400?1＋?n－1 bn＝400＋400??4??4?5?n

＝1 600??4?－1 600.

(2)设经过n年旅游业的总收入超过总投入，由此bn－an>0， 5?n?4?n>0， 即1 600?－1 600－4 000＋4 000?4??5?5?n?4?n化简得2??4?＋5?5?－7>0，

4?n2设?＝x，代入上式，得5x－7x＋2>0， ?5?2

解此不等式，得x<或x>1(舍去)，

54?n2即??5?<5，由此得n≥5.

故至少经过5年旅游业的总收入才能超过总投入．

典题导入

x[例3] (2012·安徽高考)设函数f(x)＝＋sin x的所有正的极小值点从小到大排成的数列

2为{xn}．

(1)求数列{xn}的通项公式； (2)设{xn}的前n项和为Sn，求sin Sn. 1

[自主解答] (1)令f′(x)＝＋cos x＝0，

212π

得cos x＝－，解得x＝2kπ±(k∈Z)．

23由xn是f(x)的第n个正极小值点知，

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数列与函数、不等式的综合应用 实用文档

2π

xn＝2nπ－(n∈N*)．

3

22nπ

(2)由(1)可知，Sn＝2π(1＋2＋…＋n)－nπ＝n(n＋1)π－，

332nπ

n?n＋1?π－?. 所以sin Sn＝sin?3??

因为n(n＋1)表示两个连续正整数的乘积，n(n＋1)一定为偶数， 2nπ

所以sin Sn＝－sin.

3

4π32mπ－?＝－； 当n＝3m－2(m∈N*)时，sin Sn＝－sin?3??22π32mπ－?＝； 当n＝3m－1(m∈N*)时，sin Sn＝－sin?3?2?当n＝3m(m∈N*)时，sin Sn＝－sin 2mπ＝0.

?

综上所述，sin S＝?3

，n＝3m－1?m∈N?，2

?0，n＝3m?m∈N?.

－

n

*

*

3

，n＝3m－2?m∈N*?，2

由题悟法

数列与函数的综合问题主要有以下两类：

(1)已知函数条件，解决数列问题，此类问题一般利用函数的性质、图象研究数列问题； (2)已知数列条件，解决函数问题，解决此类问题一般要充分利用数列的范围、公式、求和方法对式子化简变形．另外，解题时要注意数列与函数的内在联系，灵活运用函数的思想方法求解，在问题的求解过程中往往会遇到递推数列，因此掌握递推数列的常见解法有助于该类问题的解决．

以题试法

3． (2012·温州测试)设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝2＋t，S5－S2＝24＋3t(t>0)． (1)求数列{an}的通项公式；

(2)设bn＝aqn＋n，若b1＝a1，b5＝a5，试比较a3与b3的大小． 解：(1)设等差数列{an}的公差为d，则S5－S2＝3a1＋9d＝24＋3t， 又a1＝2＋t，所以d＝2， 故an＝2n＋t(t>0)．

(2)由已知可得aq＝1＋t>0，aq5＝5＋t， 1

可得3＋t＝(aq＋aq5)，

2

又aq5－aq＝aq(q4－1)＝4，则q4>1，得q2>1.

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aq

则a3－b3＝3＋t－aq3＝(q2－1)2>0，故a3>b3.

2

1．数列{an}是公差不为0的等差数列，且a1，a3，a7为等比数列{bn}中连续的三项，则数列{bn}的公比为( )

A.2 B．4 C．2

1D. 2

2

解析：选C 设数列{an}的公差为d(d≠0)，由a23＝a1a7得(a1＋2d)＝a1(a1＋6d)，解得

a3a1＋2d2a1a1＝2d，故数列{bn}的公比q＝＝＝＝2.

a1a1a1

2．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，S9＝－36，S13＝－104，等比数列{bn}中，b5＝a5，b7＝a7，则b6的值为( )

A．±42 C．42

B．－42 D．无法确定

解析：选A 依题意得，S9＝9a5＝－36?b5＝a5＝－4，S13＝13a7＝－104?b7＝a7＝－8，所以b6＝±42.

3．已知数列{an}，{bn}满足a1＝1且an，an＋1是函数f(x)＝x2－bnx＋2n的两个零点，则b10等于( )

A．24 C．48

B．32 D．64

an＋2＋

解析：选D 依题意有anan＋1＝2n，所以an＋1an＋2＝2n1，两式相除得＝2.所以a1，

an

a3，a5，…成等比数列，a2，a4，a6，…也成等比数列，而a1＝1，a2＝2.所以a10＝2·24＝32，a11＝1·25＝32.又因为an＋an＋1＝bn，所以b10＝a10＋a11＝64.

2 1 4 2 x y z 4.在如图所示的表格中，如果每格填上一个数后，每一行成等差数列，每一列成等比数列，那么x＋y＋z的值为( )

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A．1 C．3

B．2 D．4

1

解析：选B 由题知表格中第三列中的数成首项为4，公比为的等比数列，故有x＝1.

21?51

根据每行成等差数列得第四列前两个数字依次为5，，故第四列的公比为，所以y＝5×??2?22

3

1?435

＝，同理z＝6×??2?＝8，故x＋y＋z＝2. 8

5．(2011·上海高考)设{an}是各项为正数的无穷数列，Ai是边长为ai，ai＋1的矩形的面积

(i＝1,2，…)，则{An}为等比数列的充要条件为( )

A．{an}是等比数列

B．a1，a3，…，a2n－1，…或a2，a4，…，a2n，…是等比数列 C．a1，a3，…，a2n－1，…和a2，a4，…，a2n，…均是等比数列

D．a1，a3，…，a2n－1，…和a2，a4，…，a2n，…均是等比数列，且公比相同 An＋1an＋1an＋2an＋2A2解析：选D ∵Ai＝aiai＋1，若{An}为等比数列，则＝＝为常数，即＝

AnanA1anan＋1

a3A3a4，＝，…. a1A2a2

∴a1，a3，a5，…，a2n－1，…和a2，a4，…，a2n，…成等比数列，且公比相等．反之，An＋1an＋2

若奇数项和偶数项分别成等比数列，且公比相等，设为q，则＝＝q，从而{An}为等

Anan比数列．

6．已知数列{an}满足3an＋1＋an＝4且a1＝9，其前n项之和为Sn，则满足不等式|Sn－n－6|<

1

的最小整数n是( ) 125

B．6 D．8

A．5 C．7

解析：选C 由递推式变形得3(an＋1－1)＝－(an－1)，

?－1?n－1， 则an－1＝8·?3?

?

所以|S－n－6|＝|a－1＋a－1＋…＋a－1－6|＝?

?

n

1

2

n

?－1?n?8?1－??3??

11＋3

??1?1－6?＝6×

?3?<125，

?

n

即3n1>250，所以满足条件的最小整数n是7.

－

7．等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S1,2S2,3S3成等差数列，则等比数列{an}的公比为________．

解析：设等比数列{an}的公比为q(q≠0)，

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1

由4S2＝S1＋3S3，得4(a1＋a1q)＝a1＋3(a1＋a1q＋a1q2)，即3q2－q＝0，故q＝.

31答案： 3

8．(2011·陕西高考)植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距10米．开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边．使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，这个最小值为________米．

解析：当放在最左侧坑时，路程和为2×(0＋10＋20＋…＋190)；当放在左侧第2个坑时，路程和为2×(10＋0＋10＋20＋…＋180)(减少了360米)；当放在左侧第3个坑时，路程和为2×(20＋10＋0＋10＋20＋…＋170)(减少了680米)；依次进行，显然当放在中间的第10、11个坑时，路程和最小，为2×(90＋80＋…＋0＋10＋20＋…＋100)＝2 000米．

答案：2 000

2*9．(2012·安徽模拟)在数列{an}中，若a2n－an－1＝p(n≥2，n∈N，p为常数)，则称{an}

为“等方差数列”．

下列是对“等方差数列”的判断：

①若{an}是等方差数列，则{a2n}是等差数列；

②已知数列{an}是等方差数列，则数列{a2n}是等方差数列． ③{(－1)n}是等方差数列；

④若{an}是等方差数列，则{akn}(k∈N*，k为常数)也是等方差数列； 其中正确命题的序号为________．

解析：对于①，由等方差数列的定义可知，{a2n}是公差为p的等差数列，故①正确．对于②，取an＝n，则数列{an}是等方差数列，但数列{a2故②错．对于③，n}不是等方差数列，因为[(－1)n]2－[(－1)n1]2＝0(n≥2，n∈N*)为常数，所以{(－1)n}是等方差数列，故③正确．对

－

2222222

于④，若a2n∈N*)，则akn－a2n－an－1＝p(n≥2，k?n－1?＝(akn－akn－1)＋(akn－1－akn－2)＋…＋(akn－k＋1

－a2k?n－1?)＝kp为常数，故④正确．

答案：①③④

10．已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝n2，数列{bn}为等比数列，且首项b1＝1，b4＝8.

(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；

(2)若数列{cn}满足cn＝abn，求数列{cn}的前n项和Tn； 解：(1)∵数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝n2， ∴当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2－(n－1)2＝2n－1.

当n＝1时，a1＝S1＝1亦满足上式，故an＝2n－1(n∈N*)． 又数列{bn}为等比数列，设公比为q， ∵b1＝1，b4＝b1q3＝8，∴q＝2.

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∴bn＝2n1(n∈N*)．

－

(2)cn＝abn＝2bn－1＝2n－1.

Tn＝c1＋c2＋c3＋…＋cn＝(21－1)＋(22－1)＋…＋(2n－1)＝(21＋22＋…＋2n)－n＝2?1－2n?

－n. 1－2

所以Tn＝2n1－2－n.

＋

22

11．已知各项均为正数的数列{an}满足：an＋1＝2an＋anan＋1，且a2＋a4＝2a3＋4，其中n

∈N*.

(1)求数列{an}的通项公式； (2)设数列{bn}满足：bn＝

nan

，是否存在正整数m，n(1

?2n＋1?2n成等比数列？若存在，求出所有的m，n的值，若不存在，请说明理由．

2

解：(1)因为a2n＋1＝2an＋anan＋1，

即(an＋an＋1)(2an－an＋1)＝0.

又an>0，所以2an－an＋1＝0，即2an＝an＋1. 所以数列{an}是公比为2的等比数列．

由a2＋a4＝2a3＋4，得2a1＋8a1＝8a1＋4，解得a1＝2. 故数列{an}的通项公式为an＝2n(n∈N*)． nann(2)因为bn＝， n＝?2n＋1?22n＋11mn所以b1＝，bm＝，bn＝.

32m＋12n＋1

m1n

若b1，bm，bn成等比数列，则?2m＋1?2＝?2n＋1?，

??3??m2n

即2＝. 4m＋4m＋16n＋3

2

m2n3－2m＋4m＋1

由2＝，可得＝，

nm24m＋4m＋16n＋3

所以－2m2＋4m＋1>0，从而1－

66

又n∈N*，且m>1，所以m＝2，此时n＝12.

故当且仅当m＝2，n＝12时，b1，bm，bn成等比数列． 12．设同时满足条件：①

bn＋bn＋2

≥bn＋1；②bn≤M(n∈N*，M是常数)的无穷数列{bn}2

a

(a－1)(a为常数，且a≠0，a≠1)． a－1n

叫“嘉文”数列．已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn＝

(1)求数列{an}的通项公式；

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2Sn?1?

(2)设bn＝＋1，若数列{bn}为等比数列，求a的值，并证明数列?b?为“嘉文”数列．

an?n?a

解：(1)因为S1＝(a－1)＝a1，所以a1＝a.

a－11当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝

aan(an－an－1)，整理得＝a，即数列{an}是以a为首项，a－1an－1

－

a为公比的等比数列．所以an＝a· an1＝an.

(2)由(1)知，

a

2×?a－1?

a－1n?3a－1?an－2a

bn＝＋1＝，(*)

an?a－1?an由数列{bn}是等比数列，则

b2b3，故2＝b1·

3a＋2a＋21?3a＋2?2＝3·，解得a＝， 2a3?a?

2

11

再将a＝代入(*)式得bn＝3n，故数列{bn}为等比数列，所以a＝. 331111＋n＋n＋22 bnbn＋233由于＝>22

11

·3n3n＋211111

＝n＋1＝，满足条件①；由于＝n≤，故存2bn333bn＋1

1?1?

在M≥满足条件②.故数列?b?为“嘉文”数列．

3?n?

1．设f(x)是定义在R上恒不为零的函数，对任意实数x，y∈R，都有f(x)f(y)＝f(x＋y)，1

若a1＝，an＝f(n)(n∈N*)，则数列{an}的前n项和Sn的取值范围是( )

2

1?A.??2，2? 1?C.??2，1?

1?

B.??2，2? 1?D.??2，1?

1

解析：选C 由题意得an＋1＝f(n＋1)＝f(1)f(n)＝an，

2

1??1?n?1－?2??2?1?n1??故Sn＝＝1－?.则数列{a}的前n项和的取值范围是n

?2??2，1?. 1

1－2

2．(2012·安庆模拟)设关于x的不等式x2－x<2nx(n∈N*)的解集中整数的个数为an，数列{an}的前n项和为Sn，则S100的值为________．

解析：由x2－x<2nx(n∈N*)， 得0

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100?2＋200?

故S100＝＝10 100.

2答案：10 100

3．祖国大陆允许台湾农民到大陆创业以来，在11个省区设立了海峡两岸农业合作试验区和台湾农民创业园，台湾农民在那里申办个体工商户可以享受“绿色通道”的申请、受理、审批一站式服务，某台商到大陆一创业园投资72万美元建起一座蔬菜加工厂，第一年各种经费12万美元，以后每年增加4万美元，每年销售蔬菜收入50万美元，设f(n)表示前n年的纯收入．(f(n)＝前n年的总收入－前n年的总支出－投资额)

(1)从第几年开始获取纯利润？

(2)若干年后，该台商为开发新项目，有两种处理方案：①年平均利润最大时以48万美元出售该厂；②纯利润总和最大时，以16万美元出售该厂，问哪种方案较合算？

解：由题意知，每年的经费是以12为首项，4为公差的等差数列． n?n－1??则f(n)＝50n－?12n＋×4－72＝－2n2＋40n－72.

2??

(1)获取纯利润就是要求f(n)>0，故有－2n2＋40n－72>0，解得2

36f?n?

n＋?≤16，当且仅当n＝6时取等号． (2)①平均利润为＝40－2?n??n故此方案获利6×16＋48＝144万美元，此时n＝6.

②f(n)＝－2n2＋40n－72＝－2(n－10)2＋128，当n＝10时，f(n)max＝128. 故此方案共获利128＋16＝144万美元．

比较两种方案，在获利相同的前提下，第①种方案只需6年，第②种方案需要10年，故选择第①种方案．

1．已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝n－5an－85，n∈N*. (1)证明：{an－1}是等比数列；

(2)求数列{Sn}的通项公式．请指出n为何值时，Sn取得最小值，并说明理由． 解：(1)证明：当n＝1时，a1＝S1＝1－5a1－85， 解得a1＝－14，则a1－1＝－15.

∵当n≥2时，Sn－1＝(n－1)－5an－1－85， ∴an＝Sn－Sn－1＝1－5an＋5an－1， 5

∴6an＝5an－1＋1，即an－1＝(an－1－1)，

65

∴{an－1}是首项为－15，公比为的等比数列．

6

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?5?n－1， (2)∵an－1＝－15·?6??5?n－1?－85＝n＋75·?5?n－1－90. ∴Sn＝n－5?1－15·??6???6??5?n－1>0， 由an＝1－15·?6??5?n－1<1，解得n>log51＋1≈15.85. 即15·?6?615

∴当n≤15时，an<0；当n≥16时，an>0. 故n＝15时，Sn取得最小值．

2．在正项数列{an}中，a1＝2，点An(an，an＋1)在双曲线y2－x2＝1上，数列{bn}中，1

点{bn，Tn}在直线y＝－x＋1上，其中Tn是数列{bn}的前n项和．

2

(1)求数列{an}的通项公式； (2)求证：数列{bn}是等比数列； (3)若cn＝an·bn，求证：cn＋1

解：(1)由点An在y2－x2＝1上知，an＋1－an＝1， ∴数列{an}是一个以2为首项，以1为公差的等差数列， ∴an＝a1＋(n－1)d＝2＋n－1＝n＋1.

1

(2)证明：∵点(bn，Tn)在直线y＝－x＋1上，

21

∴Tn＝－bn＋1.①

2

1

∴Tn－1＝－bn－1＋1(n≥2)．②

2

11

①②两式相减得bn＝－bn＋bn－1(n≥2)，

2231

∴bn＝bn－1， 221

∴bn＝bn－1.

3

12

令n＝1，得b1＝－b1＋1，∴b1＝，

2321

∴{bn}是以为首项，以为公比的等比数列．

332?1?n－12

(3)证明：∵由(2)可知bn＝·＝n.

3?3?32

∴cn＝an·bn＝(n＋1)·n，

3

22

∴cn＋1－cn＝(n＋2)·n＋1－(n＋1)·n 33

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＝

3

n＋1[(n＋2)－3(n＋1)]＝n＋1(－2n－1)<0，

22

3

∴cn＋1

3．(2012·广州调研)已知数列{an}中，a1＝1，a2＝3，且an＋1＝an＋2an－1(n≥2)． (1)设bn＝an＋1＋λan，是否存在实数λ，使数列{bn}为等比数列．若存在，求出λ的值，若不存在，请说明理由；

(2)求数列{an}的前n项和Sn.

解：(1)假设存在实数λ，使数列{bn}为等比数列， 设

bn＝q(n≥2)， bn－1

即an＋1＋λan＝q(an＋λan－1)， 得an＋1＝(q－λ)an＋qλan－1.

??q－λ＝1，

与已知an＋1＝an＋2an－1比较，得?

?qλ＝2，?

解得λ＝1或λ＝－2.

所以存在实数λ，使数列{bn}为等比数列．

当λ＝1时，q＝2，b1＝4，则数列{bn}是首项为4，公比为2的等比数列； 当λ＝－2时，q＝－1，b1＝1，则数列{bn}是首项为1，公比为－1的等比数列． (2)由(1)知an＋1－2an＝(－1)n1(n≥1)，

＋

an＋1an?－1?n1?1?n＋1

所以n＋1－n＝n＋1＝?－2?(n≥1)，

222

＋

ana1a2a1??a3a2??anan－1?2－1＋3－2＋…＋?n－n－1? 当n≥2时，n＝1＋?22?22??22??22?1111

－?2＋?－?3＋…＋?－?n ＝＋??2?2?2??2?

?－1?2?1－?－1?n－1?1?2???2??＝＋ 21??1－?－2?11?－1?n－1?. ＝＋?1－

26??2??a11

因为1＝也适合上式，

22

an11?－1?n－1?(n≥1)． 所以n＝＋?1－

226??2??1＋

所以an＝[2n1＋(－1)n]．

3

1＋

则Sn＝[(22＋23＋…＋2n1)＋((－1)1＋(－1)2＋…＋(－1)n)]

3

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nn

1?4?1－2??－1??1－?－1???＋＝?? 3?1－21－?－1??

?－1?n－1?1?n＋2

＝?2－4?＋3?2?.

数 列

一、选择题(本题共12分小题，每小题5分，共60分)

1．在等差数列{an}中，a2＝1，a4＝5，则{an}的前5项和S5＝( ) A．7 C．20

B．15 D．25

解析：选B ∵{an}是等差数列，∴a2＋a4＝2a3＝1＋5， 5?a1＋a5?5×2a3故a3＝3，∴S5＝＝＝5a3＝5×3＝15.

22

2．公比为2的等比数列{an}的各项都是正数，且a3a11＝16，则a5＝( ) A．1 C．4

B．2 D．8

解析：选A ∵a3·a11＝16，∴a27＝16. 又∵an>0，∴a7＝4.a5＝a7·q2＝4×22＝1.

－

－

3．(2012·银川联考)若数列{an}的前n项和为Sn＝n2＋1，则向量m＝(a1，a4)的模为( ) A．53 C.53

B．50 D．52

解析：选C 依题意得，a1＝S1＝2，a4＝S4－S3＝(42＋1)－(32＋1)＝7，故m＝(2,7)，|m|＝22＋72＝53.

?a11 a12 a13?

4．已知数阵?a21 a22 a23?中，每行的三个数依次成等差数列，每列的三个数也依次成

???a31 a32 a33?

等差数列，若a22＝4，则这九个数的和为( )

A．16 C．36

B．32 D．40

解析：选C 依题意得，a11＋a12＋a13＋a21＋a22＋a23＋a31＋a32＋a33＝3a12＋3a22＋3a32

＝9a22＝36.

5．(2012·朝阳统考)设数列{an}是公差不为0的等差数列，a1＝1且a1，a3，a6成等比数列，则{an}的前n项和Sn等于( )

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n27n

A.＋ 88n23n

C.＋ 24

n27nB.＋ 44D．n2＋n

2

解析：选A 由a1，a3，a6成等比数列可得a3＝a1·a6，设数列{an}的公差为d(d≠0)，

n?n－1?1n27n1

则(1＋2d)＝1×(1＋5d)，而d≠0，故d＝，所以Sn＝n＋×＝＋. 42488

2

1

6．(2012·银川联考)设数列{an}满足a1＝2，an＋1＝1－，记数列{an}的前n项之积为Πn，

an

则Π2 013的值为( )

1A．－

21C. 2

B．－1 D．2

1

解析：选B 由a2＝，a3＝－1，a4＝2可知，数列{an}是周期为3的周期数列，从而

2Π2 013＝(Π3)671＝－1.

7．(2012·东北三校模拟)等差数列{an}中，S15>0，S16<0，则使an>0成立的n的最大值为( )

A．6 C．8

B．7 D．9

解析：选C 依题意得S15＝

15?a1＋a15?16?a1＋a16?

＝15a8>0，即a8>0；S16＝＝8(a1＋a16)22

＝8(a8＋a9)<0，即a8＋a9<0，a9<－a8<0.因此使an>0成立的n的最大值是8.

2an8．已知数列{an}满足a1＝，且对任意的正整数m，n都有am＋n＝am＋an，则等于( )

3n1

A. 23C. 2

2B. 3D．2

2

解析：选B 令m＝1，得an＋1＝a1＋an，即an＋1－an＝a1＝，可知数列{an}是首项为

322222an2a1＝，公差为d＝的等差数列，于是an＝＋(n－1)·＝n，即＝.

33333n3

9．(2012·“江南十校”联考)已知函数f(x)＝cosx，x∈(0,2π)有两个不同的零点x1，x2，且方程f(x)＝m(m≠0)有两个不同的实根x3，x4，若把这四个数按从小到大排列构成等差数列，则实数m＝( )

1A. 2

1B．－

2

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C.3 2

D．－

3 2

3ππ－223ππ

解析：选D 若m>0，则公差d＝－＝π，显然不成立，所以m<0，则公差d＝

223π

＝. 3

ππ?3＋＝－. 所以m＝cos??23?2

S12S1010．(2012·济南模拟)在等差数列{an}中，a1＝－2 012，其前n项和为Sn，若－＝2，

1210则S2 012的值等于( )

A．－2 011 C．－2 010

B．－2 012 D．－2 013

?Sn?

解析：选B 根据等差数列的性质，得数列?n?也是等差数列，根据已知可得这个数列

??

S1S2 012的首项＝a1＝－2 012，公差d＝1，故＝－2 012＋(2 012－1)×1＝－1，所以S2 012＝

12 012－2 012.

11．已知等差数列{an}满足a2＝3，a5＝9，若数列{bn}满足b1＝3，bn＋1＝abn，则{bn}的通项公式为bn＝( )

A．2n－1 C．2n1－1

＋

B．2n＋1 D．2n1＋2

－

a5－a2解析：选B 设等差数列{an}的公差为d，则有d＝＝2，an＝a2＋(n－2)d＝2n－1；

5－2又bn＋1＝abn，因此有bn＋1＝2bn－1，bn＋1－1＝2(bn－1)，而b1－1＝2≠0，因此数列{bn－1}是首项为2，公比为2的等比数列，于是有bn－1＝2×2n1＝2n，bn＝2n＋1.

－

12.如图，将等差数列{an}的前6项填入一个三角形的顶点及各边中点的位置，且在图中每个三角形顶点所填的三项也成等差数列，

n数列{an}的前2 012项和S2 012＝4 024，则满足nan>an的n的值为

( )

A．2 012 C．2

B．4 024 D．3

解析：选D 设等差数列{an}的公差为d，则由a2，a3，a5成等差数列得2a3＝a2＋a5，即2(a1＋2d)＝(a1＋d)＋(a1＋4d)，有d＝0，于是an＝a1，由S2 012＝4 024得2 012a1＝4 024，

2nx2有a1＝2，即an＝2，由nan>ann得n>2，结合函数y＝2与y＝x的图象知n＝3.

二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)

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13．已知等比数列{an}为递增数列，且a25＝a10,2(an＋an＋2)＝5an＋1，则数列{an}的通项公式an＝________.

1??解析：a2＝a>0，根据已知条件得2510

?q＋q?＝5，解得q＝2.

89n

所以a21q＝a1q，所以a1＝2，所以an＝2.

答案：2n

14．(2012·衡阳六校联考)设函数f(x)＝则f(a)＋f(c)＝________.

111解析：依题意得b－a＝c－b，－(a－b)＝c－b，则f(a)＋f(c)＝＋2＋＋2＝

a－bc－ba－b＋

1

＋4＝0＋4＝4. c－b答案：4

15．数列{an}满足an＋1＋(－1)nan＝2n－1，则{an}的前60项和为________．

解析：∵an＋1＋(－1)nan＝2n－1，∴a2＝1＋a1，a3＝2－a1，a4＝7－a1，a5＝a1，a6＝9＋a1，a7＝2－a1，a8＝15－a1，a9＝a1，a10＝17＋a1，a11＝2－a1，a12＝23－a1，…，a57＝a1，a58＝113＋a1，a59＝2－a1，a60＝119－a1，

∴a1＋a2＋…＋a60＝(a1＋a2＋a3＋a4)＋(a5＋a6＋a7＋a8)＋…＋(a57＋a58＋a59＋a60)＝10＋26＋42＋…＋234

＝

15×?10＋234?

＝1 830.

2

1

＋2，若a，b，c成等差数列(公差不为零)，x－b

答案：1 830

16．(2012·衡阳六校联考)在一个数列中，如果?n∈N*，都有anan＋1an＋2＝k(k为常数)，那么这个数列叫做等积数列，k叫做这个数列的公积．已知数列{an}是等积数列，且a1＝1，a2＝2，公积为8，则a1＋a2＋a3＋…＋a12＝________.

解析：依题意得数列{an}是周期为3的数列，且a1＝1，a2＝2，a3＝4，因此a1＋a2＋a3

＋…＋a12＝4(a1＋a2＋a3)＝4×(1＋2＋4)＝28.

答案：28

三、解答题(本题共6小题，共70分)

117．(本小题满分10分)(2012·陕西高考)已知等比数列{an}的公比q＝－.

21

(1)若a3＝，求数列{an}的前n项和；

4

(2)证明：对任意k∈N＋，ak，ak＋2，ak＋1成等差数列． 11

解：(1)由a3＝a1q2＝及q＝－，得a1＝1，

42

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?－1?n?2＋?－1?n－1

1×?1－??2???2?所以数列{an}的前n项和Sn＝＝. 13?1－??－2?

(2)证明：对任意k∈N＋，

2ak＋2－(ak＋ak＋1)＝2a1qk1－(a1qk1＋a1qk)

＋

－

＝a1qk1(2q2－q－1)，

－

1

由q＝－得2q2－q－1＝0，故2ak＋2－(ak＋ak＋1)＝0.

2所以对任意k∈N＋，ak，ak＋2，ak＋1成等差数列．

18．(本小题满分12分)(2012·陕西高考)设{an}是公比不为1的等比数列，其前n项和为Sn，且a5，a3，a4成等差数列．

(1)求数列{an}的公比；

(2)证明：对任意k∈N＋，Sk＋2，Sk，Sk＋1成等差数列． 解：(1)设数列{an}的公比为q(q≠0，q≠1)， 由a5，a3，a4成等差数列，得2a3＝a5＋a4， 即2a1q2＝a1q4＋a1q3.

由a1≠0，q≠0得q2＋q－2＝0，解得q1＝－2或q2＝1(舍去)，故q＝－2. (2)证明：法一：对任意k∈N＋， Sk＋2＋Sk＋1－2Sk＝(Sk＋2－Sk)＋(Sk＋1－Sk) ＝ak＋1＋ak＋2＋ak＋1 ＝2ak＋1＋ak＋1·(－2) ＝0，

所以对任意k∈N＋，Sk＋2，Sk，Sk＋1成等差数列． 2a1?1－qk?法二：对任意k∈N＋，2Sk＝，

1－q

a1?1－qk2?a1?1－qk1?a1?2－qk2－qk1?

Sk＋2＋Sk＋1＝＋＝，

1－q1－q1－q

＋

＋

＋

＋

2a1?1－qk?a1?2－qk2－qk1?

2Sk－(Sk＋2＋Sk＋1)＝－

1－q1－q

＋

＋

＝

a1＋＋

[2(1－qk)－(2－qk2－qk1)] 1－q

a1qk2＝(q＋q－2)＝0， 1－q

因此，对任意k∈N＋，Sk＋2，Sk，Sk＋1成等差数列．

19．(本小题满分12分)(2012·潍坊模拟)已知数列{an}是各项均不为0的等差数列，Sn

1*

为其前n项和，且满足S2n－1＝a2n，n∈N. 2

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(1)求an；

2，n为奇数，??

(2)数列{bn}满足bn＝?1Tn为数列{bn}的前n项和，求T2n.

a，n为偶数，－??2n11

解：(1)设数列{an}的首项为a1，公差为d，在S2n－1＝a2中，令n＝1,2，得

2n

22???a1＝2S1，?a1＝2a1，?2得? 2?a2＝2S3，????a1＋d?＝2?3a1＋3d?，

n－1

解得a1＝2，d＝4， 故an＝4n－2.

?2n1，n为奇数，?(2)由(1)得bn＝?

?2n－3，n为偶数，?

－

则T2n＝1＋2×2－3＋22＋2×4－3＋24＋…＋22n2＋2×2n－3

－

＝1＋22＋24＋…＋22n2＋4(1＋2＋…＋n)－3n

－

1－4nn?n＋1?

＝＋4·－3n

21－44n1

＝－＋2n2－n. 33

20．(本小题满分12分)(2012·石家庄质检)已知数列{an}为公差不为零的等差数列，a1

＝1，各项均为正数的等比数列{bn}的第1项，第3项，第5项分别是a1，a3，a21.

(1)求数列{an}与{bn}的通项公式； (2)求数列{anbn}的前n项和Sn.

解：(1)设数列{an}的公差为d(d≠0)，数列{bn}的公比为q， ∵由题意得a23＝a1a21，

∴(1＋2d)2＝1×(1＋20d)，即4d2－16d＝0， ∵d≠0，∴d＝4，∴an＝4n－3. ∴b1＝1，b3＝9，b5＝81， ∵{bn}的各项均为正数， ∴q＝3， ∴bn＝3n1.

－

(2)∵由(1)可得anbn＝(4n－3)3n1，

－

∴Sn＝30＋5×31＋9×32＋…＋(4n－7)×3n2＋(4n－3)×3n1，

－

－

3Sn＝31＋5×32＋9×33＋…＋(4n－7)×3n1＋(4n－3)×3n，

－

两式相减得：

－2Sn＝1＋4×3＋4×32＋4×33＋…＋4×3n1－(4n－3)×3n

－

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＝1＋4(3＋32＋33＋…＋3n1)－(4n－3)×3n

－

4×3×?1－3n1?＝1＋－(4n－3)×3n

1－3

－

＝(5－4n)×3n－5， ?4n－5?3n＋5∴Sn＝. 2

21．(本小题满分12分)(2012·潍坊模拟)在等比数列{an}中，an>0(n∈N*)，公比q∈(0,1)，且a3a5＋2a4a6＋a3a9＝100，又4是a4与a6的等比中项．

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)设bn＝log2an，求数列{|bn|}的前n项和Sn. 解：(1)∵a3a5＋2a4a6＋a3a9＝100，

2∴a24＋2a4a6＋a6＝100，

∴(a4＋a6)2＝100， 又an>0，∴a4＋a6＝10， ∵4是a4与a6的等比中项， ∴a4a6＝16，

而q∈(0,1)，∴a4>a6，∴a4＝8，a6＝2， 1

∴q＝，a1＝64，

2

?1?n－1＝27－n. ∴an＝64·?2?(2)∵bn＝log2an＝7－n，则数列{bn}的前n项和为 n?13－n?

Tn＝，

2

n?13－n?

∴当1≤n≤7时，bn≥0，∴Sn＝. 2当n≥8时，bn<0，

∴Sn＝b1＋b2＋…＋b7－(b8＋b9＋…＋bn) ＝－(b1＋b2＋…＋bn)＋2(b1＋b2＋…＋b7) n?13－n?7×6n2－13n＋84＝－＋2×＝.

222

?∴S＝?n－13n＋84

?2?n≥8且n∈N?.

n

2

*

13n－n2

?1≤n≤7且n∈N*?，2

x

22．(本小题满分12分)设函数f(x)＝，方程x＝f(x)有唯一解，其中实数a为常数，

a?x＋2?

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f(x1)＝

2

，f(xn)＝xn＋1(n∈N*)． 2 013

(1)求f(x)的表达式； (2)求x2 011的值；

2

a24n＋1＋an

(3)若an＝－4 023且bn＝(n∈N*)，求证：b1＋b2＋…＋bn

xn2an＋1an

x

解：(1)由x＝，可化简为ax(x＋2)＝x(a≠0)，

a?x＋2?所以ax2＋(2a－1)x＝0，

1

当且仅当a＝时，方程x＝f(x)有唯一解．

2从而f(x)＝

2x. x＋2

2xn(2)由已知f(xn)＝xn＋1，得＝x＋，

xn＋2n1111111所以＝＋，即－＝(n∈N*)，

xn＋12xnxn＋1xn2

?1?11

所以数列?x?是以为首项，为公差的等差数列．

x12?n?

111?n－1?x1＋2

所以＝＋(n－1)×＝，

xnx122x12x1故xn＝.

?n－1?x1＋2

22x121

因为f(x1)＝，所以＝，解得x1＝.

2 0131 006x1＋22 0131

1 0062

所以xn＝＝，

1n＋2 011

?n－1?×＋2

1 006

2×

21

故x2 011＝＝.

2 011＋2 0112 0112

(3)证明：因为xn＝，

n＋2 011

n＋2 011

所以an＝4×－4 023＝2n－1，

2

2

a2?2n＋1?2＋?2n－1?24n2＋1n＋1＋an

所以bn＝＝＝2 2an＋1an2?2n＋1??2n－1?4n－1

211

＝1＋＝1＋－，

?2n－1??2n＋1?2n－12n＋1

11?1??11???1＋－1＋1－1＋－所以b1＋b2＋…＋bn－n＝?3?＋?35?＋…＋?2n－12n＋1?－n＝1－

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1

<1. 2n＋1

故b1＋b2＋…＋bn

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